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广东省广州市南沙区2022-2023学年九年级下学期开学考数学试题（文字版含答案解析）
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这是一份广东省广州市南沙区2022-2023学年九年级下学期开学考数学试题（文字版含答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省广州市南沙区2022-2023学年九年级下学期开学考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）方程（x﹣2）2＝9的解是（ ）
A．x1＝5，x2＝﹣1 B．x1＝5，x2＝1
C．x1＝11，x2＝﹣7 D．x1＝﹣11，x2＝7
2．（3分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的图案（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
4．（3分）平面内，⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
5．（3分）下列事件中，随机事件是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c
C．对于实数a，a2＜0
D．两直线平行，同位角相等
6．（3分）反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
7．（3分）若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个解，则4a2﹣2a的值是（ ）
A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣10
8．（3分）往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是70cm，水面宽AB＝56cm，则水的最大深度是（ ）
A．7cm B．14cm C．21cm D．28cm
9．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上有三个点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3），那么y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＝y3＜y2 C．y1＝y2＜y3 D．y2＞y1＞y3
10．（3分）已知关于x的一元二次方程没有实数根，且a满足，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．
C． D．且a≠2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的对称轴为 ．
12．（3分）一元二次方程x（x﹣3）＝0的解是 ．
13．（3分）小明爸爸在北京冬奥会期间购买了3个“冰墩墩”和2个“雪容融”，包装成外观一样的礼物，让小明从中随机抽一份，小明抽到“冰墩墩”的概率是 ．
14．（3分）已知点和点B（x﹣3，2）都是反比例函数图象上的点，则k的值是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是 ．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，，BC＝8，则⊙O的半径的长是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（4分）解方程：x2+6x﹣7＝0．
18．（4分）如图，若四边形ABCD是半径为2的圆内接正方形．求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
19．（6分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若当x＝m，y＝ax2+2x+c取得最大值时，求m的值．
20．（6分）如图，当电压U一定时，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数关系式为．
（1）求这个电阻两端的电压；
（2）如果电流不超过12A，求电阻应控制的范围．
21．（8分）甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为﹣2，4，﹣6，乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，3，5．
（1）小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是 ．
（2）小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点A（x，y）的所有情况，并求点A在第二象限的概率．
22．（10分）如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为25m．
（1）如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边BC长为am，求鸡棚与墙垂直的一边AB的长；（用含a的式子表示）
（2）设鸡棚与墙垂直的一边AB的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于250m2，若可以，求出此时AB的长，若不行，请说明理由．
23．（10分）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）尺规作图：将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，使点B落在CD边上；
（2）若AB＝5，BC＝3，连接BB′，求BB′的长；
（3）若∠DAD′＝a，求∠CB′B的度数（用含a的表示）．
24．（12分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为4，点D在劣弧AC上运动（不与A、C重合），连结DA、DB、DC．
（1）若∠CAD＝15°，求∠BCD的大小．
（2）求证：AD+DC＝BD．
（3）试探索：四边形ABCD的面积S与BD的长x之间的函数关系，并求出函数解析式．
25．（12分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0．
（1）求证：一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0一定有两个不相等的实数根．
（2）若抛物线y＝x2+（k+4）x+k﹣1的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝ax﹣3图象过A，C两点，点P（m，n）在抛物线上．
①若m＜0，且S△ABP＝S△ABC，求点P的坐标．
②点P（m，n）在直线AC下方，求四边形ABCP的面积的最大值．
2022-2023学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．【答案】A
【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5或x2＝﹣1，
故选：A．
2．【答案】D
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【解答】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意；
故选：D．
3．【答案】C
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；
故选：C．
4．【答案】B
【分析】先利用点与圆的位置关系判断点P在⊙O上，然后根据切线的定义可对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，
∴点P在⊙O上，
∴过点P可作⊙O的一条切线．
故选：B．
5．【答案】A
【分析】根据随机事件、实数的意义、等式的性质及平行线的性质可进行求解．
【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，属于随机事件，故符合题意；
B、如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c，属于必然事件，不符合题意；
C、对于实数a，a2＜0，属于不可能事件，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，属于必然事件，不符合题意．
故选：A．
6．【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣3＜0，再解不等式即可．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
解得m＜3，
故选：A．
7．【答案】A
【分析】根据a是方程2x2﹣x﹣5＝0的解可得到2a2﹣a的值，进而得到4a2﹣2a的值．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个解，
∴2a2﹣a﹣5＝0，
∴2a2﹣a＝5，
∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×5＝10，
故选：A．
8．【答案】B
【分析】连接OA，过点O作OC⊥AB，交AB于点D，由题意易得OA＝OC＝35cm，AD＝28cm，然后根据勾股定理可求OD，进而问题可求解．
【解答】解：连接OA，过点O作OC⊥AB，交AB于点D，交圆O于C，如图所示：
∴OA＝OC＝35cm，，
∴，
∴DC＝OC﹣OD＝14cm，
∴水的最大深度为14cm；
故选：B．
9．【答案】D
【分析】先根据抛物线的解析式得到抛物线的对称轴及开口方向，再根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：根据题意得：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的对称轴为直线x＝1，
∵﹣2＜0，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，
∵4﹣1＞﹣1﹣1＞0﹣1，
∴y2＞y1＞y3．
故选：D．
10．【答案】C
【分析】由所给方程是一元二次方程可知a﹣2≠0，由方程没有实数根可知Δ＜0，再解不等组，找出交集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，a﹣2≠0，
∴，a≠2，
∵a满足，
由2a﹣5＜1得a＜3，
由1﹣a≤3得a≥﹣2，
∴﹣2≤a＜3，
∴．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的性质即可得．
【解答】解：由y＝2（x﹣3）2﹣4知该抛物线的对称轴为x＝3，
故答案为：x＝3．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】利用因式分解法求解．
【解答】解：x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故答案为x1＝0，x2＝3．
13．【答案】．
【分析】根据概率公式可直接得出答案．
【解答】解：，
因此小明抽到“冰墩墩”的概率是，
故答案为：．
14．【答案】0．
【分析】把点A、B的坐标代入反比例函数解析式进行求解即可．
【解答】解：把点，B（x﹣3，2）代入反比例函数得：
，
解得：；
故答案为：0．
15．【答案】（3，4）．
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，可证明△ABE≌△CAD，可得AD＝BE，CD＝AE，再由点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，可得OD＝3，CD＝AE＝4，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
根据题意得：AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴△ABE≌△CAD，
∴AD＝BE，CD＝AE，
∵点B的坐标是（﹣3，2），
∴OE＝3，AD＝BE＝2，
∵OA＝1，
∴OD＝3，CD＝AE＝4，
∴点C的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
16．【答案】5．
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，由题意易得∠ACB＝90°，则有∠BCD＝45°，然后可得，进而可得，最后问题可求解．
【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴△ABD，△BEC都为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴⊙O的半径的长5；
故答案为：5．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】首先把一元二次方程x2+6x﹣7＝0转化成两个一元一次方程的乘积，即（x+7）（x﹣1）＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：∵x2+6x﹣7＝0，
∴（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣7或x2＝1．
18．【答案】4π﹣8．
【分析】连接AC，BD交于点O，阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，BD交于点O，如图：
∵四边形ABCD是半径为2的圆内接正方形，
∴点O是圆心，OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，
∴⊙O的面积为：π•OD2＝4π，
正方形ABCD的面积为：，
∴阴影部分的面积为：4π﹣8．
19．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）1．
【分析】（1）根据待定系数法可进行求解；
（2）根据二次函数的性质可进行求解．
【解答】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝ax2+2x+c得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，则有抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当x＝1时，抛物线y＝﹣x2+2x+3有最大值，即为y＝﹣12+2+3＝4；
∴m＝1．
20．【答案】（1）27V；
（2）．
【分析】（1）根据点A的坐标确定U的值即可确定电压；
（2）根据确定的电压的值确定函数关系式，再根据增减性结合电流的值确定电阻的取值范围即可．
【解答】解：（1）把点A（9，3）代入得：
，解得：U＝27，
即这个电阻两端的电压27V；
（2）由（1）得：电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数关系式为，
当I＝12时，，
解得：，
∵27＞0，R＞0，
∴I随R的增大而减小，
∵电流不超过12A，
∴电阻应控制的范围为．
21．【答案】（1）；
（2）点A（x，y）的所有情况有：（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（﹣2，5），（4，﹣2），（4，3），（4，5），（﹣6，﹣2），（﹣6，3），（﹣6，5）；点A在第二象限的概率为．
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，列举出点A（x，y）的所有情况，再根据概率公式计算，即可求解．
【解答】解：（1）他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率为；
故答案为：；
（2）根据题意点A（x，y）的所有情况有：（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（﹣2，5），（4，﹣2），（4，3），（4，5），（﹣6，﹣2），（﹣6，3），（﹣6，5），
一共有9种等可能结果，其中点A在第二象限的有4种，
所以点A在第二象限的概率为．
22．【答案】（1）；
（2）S＝﹣2x2+40x，7.5≤x＜20；
（3）这个矩形鸡棚的面积S不能等于250m2．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意可知BC＝（40﹣2x）m，然后根据矩形面积可进行求解；
（3）由（2）及根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【解答】解：（1）由题意得：；
（2）由题意得：S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
∵0＜40﹣2x≤25，
∴7.5≤x＜20；
（3）由（2）可知：﹣2x2+40x＝250，
化简得x2﹣20x+125＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝400﹣4×125＝﹣100＜0，
∴该方程无实数解，
即这个矩形鸡棚的面积S不能等于250m2．
23．【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）90°﹣．
【分析】（1）用圆规以点A为圆心，AB为半径画圆，交CD于点B，连接AB'，AC，以B圆心，BC为半径画弧，再以A为圆心，AC为半径画弧，两弧交于点C'，同法确定D′，后连接即可；
（2）根据旋转的性质得到 AB＝AB'＝5，再利用矩形的性质以及勾股定理求出DB'，最后用勾股定理求出BB′即可；
（3）利用旋转的性质得到∠DAD'＝∠BAB'＝a 且AB＝AB'，利用等腰三角形的性质以及行线的性质即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
如图所示即为所求．
（2）由旋转性质可知AB＝AB'＝5，
在矩形ABCD中，AD＝BC＝3，∠ADB'＝90°，
∴，
∴CB′＝5﹣4＝1．
∴.；
（3）由旋转的性质可知，∠DAD'＝∠BAB'＝a，AB＝AB′，
∴∠ABB′＝∠AB′B，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝＝90°﹣，
∵AB∥CD，
∴∠CB′B＝∠AB′B＝90°﹣，
24．【答案】（1）105°；
（2）见解析；
（3）四边形ABCD的面积S与BD的长x之间的函数关系为二次函数，函数解析式为．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，从而得到∠BAD的度数，再由圆内接四边形的性质，即可求解；
（2）在线段BD上取点P，使PD＝CD，可得△PDC是等边三角形，从而得到PC＝CD，∠PCD＝∠DPC＝60°，进而得到∠ACD＝∠BCP，可证明△ACD≌△BCP，从而得到AD＝BP，即可；
（3）过点B作BE⊥AC于点E，连接OA，则OA＝4，AC＝2AE，根据等边三角形外接圆的性质可得，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，则BD＝BH，∠BAD＝∠BCH，∠DBH＝60°，可得S＝S△ADB+S△BDC＝S△BDH，△BDH是等边三角形，再证得点D，C，H三点共线，过点H作HG⊥BD于点G，求出S△BDH，即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠CAD＝15°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝75°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠BCD＝105°；
（2）证明：如图，在线段BD上取点P，使PD＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC，
∵∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴△PDC是等边三角形，
∴PC＝CD，∠PCD＝∠DPC＝60°，
∴∠PCD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCP，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD＝BP，
∵BD＝BP+PD，
∴AD+DC＝BD；
（3）解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接OA，则OA＝4，AC＝2AE，
∵⊙O为等边△ABC的外接圆，则点O在BE上，
∴OA＝OB＝4，∠ABE＝∠CAO＝30°，
∴，
∴，
∴，
∵点D在劣弧AC上运动，
∴，即，
如图，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，则BD＝BH，∠BAD＝∠BCH，∠DBH＝60°，
∴S＝S△ADB+S△BDC＝S△BDH，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCH+∠BCD＝180°，
∴点D，C，H三点共线，△BDH是等边三角形，
过点H作HG⊥BD于点G，则，
∴，
∴，
即四边形ABCD的面积S与BD的长x之间的函数关系为二次函数，函数解析式为．
25．【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①P（﹣2，﹣3）或；
②．
【分析】（1）利用根的判别式得到关于k的关系式，并证明其大于0即可；
（2）①将点A坐标代入抛物线解析式求出k，再利用得到的解析式分别求出点B，C的坐标，利用S△ABP＝S△ABC列方程求解即可；
②将四边形ABCP的面积拆分成S△BOC+S△OPC+S△AOP，再用含有m的代数式分别表示面积，得到关于m的二次函数，求最大值即可．
【解答】（1）证明：由题意得：关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0，
a＝1，b＝k+4，c＝k﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+4k+20＝（k+2）2+16＞0，
故该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）解：①把A（﹣3，0）代入y＝x2+（k+4）x+k﹣1，
得：0＝（﹣3）2﹣3（k+4）+k﹣1，
解得：k＝﹣2，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，0＝x2+2x﹣3，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴点B（1，0），
当x＝0时，y＝0+0﹣3＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴，
∵P（m，n），过点P作PH⊥AB交AB于点H，
∴PH＝|n|，
∴，
∵S△ABP＝S△ABC，
∴2|n|＝6，
解得：n＝﹣3或n＝3，
当n＝﹣3时，﹣3＝m2+2m﹣3，
解得：m＝﹣2或m＝0（舍去），
当n＝3时，3＝m2+2m﹣3，
解得：或（舍去）；
∴点P（﹣2，﹣3）或；
②把A（﹣3，0）代入y＝ax﹣3，
得：0＝﹣3a﹣3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，n）在抛物线上，且在AC下方，
∴n＝m2+2m﹣3，
过点P作PH⊥x轴，作PN⊥y轴，
∴PH＝|n|＝﹣m2﹣2m+3，
PN＝﹣m，
∴S四边形ABCP＝S△BOC+S△OPC+S△AOP，
又∵，
，
，
∴，
即，
当时，四边形ABCP的面积有最大值，最大值为．
广东省广州市南沙区2022-2023学年九年级下学期开学考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）方程（x﹣2）2＝9的解是（ ）
A．x1＝5，x2＝﹣1 B．x1＝5，x2＝1
C．x1＝11，x2＝﹣7 D．x1＝﹣11，x2＝7
2．（3分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的图案（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
4．（3分）平面内，⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
5．（3分）下列事件中，随机事件是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c
C．对于实数a，a2＜0
D．两直线平行，同位角相等
6．（3分）反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
7．（3分）若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个解，则4a2﹣2a的值是（ ）
A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣10
8．（3分）往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是70cm，水面宽AB＝56cm，则水的最大深度是（ ）
A．7cm B．14cm C．21cm D．28cm
9．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上有三个点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3），那么y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＝y3＜y2 C．y1＝y2＜y3 D．y2＞y1＞y3
10．（3分）已知关于x的一元二次方程没有实数根，且a满足，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．
C． D．且a≠2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的对称轴为 ．
12．（3分）一元二次方程x（x﹣3）＝0的解是 ．
13．（3分）小明爸爸在北京冬奥会期间购买了3个“冰墩墩”和2个“雪容融”，包装成外观一样的礼物，让小明从中随机抽一份，小明抽到“冰墩墩”的概率是 ．
14．（3分）已知点和点B（x﹣3，2）都是反比例函数图象上的点，则k的值是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是 ．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，，BC＝8，则⊙O的半径的长是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（4分）解方程：x2+6x﹣7＝0．
18．（4分）如图，若四边形ABCD是半径为2的圆内接正方形．求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
19．（6分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若当x＝m，y＝ax2+2x+c取得最大值时，求m的值．
20．（6分）如图，当电压U一定时，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数关系式为．
（1）求这个电阻两端的电压；
（2）如果电流不超过12A，求电阻应控制的范围．
21．（8分）甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为﹣2，4，﹣6，乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，3，5．
（1）小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是 ．
（2）小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点A（x，y）的所有情况，并求点A在第二象限的概率．
22．（10分）如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为25m．
（1）如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边BC长为am，求鸡棚与墙垂直的一边AB的长；（用含a的式子表示）
（2）设鸡棚与墙垂直的一边AB的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于250m2，若可以，求出此时AB的长，若不行，请说明理由．
23．（10分）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）尺规作图：将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，使点B落在CD边上；
（2）若AB＝5，BC＝3，连接BB′，求BB′的长；
（3）若∠DAD′＝a，求∠CB′B的度数（用含a的表示）．
24．（12分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为4，点D在劣弧AC上运动（不与A、C重合），连结DA、DB、DC．
（1）若∠CAD＝15°，求∠BCD的大小．
（2）求证：AD+DC＝BD．
（3）试探索：四边形ABCD的面积S与BD的长x之间的函数关系，并求出函数解析式．
25．（12分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0．
（1）求证：一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0一定有两个不相等的实数根．
（2）若抛物线y＝x2+（k+4）x+k﹣1的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝ax﹣3图象过A，C两点，点P（m，n）在抛物线上．
①若m＜0，且S△ABP＝S△ABC，求点P的坐标．
②点P（m，n）在直线AC下方，求四边形ABCP的面积的最大值．
2022-2023学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．【答案】A
【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5或x2＝﹣1，
故选：A．
2．【答案】D
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【解答】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意；
故选：D．
3．【答案】C
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；
故选：C．
4．【答案】B
【分析】先利用点与圆的位置关系判断点P在⊙O上，然后根据切线的定义可对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，点P到O的距离为2，
∴点P在⊙O上，
∴过点P可作⊙O的一条切线．
故选：B．
5．【答案】A
【分析】根据随机事件、实数的意义、等式的性质及平行线的性质可进行求解．
【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，属于随机事件，故符合题意；
B、如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c，属于必然事件，不符合题意；
C、对于实数a，a2＜0，属于不可能事件，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，属于必然事件，不符合题意．
故选：A．
6．【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣3＜0，再解不等式即可．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
解得m＜3，
故选：A．
7．【答案】A
【分析】根据a是方程2x2﹣x﹣5＝0的解可得到2a2﹣a的值，进而得到4a2﹣2a的值．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个解，
∴2a2﹣a﹣5＝0，
∴2a2﹣a＝5，
∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×5＝10，
故选：A．
8．【答案】B
【分析】连接OA，过点O作OC⊥AB，交AB于点D，由题意易得OA＝OC＝35cm，AD＝28cm，然后根据勾股定理可求OD，进而问题可求解．
【解答】解：连接OA，过点O作OC⊥AB，交AB于点D，交圆O于C，如图所示：
∴OA＝OC＝35cm，，
∴，
∴DC＝OC﹣OD＝14cm，
∴水的最大深度为14cm；
故选：B．
9．【答案】D
【分析】先根据抛物线的解析式得到抛物线的对称轴及开口方向，再根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：根据题意得：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的对称轴为直线x＝1，
∵﹣2＜0，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，
∵4﹣1＞﹣1﹣1＞0﹣1，
∴y2＞y1＞y3．
故选：D．
10．【答案】C
【分析】由所给方程是一元二次方程可知a﹣2≠0，由方程没有实数根可知Δ＜0，再解不等组，找出交集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，a﹣2≠0，
∴，a≠2，
∵a满足，
由2a﹣5＜1得a＜3，
由1﹣a≤3得a≥﹣2，
∴﹣2≤a＜3，
∴．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的性质即可得．
【解答】解：由y＝2（x﹣3）2﹣4知该抛物线的对称轴为x＝3，
故答案为：x＝3．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】利用因式分解法求解．
【解答】解：x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故答案为x1＝0，x2＝3．
13．【答案】．
【分析】根据概率公式可直接得出答案．
【解答】解：，
因此小明抽到“冰墩墩”的概率是，
故答案为：．
14．【答案】0．
【分析】把点A、B的坐标代入反比例函数解析式进行求解即可．
【解答】解：把点，B（x﹣3，2）代入反比例函数得：
，
解得：；
故答案为：0．
15．【答案】（3，4）．
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，可证明△ABE≌△CAD，可得AD＝BE，CD＝AE，再由点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，可得OD＝3，CD＝AE＝4，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
根据题意得：AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴△ABE≌△CAD，
∴AD＝BE，CD＝AE，
∵点B的坐标是（﹣3，2），
∴OE＝3，AD＝BE＝2，
∵OA＝1，
∴OD＝3，CD＝AE＝4，
∴点C的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
16．【答案】5．
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，由题意易得∠ACB＝90°，则有∠BCD＝45°，然后可得，进而可得，最后问题可求解．
【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴△ABD，△BEC都为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴⊙O的半径的长5；
故答案为：5．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】首先把一元二次方程x2+6x﹣7＝0转化成两个一元一次方程的乘积，即（x+7）（x﹣1）＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：∵x2+6x﹣7＝0，
∴（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣7或x2＝1．
18．【答案】4π﹣8．
【分析】连接AC，BD交于点O，阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，BD交于点O，如图：
∵四边形ABCD是半径为2的圆内接正方形，
∴点O是圆心，OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，
∴⊙O的面积为：π•OD2＝4π，
正方形ABCD的面积为：，
∴阴影部分的面积为：4π﹣8．
19．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）1．
【分析】（1）根据待定系数法可进行求解；
（2）根据二次函数的性质可进行求解．
【解答】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝ax2+2x+c得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，则有抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当x＝1时，抛物线y＝﹣x2+2x+3有最大值，即为y＝﹣12+2+3＝4；
∴m＝1．
20．【答案】（1）27V；
（2）．
【分析】（1）根据点A的坐标确定U的值即可确定电压；
（2）根据确定的电压的值确定函数关系式，再根据增减性结合电流的值确定电阻的取值范围即可．
【解答】解：（1）把点A（9，3）代入得：
，解得：U＝27，
即这个电阻两端的电压27V；
（2）由（1）得：电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数关系式为，
当I＝12时，，
解得：，
∵27＞0，R＞0，
∴I随R的增大而减小，
∵电流不超过12A，
∴电阻应控制的范围为．
21．【答案】（1）；
（2）点A（x，y）的所有情况有：（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（﹣2，5），（4，﹣2），（4，3），（4，5），（﹣6，﹣2），（﹣6，3），（﹣6，5）；点A在第二象限的概率为．
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，列举出点A（x，y）的所有情况，再根据概率公式计算，即可求解．
【解答】解：（1）他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率为；
故答案为：；
（2）根据题意点A（x，y）的所有情况有：（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（﹣2，5），（4，﹣2），（4，3），（4，5），（﹣6，﹣2），（﹣6，3），（﹣6，5），
一共有9种等可能结果，其中点A在第二象限的有4种，
所以点A在第二象限的概率为．
22．【答案】（1）；
（2）S＝﹣2x2+40x，7.5≤x＜20；
（3）这个矩形鸡棚的面积S不能等于250m2．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意可知BC＝（40﹣2x）m，然后根据矩形面积可进行求解；
（3）由（2）及根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【解答】解：（1）由题意得：；
（2）由题意得：S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
∵0＜40﹣2x≤25，
∴7.5≤x＜20；
（3）由（2）可知：﹣2x2+40x＝250，
化简得x2﹣20x+125＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝400﹣4×125＝﹣100＜0，
∴该方程无实数解，
即这个矩形鸡棚的面积S不能等于250m2．
23．【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）90°﹣．
【分析】（1）用圆规以点A为圆心，AB为半径画圆，交CD于点B，连接AB'，AC，以B圆心，BC为半径画弧，再以A为圆心，AC为半径画弧，两弧交于点C'，同法确定D′，后连接即可；
（2）根据旋转的性质得到 AB＝AB'＝5，再利用矩形的性质以及勾股定理求出DB'，最后用勾股定理求出BB′即可；
（3）利用旋转的性质得到∠DAD'＝∠BAB'＝a 且AB＝AB'，利用等腰三角形的性质以及行线的性质即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
如图所示即为所求．
（2）由旋转性质可知AB＝AB'＝5，
在矩形ABCD中，AD＝BC＝3，∠ADB'＝90°，
∴，
∴CB′＝5﹣4＝1．
∴.；
（3）由旋转的性质可知，∠DAD'＝∠BAB'＝a，AB＝AB′，
∴∠ABB′＝∠AB′B，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝＝90°﹣，
∵AB∥CD，
∴∠CB′B＝∠AB′B＝90°﹣，
24．【答案】（1）105°；
（2）见解析；
（3）四边形ABCD的面积S与BD的长x之间的函数关系为二次函数，函数解析式为．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，从而得到∠BAD的度数，再由圆内接四边形的性质，即可求解；
（2）在线段BD上取点P，使PD＝CD，可得△PDC是等边三角形，从而得到PC＝CD，∠PCD＝∠DPC＝60°，进而得到∠ACD＝∠BCP，可证明△ACD≌△BCP，从而得到AD＝BP，即可；
（3）过点B作BE⊥AC于点E，连接OA，则OA＝4，AC＝2AE，根据等边三角形外接圆的性质可得，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，则BD＝BH，∠BAD＝∠BCH，∠DBH＝60°，可得S＝S△ADB+S△BDC＝S△BDH，△BDH是等边三角形，再证得点D，C，H三点共线，过点H作HG⊥BD于点G，求出S△BDH，即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠CAD＝15°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝75°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠BCD＝105°；
（2）证明：如图，在线段BD上取点P，使PD＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC，
∵∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴△PDC是等边三角形，
∴PC＝CD，∠PCD＝∠DPC＝60°，
∴∠PCD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCP，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD＝BP，
∵BD＝BP+PD，
∴AD+DC＝BD；
（3）解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接OA，则OA＝4，AC＝2AE，
∵⊙O为等边△ABC的外接圆，则点O在BE上，
∴OA＝OB＝4，∠ABE＝∠CAO＝30°，
∴，
∴，
∴，
∵点D在劣弧AC上运动，
∴，即，
如图，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，则BD＝BH，∠BAD＝∠BCH，∠DBH＝60°，
∴S＝S△ADB+S△BDC＝S△BDH，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCH+∠BCD＝180°，
∴点D，C，H三点共线，△BDH是等边三角形，
过点H作HG⊥BD于点G，则，
∴，
∴，
即四边形ABCD的面积S与BD的长x之间的函数关系为二次函数，函数解析式为．
25．【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①P（﹣2，﹣3）或；
②．
【分析】（1）利用根的判别式得到关于k的关系式，并证明其大于0即可；
（2）①将点A坐标代入抛物线解析式求出k，再利用得到的解析式分别求出点B，C的坐标，利用S△ABP＝S△ABC列方程求解即可；
②将四边形ABCP的面积拆分成S△BOC+S△OPC+S△AOP，再用含有m的代数式分别表示面积，得到关于m的二次函数，求最大值即可．
【解答】（1）证明：由题意得：关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k﹣1＝0，
a＝1，b＝k+4，c＝k﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+4k+20＝（k+2）2+16＞0，
故该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）解：①把A（﹣3，0）代入y＝x2+（k+4）x+k﹣1，
得：0＝（﹣3）2﹣3（k+4）+k﹣1，
解得：k＝﹣2，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，0＝x2+2x﹣3，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴点B（1，0），
当x＝0时，y＝0+0﹣3＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴，
∵P（m，n），过点P作PH⊥AB交AB于点H，
∴PH＝|n|，
∴，
∵S△ABP＝S△ABC，
∴2|n|＝6，
解得：n＝﹣3或n＝3，
当n＝﹣3时，﹣3＝m2+2m﹣3，
解得：m＝﹣2或m＝0（舍去），
当n＝3时，3＝m2+2m﹣3，
解得：或（舍去）；
∴点P（﹣2，﹣3）或；
②把A（﹣3，0）代入y＝ax﹣3，
得：0＝﹣3a﹣3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，n）在抛物线上，且在AC下方，
∴n＝m2+2m﹣3，
过点P作PH⊥x轴，作PN⊥y轴，
∴PH＝|n|＝﹣m2﹣2m+3，
PN＝﹣m，
∴S四边形ABCP＝S△BOC+S△OPC+S△AOP，
又∵，
，
，
∴，
即，
当时，四边形ABCP的面积有最大值，最大值为．
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