高考数学一轮复习教案 第6章_第1节_不等式的性质与一元二次不等式（含答案解析）

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1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＞0⇔a＞ba，b∈R，,a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，,a－b＜0⇔a＜ba，b∈R；))
(2)作商法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＞1⇔a＞ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＜1⇔a＜ba∈R，b＞0.))
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)
a>b，c<0⇒ac(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)
(8)开方法则：a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n≥2，n∈N)；(单向性)
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
eq \([常用结论])
1．有关分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)eq \f(b,a)＜eq \f(b＋m,a＋m)；eq \f(b,a)＞eq \f(b－m,a－m)(b－m＞0)；
(2)eq \f(a,b)＞eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)＜eq \f(a－m,b－m)(b－m＞0)．
2．有关倒数的性质
a＞b，ab＞0⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).
3．a＞b＞0,0＜c＜d⇒eq \f(a,c)＞eq \f(b,d).
4．简单的分式不等式
(1)eq \f(fx,gx)≥0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx·gx≥0，,gx≠0；))
(2)eq \f(fx,gx)＞0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fxgx＞0，,gx≠0.))
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( )
(2)a>b>0，c>d>0⇒eq \f(a,d)>eq \f(b,c).( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0⇒eq \r(3,a)>eq \r(3,b)；
④a>b>0⇒eq \f(1,a2)>eq \f(1,b2).
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0，所以eq \f(1,a2)3．(教材改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则( )
A．ac＞bc B.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)
C．a2＞b2 D．a3＞b3
D [取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]
4．(教材改编)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}
A [方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]
5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－4]∪[4，＋∞) [由题意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.]
1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.eq \f(a,d)＞eq \f(b,c) B.eq \f(a,d)＜eq \f(b,c)
C.eq \f(a,c)＞eq \f(b,d) D.eq \f(a,c)＜eq \f(b,d)
B [由c＜d＜0得eq \f(1,d)＜eq \f(1,c)＜0，则－eq \f(1,d)＞－eq \f(1,c)＞0，∴－eq \f(a,d)＞－eq \f(b,c)，∴eq \f(a,d)＜eq \f(b,c)，故选B.]
2．(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A.eq \f(1,x)－eq \f(1,y)>0 B．sin x－sin y>0
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))y<0 D．ln x＋ln y>0
C [函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xy>0⇒eq \f(1,x)y>0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x>y>0⇒xy>0eq \(⇒,/)ln(xy)>0eq \(⇒,/)ln x＋ln y＞0，故D错误．]
3．若a＝20.6，b＝lgπ3，c＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,5)))，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
A [因为a＝20.6＞20＝1，又lgπ1＜lgπ3＜lgππ，所以0＜b＜1，c＝lg2sineq \f(2π,5)＜lg21＝0，于是a＞b＞c.故选A.]
4．已知角α，β满足－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2)，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．
(－π，2π) [设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,n－m＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝1，))
从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，
又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π，
∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.]
[规律方法] 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法
1利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：
一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.
2比较大小常用的方法
①作差商法：作差商⇒变形⇒判断，
②构造函数法：利用函数的单调性比较大小，
③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.
3由a►考法1 不含参数的一元二次不等式
【例1】 (1)不等式2x2－x－3＞0的解集为________．
(2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞\f(3,2)或x＜－1)))) (2)(－4,1) [(1)方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝eq \f(3,2)，则不等式2x2－x－3＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞\f(3,2)或x＜－1)))).
(2)由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为(－4,1)．]
►考法2 含参数的一元二次不等式
【例2】 (1)解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a＜0.
[解] 原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，
当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a＜1时，原不等式的解集为(a,1)．
(2)解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0.
[解] 若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，
解得x＞1.
若a＜0，原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0，
解得x＜eq \f(1,a)或x＞1.
若a＞0，原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.
①当a＝1时，eq \f(1,a)＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0无解；
②当a＞1时，eq \f(1,a)＜1，解eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0，得eq \f(1,a)＜x＜1；
③当0＜a＜1时，eq \f(1,a)＞1，解eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0，得1＜x＜eq \f(1,a).
综上所述，当a＜0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,a)或x＞1))))；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＜x＜\f(1,a)))))；
当a＝1时，解集为∅；
当a＞1时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＜x＜1)))).
[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤：
1使一端为0且把二次项系数化为正数；
2先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；
3写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式的步骤：
1二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；
2判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
(1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,))－\f(1,2)A．{x|2C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,))\f(1,3)\f(1,2)))
B [∵不等式ax2－bx－1>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,))－\f(1,2)∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－eq \f(1,2)和x2＝－eq \f(1,3)，且a<0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,3)＝\f(b,a)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－\f(1,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－6，,b＝5.))
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]
(2)解不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．
[解] Δ＝a2－4.
①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．
②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝eq \f(－a＋\r(a2－4),2)，x2＝eq \f(－a－\r(a2－4),2)，
则原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－a－\r(a2－4),2) ＜x＜\f(－a＋\r(a2－4),2))))).
综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．
当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－a－\r(a2－4),2) ＜x＜\f(－a＋\r(a2－4),2))))).
【例3】 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)当m＝0时，f(x)＝－1＜0恒成立．
当m≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0，))即－4＜m＜0.
综上，－4＜m≤0，故m的取值范围是(－4,0]．
(2)不等式f(x)＜5－m，即(x2－x＋1)m＜6，
∵x2－x＋1＞0，∴m＜eq \f(6,x2－x＋1)对于x∈[1,3]恒成立，只需求eq \f(6,x2－x＋1)的最小值，
记g(x)＝eq \f(6,x2－x＋1)，x∈[1,3]，
记h(x)＝x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)，
h(x)在x∈[1,3]上为增函数，则g(x)在[1,3]上为减函数，
∴[g(x)]min＝g(3)＝eq \f(6,7)，∴m＜eq \f(6,7).
所以m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7))).
[规律方法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件,1ax2＋bx＋c＞0a≠0恒成立的条件是
2ax2＋bx＋c＜0a≠0恒成立的条件是.
(1)若不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0) B．[－3,0)
C．[－3,0] D．(－3,0]
(2)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．
(1) D (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0)) [(1)当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＜0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)))＜0，))
解得－3＜k＜0.
综上，满足不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．
(2)由题意得，函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＝m2＋m2－1＜0，,fm＋1＝m＋12＋mm＋1－1＜0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m2－1＜0，,2m2＋3m＜0，))解得－eq \f(\r(2),2)＜m＜0.]
【例4】 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋1－\f(3,x)))元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
[解] (1)根据题意，
得200eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋1－\f(3,x)))≥3 000，
整理得5x－14－eq \f(3,x)≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10]．
(2)设利润为y元，则
y＝eq \f(900,x)·100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋1－\f(3,x)))
＝9×104eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))
＝9×104eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋\f(61,12)))，
故当x＝6时，ymax＝457 500元．
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．
[规律方法] 求解不等式应用题的四个步骤：
1阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
2引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型；
3解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义；
4回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问：甲、乙两车有无超速现象？
[解] 由题意知，对于甲车，
有0.1x＋0.01x2＞12，
即x2＋10x－1 200＞0，
解得x＞30或x＜－40(不合实际意义，舍去)，
这表明甲车的车速超过30 km/h.
但根据题意刹车距离略超过12 m，
由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，
即x2＋10x－2 000＞0，
解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1有两相等实根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|x或x>x2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1∅
∅
不等式的性质及应用
一元二次不等式的解法
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式的应用