高考数学一轮复习教案 第9章_第3节_用样本估计总体（含答案解析）

第三节　用样本估计总体

[考纲传真]　1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．

1．作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；

(2)决定组距与组数；

(3)将数据分组；

(4)列频率分布表；

(5)画频率分布直方图．

2．频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

3．茎叶图的优点

茎叶图的优点是不但可以记录所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便.                               

注意：茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

4．样本的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．

(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．

(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是

s＝

s2＝

1．频率分布直方图的3个结论

(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．

(2)各小长方形的面积之和等于1.

(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.

2．平均数、方差的公式推广

(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.

(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.

①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；

②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．                                                       (　　)

(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.  (　　)

(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．  (　　)

(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．  (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．(教材改编)一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为(　　)

A．4　　　　B．8　　　　C．12　　　　D．16

B　[设频数为n，则＝0.25，∴n＝32×＝8.]

3．(教材改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)

A．91.5和91.5          B．91.5和92

C．91和91.5   D．92和92

A　[∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是＝91.5，平均数＝＝91.5.]

4．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．

48　[由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)．]

5．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．

0.1　[5个数的平均数＝＝5.1，所以它们的方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.]

1．(2019·成都检测)某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为                (　　)

A．117　　　B．118　　　C．118.5　　　D．119.5

B　[22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，

将分数从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，

所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.]

2．(2019·泉州质检)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是                (　　)

A．5         B．6   C．7   D．8

B　[由甲组学生成绩的平均数是88，可得＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6，故选B.]

1．(2019·济南一中质检)2018年2月20日，摩拜单车在济南推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”活动．为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据的方差为 (　　)

A．9         B．4   C．3   D．2

B　[由茎叶图得该组数据的平均数＝(87＋89＋90＋91＋93)＝90.

∴方差为[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.]

2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 (　　)

甲　　　　　　　　　　乙

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

C　[甲的平均数是＝6，中位数是6，极差是4，方差是＝2；乙的平均数是＝6，中位数是5，极差是4，方差是＝，故选C.]

3．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：

如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．

甲　[甲＝乙＝9，s＝×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝，

s＝×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝＞s，故甲更稳定．]

►考法1　求样本的频率、频数

【例1】　(2019·石家庄检测)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)

A．56         B．60   C．120   D．140

D　[由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.]

►考法2　频率分布直方图与样本的数字特征的综合

【例2】　我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；

(3)估计居民月均用水量的中位数．

[解]　(1)由频率分布直方图可知：月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.

由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，

解得a＝0.30.

(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.

(3)设中位数为x吨．

因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，

又前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，

所以2≤x<2.5.

由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.

故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．

(1)为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　)

A．64         B．54   C．48   D．27

B　[前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.

因为后五组频数和为62，所以前三组为38.所以第三组频数为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.]

(2)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

①若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

②若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50,90]之外的人数．

[解]　①估计这次语文成绩的平均分＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.

所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．

②分别求出语文成绩在分数段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]的人数依次为0.05×100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.

所以数学成绩分数段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]的人数依次为5,20,40,25.所以数学成绩在[50,90]之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人).

1．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是(　　)

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

A　[设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为2x.

建设前种植收入为0.6x，建设后种植收入为0.74x，故A不正确；

建设前其他收入为0.04x，建设后其他收入为0.1x，故B正确；

建设前养殖收入为0.3x，建设后养殖收入为0.6x，故C正确；

建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D正确．]

2．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)

A．x1，x2，…，xn的平均数

B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值

D．x1，x2，…，xn的中位数

B　[因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.]

3．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是(　　)

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

A　[对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；

对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；

对于选项C，D，由图可知显然正确．

故选A.]

4．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)

A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个

D　[对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．]