人教版2023年九年级上册第22章《二次函数》单元测试卷

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人教版2023年九年级上册第22章《二次函数》单元测试卷
一、选择题（共30分）
1．下列函数是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．若二次函数有最大值，则“□”中可填的数是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
3．抛物线的顶点坐标是（    ）
A． B． C． D．
4．现有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为，一边长为，则y与x之间的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
5．把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线（    ）
A． B．
C． D．
6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ）
  
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
7．已知，点 ，，都在函数的图象上，则（    ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）
  
A． B． C． D．
9．如图所示，点A，B，C是抛物线（为任意实数）上三点，则下列结论：
①；②函数最大值大于4；③；其中正确的有（    ）
  
A．②③ B．②③ C．①③ D．①②
10．如图，正方形的边长为，点O为正方形的中心，点P从点A出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，连接，在移动的过程中始终保持，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（　　）
  
A．   B．  
C．   D．  
二、填空题（共32分）
11．若函数是二次函数，则的取值范围是 ．
12．若点在抛物线上，则 ．
13．二次函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
14．抛物线与轴有 个公共点．
15．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则，，，的大小关系是 ．

16．二次函数中的和满足下表：

……

0
1
2
3
……

……
0


m
0
……
则的值为 .
17．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
18．已知抛物线和直线，我们定义新函数M，若，则；若，则；若，则．下列结论：①无论k为何值，抛物线与直线总有交点；②若，则当时，M有最小值3；③若当时，M的值随x的值增大而增大，则；④当时，方程有三个不等实根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
三、解答题（共58分）
19．（6分）已知二次函数．
(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值；
(2)当时，求的值；
(3)当时，求的值．




20．（6分）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示：

…





…

…





…

(1)求二次函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)当时，的取值范围是____________．


21．（8分）“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条．
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？


22．（8分）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求的面积．



23．（9分）年东京奥运会，中国跳水队赢得个项目中的块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
  
(1)时，求这条抛物线的解析式．
(2)（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离．
(3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围．




24．（9分）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．






25．（12分）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为．
  
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，，，设的面积为．
①求关于的函数表达式；
②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)如图2，设抛物线的对称轴为，与轴的交点为，在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．


























参考答案
1．B
【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、是二次函数，故本选项符合题意；
C、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解题的关键．
2．D
【分析】先设□处为a，然后根据二次函数的性质得，最后根据可得□中可填的数是．
【详解】解：设□处为a，由题意得二次函数为，
∵二次函数 有最大值，
∴二次函数的图象开口向下即，
∵，
∴a可以是，
∴□中可填的数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
3．B
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
4．D
【分析】根据题意求出矩形的另一边长，即可求解．
【详解】解：由题意得：矩形的另一边长，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，正确理解题意是关键．
5．C
【分析】首先得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【详解】解：由题意得原抛物线的顶点为，
平移后抛物线的顶点为，
新抛物线解析式为，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
6．B
【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
【详解】解：由题意得抛物线顶点坐标为，
由函数图象得抛物线的顶点在第四象限，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选B．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据题目中的抛物线，可以得到函数图象的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到、、的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大．
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：
  
当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
9．B
【分析】由图可得：抛物线的开口方向向下，当 ，，即，可判断结论③正确；当与时，函数值不相等，可得抛物线的对称轴不是直线，即，函数最大值大于4，即可得出答案.
【详解】解：由图可得：抛物线的开口方向向下，当时，，当 ，，即，结论③正确；
∴当与时，函数值不相等，
∴抛物线的对称轴不是直线，即，函数最大值大于4；
故结论①错误，②正确；
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质、数形结合是解题的关键.
10．D
【分析】分情况求出当点P在上时、当点P在上时的函数关系式，再依题判断即可．
【详解】解：如图，当点P在上时，延长交与点E，
  
∴，
由题得，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点P在上时，
  
由题得，，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，求出分段函数的解析式是解题的关键．
11．
【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不为0，即可求解．
【详解】解：函数是关于的二次函数，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
12．2
【分析】将代入，求出即可．
【详解】解：∵若点在抛物线上，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
13．减小
【分析】根据，得函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，即可得．
【详解】解：∵，对称轴为直线，
∴函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
14．0
【分析】直接根据二次函数（是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系即可得到答案．
【详解】解：令，则，
，
抛物线与轴有0个公共点，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握二次函数（是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系：决定抛物线与轴的交点个数，时，抛物线与轴有2个交点，，抛物线与轴有1个交点，时，抛物线与轴有0个交点．
15．/
【分析】根据函数图象的位置得到，，，以及，，，即可得到答案．
【详解】由①②图象可知，，，
∵①开口更窄，
∴，
即，
由③，④图象可知，，，
∵④开口更窄，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，正确理解二次函数的开口大小与方向与字母的关系是解题的关键．
16．
【分析】通过表格中的数据可以求出二次函数的表达式，再将代入函数解析式，求得的值．
【详解】将，，代入
得
解得
故
将，代入函数解析式
得
故的值为．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，再代数求值．
17．6
【分析】先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
∵
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当时，升到最高点．
故答案为：6．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．①②③
【分析】①令,再根据判别式进行判断即可．②在平面直角坐标系中画出与的图像，可确定时函数M的图像，根据图像可求出时，M的最小值．②在平面直角坐标系中画出与的图像，根据图像可确定k不同取值的情况下M的图像，根据图像可判断M的增减性，以此反过来确定k的取值即可．④在平面直角坐标系中画出与的图像，可确定函数M的图像，M的图像与这条直线交点的个数即为的实数根的个数．
【详解】解：①令，则有：．整理得：．
∵，
∴无论k为何值，抛物线与直线总有交点．故①正确．
②当时，，
在平面直角坐标系中画出与的图像如下：
  
由题中M的定义可知，当时，，当时，，
当时，，当时，，
根据图像可知，当时，M最小值为3．故②正确．
③在平面直角坐标系中画出与的图像如下：
    
由图可知，当时，若，M的值随x的值增大而增大，
若，M的值随x的增大先增大再减小再增大，
若，M的值随x的值增大而增大，
∴当时，M的值随x的值增大而增大，则．故③正确．
④在平面直角坐标系中画出与的图像如下：
  
由图像可以发现，M的图像与这条直线只要两个交点，
∴当时，方程有两个不等的实根，故④不正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用，在平面直角坐标系中画出图像确定新函数M的图像是解决此题的关键．
19．(1)，，，
(2)77
(3)或

【分析】（1）形如的函数称为二次函数，根据此定义即可判断；
（2）把代入解析式进行计算即可得解；
（3）当代入解析式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：二次函数化为一般形式，
其中，，；
（2）解：当时，；
（3）解：当时，即，
解得或．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义以及求函数值，关键是要牢记二次函数的定义．
20．(1)
(2)画图见详解
(3)

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据函数解析式，用描点法即可求解；
（3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围．
【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，，
∴，解方程得，
∴二次函数解析式为．
（2）解：二次函数解析式为，图像如图所示，

函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意．
（3）解：当时，根据（2）中图示可知，
当时，；当当时，；当时，．
∴当时，．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键．
21．(1)
(2)当销售单价降低元时，每月获得最大利润，最大利润为为元

【分析】（1）根据销售单价每降元，则每月可多销售条，写出与的函数关系式；
（2）该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）由题意可得：
，
与的函数关系式为；
（2）由题意得：

，
，抛物线开口向下，
有最大值，即当时，，
此时，
当销售单价降低元时，每月获得最大利润，最大利润为为元．
【点睛】本题考查了二次函数销售问题的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C点坐标，再根据，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，
∴点C的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴的面积是．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，掌握待定系数法求解析式，以及二次函数的性质是解题的关键．
23．(1)
(2)运动员落水点与点的距离为
(3)

【分析】（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，运用待定系数法即可求解；
（2）在（1）中函数解析式中令，求出即可；
（3）若跳水运动员在区域内（含点）入水达到训练要求，设函数设抛物线的解析式为，中当米时，，当米时，，解不等式即可得．
【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的解析式为，运动员落水点在轴上，
∴令，则，解得，，，
∵抛物线的对称轴为，且运动员落水点在对称轴的右边，
∴，即运动员落水点在轴上，表示数量为的位置，且点为原点，
∴运动员落水点与点的距离为．
（3）解：根据题意，
∵跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为，且过点，
∴，则，
∵米，米，
∴当时，，则，解得，；
当时，，则，解得，；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，理解函数图像，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，图像的性质等知识是解题的关键．
24．(1)函数表达式为：，顶点坐标为
(2)，
(3)

【分析】（1）根据当和时，二次函数的函数值相等，求出抛物线对称轴，再根据该函数的最大值为1，可写出抛物线的顶点式和顶点坐标，即可解答；
（2）根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，得出的判别式，以及，可求出a，b的值；
（3）根据（2）中抛物线的解析式，再根据二次函数的平移规律求出平移后的解析式，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（a，b是常数，）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵该函数的最大值为1，
∴该函数的顶点坐标为，
设函数的解析式为，即，
∴，
解得，
∴函数表达式为：，
∴该函数的顶点坐标为；
（2）∵该函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，
∴，
∵对称轴为，
∴，
将代入中，
解得（舍去），，
∴，
∴，；
（3）由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，
∴，
即
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，
且，
∴，随x的增大而增大，
∴当时，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．(1)
(2)①；②点到直线的距离的最大值为，此时点的坐标为
(3)存在，

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①在图1中，过点作轴，交于点，求得直线的解析式为．点的坐标为，则点的坐标为，根据三角形的面积公式得出；
②根据二次函数的性质得出当时，取最大值，最大值为．勾股定理求得，等面积法求得点到直线的距离，进而得出的坐标；
（3）如图2，连接，交抛物线对称轴于点，因为抛物线与轴交于，两点，所以抛物线的对称轴为直线，由平行四边形的性质及平移规律可求出点的坐标；当时，不存在．
【详解】（1）(1)将，代入，
得解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）①在图1中，过点作轴，交于点．
  
设直线的解析式为，
将、代入，
，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴
②
∵，
∴当时，取最大值，最大值为．
∵、，
∴线段，
∴点到直线的距离的最大值为，
当时，，则此时点的坐标为
（3）如图，连接，交抛物线对称轴于点，
  
抛物线与轴交于，两点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，
在中，当时，，
，
，
，
，
点的坐标为；
当时，不存在，理由如下，
若四边形是平行四边形，则，
点的横坐标为，点的横坐标为，
点的横坐标，
又，
不存在，
综上所述， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，平行四边形的存在性等，解题关键是能够灵活运用平行四边形的性质及判定等．