人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案设计

6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例

一、教学目标

1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题；

2.通过对余弦定理、正弦定理应用的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；

2.由实际问题建立数学模型，画出示意图。

三、教学过程

(一)创设情境，引发思考

 情境一  如图所示， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。

教师提出本节课解决的问题---------应用余弦定理、正弦定理解决实际问题

【分析】测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，

【探究】如何求AB间的距离？

学生小组活动探究

情境二  如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。

【分析】如图，求AB长的关键是先求AE，在 △ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.

【探究】选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得

.

所以，这座建筑物的高度为

情境三  .位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距7 n  mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 ）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？

【探究】根据题意，画出示意图，如图.

由余弦定理，得

于是

由正弦定理，得，于是

由于，所以

因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 .

大约需要航行24n  mile.  

（二）理性分析，课堂练习

1.如图，设，两点在河的两岸，在所在河岸边选一定点，测量的距离为，，，则，两点间的距离是　　．

解：，，，

在三角形中，由正弦定理，得，

，

、两点的距离为，

2.如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．

解：设电视塔AB的高为x，

则在Rt△ABC中，

由∠ACB＝45°，得BC＝x.

在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.

在△BDC中，由余弦定理，得

BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，

即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，

解得x＝40，

答：电视塔的高为40 m.

3.在海岸A处发现北偏东45°距离A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？

解:如图若要最快追上走私船，则两船到D点时所用时间相等.

假设在D处相遇,设缉私船用t h在D处追上走私船,如图.

则有CD=，BD=10t.

在中，因为，

由余弦定理得，，

所以，

所以.

在中，由正弦定理知

所以，所以，

即在的正东方向，所以.

在中，由正弦定理得

所以

即缉私船沿北偏东方向能最快追上走私船.

四、课堂小结

(1)学会将实际问题转化为数学问题，进而利用数学方法解决，注意体会正、余弦定理的综合使用；

(2)明确应用题中常见的概念，如方位角、俯角、仰角等；

(3)在解决存在多个三角形的问题时，需注意观察，在不同的三角形中运用正、余弦定理，构建边角关系.

五、课后练习

1.如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得，，

在中，由正弦定理得，

在中，由正弦定理得，

在中，由余弦定理得

，所以.

2.如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：

则求救援船到达D点所需要的时间．

【答案】1小时.

【解析】由题意可知：在中，，，则，

由正弦定理得：，

由，

代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.

在中，，，，

由余弦定理得：

，

，，

即该救援船到达点所需的时间小时.