2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花中学中考三模数学试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花中学中考三模数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花中学中考三模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算下列各式，值为正数的是(    )
A. 3×0−4 B. 3×0×(−4) C. 3+0−4 D. 3+0+4
2. 2023年5月30日上午，神舟十六号飞船搭乘长二F遥十六运载火箭成功发射，距离地面36000公里的天链中继卫星也开始了对神舟十六号飞船的测控接力.数36000用科学记数法表示为(    )
A. 36×104 B. 3.6×105 C. 3.6×104 D. 3.6×106
3. 如图，直线a/​/b，直线c分别交直线a，b于点A，B.若∠2=145°，则∠1=(    )
A. 45°
B. 35°
C. 55°
D. 40°
4. 如图，∠ACB=90°，AC=4，点P是直线CB上动点，则线段AP长度不可能是(    )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 某篮球代表队16名队员的年龄情况如表：
年龄/岁
35
36
38
40
44
人数
3
5
3
3
2
则这些队员年龄的众数和中位数分别是(    )
A. 36，36 B. 36，38 C. 36，37 D. 5，38
6. 若a>b，则下列不等式一定成立的是(    )
A. a>b+2 B. a+2>b+1 C. −a>−b D. |a|>|b|
7. 某汽车队运送一批救灾物资，若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4.5吨，恰好装完．设这个车队有x辆车，则(    )
A. 4(x+8)=4.5x B. 4x+8=4.5x C. 4.5(x−8)=4x D. 4x+4.5x=8
8. 有一道题目：“在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”.嘉嘉的求解结果是∠ABD=10°.淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是(    )
A. 淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130°
B. 淇淇说的不对，∠ABD就得10°
C. 嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20°
D. 两人都不对，∠ABD应有3个不同值
9. 二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A(x1,0)，B(x2,0)，且x1 A. 当n>0时，m0时，m>x2
C. 当n<0时，m<0 D. 当n<0时，x1 10. 如图，正六边形ABCDEF，P点在BF上，记图中的面积为S1，S2，S3，S4，S5，S6，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是(    )

A. S3+S6 B. S4+S5 C. S5+S6 D. S1+S3+S5
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：x2−1=          ．
12. 点M(m+1,m+3)在x轴上，则点M坐标为______ ．
13. 如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA=3，∠P=60°，则AB= ______ ．


14. 一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写有数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，现从中随机抽取两张卡片，则卡片上的数字之和是奇数的概率是______ ．
15. 如图，在菱形ABCD中，AD=2a，按如下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点M、N；连结MN若MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE.则∠BCD= ______ °，BE的长为______ (用含a的代数式表示)．

16. 如图，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，BD：BE=2：3，DE同时平分∠BEF和∠BDF，则EFFD= ______ ，BD的长是______ ．


三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算6+(−12+13)，嘉琪同学的计算过程如下，原式=6+(−12)+6+13=−12+18=6.请你判断嘉琪的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
18. (本小题8.0分)
某汽车厂去年每个季度汽车销售数量(辆)占当季汽车产量(辆)百分比的统计图如图所示．根据统计图回答下列问题：
(1)若第一季度的汽车销售量为2100辆，求该季的汽车产量；
(2)圆圆同学说：“因为第二，第三这两个季度汽车销售数量占当季汽车产量是从75%降到50%，所以第二季度的汽车产量一定高于第三季度的汽车产量”，你觉得圆圆说的对吗？为什么？

19. (本小题8.0分)
如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=12CD．
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．

20. (本小题8.0分)
已知反比例函数y1=4kx(k是常数，k≠0)与一次函数y2=−x+k图象有一个交点的横坐标是−4．
(1)求k的值；
(2)求另一个交点坐标；
(3)直接写出y1>y2时x的取值范围．
21. (本小题8.0分)
如图，矩形ABCD中，BC<2AB，点M是BC的中点，连接AM.将△ABM沿着AM折叠后得△APM，延长AP交CD于E，连接ME．
(1)求证：ME平分∠PMC
(2)求证：△EMC∽△MAB．
(3)若sin∠EAM=35，CE=3，求DE的值．

22. (本小题8.0分)
已知二次函数y1=ax(x+b)(a≠0)和一次函数y2=ax+m(a≠0)．
(1)若二次函数y1的图象过(1,0)，(2,2)点，求二次函数的表达式；
(2)若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．
①求证：m=ab；
②若y2y1的另一个交点B为二次函数y1的顶点，求b的值．
23. (本小题8.0分)
如图1，三角形ABC内接于圆O，点D在圆O上，连接AD和CD，CD交AB于点E，∠ADE+∠CAB=90°
(1)求证：AB是直径；
(2)如图2，点F在线段BE上，AC=AF，∠DCF=45°
①求证：DE=DA；
②若AB=kAD，用含k的表达式表示cosB．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：3×0−4=−4，
则A不符合题意；
3×0×(−4)=0，
则B不符合题意；
3+0−4=−1，
则C不符合题意；
3+0+4=7，
则D符合题意；
故选：D．
将各项计算后进行判断即可．
本题考查有理数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

2.【答案】C 
【解析】解：36000=3.6×104．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：如图，

∵a/​/b，
∴∠2=∠3=145°，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠1=35°，
故选：B．
根据邻补角定义及平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：∠ACB=90°，AC=4，点P是直线CB上动点，则线段AP长度不可能是3．
故选：A．
由垂线段的性质：垂线段最短，即可得到答案．
本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．

5.【答案】C 
【解析】解：这组数据中36出现5次，次数最多，
所以这组数据的众数是36；
把这些数据从小到大排列，中位数是第8、第9个数的平均数，
所以这组数据中位数为12(36+38)=37；
故选：C．
先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

6.【答案】B 
【解析】根据不等式的基本性质对给出的式子进行变形，即可得出答案．
解：A、因为a>b，所以a+2>b+2，故本选项不合题意；
B、因为a>b，所以a+1>b+1，所以a+2>b+1，故本选项符合题意；
C、因为a>b，所以−a<−b，故本选项不合题意；
D、当a=1，b=−2时，|a|<|b|，故本选项不合题意．
故选：B．
此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：设这个车队有x辆车，由题意得：
4x+8=4.5x，
故选：B．
根据题意可得救灾物资总量有(4x+8)吨，或4.5x吨，进而可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后列出方程．

8.【答案】A 
【解析】解：如图，当点D在△ABC外时，
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°．
∵BC=BD=CD，
∴∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=70°+60°=130°．
故选：A．
由题意可知嘉嘉考虑不周全，如图，当点D在△ABC外时，∠ABD的另一个值是130°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：∵二次函数y=x2+2x+c，
∴该函数图象开口向上，
∵二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A(x1,0)，B(x2,0)，且x1 ∴当n>0时，mx2，故选项A、B错误；
当n<0时，x1 故选：D．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

10.【答案】C 
【解析】解：连接BD、AD、FD、CE，AD交BF于M，

设正六边形ABCDEF边长为2a，
在正六边形ABCDEF中求得∠FAB=∠AFE=120°，
则∠AFB=∠ABF=30°，∠BFE=90°，
∴AM=12AB=a，
在正六边形ABCDEF中，
∵BF/​/CE，∠BFE=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴AD=4a，MD=3a，
∴BM= AB2−AM2= 3a，
∴BF=2BM=2 3a，
∴S△ABF=S△BCD=S△DEF=12×2 3a×a= 3a2，
设BP=x，则FP=BF−BP=2 3a−x，
∴S1=12×FP×AM=12(2 3a−x)a= 3a2−ax2，S2=12×BP×AM=12ax，S3=12×BP×BC=ax，S4=S△BCD+S△PBD−S3= 3a2+3ax2−ax= 3a2+ax2，S6=12×FP×EF=2 3a2−ax，S5=S△DEF+S△DMF−S6= 3a2+3a2(2 3a−x)−(2 3a2−ax)=2 3a2−ax2，
∴S3+S6=2 3a2，S4+S5=3 3a2，S5+S6=4 3a2−3a2，S1+S3+S5=3 3a2，
故选：C．
连接BD、AD、FD、CE，AD交BF于M，设正六边形ABCDEF边长为2a，在正六边形ABCDEF中求得∠FAB=∠AFE=120°，则∠AFB=∠ABF=30°，∠BFE=90°易得AD=4a，MD=3a，BF=2 3a，S△ABF=S△BCD=S△DEF= 3a2，设BP=x，则FP=BF−BP=2 3a−x，分别求得S1，S2，S3，S4，S5，S6计算即可．
本题考查了正多边形的性质，三角形面积的有关计算，30°角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理，解直角三角形；解题的关键是熟练掌握正多边形的性质．

11.【答案】(x+1)(x−1) 
【解析】
【分析】
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=(x+1)(x−1)．
故答案为：(x+1)(x−1)．  
12.【答案】(−2,0) 
【解析】解：∵点M(m+1,m+3)在x轴上，
∴m+3=0，
解得m=−3，
m+1=−3+1=−2，
所以，点M的坐标为(−2,0)．
故答案为：(−2,0)．
根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．

13.【答案】3 
【解析】解：连接OP，如图，

∵PA，PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
又∵∠P=60°，
∴∠PAB=∠PBA=∠P=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AB=PA=3．
故答案为：3．
先判断出PA=PB，进而判断出△PAB是等边三角形，即可得出结论．
本题主要考查了切线长定理，判断出△PAB是等边三角形是解题的关键．

14.【答案】23 
【解析】解：列表如下，

1
2
3
1

3
4
2
3

5
3
4
5

由上图可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出数字之和为奇数的有4种结果，
∴两次抽出数字之和为奇数的概率为46=23．
故答案为：23．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】120  7a 
【解析】解：连接AC，
由题意得：MN垂直平分CD，
∴AC=AD，CE=DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AD//BC，CD=AB=AD=2a，
∴AD=CD=AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∵AD/​/BC，
∴∠BCD+∠D=180°，
∴∠BCD=120°，
∵DE=12CD=a，∠AED=90°，∠D=60°，
∴AE= 3DE= 3a，
∴BE= AB2+AE2= 7a.
故答案为：120， 7a.
连接AC，由菱形的性质，线段垂直平分线的性质，推出△ACD是等边三角形，得到∠D=60°，由AD//BC，得到∠BCD+∠D=180°，因此∠BCD=120°；由直角三角形三角形的性质求出AE的长，由勾股定理即可求出BE的长．
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，关键是连接AC，由线段垂直平分线的性质推出△ACD是等边三角形，由直角三角形的性质求出AE的长，由勾股定理即可求解．

16.【答案】32 145 
【解析】解：∵DE平分∠BEF和∠BDF，
∴∠BED=∠FED，∠BDF=∠FDE，
∵DE=DE，
∴△BDE≌△FDE(ASA)，
∴FD=BD，BE=FE，∠DFE=∠B，
∵BD：BE=2：3，
∴EFFD=BEBD=32；
设BD=2x，BE=3x，
∴FD=2x，FE=3x，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=6，∠B=∠A=∠C=60°，
∴AD=6−2x，CE=6−3x，
∵∠DFE+∠EFC=∠A+∠ADF，
∴∠EFC=∠ADF，
∵∠C=∠A，
∴△ADF∽△CFE，
∴ADCF=AFCE=DFEF，
∴6−2xCF=AF6−3x=23，
∴CF=9−3x，AF=4−2x，
∵CF+AF=AC=6，
∴9−3x+4−2x=6，
∴x=75，
∴BD=2x=145．
故答案为：32；145．
由△BDE≌△FDE(ASA)，推出FD=BD，BE=FE，即可得到EFFD=BEBD=32；由△ADF∽△CFE，推出ADCF=AFCE=DFEF，因此6−2xCF=AF6−3x=23，求出CF=9−3x，AF=4−2，得到9−3x+4−2x=6，求出x的值，即可得到BD的长．
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△BDE≌△FDE(ASA)，得到FD=BD，BE=FE；由△ADF∽△CFE，得到ADCF=AFCE=DFEF=23．

17.【答案】解：嘉琪的计算过程错误，
正确的过程如下：
6+(−12+13)
=6−12+13
=556． 
【解析】先判断嘉琪的做法是否正确，然后根据去括号的法则和有理数加减法的法则可以解答本题．
本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法．

18.【答案】解：(1)由题意可得，
2100÷70%=3000(辆)，
即该季的汽车产量是3000辆；
(2)圆圆的说法不对，
因为百分比仅能够表示所要考查的数据在总量中所占的比例，并不能反映总量的大小． 
【解析】(1)根据每个季度汽车销售数量(辆)占当季汽车产量(辆)百分比的统计图，可以求得第一季度的汽车销售量为2100辆时，该季的汽车产量；
(2)首先判断圆圆的说法错误，然后说明原因即可解答本题．
本题考查折线统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C，AB/​/CD
∴∠ABF=∠CEB
∴△ABF∽△CEB

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD/​/BC，AB平行且等于CD
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF
∵DE=12CD
∴S△DEFS△CEB=(DEEC)2=19，S△DEFS△ABF=(DEAB)2=14
∵S△DEF=2
S△CEB=18，S△ABF=8，
∴S四边形BCDF=S△BCE−S△DEF=16
∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24． 
【解析】(1)要证△ABF∽△CEB，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用AB/​/CD，可得一对内错角相等，则可证．
(2)由于△DEF∽△EBC，可根据两三角形的相似比，求出△EBC的面积，也就求出了四边形BCDF的面积．同理可根据△DEF∽△AFB，求出△AFB的面积．由此可求出▱ABCD的面积．
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．

20.【答案】解：(1)联立方程组可得：4kx=−x+k，将x=−4代入得，
−k=4+k，即k=−2．
(2)y1=−8x，y2=−x−2，
联立：y=8xy=−x−2解得：
x=−4y=2，x=2y=−4，
∴另一个交点坐标为(2,−4)．
(3)y1>y2，就是反比例函数图象在一次函数图象上边时，自变量的取值范围．
即：x>2或−4 【解析】(1)根据反比例函数y1=4kx(k是常数，k≠0)与一次函数y2=−x+k图象有一个交点的横坐标是−4.代入两式可得k值；
(2)联立方程组求出两组解，写出另一个交点即可；
(3)根据交点横坐标以及各函数的增减性，可直接写出x的取值范围．
本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题．求交点坐标，联立方程是关键．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵点M是BC的中点，
∴BM=CM，
∵将△ABM沿着AM折叠后得△APM，
∴PM=BM，∠MPE=∠APM=∠B=90°，
∴PM=CM，∠MPE=∠C，
∵EM=EM，
∴△PEM≌△CEM(SAS)，
∴∠CME=∠PME，
∴ME平分∠PMC；
(2)证明：由折叠可得：∠AMB=∠AMP，
由(1)得：∠CME=∠PME，
∵∠AMB+∠AMP+∠PME+∠CME=180°，
∴∠AMB+∠CME=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CME，
∴△EMC∽△MAB；
(3)解：由折叠得：∠EAM=∠BAM，
∵∠CME=∠BAM，
∴∠CME=∠EAM，
∴sin∠CME=sin∠EAM=35，
∵∠C=90°，CE=3，
∴EM=335=5，
∴BM=CM=4，
由△EMC∽△MAB，
∴ABCM=BMCE，
∴AB4=43，
∴AB=163，
∴CD=AB=163，
∴DE=CD−CE=163−3=73． 
【解析】(1)可推出CM=BM=PM，∠C=∠B=∠APM=∠EPM=90°，进而推出△PEM≌△CEM，从而得出∠CME=∠PME，从而ME平分∠PMC；
(2)可推出∠AMB+∠CEM=90°，∠BAM=∠AMB=90°，从而∠BAM=∠CME，进一步得出结论；
(3)可推出sin∠CME=sin∠EAM=35，进而得出EM=335=5，由△EMC∽△MAB得出ABCM=BMCE，从而求得AB的值，进一步得出结果．
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是转化条件和集中条件．

22.【答案】(1)解：∵二次函数y1的图象过(1,0)，(2,2)点，
∴a(1+b)=02a(2+b)=2，
解得：a=1b=−1，
∴二次函数的表达式为y=x2−x；
(2)①证明：令y1=0，则ax(x+b)=0，
解得：x=0或x=−b．
∴抛物线y1=ax(x+b)与x轴交于(0,0)(−b,0)．
令y2=0，则ax+m=0，
∴x=−ma．
∴直线y2=ax+m与x轴交于(−ma,0)，
∵若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，
∴−ma=−b，
∴m=ab；
②解：∵y1=ax(x+b)=ax2+abx=a(x+b2)2−ab24，
∴二次函数的顶点为(−b2,−ab24).
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∴a⋅(−b2)+m=−ab24．
由①知：m=ab，
∴−ab2+ab=−ab24，
解得：b=0(不合题意，舍去)或b=−2．
∴若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，b的值为−2． 
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)①令y=0，分别求得两个函数的图象与x轴的交点，依据已知条件列出关于a，b，m的等式，整理即可得出结论；
②利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，再利用①的结论得到关于b的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，函数图象的交点，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：由圆周角定理得：∠ADE=∠ABC，
∵∠ADE+∠CAB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴AB是直径．
(2)证明：①∵AC=AF，∠DCF=45°，
∴∠AFC=∠ACF=∠ACE+∠DCF=∠ACE+45°，
∴∠AED=∠CEF=180°−∠DCF−∠AFC=90°−∠ACE，
由圆周角定理得：∠DAE=∠BCD=∠ACB−∠ACE=90°−∠ACE，
∴∠AED=∠DAE，
∴DE=DA；
②如图，过点A作AH⊥CD于点H，

设DE=DA=x，BC=y，则AB=kx，cosB=BCAB=ykx，
在Rt△ABC中，BC ∴cosB=ykx<1．
设cosB=ykx=a(a<1)，则y=kxa：
∵∠CEF=∠AED，∠DAE=∠BCD，∠AED=∠DAE，
∴∠CEF=∠BCD，
∴BE=BC=y=kxa，
∴AE=AB−BE=kx(1−a)，
由圆周角定理得：∠ADH=∠B，
在△ADH和△ABC中，
∵∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ABC，
∴DHBC=ADAB，即DHkxa=xkx，
解得DH=xa：
∴EH=DE−DH=x(1−a)，
由勾股定理得：AD2−DH2=AH2=AE2−EH2，
∴x2−(xa)2=[kx(1−a)]2−[x(1−a)]2．
整理得：k2a2+(2−2k2)a+k2−2=0．
解得a=k2−2k2或a=1(舍去)，
则cosB=k2−2k2． 
【解析】(1)先根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABC，从而可得∠ABC+∠CAB=90°，再根据圆周角定理即可得证；
(2)①先根据等腰三角形的性质可得∠AFC=∠ACF，根据三角形的外角性质可得∠AFC=∠ACE+45°，再根据圆周角定理可得∠DAE=∠BCD=90°−∠ACE，从而可得∠AED=∠DAE，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
②过点A作AH⊥CD于点H，设DE=DA=x，BC=y，则AB=kx，cosB=ykx，设cosB=ykx=a(a<1)，则y=kxa，先根据等腰三角形的判定可得BE=BC=kxa，再证出△ADH∽△ABC，根据相似三角形的性质可得DH=xa然后利用勾股定理可得AD2−DH2=AH2=AE2−EH2，建立方程，解方程可得．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，余弦等知识点，较难的是题(2)②，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．