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    湘教版数学九年级上册 2.3 一元二次方程根的判别式-教学设计
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    初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.3 一元二次方程根的判别式公开课教案设计

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    这是一份初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.3 一元二次方程根的判别式公开课教案设计,共7页。

    新湘教版 数学 九年级上 2.3一元二次方程根的判别式教学设计

    课题

    2.3一元二次方程根的判别式

    单元

    第二单元

    学科

    数学

    年级

    九年级

    学习

    目标

    1. 知识与技能:

    ①能运用根的判别式,判别方程根的情况;

    ②会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围。 

    1. 过程与方法:经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程,体会分类讨论和转化的思想方法,感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
    2. 情感态度与价值观:过对根的判别式的意义及作用的探究,培养对科学的探索精神和严谨的治学态度 

    重点

    用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根或没有实根。

    难点

    在具体题目中,能用一元二次方程根的判别式判别方程实根个数的情况。  

     

    教学过程

    教学环节

    教师活动

    学生活动

    设计意图

     

     

     

     

     

     

    回顾知识

    +

    导入新课

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    回顾知识

    +

    导入新课

     

     

    同学们,在前面的学习中,我们已将学习了用直接开方的方法、以及配方法解一元二次方程的方法,这节课我们将探究方程的根到底与什么有关系,在上新课之前,我们一起回顾下前面学习的知识:

    1.定义:含有一个未知数,且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程.

    2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0)

    3.解法:

    【导入新课】用公式法求出下列方程的解:

    (1)2x2+x-60

    解:b2-4ac=49

    b2-4ac=49>0

    x=

    x1= x2=1.

    (2)3x2-12x+120

    解:b2-4ac=0

    b2-4ac=0

    x=

    x1=x2=2.

    (3)2x2-6x+50

    解:b2-4ac=-4

    b2-4ac=-4<0

    原方程无实数解.

    我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0)时,只有b2-4ac≥0原方程才有解.

    我们将一元二次方程ax2+bx+c=0a ≠ 0)配方后,可以得到:

    由于a≠0,所以4a²0 ,因此我们不难发现:

    1)当>0,由于正数有两个平方根,所以原方程的根为

    程有两个不等的实根.

    2)当0,由于0的平方根是0,所以原方程的根为

    此时,原方程有两个相等的实根.

    3)当0,由于负数没有平方根,所以原方程没有实数根.

      我们可以发现,b²-4ac的正负决定了方程的个数.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    学生跟着教师回忆知识,并思考本节课的知识,注意与老师一起推导公式。

     

     

     

     

     

     

    学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题,并探究知识。

     

     

     

     

     

     

     

    回顾学过的知识,帮学生复习知识,引出这节课的教学内容,同时也帮助学生能更好的融入课程。

     

     

     

     

     

    导入新课,利用导入的例子引起学生的注意力。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    讲授新课

    +

    例题讲解

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    讲授新课

    +

    例题讲解

     

     

     

     一般地,像刚刚导入探究的一样,一元二次方程ax2+bx+c0根的情况可由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c0的根的判别式,通常用“△来表示,即△= b2-4ac.

    根的判别式作用:

    ①判断方程根的情况;

    ②由根的情况确定方程中系数的取值范围.

    一元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)的根与△= b2-4ac的关系:

    ①当△时,方程有两个不等的实根:

    ②当△时,方程有两个相等实根: =

    ③当△时,所以原方程无实根.

    我们看一个具体的例子:

    【例1不解方程,判别下列方程根的情况:

    13x2+4x-3=0    24x2=12x-9 

    37y=5y2+1).

    分析:要判断上述方程根的情况,就必须算出“△”,确定它的 符号即可.

    解:(1∵△=b2-4ac=42-4×3×(-3

                    =16+36=520

           原方程有两个不相等的实数根.

    2)将原方程化为一般形式,得

    4x2-12x+9=0.

    ∵△=-122-4×4×9=144-144=0

    原方程有两个相等的实数根.

    3)将原方程化为一般形式,得

    5y2-7y+5=0.

    ∵△=-72-4×5×5=49-100=-510

    原方程没有实数根.

    【例2k取什么值时,关于x的方程 2x2-4k+1x+2k2=1

    1)有两个不相等的实数根;

    2)有两个相等实数根;

    3)方程没有实数根.

     析:先将原方程化为一般形式,再计算判别式的值,后根据根的情况确定△的符号.

    解:原方程可变形为2x2-4k+1x+2k2-1=0.

           =[-4k+1]2-4×22k2-1=8k+9.

    1原方程有两个不相等的实数根,

               ∴△0

              8k+90          k>-.

    2原方程有两个相等的实数根,

              =08k+9=0k =.

    3原方程没有实数根,

              △<08k+90k<-.

    我们可以发现,对于一元二次方程的根与判别式:

    2.先把已知一元二次方程化为一般形式,为应用判别式创造条件.

     3设关于x的方程:x²-2mx-2m-4=0,证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根.

    解:∵△=4m²-4-2m-4

       =4m²+8m+16

       =4m²+2m+1+12

       =4m+1²+12>0

    m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根

    4已知:abc是△ABC的三边,若方程ax²+2 有两个等根,试判断△ABC的形状.

    解:对于原方程Δ 0,即

    ax²+2²-4a×2b+c=0

      解得a=b=c.

    ∴△ABC为等边三角形.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    结合导入的思考和老师的讲解,利用探究理解和掌握一元二次方程根的判别式与根的关系。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    老师在例题讲解的时候,自己先思考,然后再听老师讲解。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    老师在例题讲解的时候,自己先思考,然后再听老师讲解。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    讲授知识,让学生掌掌握一元二次方程根的判别式与根的关系。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    让学生知道本节课的学习内容和重点。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    让学生知道本节课的学习内容和重点。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    课堂练习

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    1.一元二次方程x2+4x+12=0的根的情况是 (    D    )

       A.有一个实数根           B.有两个相等的实数根        

       C.有两个不相等的实数根      D.没有实数根

    2.下列一元一次方程中,有实数根的是(     C    )

         A.x2-x+1=0           B.x2-2x+3=0

         C.x2+x-1=0           D.x2+4=0

    3.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根,则k的取值范围是( A 

    A.k≤1      B.k≥1          C.k<1           D.k>1

    4、对关于x的方程 x2+6x+m=0回答下列问题.

    1m取什么值时,使方程有两个相等的实数根?

    2m取什么值时,方程有两个不等的实数根?

    3m取什么值时,方程有无实数根?

    解:这里a=1b=6c=m,∴△=b2-4ac =62-4×1×m=36-m

      1)方程有两个相等的实根,即△=36-m=0,即m=36

      2)方程有两个不相等的实根,即△=36-m>0,即m<36

      3)方程无实根,即△=36-m<0,即m>36

     5.已知:abc是△ABC的三边的长,且关于x的方程(a+cx2+2bx+a-c=0有两个相等的实数根. 求证 :△ABC是直角三角形.

    分析:先计算方程判别式的值,再根据△=0确定abc的关系.

    证:△=2b2-4a+c)(a-c=4b2-4a2+4c2.

    方程有两个相等的实数根,

    ∴△=0

    4b2-4a2+4c2=0b2+c2=a2

    ∴△ABC是直角三角形.

     6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根.

    解:Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m

               =m2-2m+1=(m-1)2

    (m-1)2=1

    m12  m20(二次项系数不为0,舍去).

    m=2时,原方程变为2x2-5x+30

    原方程的根为:xx=1.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    学生自主完成巩固练习中的练习,然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    学生自主完成巩固练习中的练习,然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    借助练习,检测学生的知识掌握程度,同时便于学生巩固知识。

     

     

     

     

     

     

     

     

    借助练习,检测学生的知识掌握程度,同时便于学生巩固知识。

     

    课堂小结

    在课堂的最后,我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点:

       1.根的判别式:将记作“△”.= 叫做一元二次方程根的判别式”.

    2.根的判别式与根个数的关系:,

        时,方程有两个不等的实根:

        ②当△时,方程有两个相等的实根: =

        时,所以原方程无实根.

     

    跟着老师回忆知识,并记忆本节课的知识。

    帮助学生加强记忆知识。

    板书

    一元二次方程根的判别式

    1.根的判别式:将记作“△”.= 叫做一元二次方程根的判别式”.

    2.根的判别式与根个数的关系:,

        时,方程有两个不等的实根:

        ②当△时,方程有两个相等的实根: =

        时,所以原方程无实根.

    借助板书,让学生知识本节课的重点。

    作业

    教材第45页练习第12.

    教材第45页练习2.334.

     

     

     

     

     

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