2022-2023学年山东省日照市岚山区九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省日照市岚山区九年级（下）开学数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省日照市岚山区九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 下列事件中，属于随机事件的是(    )
A. 两个负数相乘，积为负
B. 圆内接四边形对角互补
C. 13个人中至少有2个人的生日在同一个月
D. 购买一张彩票，恰好中奖
3. 若反比例函数y=3−kx的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是(    )
A. k<−3 B. k<3 C. k>−3 D. k>3
4. 抛物线y=−(x+1)2−3的顶点坐标是(    )
A. (1,−3) B. (1,3) C. (−1,3) D. (−1,−3)
5. 如图，将一张两边长分别为24cm和x cm的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为(    )
A. 9
B. 12
C. 15
D. 18
6. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心， 2为半径作⊙O，点M的坐标是(1,1)，则点M与⊙O的位置关系是(    )
A. M在圆内 B. M在圆外 C. M在圆上 D. 无法确定
7. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD=1：2，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为(    )

A. 4 B. 8 C. 6 D. 18
8. 已知关于x的函数y=x2−2mx+5，若当x<1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是(    )
A. m<1 B. m>1 C. m≤1 D. m≥l
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1.将△ABC绕点C逆时针方向旋转得到△A1B1C，点B1恰好落在AB边上，连接AA1，取AA1的中点D，连接B1D，则B1D的长是(    )
A. 72
B. 7
C. 2
D. 62
10. 如图，在圆心为O，半径为3cm的圆形纸片上画圆内接△ABC，再分别沿直线AB和AC折叠⊙O，AB和AC都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是(    )
A. 3πcm2
B. 9 34cm2
C. (3π−9 316)cm2
D. 9 316cm2
11. 抛掷一枚质地均匀的图钉，图钉落地后，可能针尖朝上，也可能针尖朝下.数学小组的同学进行抛掷图钉实验，得到如表实验数据，下列说法错误的(    )
实验次数
100
200
300
400
500
600
700
800
…
针尖朝上次数
m
109
166
221
278
329
385
440
…
针尖朝上频率
0.57
0.545
0.553
in
0.556
0.548
0.55
0.545
…

A. 投掷100次针尖朝上的次数是57
B. 投掷400次的针尖朝上的频率是0.5525
C. 任意投掷一枚图钉，针尖朝上的概率是0.5
D. 投掷2000次图钉，针尖朝上的次数大约有1100次
12. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)顶点坐标是(1,t)，与y轴交点的纵坐标在−1和−2之间(不含端点).在以下结论中：
①a−b+c=0；
②2a−b=0；
③4a+2b+c<0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c−t+1=0有两个不相等的实数根；
⑤13 其中正确的结论有(    )


A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数解析式是s=30t−5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______ m.
14. 如图，蔬菜大棚的截面是圆弧形，其水平跨度AB长6米，拱高CD(弧的中点到弦的距离)为2米，则该圆弧所在圆的半径是______ 米.


15. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，以C为顶点作第1个正方形CDEF，使点E在斜边AB上，依此规律分别作出第2个，……第n个正方形，则第2022个正方形的边长是______ ．

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，点B在第一象限，反比例函数y=kx(x>0)的图象与AB、OB分别交于点M、N，若恰有AM=BN，则k= ______ ．


三、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=−2x+b的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象在第一象限交于点A(m,6)和B(3,2)．
(1)求b、k、m的值；
(2)根据图象直接写出不等式kx>−2x+b的解集．

18. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点坐标分别为A(−1,4)，B(−3,1)，C(−1,1)．
(1)画出△ABC关于点C对称的△A1B1C1．
(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(3,−2)，请画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转某个角度可得到△A2B2C2，则这个旋转中心的坐标是______ ．

19. (本小题11.0分)
如图，已知△ABC中，AC=BC，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接CD．
求证：(1)CD平分∠ADE；
(2)CE是⊙O的切线．

20. (本小题11.0分)
岚山区文化服务中心设有科技馆、博物馆、图书馆、规划展览馆和文化馆，五馆合一，功能齐全，免费对公众开放，市民在参观游览时，每个场馆被选择的可能性相同．
(1)若小敏在这5个场馆中任选一个参观，则她选择参观科技馆的概率是______ ；
(2)暑假期间，有甲、乙两个团队需要各选一个场馆作为研学活动点，用画树状图或列表的方法，求甲、乙恰好选择同一个场馆的概率．
21. (本小题13.0分)
【图形定义】有两边之比为1： 2的三角形称为智慧三角形.例如，在图1的△ABC中，若AB：BC=1： 2，△ABC就称为智慧三角形．

【灵活运用】如图2，△ABC是智慧三角形，AB：BC=1： 2，AD是BC边上的中线，求ADAC的值．
【拓展延伸】如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是直径，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为F，交⊙O于点E，连接EC交AB于点G．
(1)求证：△CBE是智慧三角形；
(2)若BEEF=54，则BGCG的值为______ ．
22. (本小题13.0分)
如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC的直角顶点C和另一个顶点A(−1,0)均在x轴上，AC=BC=5，抛物线y=ax2−2ax+c经过A、B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与A、B重合)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点P的坐标；
(3)若点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，是否存在点P，使以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．

2.【答案】D 
【解析】解：A、两个负数相乘，积为负，是不可能事件，不符合题意；
B、圆内接四边形对角互补，是必然事件，不符合题意；
C、13个人中至少有2个人的生日在同一个月，是必然事件，不符合题意；
D、购买一张彩票，恰好中奖，是随机事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】D 
【解析】解：∵反比例函数y=3−kx的图象分布在第二、四象限．
∴3−k<0．
解得k>3．
故选：D．
根据反比例函数的图象和性质，由3−k<0即可解得答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．

4.【答案】D 
【解析】解：抛物线y=−(x+1)2−3的顶点坐标是(−1,−3)．
故选：D．
根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：∵大矩形的一条边长为24cm，
∴小矩形的一条边长为244=6(cm)，
∵小矩形和原矩形相似，
∴6x=x24，解得x=12．
故选：B．
先求出小矩形的另一条边长，根据相似多边形的性质解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质及翻折变换，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：∵点M的坐标是(1,1)，
∴点M与原点O的距离为 12+12= 2，
又∵⊙O的半径为 2，
∴点M与⊙O的位置关系是点M在圆上．
故选：C．
根据点M的坐标，利用勾股定理求得点M与原点的距离，结合⊙O的半径判断即可．
此题主要是考查了点与圆的位置关系，能够得出点与圆心的距离是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD=1：2，
∴S△ABCS△DEF=(12)2=14，
∵△ABC的面积为2，
∴△DEF的面积是8．
故选：B．
根据位似比等于三角形的相似比，再结合面积之比等于相似比的平方计算即可．
本题主要考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵函数的对称轴为x=m，
又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∵x<1时，y随x的增大而减小，
∴m≥1．
故选：D．
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小．
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC= 3BC= 3，∠B=60°，
∵将△ABC绕点C逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴A1C=AC，BC=B1C，∠BCB1=∠ACA1，
∴△BCB1是等边三角形，
∴∠BCB1=60°=∠ACA1，BB1=BC=1，
∴AB1=1，△ACA1是等边三角形，
∴AA1=AC= 3，∠A1AC=60°，
∴∠A1AB1=90°，
∵点D是AA1的中点，
∴AD= 32，
∴B1D= B1A2+AD2= 34+1= 72，
故选：A．
由旋转的性质可得A1C=AC，BC=B1C，∠BCB1=∠ACA1，可证△BCB1是等边三角形，△ACA1是等边三角形，可求AB1=1，AD= 32，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：作半径OD⊥AC于E，连接OA，OC，OB，AD，
由折叠的性质得：OA=AD，
∵OD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
同理：∠COD=60°，
∴∠AOC=120°，
同理：∠AOB=120°，
∴∠BOC=∠AOB=∠AOC=120°，
∴AB=BC=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵OA=3cm，
∴AB= 3OA=3 3(cm)，
∴△ABC的面积= 34BA2=27 34(cm2)，
∴S△OBC=13S△ABC=9 34(cm2)，
∴阴影的面积=9 34(cm2).
故选：B．
作半径OD⊥AC于E，连接OA，OC，OB，AD，由折叠的性质得：OA=AD，又OD=OA，得到△OAD是等边三角形，∠AOD=60°，推出∠AOC=120°，由∠BOC=∠AOB=∠AOC=120°，得到AB=BC=AC，得到AB=BC=AC，由OA=3cm，得到AB= 3OA=3 3(cm)，即可求出△ABC的面积= 34BA2=27 34(cm2)，于是得到阴影的面积=13S△ABC．
本题考查折叠的性质，三角形的面积，关键是证明△ABC是等边三角形．

11.【答案】C 
【解析】解：A、投掷100次针尖朝上的次数是100×0.57=57，不符合题意；
B、投掷400次的针尖朝上的频率是221400=0.5525，不符合题意；
C、任意投掷一枚图钉，针尖朝上的概率是0.55，符合题意；
D、投掷2000次图钉，针尖朝上的次数大约有2000×0.55=1100次，不符合题意；
故选：C．
分别由频率=频数÷试验次数，频率估计概率判断即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

12.【答案】B 
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，
∴a−b+c=0，故①正确；
∵抛物线的顶点坐标是(1,t)，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)开口向上，与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标为(1,n)，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的另一个交点为(3,0)，
∴x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，故③正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)开口向上，顶点坐标为(1,n)，
∴函数有最小值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=n−1没有交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c−t+1=0没有实数根，故④错误；
∴b=−2a，
∴抛物线为y=ax2−2ax+c，
∵与x轴交于点A(−1,0)，
∴a+2a+c=0，
∴c=−3a
∵与y轴交点的纵坐标在−1和−2之间(不含端点)，
∴−2 ∴−2<−3a<−1．
∴13 故选：B．
把点A(−1,0)代入解析式即可判断①；由顶点坐标得出对称轴，即可判断②；根据抛物线的对称性求得x=2时，y<0，即可判断③；由图象可知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=n−1没有交点，即可判断④；求得c=−3a，再结合−2 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、运用数形结合思想分析问题是解题的关键．

13.【答案】45 
【解析】解：∵s=−5t2+30t=−5(t−3)2+45，
∴汽车刹车后到停下来前进了45m，
故答案为：45．
根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．【解答】【点评】
本题考查了二次函数的应用，利用配方法，求出二次函数的顶点式是解题的关键．

14.【答案】134 
【解析】解：设圆心为O，连接OA，过点O作OC⊥AB由点C交AB于点D．
设OA=OD=R米，
∵OD⊥AB，
∴AC=CB=3米，
在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，
∴R2=32+(R−2)2，
∴R=134．
故答案为：134．
设圆心为O，连接OA，过点O作OC⊥AB由点C交AB于点D.构建方程求解即可．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．

15.【答案】(23)2022 
【解析】解：令第1个正方形的边长为a1，则由△ABC∽△EBF可得，
EFAC=BFBC，即a11=2−a12，解得a1=23．
令第2，3，4……个正方形的边长分别记为：a2，a3，a4……
同理可得，a2=49=(23)2，
a3=827=(23)3，
a4=1681=(23)4，
……
观察发现，后一个正方形的边长是前一个正方形的23倍，
则有an=(23)n．
所以第2022个正方形的边长为：(23)2022．
故答案为：(23)2022．
利用相似可依次求出图中第1、2、3个正方形的边长，从而根据边长存在的规律，得出第2022个正方形的边长．
本题考查了利用相似去求线段长，并根据所计算的结果寻求规律，解决问题．

16.【答案】2 
【解析】解：分别过B、N作BD⊥x轴于D，NF⊥x轴于F，作ME⊥BD于E，
∵三角形OAB是以OA为斜边作等腰直角三角形，
∴OD=AD，∠AOB=∠OAB=45°，∠OBD=∠ABD=45°，
∵OB=AB，AM=BN，
∴BM=ON，
∴△BME≌△NFO(AAS)，
∴OF=NF=BE=EM，
∵点A(4,0)，
∴OA=4，OD=AD=BD=2，
设OF=NF=BE=EM=a，则ED=2−a，
∴N(a,a)，M(2+a,2−a)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过点M、N，
∴k=a⋅a=(2+a)(2−a)，
解得k=a2=2，
故答案为：2．
分别过B、N作BD⊥x轴于D，NF⊥x轴于F，作ME⊥BD于E，根据等腰直角三角形的性质，得出OD=AD=2，∠AOB=∠OAB=45°，∠OBD=∠ABD=45°，通过证得△BME≌△NFO(AAS)，得出OF=NF=BE=EM，设OF=NF=BE=EM=a，则ED=2−a，即可得出N(a,a)，M(2+a,2−a)，代入y=kx(x>0)，即可求得k的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确表示点M、N的坐标是解题的关键．

17.【答案】解：(1)将B(3,2)分别代入一次函数与反比例函数解析式，
∴2=−2×3+b，2=k3．
∴b=8，k=6．
∴一次函数的解析式为y=−2x+8，反比例函数解析式为y=6x．
又A(m,6)在反比例函数图象上，
∴6=6m．
∴m=1．
综上，b=8，k=6，m=1．
(2)由题意，不等式kx>−2x+b的解集就是函数y=kx的图象在一次函数y=−2x+b上对应的自变量的范围．
又由(1)得A(1,6)，B(3,2)，
∴不等式kx>−2x+b的解集为03． 
【解析】(1)依据题意，将B(3,2)分别代入一次函数与反比例函数解析式可以分别求得b，k，再将A点坐标代入反比例函数解析式可得m的值；
(2)依据题意，不等式kx>−2x+b的解集就是函数y=kx的图象在一次函数y=−2x+b上对应的自变量的范围，从而结合图象可以得解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题时要熟练掌握并理解．

18.【答案】(1,−2) 
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)这个旋转中心的坐标是(1,−2)．
故答案为：(1,−2)．
(1)根据中心对称的性质即可得到结论；
(2)根据平移的性质即可得到结论；
(3)根据旋转的性质即可得到结论．
本题考查了作图−旋转变换，作图−平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键．

19.【答案】证明：(1)∵AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC，
∵∠CDE=∠CAB，∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC=∠CDE，
∴CD平分∠ADE；
(2)连接OC，
∵CE⊥BE，
∴∠E=90°，
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠ODC=∠CDE，
∴∠OCD=∠CDE，
∴∠OCD+∠DCE=90°，
∴∠OCE=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线． 
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠CAB=∠ABC，等量代换得到∠ADC=∠CDE，根据角平分线的定义即可得到结论；(2)连接OC，根据三角形的内角和定理得到∠DCE+∠CDE=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC，求得∠OCE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

20.【答案】15 
【解析】解：(1)若小敏在这5个场馆中任选一个参观，则她选择参观科技馆的概率是15，
故答案为：15；
(2)列表如下：

A
B
C
D
E
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
(D,A)
(E,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
(D,B)
(E,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
(D,C)
(E,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
(D,D)
(E,D)
E
(A,E)
(B,E)
(C,E)
(D,E)
(E,E)
由表知，共有25种等可能结果，其中甲、乙恰好选择同一个场馆的有5种结果，
所以甲、乙恰好选择同一个场馆的概率为525=15．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表展示所有25种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式P=mn计算事件A或事件B的概率．

21.【答案】3 77 
【解析】(1)解：∵AD是BC的中线，
∴BD=12BC，
∵AB：BC=1： 2，
∴BDAB=12BCAB= 22=ABBC，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴ADAC=BDAB= 22；
(2)①证明：∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=12BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∵∠ACE=∠ABE，
∴∠ABE+∠BCE=90°，
∵AB⊥DE，
∴∠ABE+∠BED=90°，
∴∠BED=∠BCE，
又∵∠DBE=∠CBE，
∴△BEC∽△BDE，
∴BEBC=BDBE，
∴BE2=12BC2，
∴BE= 22BC，
∴BE：BC=1： 2，
∴△CBE是智慧三角形；
②∵BEEF=54，
∴BE=5x，EF=4x，
∴BF= BE2−EF2=3x，
∵BE：BC=1： 2，
∴BC=5 2x，
∴BD=CD=5 22x，
∴DF= BD2−DF2= 142x，
∵tan∠ABC=ACBC=DFBF，
∴AC5 2x= 142x3x，
∴AC=5 73x，
∵∠BAC=∠BEC，∠ACE=∠ABE，
∴△ACG∽△EBG，
∴BEAC=BGCG，
∴BGCG=5x5 73x=3 77，
故答案为：3 77．
(1)通过证明△ABD∽△CBA，可得ADAC=BDAB= 22；
(2)①通过证明△BEC∽△BDE，可得BEBC=BDBE，可得BE= 22BC，由智慧三角形的定义可求解；
②由勾股定理可求BF，DF的长，由锐角三角函数可求AC的长，通过证明△ACG∽△EBG，可得BEAC=BGCG，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用参数表示线段的长是解题的关键．

22.【答案】解：(1)∵A(−1,0)，AC=5，
∴C(4,0)，
∵BC=5，
∴B(4,5)，
∴a+2a+c=016a−8a+c=5，
a=1c=−3，
∴y=x2−2x−3；
(2)设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴−k+b=04k+b=5，
∴k=1b=1，
∴y=x+1，
设P(m,m+1)，Q(m,m2−2m−3)，
∴PQ=(m+1)−(m2−2m−3)=−m2+3m+4=−(m−32)2+254，
∴当m=32时，PQ最大=254，
当m=32时，y=(32)2−2×32−3=−154，
∴P(32,−154)；
(3)设P(m,m+1)，Q(m,m2−2m−3)，
∴PQ=−m2+3m+4，
∵PQ//BC，BC=5，
∴|−m2+3m+4|=5，
当−m2+3m+4=5时，
m1=3+ 52，m2=3− 52，
当m=3+ 52时，m+1=5+ 52，
∴P1(3+ 52,5+ 52)，
当m=3− 52时，y=5− 52，
∴P2(3− 52,5− 52)，
当−m2+3m+4=−5时，
m3=3+3 52，m4=3−3 52，
当m=3+3 52时，m+1=5+3 52，
∴P3(3+3 52,5+3 52)，
当m=3−3 52时，m+1=5−3 52，
∴P4(3−3 52,5−3 52)，
综上所述：P(3+ 52,5+ 52)或(3− 52,5− 52)或(3+3 52,5+3 52)或(3−3 52,5−3 52). 
【解析】(1)先求得B(4,5)，然后将A，B两点坐标代入抛物线的解析式，求得a，c的值，进而求得结果；
(2)先求得直线AB的解析式，进而设P(m,m+1)，表示出Q坐标，从而表示出PQ的表达式，进一步求得结果；
(3)可得出PQ//BC，BC=5，从而根据PQ=BC列出方程|−m2+3m+4|=5，进而分别解方程−m2+3m+4=5和方程−m2+3m+4=−5，进一步得出结果．
本题考查了二次函数及其图象的性质，平行四边形的分类，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的基础知识．