数学九年级上册2.1 一元二次方程精品教学设计

回顾知识

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导入新课

回顾知识

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导入新课

同学们，在上节课中，我们已将学习了用直接开方的方法、配方法以及公式法解一元二次方程的方法，这节课开始我们将学习一直解一元二次方程的另一种新的方法，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的知识：

解下列一元二次方程：

（1）x²-81=0（直接开方法）

解：x²=81

∴x=±9

∴x1=9；x2=-9.

（2）x²+4x+1=0（配方法）         

解：移项：x²+4x=-1

配方：x²+4x+4=-1+4

即（x+2）²=3

∴x+2=±

∴x1=-2；x2=--2.

 （3）x²+x-2=0（公式法）

解：这里a=1，b=，c=-2

b²-4ac=2-4×1×（-2）=10>0

∴x=

∴x1=-；x2=.

 因式分解：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解.

平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）

完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²

分解因式： 

（1）x²-81=x²-9²=（x+9）（x-9）

（2）x²+4x=x（x+4）

（3）x²+x+4=x²+x+2² =（x+2）²

【知识探究】若ab=0，则a、b的值可能有哪几种情况？

1.当a≠b时：①a=0，b≠0；

         ②a≠0，b=0.

2.当a=b时，a=b=0.

结论：若ab=0，则a=0或b=0.

【导入新知】解方程：x2-3x=0. 

 在解这个方程的时候，我们可以用配方法：将原方程化为（x-）²=进行求解，我们也可以用公式进行公式法求解.

 有没有更简便的方法呢？

解：对方程左边进行因式分解：x（x-3）=0

       根据“若ab=0，则a=0或b=0”，可以得到

x=0或x-3=0

     ∴x1=0；x2=3.

学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识，注意与老师一起推导公式。

学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。

回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。

导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。

讲授新课

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例题讲解

讲授新课

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例题讲解

 一般地，像刚刚导入的一样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.

我们看一个具体的例子，来了解下解一元二次方程：

【例1】用因式分解法解下列方程：

（1） x（x-5）=3x

解：原方程可以写成 x（x-5）-3x = 0.

 把方程左边因式分解，得x（x-5-3）= 0.

由此得出x =0或 x-5-3 = 0.

解得： x1=0  ，x2= 8.             

（2） 2x（5x-1）=3（5x-1）

解：原方程可以写成2x（5x-1）-3（5x-1）= 0.

把方程左边因式分解，得（5x-1）（2x-3）= 0.

由此得出 ：5x-1 = 0   或 2x-3 = 0.

解得：x1 = x2 =.

（3） （35-2x）²-900=0

解：原方程可以写成 ： （35-2x）²-30²=0.

把方程左边因式分解，得（35-2x+30）（35-2x-30）= 0.

由此得出65-2x = 0   或 5-2x= 0.

解得：x1 = x2 =.

我们可以发现，对于用因式分解法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c均为常数，a≠0）的步骤：

1.化解：方程右边不为零的化为零.

2.因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积.

3.求解：至少有一个一次因式为零，得两个一元一次方程.

4.定值：两个一元一次方程的解就是原方程的解.

【例2】用因式分解法解方程：x²-10x+24=0

解：配方，得：x²-10x+5²-5²+24=0

因而（x-5）²-1²=0

把方程左边因式分解，得（x-5+1）（x-5-1）= 0.

即（x-4）（x-6）=0

由此得出： x-4 = 0或x-6= 0.

解得x1 = x2 =.

结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握用用因式分解法求一元二次方程的方法。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

讲授知识，让学生掌掌握用因式分解法求一元二次方程的方法。

让学生知道本节课的学习内容和重点。

课堂练习

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扩展提升

1.用因式分解法解下列方程：

（1） x2-19x=0 ；

解：把方程左边因式分解，得x（x-19）=0.

由此得出 x = 0 或 x-19 = 0 .

解得x1=0 ， x2=19.                 

（2）13x2= 25x .

解：原方程可以写成13x2-25x = 0，

把方程左边因式分解，得x（13x-25）=0.

由此得出 x = 0 或 13x-25 = 0.

解得：x1 = x2 =

2.用因式分解法解下列方程：

（1） 6x（2x-1）= 1-2x ，

解：原方程可以写成6x（2x-1）+（2x-1）= 0，

把方程左边因式分解，得（2x-1）（6x+1）= 0.

由此得出 2x-1 = 0 或 6x+1 = 0.

解得x1 = x2 =-.

（2） 8x（2x+1）= 4x+2 ，

解：原方程可以写成8x（2x+1）-2（2x+1）= 0，

把方程左边因式分解，得（2x+1）（8x-2）=0.

由此得出 2x+1 = 0或8x-2 = 0.

解得， x1 =-x2 = .                   

【扩展提升】解方程：x²=2x

解：方程的两边同时除以x，得x=2

     ∴原方程的解为x-2.

这样的解法正确吗？

我们知道，只有方程的两边同时除以一个不为零的数，所得的方程与原方程同解.所以这样的做法是错误的.

正确解法：

①当x=0时，左边=02=0，右边=0，

    ∵左边=右边，

    ∴x=0是原方程的解.

②当x≠0时，方程的两边同除以x，得x=1

   ∴原方程的解为：x1=1，x2=0.

【做一做】解方程：（x-6）（x+2）=-12

解：原方程化为：（x-6）（x+2）=-3×4

∴x-6=-3，即x=3；   x+2=4，即x=-2.

∴原方程的解为： x1=3，x2=-2.

正确解法：

解：原方程化解：x²-4x-12=-12即x²-4x=0

将方程左边进行因式分解，得x（x-4）=0

∴x=0或x-4=0

∴原方程的解为：x1=0，x2=4.

学生自主完成课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

在扩展提升的时候，学生要先自主思考问题，然后再听老师讲解，在做一做的时候举一反三。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

扩展提升有助于检测学生对知识的灵活运用，借助做一做检测学生对知识点的掌握程度。

课堂小结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

1.若ab=0，则a=0或b=0；

2.因式分解：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

具体步骤：①化解：方程右边不为零的化为零.

②因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积.

③求解：至少有一个一次因式为零，得两个一元一次方程.

④定值：两个一元一次方程的解就是原方程的解.

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。

帮助学生加强记忆知识。

板书

用因式分解法解一元二次方程

1.若ab=0，则a=0或b=0；

2.因式分解：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

具体步骤：

①化解：方程右边不为零的化为零.

②因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积.

③求解：至少有一个一次因式为零，得到两个一元一次方程.

④定值：两个一元一次方程的解就是原方程的解.

借助板书，让学生知识本节课的重点。

作业

教材第39页练习第1、2题.

教材第42页练习第5题.