2022-2023学年湖北省随州市广水市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省随州市广水市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省随州市广水市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，能与3 2合并的是(    )
A. 12 B. 27 C. 72 D. 23
2. 下列运算正确的是(    )
A. 6÷ 2= 3 B. 5 2−2 2=3
C. 2 3×3 2=6 5 D. 2+ 3= 5
3. 能判定四边形ABCD是平行四边形的是(    )
A. AB//CD，AD=BC B. AB//CD，∠B=∠D
C. ∠A=∠B，∠C=∠D D. AB=AD，CB=CD
4. 已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长为(    )
A. 30
B. 20
C. 15
D. 12
5. 函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是(    )
A. B.
C. D.
6. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，S4.若S1+S4=100，S3=36，则S2的值是(    )
A. 8
B. 50
C. 64
D. 136
7. 数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表：
年龄(岁)
13岁
14岁
15岁
16岁
人数(人)
7
18
x
10−x
那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是(    )
A. 平均数、方差 B. 中位数、方差 C. 平均数、中位数 D. 众数、中位数
8. 图甲是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2)演化而成的．如图乙中的OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有条．(    )


A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9. 如图①，在矩形ABCD中，AB
A. 四边形ABCD的面积为12
B. AD边的长为4
C. 当x=2.5时，△AOP是等边三角形
D. △AOP的面积为3时，x的值为3或10
10. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF.给出下列结论：
①PD=2EC；
②四边形PECF的周长为8；
③AP⊥EF；
④AP=EF；
⑤EF的最小值为2 2．
其中正确结论的序号为(    )


A. ①②③⑤ B. ②③④ C. ②③④⑤ D. ②③⑤
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 化简： (1− 3)2=______．
12. 一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是______．
13. 由于四边形具有不稳定性，如图，将正方形ABCD向下挤压变形后得到菱形A′BCD.若∠ADA′=30°，则菱形ABCD与原正方形ABCD的面积之比为______．


14. 如图，直线L1：y=x+3与直线L2：y=ax+b相交于点A(m,4)，则方程组x−y+3=0ax−y+b=0的解为______ ．


15. 已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC=6cm，则其面积为______cm2．
16. 已知直线l1：y=−2x+3和直线l2：y=x−6，若直线l3：y=kx−2与l1、l2不能围成三角形，则k=______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：(1) 16−3 13+12× 8．
(2)(7+4 3)(7−4 3)+( 3−1)2．
18. (本小题8.0分)
如图，A(−4,1)，B(1,1)，C(−3,3)都在边长为1个单位的正方形网格的格点上．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)画出点C关于直线AB的对称点D，连CD，BD，直接写出S△CDB为______ ；
(3)点P，Q分别为边AB，BC上的动点，请找出点P，Q的位置，使得CP+PQ最小，直接写出CP+PQ的最小值为______ ．

19. (本小题8.0分)
已知：如图，在▱ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN．
(1)求证：四边形ENFM为平行四边形；
(2)当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN．

20. (本小题8.0分)
某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化宣讲活动，为了解宣讲效果，校学生会随机从八、九年级各抽取20名学生进行问卷测试(满分：10分，测试成绩均为整数)，并将测试结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

八年级抽取的20名学生的测试成绩分别是：5，10，8，9，9，8，9，8，8，6，8，8，10，9，8，8，6，5，10，8．
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表：
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
8
8
b
2.1
九年级
8
a
c
2.7
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上表中a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的测试成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校八、九年级共有学生2000人，估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生有多少人？
21. (本小题8.0分)
(1)在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为 10、2 5、 10；
(2)求此三角形的面积及最长边上的高．

22. (本小题10.0分)
某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套(x为正整数)，该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y元．
运动服款式
甲款
乙款
进价(元/套)
60
80
售价(元/套)
100
150
(1)求y与x的函数关系式；
(2)该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？
(3)在(2)的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低a元(其中30 23. (本小题10.0分)
如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以看到，要求AB或DE的长度，可以转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．
例如：从坐标系中发现：D(−7,5)，E(4,−3)，所以DF=5−(−3)=8，EF=|4−(−7)|=11，所以由勾股定理可得：DE= 82+112= 185．
(1)在图①中请用上面的方法求线段AB的长：AB= ______ ；
(2)在图②中：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，试用x1，x2，y1，y2表示：AC= ______ ，BC= ______ ，AB= ______ ；
(3)试用(2)中得出的结论解决如下题目：已知：A(2,1)，B(4,3)；
①直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长；
②C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为边的等腰三角形，求出C点的坐标．

24. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x−2与x轴、y轴分别交于点E、F．
(1)求点D的坐标；
(2)问直线y=x−2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、原式=2 3，不符合题意；
B、原式=3 3，不符合题意；
C、原式=6 2，符合题意；
D、原式= 63，不符合题意，
故选：C．
各项中式子化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．
本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式概念是解题关键．

2.【答案】A 
【解析】解：A． 6÷ 2= 3，故此选项符合题意；
B.5 2−2 2=3 2，故此选项不合题意；
C.2 3×3 2=6 6，故此选项不合题意；
D. 2+ 3无法合并，故此选项不合题意；
故选：A．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

3.【答案】B 
【解析】解：如图示，
∵AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有B符合条件．
故选：B．
平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

4.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC，OD=12BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OD=3，
∴AD= OD2+OA2=5，
∴菱形的周长=4×5=20．
故选：B．
由菱形的性质得到AC⊥BD，OA=12AC=4，OD=12BD=3，由勾股定理求出AD= OD2+OA2=5，即可得到菱形的周长．
本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OA，OD的长，由勾股定理即可求出AD的长．

5.【答案】C 
【解析】解：分四种情况：
①当a>0，b>0时，y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，无选项符合；
②当a>0，b<0时，y=ax+b的图象经过第一、三、四象限；y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，C选项符合；
③当a<0，b>0时，y=ax+b的图象经过第一、二、四象限；y=bx+a的图象经过第一、三、四象限，C选项符合；
④当a<0，b<0时，y=ax+b的图象经过第二、三、四象限；y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，无选项符合．
故选：C．
根据a、b的符号进行判断，两函数图象能共存于同一坐标系的即为正确答案．
此题考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．

6.【答案】C 
【解析】解：连接BD，

根据勾股定理可得AD2+AB2=BD2，BC2+CD2=BD2，
即S1+S4=S2+S3，
∴S2=100−36=64，
故选：C．
连接BD，根据勾股定理可得AD2+AB2=BD2，BC2+CD2=BD2，即S1+S4=S2+S3，即可求解．
本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10−x=10，
则总人数为：7+18+10=35，
故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第18个数据，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：∵OA1=1，
∴由勾股定理可得OA2= 12+12= 2，
OA3= ( 2)2+12= 3，
…，
∴OAn= n，
∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，完全平方数有1，4，9，16，
∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有4条，
故选：B．
OA1=1，根据勾股定理可得OA2= 12+12= 2，OA3= ( 2)2+12= 3，找到OAn= n的规律，即可得到结论．
本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到OAn= n的规律是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：A、过点P作PE⊥AC于点E，当点P在AB和BC边上运动时，PE逐渐增大，到点B时最大，然后又逐渐减小，到点C时为0，而y=12OA⋅PE中，OA为定值，所以y是先增大后减小，在B点时面积最大，在C点时面积最小；观察图②知，当点P与点B重合时，△AOP的面积为3，此时矩形的面积为：4×3=12，故选项A正确；
B、观察图②知，当运动路程为7时，y的值为0，此时点P与点C重合，所以有AB+BC=7，又AB⋅BC=12，解得：AB=3，BC=4，或AB=4，BC=3，但AB C、当x=2.5时，即x<3，点P在边AB上由勾股定理，矩形的对角线为5，则OA=2.5，所以OA=AP，△AOP是等腰三角形，但△ABC是三边分别为3，4，5的直角三角形，故∠BAC不可能为60°，从而△AOP不是等边三角形，故选项C错误；
D、当点P在AB和BC边上运动时，点P与点B重合时最大面积为3，此时x的值为3；当点P在边CD和DA上运动时，PE逐渐增大，到点D时最大，然后又逐渐减小，到点A时为0，而y=12OA⋅PE也是先增大再减小，在D点时面积最大，在A点时面积最小；所以当点P与点D重合时，最大面积为3，此时点P运动的路程为AB+BC+CD=10，即x=10，所以当x=3或10时，△AOP的面积为3，故选项D正确．

故选：C．
过点P作PE⊥AC于点E，根据△AOP的边OA是一个定值，OA边上的高PE最大时是点P分别与点B和点D重合，因此根据这个规律可以对各个选项作出判断．
本题是动点问题的函数图象，考查了函数的图象、图形的面积、矩形的性质、解方程等知识，关键是确定点P到AC的距离的变化规律，从而可确定y的变化规律，同时善于从函数图象中抓住有用的信息，获得问题的突破口．

10.【答案】C 
【解析】解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CDB=∠CBD=45°，
∵PF⊥CD，
∴PD= 2PF．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠C=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PF=EC，
∴PD= 2EC．
∴①的结论不正确；
②∵∠CDB=∠CBD=45°，PE⊥BC，PF⊥CD，
∴△PBE和△PDF为等腰直角三角形，
∴PE=BE，PF=DF
∴四边形PECF的周长=EC+CF+PF+PE=EC+BE+CF+DF=BC+CD=4+4=8，
∴②的结论正确；
③延长AP交EF于点H，延长FP交AB于点G，如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，
∵PE⊥BC，PG⊥AB，
∴四边形GBEP为正方形，
∴PG=PE=BG，∠GPE=90°，
∴∠APG+∠EPH=90°．
∵FG=BC，BC=AB，
∴FG=AB．
∴FG−PG=AB−BG，
∴AG=PF．
在△AGP和△FPE中，
AG=FP∠AGP=∠FPE=90°PG=EP，
∴△AGP≌△FPE(SAS)，
∴∠APG=∠FEP．
∴∠FEP+∠HPE=90°，
∴∠PHE=90°．
∴AP⊥EF．
∴③的结论正确；
④连接PC，如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADP=∠CDP=45°，AD=BC，
在△ADP和△CDP中，
AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，
∴△ADP≌△CDP(SAS)．
∴AP=PC．
由①知：四边形PECF为矩形，
∴EF=PC，
∴AP=EF．
∴④的结论正确；
⑤由④知：AP=EF，
∴当AP取最小值时，EF取得最小值，
∵点P是对角线BD上一点，
∴当AP⊥BD，即点P为对角线的中点时，AP的值最小，此时AP= 22AB=2 2，
∴EF的最小值为2 2，
∴⑤的结论正确，
综上，正确结论的序号为：②③④⑤，
故选：C．
利用正方形的性质，矩形的性质等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练应用正方形和矩形的性质是解题的关键．

11.【答案】 3−1 
【解析】解：因为 3>1，
所以 (1− 3)2= 3−1
故答案为： 3−1．
根据二次根式的性质，算术平方根的值必须是正数，所以开方所得结果是|1− 3|，然后再去绝对值．
本题主要考查二次根式的化简，其中必须符合二次根式的性质．

12.【答案】3 
【解析】解：利用平均数的计算公式，得(2+3+x+5+7)=4×5，
解得x=3，
则这组数据的众数即出现最多的数为3．
故答案为：3．
根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个．

13.【答案】 32 
【解析】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于 32AB，
∴菱形ABC′D′的面积为 32AB2，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是 32．
故答案为： 32．
根据∠ADA′=30°，得∠A′BC=60°所对的直角边等于斜边的 32，可知菱形ABC′D′的高等于 32AB，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．
本题主要考查了正方形与菱形的面积，熟知30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．

14.【答案】x=1y=4 
【解析】解：将A点坐标代入直线L1：y=x+3，
得m+3=4，
解得m=1，
∴方程组x−y+3=0ax−y+b=0的解为x=1y=4，
故答案为：x=1y=4．
先求出m的值，即可求出方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，求出交点横坐标是解题的关键．

15.【答案】24 
【解析】解：如图所示：
∵菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC=6cm，
∴AO=CO=3cm，则BO= AB2−AO2=4(cm)，
则BD=8cm，
则其面积为：12×6×8=24(cm2).
故答案为：24．
根据菱形的性质结合勾股定理得出BD的长，进而利用菱形面积公式求出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确掌握菱形的性质是解题关键．

16.【答案】−2或1或−13 
【解析】解：∵直线l3与l1、l2不能围成三角形，
∴有三种情况：
l1//l3或l2//l3或三条直线交于一点，
∴当l1//l3时，k=−2，
当l2//l3时，k=1，
当三条直线交于一点时，
y=−2x+3y=x−6，
解得x=3y=−3，即交点坐标为(3,−3)，
把(3,−3)代入l3得：−3=3k−2，
解得k=−13．
故答案为：−2或1或−13．
根据“直线l3与l1、l2不能围成三角形”可知l1//l3或l2//l3或三条直线交于一点，解之即可得k的值．
本题考查直线相交或平行问题，解题的关键是明白“若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同”．

17.【答案】解：(1) 16−3 13+12× 8
=4−3× 33+12×2 2
=4− 3+ 2；
(2)(7+4 3)(7−4 3)+( 3−1)2
=49−48+4−2 3
=5−2 3． 
【解析】(1)先算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
(2)利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】8 8 55 
【解析】(1)△ACB是直角三角形，理由：
∵AC2=5，B，C2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形：
(2)如图所示：点D即为所求，
△CDB的面积为：12×CD×4=12×4×4=8，
故答案为：8；
(3)如图所示：点P，Q即为所求，
∵S△CDB=12×CB×DQ=8，
∴12× 20×DQ=8，
∴DQ=8 55，
∴CP+PQ的最小值8 55，
故答案为：8 55．
(1)求出各线段长，利用勾股定理逆定理可得答案；
(2)作出图形，利用三角形的面积公式可得答案；
(3)先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短；利用三角形的面积可得答案．
此题主要考查了作图——轴对称变换，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形．

19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠MAG=∠NCG，
∵AG=CG，∠AGM=∠CGN，
∴△AGM≌△CGN，
∴GM=GN，同法可证GE=FG，
∴四边形ENFM是平行四边形；
(2)∵四边形ENFM是矩形，
∴GE=GM，∠MEN=90°，
∵∠AGE=∠CGN=∠AGM，
∴AG⊥EM，AG平分EM，
∴AE=AM，∠GAE=∠GAM=∠GCN，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵EM⊥EN，
∴EN//AC，
∴∠BEN=∠BAC，∠BNE=∠BCA，
∴∠BEN=∠BNE，
∴BE=BN． 
【解析】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)只要证明GM=GN，GE=GF即可解决问题；
(2)想办法证明四边形ABCD是菱形，EN//AC即可解决问题．

20.【答案】9  8  8.5 
【解析】解：(1)由条形统计图可知，九年级学生中9分人数出现次数最多，因此九年级学生成绩的众数为a=9；将八年级学生成绩按大小顺序排列，位于中间两个数分别为：8，8，
∴八年级学生中位数b=8+82=8，
将九年级学生成绩按大小顺序排列，位于中间两个数分别为：8，9，
∴九年级学生中位数c=8+92=8.5；
故答案为：9；8；8.5．
(2)九年级成绩较好，理由如下：因为九年级学生中位数大于八年级学生中位数，说明九年级学生高分人数多于八年级学生，且九年级学生众数大于八年级学生众数；所以九年级学生成绩交好．
(3)由题意，抽出学生中，九年级在(9分)及以上的学生有10人，八年级在(9分)及以上的学生有7人，
∴2000×10+740=850(人)，
∴估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在(9分)及以上的学生有850人．
(1)根据众数、中位数的定义即可得出答案；
(2)根据中位数、众数进行比较，得出结论；
(3)根据总人数乘以百分比即可得出答案．
本题考查数据的整理和分析，条形统计图、统计表，熟练掌握中位数、众数的意义，并能通过已有数据进行估算是解题的关键．

21.【答案】解：(1)如图所示：△ABC三边长分别为 10、2 5、 10；

②设此三角形最长边AC上的高为x，
∵( 10)2+( 10)2=(2 5)2=20，
∴此三角形是直角三角形；
则由三角形面积可得：12× 10× 10=12×2 5x，
解得：x= 5．
即此三角形的面积及最长边上的高为 5． 
【解析】(1)利用勾股定里得出符合题意的答案；
(2)首先得出三角形的形状，再利用直角三角形面积得出答案．
此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．

22.【答案】解：(1)根据题意得y=(100−60)x+(150−80)(300−x)=−30x+21000；
即y=−30x+21000．

(2)由题意得，60x+80(300−x)≤20000，解得x≥200，
∴至少要购进甲款运动服200套．
又∵y=−30x+21000，−30<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，y最大=−30×200+21000=15000，
∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元．

(3)由题意得，y=(100−60+a)x+(150−80)(300−x)，其中200≤x≤240，
化简得，y=(a−30)x+21000，
∵300，y随x的增大而增大，
∵200≤x≤240，
∴当x=240时，y有最大利润，则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大． 
【解析】(1)根据利润=每件利润×件数，可分别求出甲款运动服利润(100−60)x和乙款运动服的利润(150−80)(300−x)，最后二者相加即可求出y，将其进行化简即可求出y与x关系式．
(2)根据题意首先表示出购进甲款运动服的费用为60x元，购进乙款运动服的费用为80(300−x)元，据此进一步列出不等式，求出x的范围即可得出至少购进甲款运动服的数量，然后利用一次函数的图象性质进一步求出最大利润即可．
(3)根据题意列出y=(100−60+a)x+(150−80)(300−x)，化简，然后再利用a的取值范围即可求出x最大值．
本题考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意长出正确的等量关系式解题的关键．

23.【答案】5  y1−y2  x1−x2  (x1−x2)2+(y1−y2)2 
【解析】解：(1)根据题意得：AB= 32+42=5；
故答案为：5；
(2)根据题意得：AC=y1−y2；BC=x1−x2，AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2；
故答案为：y1−y2；x1−x2， (x1−x2)2+(y1−y2)2；
(3)①∵A(2,1)，B(4,3)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
可得：2k+b=14k+b=3，
解得：k=1b=−1，
所以直线AB的解析式为：y=x−1，
把y=0代入y=x−1，
可得：x=1，
所以点D的坐标为(1,0)，
所以BD= 32+(4−1)2=3 2；
②设C坐标为(0,y)，A(2,1)，B(4,3)，
根据题意得：AC=BC，即 22+(y−1)2= 42+(y−3)2，
解得：y=5，
则C坐标为(0,5)．
设C坐标为(x,0)，A(2,1)，B(4,3)，
根据题意得：AC=BC，即 (2−x)2+12= (4−x)2+32，
解得：x=5，
则C坐标为(5,0)．
(1)根据图①确定出BC与AC的长，利用勾股定理求出AB的长即可；
(2)在图②中，由A与B的坐标表示出AC，BC，利用勾股定理表示出AB的长即可；
(3)①利用题中的方法，根据D与B坐标求出DB的长即可；
②设C(0,y)，由题意得到AC=BC，根据A与B坐标，利用题中的方法列出方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出C坐标．
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，弄清题中阅读材料中求两点间的距离公式是解本题的关键．

24.【答案】解：(1)设点C的坐标为(m,2)，
∵点C在直线y=x−2上，
∴2=m−2，
∴m=4，
即点C的坐标为(4,2)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，
∴点D的坐标为(1,2)．

(2)存在．
在直线y=x−2中，令y=0，则x=2
∴E点坐标为(2,0)
∴BE=4−2=4，BC=2
又∵∠CBE=90°
∴△EBC为等腰直角三角形，
则∠CEB=∠ECB=45°，
又∵DC//AB，
∴∠DCE=∠CEB=45°，
∴等腰直角三角形△PDC只能是以P、D为直角顶点，
如图，①当∠D=90°时，延长DA与直线y=x−2交于点P1，
∵点D的坐标为(1,2)，
∴点P1的横坐标为1，
把x=1代入y=x−2得，y=−1，
∴点P1(1,−1)；
②当∠DPC=90°时，作DC的垂直平分线与直线y=x−2的交点即为点P2，
所以，点P2的横坐标为1+42=52，
把x=52代入y=x−2得，y=12，
所以，点P2(52,12)，
综上所述，符合条件的点P的坐标为(1,−1)或(52,12).

(3)∵E点坐标为(2,0)
∴OE=2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM=CD=3，EM//CD，
∴OM=EM−OE=3−2=1，
此时，点M的坐标为(−1,0)，
若CE是对角线，则EM=CD=3，EM//CD，
OM=OE+EM=2+3=5，
此时，点M的坐标为(5,0)，
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为(52,2)，
设点M的坐标为(x,y)，
则x+22=52，y+02=2，
解得x=3，y=4，
此时，点M的坐标为(3,4)，
综上所述，点M的坐标为(−1,0)或(5,0)或(3,4)． 
【解析】(1)设点C的坐标为(m,2)，根据一次函数图象上点的坐标特征，代入直线解析式求解即可得到m的值，再根据矩形的长求出OA，然后写出点D的坐标即可．
(2)根据直线解析式求出△EBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CEB=∠ECB=45°，再根据平行线的性质可得∠DCE=∠CEB=45°，然后判断出△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，再分①∠D=90°时，根据点P的横坐标与点D的横坐标相等，利用直线解析式求解即可；②∠DPC=90°时，作DC的垂直平分线与直线y=x−2的交点即为点P2，求出点P的横坐标，再代入直线解析式计算即可得解．
(3)根据平行四边形平行且对边相等，分DE、CE是对角线时，点M在x轴上，求出OM的长度，然后写出点M的坐标，CD是对角线时，求出平行四边形的中心的坐标，再求出点E关于中心的对称点，即为点M．
本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于(2)(3)分情况讨论．