2022-2023学年湖北省孝感市应城市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省孝感市应城市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省孝感市应城市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，一定是二次根式的是(    )
A. a B. 32 C. 12 D. −4
2. 下列每一组数据分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(    )
A. 6，8，10 B. 3， 4， 5
C. 2， 3， 5 D. 5，12，13
3. 设a>0，b>0，则下列运算错误的是(    )
A. a+b= a+ b B. ab= a⋅ b
C. ( a)2=a D. ab= a b
4. 一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足(a+b)(a−b)=c2，则这个三角形是(    )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定
5. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF，若EF= 3，BD=4，则菱形ABCD的周长为(    )
A. 4 7
B. 4 6
C. 4
D. 28
6. 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形一定是(    )
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形
7. 如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一点P，OP=6，M是OA上一动点，N是OB上一动点，则△PMN周长的最小值为(    )
A. 6
B. 3
C. 6 2
D. 6 3
8. 如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、等边△ABE、等边△BCF，且点A在△BCF内部，给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；
②当∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．
以上结论正确的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若式子 1−3xx有意义，则x的取值范围是______ ．
10. 若直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为______．
11. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若AC=5，AB=10，BC=9.则△DEF的周长为______ ．


12. 如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，则∠BED的度数为______ ．


13. 如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，点E，F分别为垂足，连结AG，EF.若AG的长为1.5，则EF的长为______ ．


14. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AE⊥BC于点E，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F，若BD=6 3，则CE= ______ ．
15. 如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB=2 5；②∠ABC=90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是______ .(填序号)


16. 已知x+y=−5，xy=4，则 yx+ xy=______．
三、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算：
(1) 27− 32+ 92− 12；
(2)(3 12−2 13+ 48)÷2 3．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A=105°，AC=2，求BC的长．

19. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点F是CD边的中点，连接AF并延长交BC的延长线于点E，求证：BC=CE．

20. (本小题8.0分)
如图，已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 a2+ (a−b)2−|a+b|．

21. (本小题8.0分)
图1、图2、图3、图4都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在图1、图2、图3中已画出线段AB，在图4中已画出点A，按下列要求画图：

(1)在图1中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；
(2)在图2中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；
(3)在图3中，以格点为顶点，AB为一边画一个△ABC，使AC= 13，BC= 10；
(4)在图4中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
22. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．

(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
23. (本小题10.0分)
观察下列等式：
①a1= 1+112+122=32=1+11×2；
②a2= 1+122+132=76=1+12×3；
③a3= 1+132+142=1312=1+13×4；…
(1)请按规律写出第⑥个式子；
(2)根据以上规律，计算a1+a2+a3+…+a2022−2023的值．
24. (本小题12.0分)
如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上(不与点A，O重合)的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．
(1)求证：PE=PB；
(2)如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
(3)用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A.当a≥0时， a为二次根式，所以A选项不符合题意；
B.32为三次根式，所以B选项不符合题意；
C. 12为二次根式，所以C选项符合题意；
D. −4没有意义，所以D选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的定义对各选项进行判断．
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式．

2.【答案】B 
【解析】解：A、62+82=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、( 3)2+( 4)2≠( 5)2，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、( 2)2+( 3)2=( 5)2，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

3.【答案】A 
【解析】解：∵a>0，b>0，
∴当a=2，b=3时， a+b≠ a+ b，故选项A错误，符合题意；
ab= a⋅ b，故选项B正确，不符合题意；
( a)2=a，故选项C正确，不符合题意；
ab= a b，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的性质和运算法则，逐项判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵(a+b)(a−b)=c2，
∴a2−b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
根据(a+b)(a−b)=c2，可以得到a2−b2=c2，从而可以得到三角形的形状．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．

5.【答案】A 
【解析】解：∵点E，F分别是AB，BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC=2EF=2 3，
∵四边形ABCD是菱形，BD=4，
∴AB=BC=CD=AD，OA=12AC= 3，OB=12BD=2，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴AB= OA2+OB2= ( 3)2+22= 7，
∴菱形ABCD的周长=4AB=4 7，
故选：A．
由三角形中位线定理得AC=2EF=2 3，再由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，OA=12AC= 3，OB=12BD=2，AC⊥BD，然后由勾股定理得AB= 7，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是▱ABCD四边的中点，

连接AC、BD，
∵E、F是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF/​/AC，
同理可证：GH//AC//EF，EH/​/BD/​/FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
故顺次连接平行四边形各边中点的图形为平行四边形．
故选：D．
可连接平行四边形的对角线，然后利用三角形中位线定理进行求解．
本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理的应用，解决本题的关键是掌握三角形的中位线定理．

7.【答案】C 
【解析】解：作P关于OA，OB的对称点C，D.连接OC，OD．

则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP，
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
则CD= 2OC=6 2．
故选：C．
作P关于OA，OB的对称点C，D.连接OC，OD.则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．
本题考查了对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，
∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°；
∴∠EBF=∠ABC=60°−∠ABF；
∴△EFB≌△ACB(SAS)；
∴EF=AC=AD；
同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；
由AE=DF，AD=EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；
②当∠BAC=150°时，∠EAD=360°−∠BAE−∠BAC−∠CAD=360°−60°−150°−60°=90°，
由①知四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；
③由①知AB=AE，AC=AD，四边形AEFD是平行四边形，
∴当AB=AC时，AE=AD，
∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，
∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．
故选：D．
①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF=AC=AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；
②当∠BAC=150°时，求出∠EAD=90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；
③先证明AE=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；
④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．
本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答此题的关键．

9.【答案】x≤13且x≠0 
【解析】解：式子 1−3xx有意义，则1−3x≥0且x≠0，
解得：x≤13且x≠0．
故答案为：x≤13且x≠0．
直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关性质是解题关键．

10.【答案】10或2 7 
【解析】解：①当6和8为直角边时，
第三边长为 62+82=10；
②当8为斜边，6为直角边时，
第三边长为 82−62=2 7．
故答案为：10或2 7．
分情况考虑：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理求得第三边长是10；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得第三边的长是 82−62=2 7．
一定要注意此题分情况讨论，很容易漏掉一些情况没考虑．

11.【答案】12 
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
同理有EF=12AB，DF=12AC，
∴△DEF的周长=12(AC+BC+AB)=12×(10+5+9)=12．
故答案为：12．
由于D、E分别是AB、AC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=12BC，同理有EF=12AB，DF=12AC，于是易求△DEF的周长．
本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．

12.【答案】135° 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=AE，
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=90°−60°=30°，AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，
∴2∠AED+30°=180°，
∴∠AED=75°，
∴∠BED=∠AED+∠AEB=75°+60°=135°，
故答案为：135°．
由正方形的性质得∠BAD=90°，AB=AD，由等边三角形的性质得∠BAE=∠AEB=60°，AB=AE，则∠DAE=∠BAD−∠BAE=30°，AD=AE，所以∠AED=∠ADE，可求得∠AED=75°，则∠BED=∠AED+∠AEB=135°，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地求出∠AED的度数是解题的关键．

13.【答案】1.5 
【解析】解：连结CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=AD=CD，∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ABG=∠ADB=45°，∠CBG=∠CDB=45°，
∴∠ABG=∠CBG，
在△ABG和△CBG中，
AB=CB∠ABG=∠CBGBG=BG，
∴△ABG≌△CBG(SAS)，
∴AG=CG=1.5，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠CEG=∠CFG=90°，
∴四边形ECFG是矩形，
∴EF=CG=1.5，
故答案为：1.5．
连结CG，由正方形的性质得AB=CB=AD=CD，∠BAD=∠BCD=90°，则∠ABG=∠CBG=45°，即可证明△ABG≌△CBG，得AG=CG=1.5，由GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，得∠CEG=∠CFG=90°，则四边形ECFG是矩形，所以EF=CG=1.5，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

14.【答案】9 
【解析】解：连接AD，

∵DF是AB的垂直平分线，
∴BD=AD=6 3，
∴∠B=∠BAD=30°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=60°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠DAE=90°−∠ADE=30°，
∴DE=12AD=3 3，AE= 3DE=9，
∵∠C=45°，
∴∠EAC=90°−∠C=45°，
∴∠C=∠EAC=45°，
∴EA=EC=9，
故答案为：9．
根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD=6 3，从而可得∠B=∠BAD=30°，进而可得∠ADE=60°，再根据垂直定义可得∠AEB=∠AEC=90°，从而可得∠DAE=30°，然后在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DE=3 3，AE=9，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠C=∠EAC=45°，从而可得EA=EC=9，即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

15.【答案】①④ 
【解析】解：①∵AB2=22+42=20，
∴AB=25 5，故正确；
②∵AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，故错误；
③S△ABC=4×4−12×3×4−12×1×2−12×2×4=5，故错误；
④设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2=32+42=25，
∴BC=5，
则12×5×h=5，
解得，h=2，即点A到直线BC的距离是2，故正确；
故答案为：①④．
根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

16.【答案】52 
【解析】解：当x+y=−5，xy=4时，
yx+ xy
= ( yx+ xy)2
= yx+xy+2
= x2+y2+2xyxy
= (x+y)2xy
= (−5)24
=52，
故答案为：52．
对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

17.【答案】解：(1) 27− 32+ 92− 12
=3 3−4 2+3 22−2 3
= 3−5 22；
(2)(3 12−2 13+ 48)÷2 3
=3 12÷2 3−2 13÷2 3+ 48÷2 3
=3−13+2
=423． 
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：经过A点作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=45°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°，
∵∠BAC=105°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=105°−45°=60°，
∴∠C=30°，
∴AD=12AC=1，CD= 3AD= 3．
在Rt△ABD中，BD=AD=1，
∴BC=CD+BD= 3+1． 
【解析】作AD⊥BC于D，构造了一个等腰直角三角形ABD和30度的直角三角形ACD，根据30度的直角三角形的性质求得AD=1，CD= 3，再根据等腰直角三角形的性质可以求得BD=AD=1，那么BC=CD+BD．
本题考查了解直角三角形，含30度的直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质，作BC边上的高，构造两个特殊的直角三角形是解题的关键．

19.【答案】证明：∵O是CD的中点，
∴OD=CO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC，
∴∠D=∠OCE，
在△ADO和△ECO中，
∠D=∠ODEOD=OC∠AOD=∠EOC，
∴△AOD≌△EOC(ASA)，
∴AD=CE，
∴BC=CE． 
【解析】由平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，再证明△AOD≌△EOC(ASA)即可解决问题．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解决的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

20.【答案】解：如图所示：a<0，a+b<0，a−b<0，
故 a2+ (a−b)2−|a+b|
=−a+b−a−(−a−b)
=−a+b+a+b
=2b． 
【解析】直接利用数轴得出a+b<0，a−b<0，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a<0，a+b<0，a−b<0是解题关键．

21.【答案】解：(1)如图①，
；

(2)如图②，正方形ABCD即为满足条件的图形：
；
(3)图3中，以格点为顶点，AB为一边画一个△ABC，使AC= 13，BC= 10；

(4)如图③，边长为 10的正方形ABCD的面积最大．
． 
【解析】(1)根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为 5的等腰三角形即可；
(2)根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为 5的正方形；
(3)根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出△ABC；
(4)根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．
本题考查了作图−应用与设计作图．熟记勾股定理，等腰三角形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．

22.【答案】证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF．
∴OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
∵OA=OC，
∴DB⊥EF，
∴平行四边形EBFD是菱形． 
【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
(1)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
(2)根据平行四边形的性质可得DA=DC，然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形．

23.【答案】解：(1)观察等式规律可得，
a6= 1+162+172=4342=1+16×7；
(2)由(1)可得xn=1+1n(n+1)=1+1n−nn+1，
x1+x2+x3+…+x2022−2023
=(1+11−12)+(1+12−13)+(1+13−14)+…+(1+12021−12022)+(1+12022−12023)−2023
=(1+1+1+…+1+1)+(11−12+12−13+13−14+…+−12020+12022)−2023
=2022+1−12023−2023
=−12023．
故答案为：−12023． 
【解析】(1)观察其分数的分子分母规律，可写出第n个等式；
(2)根据(1)可得第n个等式的表达式，再利用裂项法求和即可．
本题考查了数的变化规律，用裂项法求和是解本题的关键，综合性较强，难度适中．

24.【答案】(1)证明：如图①，过点P作MN/​/AD，交AB于点M，交CD于点N．

∵PB⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠MPB+∠EPN=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°．
∵AD//MN，
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90，
∵∠MPB+∠MBP=90°，
∴∠EPN=∠MBP．
在Rt△PNC中，∠PCN=45°，
∴△PNC是等腰直角三角形，
∴PN=CN，
∴BM=CN=PN，
∴△BMP≌△PNE(ASA)，
∴PB=PE．
(2)解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．

理由：如图2，连接OB．
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠EFP=90°，
∴∠OBP+∠BPO=90°．
∴∠BPE=90°，
∴∠BPO+∠OPE=90°，
∴∠OBP=∠OPE．
由(1)得PB=PE，
∴△OBP≌△FPE(AAS)，
∴PF=OB．
∵AB=2，△ABO是等腰直角三角形，∴OB=2 2= 2．
∴PF的长为定值 2．
(3)解：PC=PA+ 2EC．
理由：如图1，∵∠BAC=45°，
∴△AMP是等腰直角三角形，
∴PA= 2PM．
由(1)知PM=NE，
∴PA= 2NE．
∵△PCN是等腰直角三角形，
∴PC= 2NC= 2(NE+EC)= 2NE+ 2EC=PA+ 2EC． 
【解析】(1)作辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明△BMP≌△PNE可得结论；
(2)如图2，连接OB，通过证明△OBP≌△FPE，得PF=OB，则PF为定值是 2；
(3)根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA= 2PM，PC= 2NC，整理可得结论．
本题是一个动态几何题，考查用正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质进行有条理的思考和表达能力．利用条件构造三角形全等是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性很强，难度适中．