2022-2023学年广东省东莞市宏远外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省东莞市宏远外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省东莞市宏远外国语学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 式子 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )
A. x≥0 B. x≤2 C. x≥−2 D. x≥2
2. 若 a+1+ b−1=0，则a1011+b1011的值等于(    )
A. 2 B. 0 C. 1 D. −2
3. 已知 96n是整数，正整数n的最小值为(    )
A. 96 B. 6 C. 24 D. 2
4. 下列计算错误的是(    )
A. 3 7− 7=3 B. 24÷ 2=2 3
C. 25a+ 9a=8 a D. 14× 7=7 2
5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是(    )
A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 7，8，9 D. 6，8，10
6. 若xy<0，则 x2y化简后的结果是(    )
A. x y B. x −y C. −x −y D. −x y
7. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC+BD=20，CD=7，则△ABO的周长是(    )


A. 16 B. 17 C. 20 D. 27
8. 矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠AOB=40°，那么∠ADB的度数是(    )
A. 70° B. 45° C. 30° D. 20°
9. 如图，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任意一点(点P不与点A，C重合)，且PE//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，则阴影部分的面积是(    )

A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
10. 如图，AC是正方形ABCD的对角线，E是BC上的点，BE=1，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，则AB=(    )
A. 2
B. 3
C. 1+ 2
D. 1+ 3
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 计算： 2×9×2= ______ ．
12. 如果矩形的宽为 3，长为 6，那么这个矩形的周长为______ ．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，CD=5，AC=8，则BC=          ．


14. 如图，在▱ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=______．


15. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是__________．


16. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为______．


17. 如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2021D2021A2022，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2021D2021A2022的面积为S2022，则S2022=______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
18. 计算： 48÷ 3− 12× 12+ 24．
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
若a= 6+1，b= 6−1，求代数式a2+ab的值．
20. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a 1a+ 4b)−( a2−b 1b)，其中a=4，b=3．
21. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=5，AD=5 5．
(1)求AC的长度．
(2)求四边形ABCD的面积．





22. (本小题8.0分)
如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=OC，连接CE，OE，OE=CD．
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AB=4，∠ABC=60°，求AE的长．





23. (本小题8.0分)
在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M.求证：
(1)BH=DE．
(2)BH⊥DE．

24. (本小题10.0分)
如图，在等边△ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．
(1)连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
(2)①求当t为何值时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；
②求当t为何值时，四边形ACFE是菱形．

25. (本小题10.0分)
如图，已知平行四边形ABCD，点P为BC的中点，连接PA，PD，PA⊥PD．
(1)求证：DP平分∠ADC；
(2)过点C作CE⊥CD交PD于点E，∠PCE=12∠B，PE=3 3，求▱ABCD的周长；
(3)在(2)的条件下，点F为AD上一点，PF=8，G为AB上一点，∠FPG=60°，求△AGF的周长．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

2.【答案】B 
【解析】解：∵ a+1+ b−1=0
∴a+1=0，b−1=0，
解得a=−1，b=1，
∴a1011+b1011=(−1)1011+11011=−1+1=0．
故选：B．
首先根据算术平方根的非负性，求出a与b的值，然后代入代数式a1011+b1011中．
本题考查算术平方根的非负性，以及有理数的乘方的计算，解题关键是熟练掌握算术平方根的非负性．

3.【答案】B 
【解析】解：96=42×6n，则 96n是整数，
则正整数n的最小值6．
故选：B．
根据96=42×6n，若 96n是整数，则96n一定是一个完全平方数，即可求解．
本题主要考查了二次根式的化简，理解 96n是整数的条件是解决本题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：A、3 7− 7=2 7，故A符合题意；
B、 24÷ 2= 12=2 3，故B不符合题意；
C、 25a+ 9a=5 a+3 a=8 a，故C不符合题意；
D、 14× 7=7 2，故D不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：A、22+32≠42，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、72+82≠92，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、82+62=102，故是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．

6.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的性质和化简，是基础知识要熟练掌握．
根据二次根式有意义可得出y≥0，再由xy<0，得出x<0，y>0，从而化简即可．
【解答】
解：∵x2y≥0，
∴y≥0，
∵xy<0，
∴x<0，y>0，
∴ x2y=−x y．
故选D．  
7.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=7，
∵AC+BD=20，
∴AO+BO=10，
∴△ABO的周长是：10+7=17．
故选：B．
直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=7，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠AOB=∠OAD+∠ODA=40°，
∴∠ADB=20°

故选：D．
只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题；
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

9.【答案】B 
【解析】解：∵菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，
∴菱形ABCD的面积12×2×5=5，
∴S△ABC=52，
∵PE//BC，PF//CD，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴S△PEF=S△APE=12S菱形AEPF，
∴阴影部分的面积=S△ABC=52，
故选：B．
求出菱形的面积，可得S△ABC=52，可证四边形PEAF是平行四边形，可得S△PEF=S△APE=12S菱形AEPF，即可求解．
先本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCD=∠B=90°，∠ECF=12∠BCD=45°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，FE=BE=1，
∴∠CFE=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE= 2FE= 2，
∴BC=BE+CE=1+ 2，
∴AB=BC=1+ 2；
故选：C．
由正方形的性质得AB=BC，∠BCD=∠B=90°，∠ECF=12∠BCD=45°，由折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，FE=BE=1，证出△CEF是等腰直角三角形，则CE= 2FE= 2，进而得出答案．
本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质是解题的关键．

11.【答案】6 
【解析】解：原式= 36=6．
故答案为：6．
先计算根号下边的式子，再求其算术平方根即可．
本题考查的是二次根式的化简，正确计算并把结果化为最简是解题的关键．

12.【答案】2 3+2 6 
【解析】解：依题意，这个矩形的周长为( 3+ 6)×2=2 3+2 6，
故答案为：2 3+2 6．
根据矩形的周长公式进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．

13.【答案】6 
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴AB=2CD=2×5=10，
∴Rt△ABC中，BC= AB2−AC2= 102−82=6．
故答案为：6．
依据直角三角形的斜边上中线的性质，即可得到AB的长，再根据勾股定理，即可得到BC的长．
本题主要考查了勾股定理和直角三角形的斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

14.【答案】40° 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°，
∵DC=DB，
∴∠C=∠DBC=70°，
∴∠CDB=180°−70°−70°=40°，
故答案为40°．
根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

15.【答案】4 13 
【解析】
【分析】在Rt△AOD中求出AD的长，再由菱形的四边相等，可得菱形ABCD的周长．本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=12AC=3，DO=12BD=2，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD= AO2+OD2= 13，
∴菱形ABCD的周长为4 13．
故答案为：4 13．  
16.【答案】3 3 
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键，属于中档题．
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD= BD2−AB2= 62−32=3 3；
故答案为：3 3．  
17.【答案】24040⋅ 3 
【解析】解：过A1作A1E⊥AD于E，则∠A1ED=90°，

∵四边形ABCD是菱形，AB=1，∠ABC=120°，
∴CD=AD=AB=1，∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠ADA1=60°，
∵A1D=CD，
∴A1D=1，
∴A1E=A1D×sin60°= 32，
∴△A1DA的面积S1=12×1× 32= 34=2−2× 3，
同理△A2D1A1的面积S2=12×2× 3= 3=20× 3，
S3=12×4×2 3=4 3=22× 3，
⋅⋅⋅
S2022=22(2022−2)× 3=24040⋅ 3，
故答案为：24040⋅ 3．
过A1作A1E⊥AD于E，则∠A1ED=90°，根据菱形的性质得出CD=AD=AB=1，∠ADC=∠ABC=120°，求出∠ADA1=60°，A1D=1，求出高A1E=A1D×sin60°= 32，再求出△A1DA的面积S1=12×1× 32= 34=2−2× 3，同理求出S2，S3，⋅⋅⋅，根据求出的结果得出规律，再根据求出的规律得出答案即可．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，图形的变化类，三角形的面积等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．

18.【答案】解：原式= 483− 12×12+2 6
=4− 6+2 6
=4+ 6． 
【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．
先根据二次根式的乘除法法则得到原式= 483− 12×12+2 6，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．

19.【答案】解：∵a= 6+1，b= 6−1，
∴a2+ab=( 6+1)2+( 6+1)( 6−1)
=6+2 6+1+(6−1)
=12+2 6． 
【解析】直接代入计算即可．
本题考查代数式求值和二次根式的混合，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．

20.【答案】解：原式=(a⋅1 a+2 b)( a2−b⋅1 b)
=( a+2 b)( a2− b)
=2( a2+ b)( a2− b)
=a2−2b，
当a=4，b=3时，
原式=42−2×3
=−4． 
【解析】根据二次根式的性质，平方差公式进行化简，然后代值求解即可．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．

21.【答案】解：(1)连接AC，

∵∠B=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= AB2+BC2= 82+62=10，
∴AC的长为10；
(2)∵CD=5，AD=5 5，AC=10，
∴CD2+AC2=52+102=125，AD2=(5 5)2=125，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=△ADC的面积+△ACB的面积
=12AC⋅DC+12AB⋅CB
=12×10×5+12×8×6
=25+24
=49，
∴四边形ABCD的面积为49． 
【解析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
(1)根据垂直定义可得∠ABC=90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
(2)根据勾股定理的逆定理可证△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD=90°，然后利用四边形ABCD的面积=△ADC的面积+△ACB的面积，进行计算即可解答．

22.【答案】(1)证明：∵DE//AC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE=CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD=90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，CD=AB=BC=4，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴OA=OC=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD= CD2−OC2= 42−22=2 3，
由(1)可知，四边形OCED是矩形，
∴CE=OD=2 3，∠OCE=90°，
∴AE= AC2+CE2= 42+(2 3)2=2 7，
即AE的长为：2 7． 
【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
(1)先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD=90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)证△ABC是等边三角形，得AC=AB=4，再由勾股定理得OD=2 3，然后由矩形的在得CE=OD=2 3，∠OCE=90°，即可解决问题．

23.【答案】证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，
BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，
∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，
即∠BCH=∠DCE，
在△BCH和△DCE中，
BC=CD∠BCH=∠DCECE=CH，
∴△BCH≌△DCE(SAS)，
∴BH=DE；

(2)∵△BCH≌△DCE，
∴∠CBH=∠CDE，
又∵∠CGB=∠MGD，
∴∠DMB=∠BCD=90°，
∴BH⊥DE． 
【解析】(1)根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

24.【答案】(1)证明：∵AG//BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
∠EAD=∠FCD∠AED=∠CFDAD=CD，
∴△ADE≌△CDF(AAS)；
(2)解：①当点F在C的左侧时，
根据题意，得AE=t cm，BF=2t cm，
则CF=BC−BF=(6−2t)cm，
若AE=CF，且AG//BC，
则四边形AECF是平行四边形，
即t=6−2t，
解得t=2；
当点F在C的右侧时，根据题意，得AE=t cm，BF=2t cm，
则CF=BF−BC=(2t−6)cm，
若AE=CF，且AG//BC，
则四边形AEFC为平行四边形，
即t=2t−6，
解得t=6，
综上可得：当t=2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形；
②若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6cm，
则此时的时间t=6÷1=6(s)，
∴当t为6时，四边形ACFE是菱形． 
【解析】(1)由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
(2)①分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；
②由菱形的性质可得AC=CF=6，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．

25.【答案】(1)证明：取AD的中点H，连接PH．

∵PA⊥PD，H为AD中点，
∴PH=DH=AH．
∵ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC．
∵P为BC中点，H为AD中点，
∴DH=PC．
又∵DH//PC，
∴四边形PCDH是平行四边形．
又∵PH=DH，
∴四边形PCDH是菱形．
∴DP平分∠ADC；
(2)解：∵四边形PCDH是菱形，
∴∠HDP=∠CDP=∠CPD=∠HPD．
∵ABCD是平行四边形，
∴AB//CD．
∵PCDH是菱形，
∴PH//CD．
∵AB//PH，
∴∠B=∠HPC．
∵∠PCE=12∠B，
∴∠PCE=∠CPD=∠CDP．
在△CPD中，∠CPD+∠CDP+∠PCE+∠DCE=180°，
∴∠CPD=∠PCE=∠CDP=30°．
∴CE=PE=3 3，DE=6 3．
在Rt△CDE中，CD= DE2−EC2=9．
∴BC=2CD=18
∴▱ABCD的周长为2(BC+CD)=2(18+9)=54．
(3)解：由(2)知∠B=∠HPC=60°．
又AB=CD=CP=BP，
∴△ABP是等边三角形．
∴∠BPA=60°，BP=AP．
又∵∠FPG=60°，
∴∠FPA=∠GPB．
又∵AD//BC，
∴∠DAP=∠BPA=60°．
∴∠FAP=∠B=60°，
∴△PFA≌△PGB(ASA)
∴AF=BG，FP=PG．
∴△PGF是等边三角形．
∴GF=PF=8．
AF+AG=AG+GB=AB=9．
∴△AGF的周长为AG+AF+GF=17． 
【解析】(1)取AD的中点H，连接PH，证明四边形PCDH是菱形即可得出结论；
(2)证明∠CPD=∠PCE=∠CDP=30°，求得DE=6 3，进一步求出CD=9，BC=18，从而可得出结论；
(3)证明△ABP是等边三角形，可得出∠FAP=∠B=60°，再证△PFA≌△PGB，可得出△PGF是等边三角形，从而可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，正确掌握相关判定与性质是解答本题的关键．