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第1讲 直线与圆综合问题（重难题型）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）
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这是一份第1讲 直线与圆综合问题（重难题型）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版），文件包含第1讲直线与圆综合问题原卷版docx、第1讲直线与圆综合问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
第1讲 直线与圆综合问题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
突破二：两条直线平行与垂直
突破三：直线方程
突破四：距离问题
突破五：圆的方程
突破六：与圆上点有关的距离最值问题
突破七：圆的切线问题
突破八：两圆的公共弦问题
突破九：圆的弦长问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
2、两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或，斜率都不存在.
3、两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
4、直线方程
①直线过点和斜率（已知一点+斜率）：
②直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）：
③直线在轴上的截距为，在轴上的截距为：
④直线的一般式方程：
5、直线系方程
（1）平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
（2）垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
6、点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
7、对称问题
（1）点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
（2）点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：
（3）直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
（4）直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
8、圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
9、圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
10、圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
11、直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
（1）几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
（2）代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
12、圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
13、圆与圆的公共弦
（1）圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
（2）公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
（3）公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
1．（2022·湖南·怀化市湖天中学高二阶段练习）已知、，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设直线交线段于点，记点，如下图所示：
当直线从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐减小，且为钝角，
此时直线的斜率；
当直线从点运动到点（不包括点）时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，
此时直线的斜率.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：C.
2．（2022·辽宁·大连市第二十三中学高二期中）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】
直线恒过定点，且，，由图可知，或.
故选：C.
3．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选：A.
4．（2022·四川省泸县第四中学高二期中（文））已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】由题意，将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点，
直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与轴的交点），
画出图形如下图所示．
当直线，即直线与圆相切时，
则有，解得，．
结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有，
∴实数的取值范围是．
故答案为：．
突破二：两条直线平行与垂直
1．（2022·江苏南通·高二期中）是直线与直线平行的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【详解】若直线与直线平行，则有解得或，故当直线与直线平行时，或.
所以是直线与直线平行的充分不必要条件.
故选：A
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）若直线：与：平行，则实数（ ）
A．2 B．－2 C． D．
【答案】C
【详解】因为，：的斜率存在且，
所以：的斜率存在且，即.
故选：C
3．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知，，直线与直线垂直，则的最小值是___________.
【答案】
【详解】的法向量的法向量
两直线垂直得，即
当且仅当时取等号.
故答案为：.
4．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知直线：，：，若，则实数_________．
【答案】－3或0
【详解】当时，直线：，：，此时显然，符合题意；
当时，整理可得直线：，：，
由，则，解得.
故答案为：－3或0
突破三：直线方程
1．（2022·北京四中高二期中）与直线平行，且与圆相切的直线方程为______.
【答案】或
【详解】由圆的方程知：圆心为，半径；
设所求直线方程为：，
则圆心到直线距离，解得：或，
所求直线方程为：或.
故答案为：或.
2．（2022·福建·晋江市季延中学高二期中）直线被圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为_________________________．
【答案】
【详解】圆的圆心，半径，显然点C的轨迹是直线，
直线，由解得，即直线l过定点，
因直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值，因此直线l平行于圆心C的轨迹，
设直线l的方程为：，有，解得，
此时直线l与圆心C的轨迹的距离为，即直线l与圆C相交，
所以直线l的方程为.
故答案为：
3．（2022·辽宁沈阳·高二期中）直线l过点，若点到直线的距离为3，则直线的方程为______.
【答案】或
【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时点到直线的距离为3，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以此时点到直线的距离为，解得，
所以直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为：或.
故答案为：或.
4．（2022·广东湛江·高三阶段练习）写出与直线垂直且和圆相切的一条直线的方程：__________．
【答案】或
【详解】圆的圆心，半径，设与直线垂直的直线方程为：，
依题意，，解得或，
所以所求的直线方程是或.
故答案为：或
突破四：距离问题
1．（2022·浙江·高二期中）点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【详解】由直线，整理可得，
令，解得，
点到直线距离的最大值为点到定点的距离，则，
故选：D.
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）函数的最小值是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】，
则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示：
根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点，
则，此时直线的直线方程为
令，则，故当时，.
故选：A.
3．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
记点、、，则，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为.
故选：C.
4．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将直线方程整理为：，
由得：，直线恒过点，
当时，点到直线的距离最大，最大值为.
故选：B.
5．（2022·山东青岛·高二期中）直线过点，和两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【详解】依题意，得
当直线斜率不存在时，直线为，此时到直线的距离为，到直线的距离为，不满足题意；
当直线斜率存在时，设直线为，即，
因为和两点到直线l的距离相等，
所以，即，解得或，
所以直线为或，即或.
故选：B.
6．（2022·辽宁省康平县高级中学高二期中）若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】圆M：的圆心，半径
显然一条直线过圆M的某条半径的中点并垂直于该半径时，圆M上恰有3点到该直线距离为圆M半径的一半，即，
因此圆M上至少有3个点到直线l：的距离为，等价于圆心M到直线l的距离，
则有，解得或，
所以k的取值范围是.
故选：C
7．（2022·河北·石家庄市第十八中学高二阶段练习）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值是（ ）
A．25 B． C．17 D．
【答案】B
【详解】设关于直线的对称点为，依据题意可得：
，解方程组得，又对称点在直线上，代入可得
，且在第一象限，则，则，当且仅当时，即时，等号成立.
故选：B
8．（2022·湖北·高二阶段练习）平面直角坐标系中有点，，直线经过点，且点到直线的距离是，则直线的方程是__________．
【答案】或
【详解】由直线经过点，且点，，
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足点到直线的距离是；
当直线斜率存在时，设直线方程为，转化为，
因为点到直线的距离是，所以，解得，
此时直线的方程为．
故答案为：或.
9．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）已知直线与平行，则，间的距离为___________.
【答案】
【详解】因为，所以且，解得，
所以，即，
所以，间的距离为.
故答案为：
10．（2022·黑龙江省饶河县高级中学高二阶段练习）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.
【答案】5
【详解】直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，
直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，，
当与直线，垂直时，直线，的距离最大，
且最大值为，
故答案为：5．
11．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高二阶段练习）实数满足：，则的最小值为________
【答案】##4.5
【详解】由题设可得，，
故，
设，，则，
即函数的图象的点与直线上的点的连线段的平方，
而，令，则，此时对应的函数值为1，
故函数的图象在处的切线为，
的最小值即为平行线，之间的距离，
此距离为，故的最小值为，
故答案为：
12．（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）若实数，，，满足，则的最小值为______.
【答案】2
【详解】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，对于函数，令，故可得，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为.
故答案为：2.
13．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知为直线上的动点，，则m的最小值为___________.
【答案】
【详解】由表示到和的距离之和，
又关于直线的对称点为，
∴到和的距离之和的最小值为与之间的距离，
∴.
故答案为：.
突破五：圆的方程
1．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）若直线截取圆所得弦长为2，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】因为圆的半径为1，直径为2，故直线过的圆心，
故，解得.
故选：C
2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】直线，即，
由解得，即，圆C：的圆心，，
所以所求圆的标准方程为.
故选：B
3．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为表示圆，
所以，解得，
得的取值范围是.
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，则的外接圆的方程是___________．
【答案】
【详解】解：设外接圆的方程为，
由题意得，解得，
所以的外接圆方程为.
故答案为：.
5．（2022·江西·高三阶段练习（文））设圆心在直线与直线上，点在上，则的方程为______．
【答案】
【详解】由题意解得，
设的方程为，将代入得，即，
所以的方程为，
故答案为：.
突破六：与圆上点有关的距离最值问题
1．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）已知圆C：上的点到直线l：的最大距离为M､最小距离为m，若，则实数k的值是（ ）
A． B．1 C．或1 D．或1
【答案】D
【详解】圆C：的圆心坐标为，半径为；
直线l：化为一般式是.
由点到直线的距离公式可知，圆心到直线l：的距离为，
易知当l与圆C相切时；
当l与圆相交时，，均不合题意，故直线l与圆C必相离，
此时圆C上的点到直线l的最大距离为，最小距离为.
因为，所以，得，即，解得或.
经检验直线l与圆C相离，符合题意.综上，或.
故选：D.
2．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆，直线恒过点，
点在圆内，当点是圆的弦中点时，弦长最短，
圆心和点的距离，
所以最短弦长.
故选：D
3．（2022·全国·模拟预测）已知点P是曲线上的动点，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由得，所以曲线C是以为圆心，的圆，因为点到直线的距离为，
所以点P到直线的距离的最大值为.
故选：B．
4．（2022·吉林吉林·高二期中）已知是圆上的一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】表示圆上的点到点的距离，
由可化为，则圆心为，半径为，
点到圆心的距离为，
所以点到点的距离的最小值为，
即的最小值是.
故答案为：.
5．（2022·安徽省泗县第一中学高二期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】直线，令，得，令，得，
，
点到直线的距离为的高，
又圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为：，
所以点到直线的距离的最大值为，最小值为，
则面积为，最大值为，
最小值为，所以面积的取值范围为，故A，B，C错误.
故选：D.
6．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为__________.
【答案】##
【详解】设，，点为线段的中点，有，得，
在圆上，满足圆的方程，则有，化简得点轨迹方程为，
点轨迹为以为圆心，1为半径的圆，如图所示，
，所以的最小值为.
故答案为：
7．（2022·北京市第五十七中学高三阶段练习）若点在半径为1，且圆心为坐标原点的圆上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】原点，而点，有，圆O与圆C半径分别为1，2，显然圆O与圆C外离，
因PQ切圆C于点Q，有，因此，
当且仅当最小时，取得最小值，而点P在圆上，于是得，
所以.
故答案为：
8．（2022·湖南·衡阳市一中高二期中）已知是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是__________．
【答案】
【详解】由，得，
，或．
当时，原方程化为，当时，原方程化为．
所以方程表示的曲线为圆P：的左半部分和圆Q：的右半部分．
画出方程所表示的曲线如图：
有，，，，，，，，
当、分别与图中、两点重合时，取最大值为6，
当、分别与图中、、、四点中的某两点重合时，取最小值为，
的最大值与最小值的比值是．
故答案为：
9．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）一束光线从点射出，经轴上一点反射后到达圆上一点，则的最小值为_____．
【答案】
【详解】解：由题知：圆的圆心坐标为，半径为，
如图，设关于轴对称的点为，
所以，
因为，当且仅当三点共线，
，当且仅当三点共线，
所以，，当且仅当，三点共线，三点共线时等号成立，
所以，的最小值为
故答案为：
10．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知O是坐标原点，A，B是圆O：上两点，且，若弦的中点为，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】设点，因此表示，
由，
因为，所以，因为是弦的中点，
所以，所以，
当点在线段上时，最小，
最小值为，
所以的最小值为，
故答案为：
突破七：圆的切线问题
1．（2022·江苏连云港·高二期末）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】的圆心为，
设切点为A，半径，如图所示，
由切线性质知，，
则切线长．
故选: C．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：圆即，圆心为，半径为，
由题意可知过圆的圆心，
则，解得，点的坐标为，
作示意图如图所示：
，切点为，则，
所以．
故选：B．
3．（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点引圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【详解】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，所求切线的方程为.
综上所述，所求切线方程为或.
故选：C.
4．（2022·四川省南充高级中学高二阶段练习（理））若圆C:上任意一点关于直线的对称点都在圆上，由点向圆作切线，则切线段长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】 圆，
化简为: ，
圆的圆心坐标: ， 半径为，
圆关于直线 对称，
在直线上，
可得 ，即，
点与圆心的距离为，
点向圆所作切线长为 当且仅当时切线长最小，最小值为4 .
故选：C.
5．（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，则切线的方程为_________．
【答案】或
【详解】由已知圆心，半径.
又，所以，点在圆外.
当直线斜率不存在时，直线的方程为.
此时，圆心到直线的距离，所以直线不是圆的切线；
当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
整理可得，.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
即，整理得，，
解得，或.
当时，直线方程为；
当时，直线方程为，化为一般式方程为.
所以切线的方程为或.
故答案为：或.
6．（2022·全国·高二课时练习）曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【详解】直线l过点A（2，4），又曲线的图象是以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，
如图，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，
即，解得.
当直线l过点B（－2，1）时，直线l的斜率为，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
故答案为：
突破八：两圆的公共弦问题
1．（2022·四川·成都七中高二期中（文））圆 与圆公共弦所在直线方程为___________．
【答案】
【详解】解法一：设、为公共弦上两点，
则，
得，
同理得，
∴ 两圆的公共弦方程为．
解法二：直接把两圆方程相减得为公共弦方程．
故答案为：．
2．（2022·四川成都·高二期中（文））圆与圆的公共弦长为______．
【答案】
【详解】圆与圆的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即，
圆的圆心为，半径为2，
圆心到的距离，
∴两圆公共弦长，
故答案为：.
3．（2022·天津·耀华中学高二期中）两圆和相交于两点，则公共弦的长为__________.
【答案】##
【详解】由，解得，或，
所以不妨取两圆的交点为，
所以.
故答案为：.
4．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为_____．（请用直线方程的一般式作答）
【答案】
【详解】由题设，圆心为、，则以为直径的圆为，
所以为和的公共弦，
故直线的方程，将两圆方程相减可得：.
故答案为：
突破九：圆的弦长问题
1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________.
【答案】25
【详解】，圆心
又根据弦长公式可得：
故答案为：25
2．（2022·四川省绵阳江油中学模拟预测（理））若直线过，且被圆截得的弦长为，则直线方程为______
【答案】或
【详解】由，得，
所以圆的标准方程为，即圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离为，
当斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意；
当斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为圆心到直线：的距离为，
所以，解得 ，
所以直线方程为 ．
即所求直线 的方程为或．
故答案为：或．
3．（2022·广东·模拟预测）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点两点，若，则______．
【答案】
【详解】设点，则直线的方程为，即，
因为，的半径为2，
故弦的弦心距为，即圆心到直线的距离为，
故，解得，即,
故,
故答案为：.
4．（2022·河南·高二阶段练习（文））过点作一条直线与圆分别交于M，N两点.若弦MN的长为，则直线MN的方程为______.
【答案】或（其他形式，只要正确亦可）
【详解】由题意可知，直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则直线MN的方程为，即.
若弦MN的长为，则圆心到直线MN的距离为，所以，解得.
故直线MN的方程为或，即或.
故答案为：或.
5．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知圆过平面内三点，，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点B也在圆上，且弦AB长为，求直线AB的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的方程为，
，解得
即，故圆的标准方程为．
（2）圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，方程为：，此时，不符合题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为：，
，解得
∴直线方程为或．
6．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.
(1)当点在圆上动时，求点的轨迹方程；
(2)过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1），所以在圆外.
设，由于的中点是，所以，
所以，
整理得，
所以点的轨迹方程为.
（2）点的轨迹方程为，所以是以为圆心，半径为的圆，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得或，满足.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由于，，，
所以圆心到直线的距离为，
即，解得，所以直线的方程为，
即.
综上所述，直线的方程为或.
7．（2022·北京市师达中学高二阶段练习）已知圆，直线.
(1)若直线与圆交于两点，，求的值.
(2)求证：无论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
(3)求直线被圆截得的最短弦长，以及此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)，
【详解】（1）依题意，圆心，
根据圆的弦长公式
解之：
（2）
由直线方程
解得定点，
又，在圆内，
无论取什么实数，直线与圆恒交于两点得证.
（3）由弦长公式
此时
此时
综上：
8．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.
(1)求直线的方程；
(2)若圆过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由已知，得解得两直线交点为，
设直线的斜率为，因为直线与垂直，所以，解得，
所以直线的方程为，即.
（2）设圆的标准方程为，
则由题意，得
解得或（舍去），
所以，所以圆的标准方程为：.
9．（2022·山东省济南市莱钢高级中学高二期中）已知圆和点．
(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；
(2)求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：，为圆O的切线；
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：，即，
∴圆心O到切线的距离为：，解得：
∴直线方程为：．
综上，切线的方程为：或
（2）点到直线的距离为：，
又∵圆被直线截得的弦长为8，由垂径定理得：，
∴
∴圆M的方程为：
10．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：因为圆的圆心在直线上，
所以设圆心为，
又因为圆与直线相切于点，
所以，
解得，
所以圆心为，半径为 ，
所以圆的方程；
（2）当直线的斜率不存在时：直线方程为，
圆心到直线的距离为，
所以弦长为，成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以弦长为，
解得，
所以直线方程为：，
所以直线的方程为 或.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·浙江省杭州第九中学高二期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：直线的斜率为，设直线的倾斜角为，且
所以，则.
故选：B.
2．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选:.
3．（2022·浙江大学附属中学高二期中）已知x，y满足，若不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为可化为，表示的是以为圆心，为半径的圆，
可以看作是直线在轴上的截距，
当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，
此时，解得或，所以，
又因为不等式恒成立，所以，
则c的取值范围是.
故选：B.
4．（2022·浙江大学附属中学高二期中）若直线与互相垂直，则实数（ ）
A． B． C．或0 D．或0
【答案】D
【详解】解：若直线与互相垂直，
则，即，解得或.
故选：D.
5．（2022·河北·任丘市第一中学高二阶段练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由圆，圆，
两式相减，得圆与圆的公共弦所在直线方程为：，
联立，解得，即，，
又在直线上，
，即．
有，得．当且仅当时取等，
的取值范围是.
故选：C．
6．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知点在圆上，，则切线的斜率为，
所以切线方程为，化简可得.
故选：B
7．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知动点M，N分别在抛物线：和圆：上，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【详解】设，则，即，
由题意可得：，
∵，
令，则在R上单调递增，且，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，则，
即，，则.
故选：A.
8．（2022·湖南长沙·高二阶段练习）已知直线：和圆：交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】圆的标准方程为，
圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长，
在中，由余弦定理可得：
.
故选：C
9．（2022·四川·威远中学校高二期中（文））一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【详解】点关于x轴的对称点为，所以反射光线经过，
当反射光线所在直线与轴垂直时，即，
圆到直线的距离为，
因为，所以直线与圆相离，故反射光线所在直线的斜率存在，设为，
则反射光线所在直线的方程为，即，
因为反射光线与圆相切，所以，解得或，
所以反射光线所在直线的方程为，或，
整理得或.
故选：A.
10．（2022·四川省遂宁高级实验学校高二期中（理））已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线、切点分别为、，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为2，
所以，
而，所以两圆相离，
，要使取得最小值，
需要和越小，且越大才能取到，
设直线CM和圆交于H，G两点（如下图），
则的最小值是，
，，
则，
所以，
故选：C.
11．（2022·江苏·南京市天印高级中学高二阶段练习）若圆与圆关于直线对称，圆上任意一点均满足，其中，为坐标原点，则圆和圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【详解】圆的圆心为，半径为，
设圆心关于直线的对称点为，
则有，解得，所以.
又圆的半径，则圆的半径，
所以圆的方程为.
设，则，.
又，则，
整理可得，，
圆的方程为，圆心，.
则圆和圆圆心距，
又，则
所以，圆和圆外切，所以两圆的公切线有3条.
故选：C.
二、多选题
12．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内 B．圆M关于对称
C．直线与截圆M的弦长为 D．直线与圆M相切
【答案】BCD
【详解】已知圆，则其标准方程为，
，圆心，
将点到圆心的距离，
所以，点在圆外，A选项错误；
将圆心代入直线，得，成立
所以直线过圆心，则圆关于直线对称，B选项正确；
因为圆心直线的距离,
可得弦长为 ,C选项正确；
因为圆心直线的距离，
所以直线与圆相切，D选项正确；
故选：
13．（2022·浙江大学附属中学高二期中）设动直线交圆于A，B两点（C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点 B．当取得最大值时，
C．当最小时，其余弦值 D．的取值范围是
【答案】AD
【详解】对于A，由，得，
由，得，
所以直线过定点，故A正确；
对于B，由可知，圆心，半径，
当直线经过圆心时，取得最大值，
所以，解得，故B不正确；
对于C，显然点在圆内，设圆心到直线的距离为，则，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
因为在单调递减，在内，所以当最小时，
最大，最小，
因为的最小值为，所以此时，故C不正确；
对于D，因为，
由B知，，所以，即的取值范围是，故D正确.
故选：AD
14．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）已知圆（为圆心），直线，点在直线上运动，直线分别与圆切于点．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点为
【答案】AB
【详解】由圆的方程知：圆心，半径；
对于AB，，
若取得最小值，则取得最小值，
，
当，即为圆心到直线的距离时，最小，即最小，
，，，
此时，解得：，AB正确；
对于CD，设，，
当在点处的切线斜率存在时，其斜率为，则切线方程为：，
即，
，又，
在点处的切线方程为：；
当在点处的切线斜率不存在时，即时，，则切线方程为：，满足；
综上所述：在点处的切线方程为；
同理可得：在点处的切线方程为；
又为两条切线的交点，设，
则满足，
坐标满足方程，
当过作圆两条切线，切点分别为时，直线方程为：，
当最小时，直线方程为：，即，
由得：，即；
此时直线方程为：，即，且此时直线不过点，C错误，D错误.
故选：AB.
三、填空题
15．（2022·吉林·长春博硕学校高二期中）在平面直角坐标系中，若直线与曲线，有两个公共点，b的取值范围是______.
【答案】
【详解】解：由得，
作出图像如下：
当直线与相切时，
，
解得，（舍去）．
满足题意的直线夹在和之间（图中虚线所示），
．
故答案为：．
16．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二期中）在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为、.则的最小值为__________.
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
设点，则，
所以，的几何意义是点到点的距离，
，
所以，的几何意义是点到点的距离，如下图所示：
，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）已知为双曲线的右焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的直线与双曲线相交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）是双曲线的一条渐近线方程，
则，故，
又因为，所以，即，
所以双曲线的方程为.
（2）由题可设直线的方程为，设，，
若，则线段的垂直平分线即为轴，不满足题意，所以；
当时，此时直线斜率为，即直线与双曲线的渐近线平行时，此时直线与双曲线只有一个交点，所以，则.
联立直线与双曲线的方程，可得，
恒成立，
根据韦达定理可得，
设线段的中点为，则，
，又，
所以线段的垂直平分线的方程为.
令，则，即，
所以，即，
即，整理得，所以或（舍去），
所以，即直线的方程为或.
18．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）已知抛物线，点在直线上，直线绕点旋转，与交于，两点.当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当点为弦的中点时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）把代入，则，
∴即，
∴抛物线的方程为：.
（2）设，，则…①，…②
②-①得：，，
∴，
则直线的方程为：，即
19．（2022·河北·任丘市第一中学高二期中）已知圆经过点，，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．
①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线的交点C．
(1)求圆的方程；
(2)求过点的圆的切线方程．
【答案】(1)任选一条件，方程都为
(2)或
【详解】（1）解：选①，设圆的方程为，
由题意可得，解得，则圆的方程为；
选②，直线恒过，
而圆恒被直线平分，
所以恒过圆心，因为直线过定点，
所以圆心为，可设圆的标准方程为，
由圆经过点，得，
则圆的方程为．
选③，由条件易知，
设圆的方程为，
由题意可得，解得，
则圆的方程为，即．
综上所述，圆的方程为；
（2）解：因为，所以点P在圆外，
若直线斜率存在，设切线的斜率为，
则切线方程为，即
所以，解得．
所以切线方程为，
若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意．
综上过点的圆的切线方程为或．
20．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）已知圆，直线，，且直线和均平分圆.
(1)求圆的标准方程
(2)直线与圆相交于，两点，且，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为直线和均平分圆，所以直线和均过圆心，
因为，解得，所以直线和的交点坐标为，
所以圆心的坐标为，
因为圆，所以圆心坐标为，
所以，解得，
所以圆的方程为，即，
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）得圆的标准方程为，圆心，半径，
因为，且为等腰三角形，所以，
因为，
所以圆心到直线的距离，
根据点到直线的距离公式，
即，解得或，
所以实数的值为或.
第1讲 直线与圆综合问题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
突破二：两条直线平行与垂直
突破三：直线方程
突破四：距离问题
突破五：圆的方程
突破六：与圆上点有关的距离最值问题
突破七：圆的切线问题
突破八：两圆的公共弦问题
突破九：圆的弦长问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
2、两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或，斜率都不存在.
3、两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
4、直线方程
①直线过点和斜率（已知一点+斜率）：
②直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）：
③直线在轴上的截距为，在轴上的截距为：
④直线的一般式方程：
5、直线系方程
（1）平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
（2）垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
6、点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
7、对称问题
（1）点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
（2）点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：
（3）直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
（4）直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
8、圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
9、圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
10、圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
11、直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
（1）几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
（2）代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
12、圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
13、圆与圆的公共弦
（1）圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
（2）公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
（3）公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
1．（2022·湖南·怀化市湖天中学高二阶段练习）已知、，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设直线交线段于点，记点，如下图所示：
当直线从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐减小，且为钝角，
此时直线的斜率；
当直线从点运动到点（不包括点）时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，
此时直线的斜率.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：C.
2．（2022·辽宁·大连市第二十三中学高二期中）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】
直线恒过定点，且，，由图可知，或.
故选：C.
3．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选：A.
4．（2022·四川省泸县第四中学高二期中（文））已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】由题意，将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点，
直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与轴的交点），
画出图形如下图所示．
当直线，即直线与圆相切时，
则有，解得，．
结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有，
∴实数的取值范围是．
故答案为：．
突破二：两条直线平行与垂直
1．（2022·江苏南通·高二期中）是直线与直线平行的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【详解】若直线与直线平行，则有解得或，故当直线与直线平行时，或.
所以是直线与直线平行的充分不必要条件.
故选：A
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）若直线：与：平行，则实数（ ）
A．2 B．－2 C． D．
【答案】C
【详解】因为，：的斜率存在且，
所以：的斜率存在且，即.
故选：C
3．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知，，直线与直线垂直，则的最小值是___________.
【答案】
【详解】的法向量的法向量
两直线垂直得，即
当且仅当时取等号.
故答案为：.
4．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知直线：，：，若，则实数_________．
【答案】－3或0
【详解】当时，直线：，：，此时显然，符合题意；
当时，整理可得直线：，：，
由，则，解得.
故答案为：－3或0
突破三：直线方程
1．（2022·北京四中高二期中）与直线平行，且与圆相切的直线方程为______.
【答案】或
【详解】由圆的方程知：圆心为，半径；
设所求直线方程为：，
则圆心到直线距离，解得：或，
所求直线方程为：或.
故答案为：或.
2．（2022·福建·晋江市季延中学高二期中）直线被圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为_________________________．
【答案】
【详解】圆的圆心，半径，显然点C的轨迹是直线，
直线，由解得，即直线l过定点，
因直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值，因此直线l平行于圆心C的轨迹，
设直线l的方程为：，有，解得，
此时直线l与圆心C的轨迹的距离为，即直线l与圆C相交，
所以直线l的方程为.
故答案为：
3．（2022·辽宁沈阳·高二期中）直线l过点，若点到直线的距离为3，则直线的方程为______.
【答案】或
【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时点到直线的距离为3，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以此时点到直线的距离为，解得，
所以直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为：或.
故答案为：或.
4．（2022·广东湛江·高三阶段练习）写出与直线垂直且和圆相切的一条直线的方程：__________．
【答案】或
【详解】圆的圆心，半径，设与直线垂直的直线方程为：，
依题意，，解得或，
所以所求的直线方程是或.
故答案为：或
突破四：距离问题
1．（2022·浙江·高二期中）点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【详解】由直线，整理可得，
令，解得，
点到直线距离的最大值为点到定点的距离，则，
故选：D.
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）函数的最小值是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】，
则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示：
根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点，
则，此时直线的直线方程为
令，则，故当时，.
故选：A.
3．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
记点、、，则，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为.
故选：C.
4．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将直线方程整理为：，
由得：，直线恒过点，
当时，点到直线的距离最大，最大值为.
故选：B.
5．（2022·山东青岛·高二期中）直线过点，和两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【详解】依题意，得
当直线斜率不存在时，直线为，此时到直线的距离为，到直线的距离为，不满足题意；
当直线斜率存在时，设直线为，即，
因为和两点到直线l的距离相等，
所以，即，解得或，
所以直线为或，即或.
故选：B.
6．（2022·辽宁省康平县高级中学高二期中）若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】圆M：的圆心，半径
显然一条直线过圆M的某条半径的中点并垂直于该半径时，圆M上恰有3点到该直线距离为圆M半径的一半，即，
因此圆M上至少有3个点到直线l：的距离为，等价于圆心M到直线l的距离，
则有，解得或，
所以k的取值范围是.
故选：C
7．（2022·河北·石家庄市第十八中学高二阶段练习）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值是（ ）
A．25 B． C．17 D．
【答案】B
【详解】设关于直线的对称点为，依据题意可得：
，解方程组得，又对称点在直线上，代入可得
，且在第一象限，则，则，当且仅当时，即时，等号成立.
故选：B
8．（2022·湖北·高二阶段练习）平面直角坐标系中有点，，直线经过点，且点到直线的距离是，则直线的方程是__________．
【答案】或
【详解】由直线经过点，且点，，
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足点到直线的距离是；
当直线斜率存在时，设直线方程为，转化为，
因为点到直线的距离是，所以，解得，
此时直线的方程为．
故答案为：或.
9．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）已知直线与平行，则，间的距离为___________.
【答案】
【详解】因为，所以且，解得，
所以，即，
所以，间的距离为.
故答案为：
10．（2022·黑龙江省饶河县高级中学高二阶段练习）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.
【答案】5
【详解】直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，
直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，，
当与直线，垂直时，直线，的距离最大，
且最大值为，
故答案为：5．
11．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高二阶段练习）实数满足：，则的最小值为________
【答案】##4.5
【详解】由题设可得，，
故，
设，，则，
即函数的图象的点与直线上的点的连线段的平方，
而，令，则，此时对应的函数值为1，
故函数的图象在处的切线为，
的最小值即为平行线，之间的距离，
此距离为，故的最小值为，
故答案为：
12．（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）若实数，，，满足，则的最小值为______.
【答案】2
【详解】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，对于函数，令，故可得，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为.
故答案为：2.
13．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知为直线上的动点，，则m的最小值为___________.
【答案】
【详解】由表示到和的距离之和，
又关于直线的对称点为，
∴到和的距离之和的最小值为与之间的距离，
∴.
故答案为：.
突破五：圆的方程
1．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）若直线截取圆所得弦长为2，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】因为圆的半径为1，直径为2，故直线过的圆心，
故，解得.
故选：C
2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】直线，即，
由解得，即，圆C：的圆心，，
所以所求圆的标准方程为.
故选：B
3．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为表示圆，
所以，解得，
得的取值范围是.
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，则的外接圆的方程是___________．
【答案】
【详解】解：设外接圆的方程为，
由题意得，解得，
所以的外接圆方程为.
故答案为：.
5．（2022·江西·高三阶段练习（文））设圆心在直线与直线上，点在上，则的方程为______．
【答案】
【详解】由题意解得，
设的方程为，将代入得，即，
所以的方程为，
故答案为：.
突破六：与圆上点有关的距离最值问题
1．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）已知圆C：上的点到直线l：的最大距离为M､最小距离为m，若，则实数k的值是（ ）
A． B．1 C．或1 D．或1
【答案】D
【详解】圆C：的圆心坐标为，半径为；
直线l：化为一般式是.
由点到直线的距离公式可知，圆心到直线l：的距离为，
易知当l与圆C相切时；
当l与圆相交时，，均不合题意，故直线l与圆C必相离，
此时圆C上的点到直线l的最大距离为，最小距离为.
因为，所以，得，即，解得或.
经检验直线l与圆C相离，符合题意.综上，或.
故选：D.
2．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆，直线恒过点，
点在圆内，当点是圆的弦中点时，弦长最短，
圆心和点的距离，
所以最短弦长.
故选：D
3．（2022·全国·模拟预测）已知点P是曲线上的动点，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由得，所以曲线C是以为圆心，的圆，因为点到直线的距离为，
所以点P到直线的距离的最大值为.
故选：B．
4．（2022·吉林吉林·高二期中）已知是圆上的一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】表示圆上的点到点的距离，
由可化为，则圆心为，半径为，
点到圆心的距离为，
所以点到点的距离的最小值为，
即的最小值是.
故答案为：.
5．（2022·安徽省泗县第一中学高二期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】直线，令，得，令，得，
，
点到直线的距离为的高，
又圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为：，
所以点到直线的距离的最大值为，最小值为，
则面积为，最大值为，
最小值为，所以面积的取值范围为，故A，B，C错误.
故选：D.
6．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为__________.
【答案】##
【详解】设，，点为线段的中点，有，得，
在圆上，满足圆的方程，则有，化简得点轨迹方程为，
点轨迹为以为圆心，1为半径的圆，如图所示，
，所以的最小值为.
故答案为：
7．（2022·北京市第五十七中学高三阶段练习）若点在半径为1，且圆心为坐标原点的圆上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】原点，而点，有，圆O与圆C半径分别为1，2，显然圆O与圆C外离，
因PQ切圆C于点Q，有，因此，
当且仅当最小时，取得最小值，而点P在圆上，于是得，
所以.
故答案为：
8．（2022·湖南·衡阳市一中高二期中）已知是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是__________．
【答案】
【详解】由，得，
，或．
当时，原方程化为，当时，原方程化为．
所以方程表示的曲线为圆P：的左半部分和圆Q：的右半部分．
画出方程所表示的曲线如图：
有，，，，，，，，
当、分别与图中、两点重合时，取最大值为6，
当、分别与图中、、、四点中的某两点重合时，取最小值为，
的最大值与最小值的比值是．
故答案为：
9．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）一束光线从点射出，经轴上一点反射后到达圆上一点，则的最小值为_____．
【答案】
【详解】解：由题知：圆的圆心坐标为，半径为，
如图，设关于轴对称的点为，
所以，
因为，当且仅当三点共线，
，当且仅当三点共线，
所以，，当且仅当，三点共线，三点共线时等号成立，
所以，的最小值为
故答案为：
10．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知O是坐标原点，A，B是圆O：上两点，且，若弦的中点为，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】设点，因此表示，
由，
因为，所以，因为是弦的中点，
所以，所以，
当点在线段上时，最小，
最小值为，
所以的最小值为，
故答案为：
突破七：圆的切线问题
1．（2022·江苏连云港·高二期末）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】的圆心为，
设切点为A，半径，如图所示，
由切线性质知，，
则切线长．
故选: C．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：圆即，圆心为，半径为，
由题意可知过圆的圆心，
则，解得，点的坐标为，
作示意图如图所示：
，切点为，则，
所以．
故选：B．
3．（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点引圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【详解】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，所求切线的方程为.
综上所述，所求切线方程为或.
故选：C.
4．（2022·四川省南充高级中学高二阶段练习（理））若圆C:上任意一点关于直线的对称点都在圆上，由点向圆作切线，则切线段长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】 圆，
化简为: ，
圆的圆心坐标: ， 半径为，
圆关于直线 对称，
在直线上，
可得 ，即，
点与圆心的距离为，
点向圆所作切线长为 当且仅当时切线长最小，最小值为4 .
故选：C.
5．（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，则切线的方程为_________．
【答案】或
【详解】由已知圆心，半径.
又，所以，点在圆外.
当直线斜率不存在时，直线的方程为.
此时，圆心到直线的距离，所以直线不是圆的切线；
当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
整理可得，.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
即，整理得，，
解得，或.
当时，直线方程为；
当时，直线方程为，化为一般式方程为.
所以切线的方程为或.
故答案为：或.
6．（2022·全国·高二课时练习）曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【详解】直线l过点A（2，4），又曲线的图象是以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，
如图，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，
即，解得.
当直线l过点B（－2，1）时，直线l的斜率为，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
故答案为：
突破八：两圆的公共弦问题
1．（2022·四川·成都七中高二期中（文））圆 与圆公共弦所在直线方程为___________．
【答案】
【详解】解法一：设、为公共弦上两点，
则，
得，
同理得，
∴ 两圆的公共弦方程为．
解法二：直接把两圆方程相减得为公共弦方程．
故答案为：．
2．（2022·四川成都·高二期中（文））圆与圆的公共弦长为______．
【答案】
【详解】圆与圆的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即，
圆的圆心为，半径为2，
圆心到的距离，
∴两圆公共弦长，
故答案为：.
3．（2022·天津·耀华中学高二期中）两圆和相交于两点，则公共弦的长为__________.
【答案】##
【详解】由，解得，或，
所以不妨取两圆的交点为，
所以.
故答案为：.
4．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为_____．（请用直线方程的一般式作答）
【答案】
【详解】由题设，圆心为、，则以为直径的圆为，
所以为和的公共弦，
故直线的方程，将两圆方程相减可得：.
故答案为：
突破九：圆的弦长问题
1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________.
【答案】25
【详解】，圆心
又根据弦长公式可得：
故答案为：25
2．（2022·四川省绵阳江油中学模拟预测（理））若直线过，且被圆截得的弦长为，则直线方程为______
【答案】或
【详解】由，得，
所以圆的标准方程为，即圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离为，
当斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意；
当斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为圆心到直线：的距离为，
所以，解得 ，
所以直线方程为 ．
即所求直线 的方程为或．
故答案为：或．
3．（2022·广东·模拟预测）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点两点，若，则______．
【答案】
【详解】设点，则直线的方程为，即，
因为，的半径为2，
故弦的弦心距为，即圆心到直线的距离为，
故，解得，即,
故,
故答案为：.
4．（2022·河南·高二阶段练习（文））过点作一条直线与圆分别交于M，N两点.若弦MN的长为，则直线MN的方程为______.
【答案】或（其他形式，只要正确亦可）
【详解】由题意可知，直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则直线MN的方程为，即.
若弦MN的长为，则圆心到直线MN的距离为，所以，解得.
故直线MN的方程为或，即或.
故答案为：或.
5．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知圆过平面内三点，，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点B也在圆上，且弦AB长为，求直线AB的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的方程为，
，解得
即，故圆的标准方程为．
（2）圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，方程为：，此时，不符合题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为：，
，解得
∴直线方程为或．
6．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.
(1)当点在圆上动时，求点的轨迹方程；
(2)过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1），所以在圆外.
设，由于的中点是，所以，
所以，
整理得，
所以点的轨迹方程为.
（2）点的轨迹方程为，所以是以为圆心，半径为的圆，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得或，满足.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由于，，，
所以圆心到直线的距离为，
即，解得，所以直线的方程为，
即.
综上所述，直线的方程为或.
7．（2022·北京市师达中学高二阶段练习）已知圆，直线.
(1)若直线与圆交于两点，，求的值.
(2)求证：无论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
(3)求直线被圆截得的最短弦长，以及此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)，
【详解】（1）依题意，圆心，
根据圆的弦长公式
解之：
（2）
由直线方程
解得定点，
又，在圆内，
无论取什么实数，直线与圆恒交于两点得证.
（3）由弦长公式
此时
此时
综上：
8．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.
(1)求直线的方程；
(2)若圆过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由已知，得解得两直线交点为，
设直线的斜率为，因为直线与垂直，所以，解得，
所以直线的方程为，即.
（2）设圆的标准方程为，
则由题意，得
解得或（舍去），
所以，所以圆的标准方程为：.
9．（2022·山东省济南市莱钢高级中学高二期中）已知圆和点．
(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；
(2)求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：，为圆O的切线；
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：，即，
∴圆心O到切线的距离为：，解得：
∴直线方程为：．
综上，切线的方程为：或
（2）点到直线的距离为：，
又∵圆被直线截得的弦长为8，由垂径定理得：，
∴
∴圆M的方程为：
10．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：因为圆的圆心在直线上，
所以设圆心为，
又因为圆与直线相切于点，
所以，
解得，
所以圆心为，半径为 ，
所以圆的方程；
（2）当直线的斜率不存在时：直线方程为，
圆心到直线的距离为，
所以弦长为，成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以弦长为，
解得，
所以直线方程为：，
所以直线的方程为 或.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·浙江省杭州第九中学高二期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：直线的斜率为，设直线的倾斜角为，且
所以，则.
故选：B.
2．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选:.
3．（2022·浙江大学附属中学高二期中）已知x，y满足，若不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为可化为，表示的是以为圆心，为半径的圆，
可以看作是直线在轴上的截距，
当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，
此时，解得或，所以，
又因为不等式恒成立，所以，
则c的取值范围是.
故选：B.
4．（2022·浙江大学附属中学高二期中）若直线与互相垂直，则实数（ ）
A． B． C．或0 D．或0
【答案】D
【详解】解：若直线与互相垂直，
则，即，解得或.
故选：D.
5．（2022·河北·任丘市第一中学高二阶段练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由圆，圆，
两式相减，得圆与圆的公共弦所在直线方程为：，
联立，解得，即，，
又在直线上，
，即．
有，得．当且仅当时取等，
的取值范围是.
故选：C．
6．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知点在圆上，，则切线的斜率为，
所以切线方程为，化简可得.
故选：B
7．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知动点M，N分别在抛物线：和圆：上，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【详解】设，则，即，
由题意可得：，
∵，
令，则在R上单调递增，且，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，则，
即，，则.
故选：A.
8．（2022·湖南长沙·高二阶段练习）已知直线：和圆：交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】圆的标准方程为，
圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长，
在中，由余弦定理可得：
.
故选：C
9．（2022·四川·威远中学校高二期中（文））一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【详解】点关于x轴的对称点为，所以反射光线经过，
当反射光线所在直线与轴垂直时，即，
圆到直线的距离为，
因为，所以直线与圆相离，故反射光线所在直线的斜率存在，设为，
则反射光线所在直线的方程为，即，
因为反射光线与圆相切，所以，解得或，
所以反射光线所在直线的方程为，或，
整理得或.
故选：A.
10．（2022·四川省遂宁高级实验学校高二期中（理））已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线、切点分别为、，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为2，
所以，
而，所以两圆相离，
，要使取得最小值，
需要和越小，且越大才能取到，
设直线CM和圆交于H，G两点（如下图），
则的最小值是，
，，
则，
所以，
故选：C.
11．（2022·江苏·南京市天印高级中学高二阶段练习）若圆与圆关于直线对称，圆上任意一点均满足，其中，为坐标原点，则圆和圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【详解】圆的圆心为，半径为，
设圆心关于直线的对称点为，
则有，解得，所以.
又圆的半径，则圆的半径，
所以圆的方程为.
设，则，.
又，则，
整理可得，，
圆的方程为，圆心，.
则圆和圆圆心距，
又，则
所以，圆和圆外切，所以两圆的公切线有3条.
故选：C.
二、多选题
12．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内 B．圆M关于对称
C．直线与截圆M的弦长为 D．直线与圆M相切
【答案】BCD
【详解】已知圆，则其标准方程为，
，圆心，
将点到圆心的距离，
所以，点在圆外，A选项错误；
将圆心代入直线，得，成立
所以直线过圆心，则圆关于直线对称，B选项正确；
因为圆心直线的距离,
可得弦长为 ,C选项正确；
因为圆心直线的距离，
所以直线与圆相切，D选项正确；
故选：
13．（2022·浙江大学附属中学高二期中）设动直线交圆于A，B两点（C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点 B．当取得最大值时，
C．当最小时，其余弦值 D．的取值范围是
【答案】AD
【详解】对于A，由，得，
由，得，
所以直线过定点，故A正确；
对于B，由可知，圆心，半径，
当直线经过圆心时，取得最大值，
所以，解得，故B不正确；
对于C，显然点在圆内，设圆心到直线的距离为，则，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
因为在单调递减，在内，所以当最小时，
最大，最小，
因为的最小值为，所以此时，故C不正确；
对于D，因为，
由B知，，所以，即的取值范围是，故D正确.
故选：AD
14．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）已知圆（为圆心），直线，点在直线上运动，直线分别与圆切于点．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点为
【答案】AB
【详解】由圆的方程知：圆心，半径；
对于AB，，
若取得最小值，则取得最小值，
，
当，即为圆心到直线的距离时，最小，即最小，
，，，
此时，解得：，AB正确；
对于CD，设，，
当在点处的切线斜率存在时，其斜率为，则切线方程为：，
即，
，又，
在点处的切线方程为：；
当在点处的切线斜率不存在时，即时，，则切线方程为：，满足；
综上所述：在点处的切线方程为；
同理可得：在点处的切线方程为；
又为两条切线的交点，设，
则满足，
坐标满足方程，
当过作圆两条切线，切点分别为时，直线方程为：，
当最小时，直线方程为：，即，
由得：，即；
此时直线方程为：，即，且此时直线不过点，C错误，D错误.
故选：AB.
三、填空题
15．（2022·吉林·长春博硕学校高二期中）在平面直角坐标系中，若直线与曲线，有两个公共点，b的取值范围是______.
【答案】
【详解】解：由得，
作出图像如下：
当直线与相切时，
，
解得，（舍去）．
满足题意的直线夹在和之间（图中虚线所示），
．
故答案为：．
16．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二期中）在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为、.则的最小值为__________.
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
设点，则，
所以，的几何意义是点到点的距离，
，
所以，的几何意义是点到点的距离，如下图所示：
，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）已知为双曲线的右焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的直线与双曲线相交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）是双曲线的一条渐近线方程，
则，故，
又因为，所以，即，
所以双曲线的方程为.
（2）由题可设直线的方程为，设，，
若，则线段的垂直平分线即为轴，不满足题意，所以；
当时，此时直线斜率为，即直线与双曲线的渐近线平行时，此时直线与双曲线只有一个交点，所以，则.
联立直线与双曲线的方程，可得，
恒成立，
根据韦达定理可得，
设线段的中点为，则，
，又，
所以线段的垂直平分线的方程为.
令，则，即，
所以，即，
即，整理得，所以或（舍去），
所以，即直线的方程为或.
18．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）已知抛物线，点在直线上，直线绕点旋转，与交于，两点.当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当点为弦的中点时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）把代入，则，
∴即，
∴抛物线的方程为：.
（2）设，，则…①，…②
②-①得：，，
∴，
则直线的方程为：，即
19．（2022·河北·任丘市第一中学高二期中）已知圆经过点，，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．
①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线的交点C．
(1)求圆的方程；
(2)求过点的圆的切线方程．
【答案】(1)任选一条件，方程都为
(2)或
【详解】（1）解：选①，设圆的方程为，
由题意可得，解得，则圆的方程为；
选②，直线恒过，
而圆恒被直线平分，
所以恒过圆心，因为直线过定点，
所以圆心为，可设圆的标准方程为，
由圆经过点，得，
则圆的方程为．
选③，由条件易知，
设圆的方程为，
由题意可得，解得，
则圆的方程为，即．
综上所述，圆的方程为；
（2）解：因为，所以点P在圆外，
若直线斜率存在，设切线的斜率为，
则切线方程为，即
所以，解得．
所以切线方程为，
若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意．
综上过点的圆的切线方程为或．
20．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）已知圆，直线，，且直线和均平分圆.
(1)求圆的标准方程
(2)直线与圆相交于，两点，且，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为直线和均平分圆，所以直线和均过圆心，
因为，解得，所以直线和的交点坐标为，
所以圆心的坐标为，
因为圆，所以圆心坐标为，
所以，解得，
所以圆的方程为，即，
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）得圆的标准方程为，圆心，半径，
因为，且为等腰三角形，所以，
因为，
所以圆心到直线的距离，
根据点到直线的距离公式，
即，解得或，
所以实数的值为或.
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