黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题（解析版）

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哈师大附中2021级高二学年下学期4月月考
数学科试题
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.
【详解】函数定义域为，其导函数，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为1，又，
故曲线在点处的切线方程为.
故选：D.
2. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，
令，得或，
又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为，
故选：C
3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 30 B. 36 C. 42 D. 54
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的前项和公式列方程组求解即可.
【详解】因为等差数列中，，
所以，
解得，
则，
故选：B
4. 函数的最小值是（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
函数求导，判断单调性，求得最小值得解.
【详解】由题意得，.
令，得.
当时，单调递减；当时，单调递增.
因此在处取得极小值也是最小值，且最小值为.
故选：C.
【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：
(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
5. 抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得抛物线的准线方程以及椭圆的右焦点，再根据抛物线的准线经过椭圆的右焦点求解.
【详解】抛物线的准线方程是，椭圆的右焦点是 ，
因为抛物线的准线经过椭圆的右焦点，
所以p=4，
故选：B
6. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案．
【详解】令，
，
，
在上单调递减，
又，
，
不等式可化，
，
故选：B.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为8，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】内切圆与，交于，点，，得到，计算离心率即可.
【详解】如图所示：内切圆与，交于，点，


，故，又，.
故选：C
8. 若不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得恒成立，令，则恒成立，利用的单调性可得在时恒成立，即恒成立，构造函数，由其单调性得，即可得出答案.
【详解】因为，恒成立，
即恒成立．
令，则恒成立．
因为恒成立，故单调递增，
所以时恒成立，
∴恒成立．
令，
．
令，则
∴单调递减．∴，即，
∴单调递减，故．
则正实数的取值范围是.
故选：B．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数法：分离出函数中的参数，问题转化为求新函数的最值或范围．若恒成立，则；若恒成立，则；②最值法：通过对函数最值的讨论得出结果．若恒成立，则；若恒成立，则；③分段讨论法：对变量进行分段讨论，然后再综合处理．
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知是数列的前项和，，，，则（ ）
A.
B. 数列是等比数列
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A正确；将递推关系式转化为，结合，由等比数列定义可得B正确；利用累加法可求得C错误；采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D正确.
【详解】对于A，，，，
，，，
，A正确；
对于B，由得：，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；
对于C，由B知：，
当时，，
又满足，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
10. 设椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 离心率 B. 的最小值为4
C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切
【答案】CD
【解析】
【分析】根据椭圆的方程求，由此可求离心率，判断A，根据椭圆的定义和基本不等式求的最值，判断B，根据椭圆的性质，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，即可判断C项，利用圆心到直线的距离即可判断D项.
【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
因为椭圆的方程为，
故，所以离心率，故A错误；
由椭圆的定义可知，
所以，当且仅当时等号成立；
所以的最大值为4，B错误；
由已知，，
当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，
最大值为，故C正确；
以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为，
又直线方程为，故圆心到直线的距离为，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故D正确.
故选：CD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数只有两个极值点
B. 方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C. 方程共有4个根
D. 若，，则的最大值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】对函数求导，利用导数研究函数的极值判断；分析函数的性质，借助图象判断；结合图象和函数的零点判断；由结合取最大值的x值区间判断D作答.
【详解】对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项正确；
对于，由选项知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，

所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项错误；
对于，由得：，解得，
令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，
因为，所以，所以方程有两解；
又因为，结合图象可知：也有两解，
综上：方程共有4个根，故选项正确；
对于，因为，而函数在上单调递减，
因此当时，，当且仅当，
所以t的最大值为2，故选项正确.
故选：CD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察
与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
12. 函数的大于0的零点为，函数的大于1的零点为，下列判断正确的是（提示：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意可知，即可计算得出A，B答案.再将计算结果代入化简即可得出C.最后根据单调性即可判断出零点区间.
【详解】根据题意可知，即
将代入等式，等式成立，故A正确.
因，所以，故B错误.
,因为，所以，故C正确.
在先小于0，后大于0，故在先减后增，，，所以在没有零点，故D错误.
故选:AC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在等比数列中，若，则___________.
【答案】16
【解析】
【分析】根据给定条件，结合等比数列通项列式计算作答.
【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，
所以.
故答案为：16
14. 已知，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.
【详解】由解析式知：，
，解得.
故答案为：
15. 已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】将原函数分解为 ，再作图，根据几何意义即可得出结论.
【详解】有且仅有一个整数解， ， 等价于有且仅有一个整数解，
即，令， ，当 时， ， 时， ，在 处取得极大值，
直线：过定点，作下图，

∴2是唯一的整数解，即 ，解得： ；
故答案为： .
16. 牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值．一般的，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的次近似值为_____；设，数列的前项积为．若任意恒成立，则整数的最小值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，依次求出切点、斜率、斜线方程，即可得出结果.
（2）由（1）可得，进而可得，，即可得出结果.
【详解】（1）
，所以
当，所以
当
（2）



因为
所以，为整数，
故答案为：；2
【点睛】关键点点睛：由和，观察得出是本题的关键.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列中，.
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出数列的首项、公差作答.
（2）由（1）的结论，利用错位相减法求和作答.
【小问1详解】
依题意，等差数列的公差，由，得，解得，
所以数列的通项.
【小问2详解】
由（1）得：，
则，
于是，
两式相减得

，
所以.
18. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P.
（1）若，求的方程；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直线的方程设为，联立直线与抛物线方程，设,，,，利用韦达定理，结合抛物线的定义，转化求解即可；
（2）直线的方程设为，求出，通过，结合韦达定理，转化求解点的坐标，然后求解即可．
【小问1详解】
由题意，直线的方程设为，
联立直线与抛物线方程，可得，
，可得，
设,，,，，，
因为，所以，可得，可得，
所以直线的方程为：．即．
【小问2详解】
直线的方程设为，

令，可得，所以，
所以,，,，
因为，所以：,,，
所以，，
，，
，
化简可得，，，
可得，，，
．
19. 已知函数，其中为实数，
（1）若，求函数的最小值；
（2）若方程在上有实数解，求的取值范围；
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用导数可求得单调性，由此可确定；
（2）求导后，在和两种情况下可确定单调，不满足题意；当时，可求得单调性，结合单调性可知只需即可满足题意，由此可求得结果.
【详解】（1）当时，，则，由得：；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
.
（2）；
①当时，在上恒成立，在上单调递增，
，方程在上无实数解，不合题意；
②当时，在上恒成立，在上单调递减，
，方程在上无实数解，不合题意；
③当时，令得：；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
若方程在上有实数解，则只需，
即，解得：，；
综上所述：的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程有根求解参数范围，解题关键是能够通过分类讨论得到函数在区间内的单调性，结合单调性确定函数最值，由此得到不等关系.
20. 斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，与共线.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若（异于）为椭圆上一点，且，求值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设出焦点的坐标，求出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理及共线向量列式计算作答.
（2）利用（1）的信息，用韦达定理及点在椭圆上列式求解作答.
【小问1详解】
令椭圆的右焦点，则直线的方程为，
由消去y并整理得，
显然过椭圆右焦点的直线与椭圆必交于两点，即，设，
则，有，
而与共线，于是，
即有，解得，
所以椭圆的离心率.
【小问2详解】
由（1）知，，椭圆的方程为，
且，，
而，，
即有点在椭圆上，因此，
整理得，即，
而，解得，
所以的值为.

21. 在数列中，.
（1）求数列的通项；
（2）若存在，使得成立，求实数的范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合数列前n项和与第n项的关系变形，再构造等比数列求解作答.
（2）变形给定不等式，构造数列并探讨其单调性，再求出最小值作答.
小问1详解】
由，，得当时，，
两式相减得：，即，而，
因此构成以为首项，3为公比的等比数列，
则当时，，即，显然不满足上式，
所以数列的通项.
【小问2详解】
依题意，由不等式，得，
当时，，当时，，
令，，而，因此当时，，
数列是递增数列，，即当时，，
于是，依题意，，
所以实数的范围是.
22. 已知是常数，函数有两个极值点
（1）求的取值范围；
（2）求证：
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数极值点转化为有两个不等实根，再利用导数研究函数的单调性，转化为求解；
（2）根据（1）可得在上递增，可证，再构造函数，利用导数判断单调性即可得出.
【小问1详解】
，
，
因为函数有两个极值点，
所以有两个不相等的根.
令，
则，
当时，，函数单调递增，不合题意；
当时，令，可得，
当时，，在上单调递增，当时，，
当时，，在上单调递减，当时，，
所以有两个不相等的根需满足，
即，解得，
故的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）知，当时，有两根，
且由单调性知当时，，
故在上单调递增，所以，
又，可知，
又由可得，
所以，
设，
则，所以在上单调递减，
所以，
即，
综上，.
【点睛】关键点点睛：根据函数有极值，转化为导函数有两个零点是解题的关键之一，再由导函数的导数确定导函数的单调性、极值是关键之二，利用导函数的单调性判断导函数在的符号，得出函数在区间的单调性是关键之三，据此可得出.