浙教版2023年九年级上册 第1章《二次函数》单元测试卷 原卷+解析卷

这是一份浙教版2023年九年级上册 第1章《二次函数》单元测试卷 原卷+解析卷，共23页。
浙教版2023年九年级上册 第1章《二次函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y≥3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
2．二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1
3．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
4．将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+6 C．y＝（x+3）2+6 D．y＝（x﹣3）2+2
5．抛物线一定经过点（　　）
A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，4）．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
8．二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（　　）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
9．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（　　）

A． B．y＝x（12﹣x） C． D．y＝x（24﹣x）
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若，是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤（其中）其中正确的结论有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．若y＝（m+2）+（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　 　．
12．已知抛物线y＝（a﹣1）x2+2x开口向下，那么a的取值范围是 　 　．
13．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，如果此抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3，0），那么抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 　 　．
14．已知函数y＝x2+mx+m﹣2的图象过点（1，m2），则实数m的值为 　 　．
15．已知二次函数y＝x2+4x+c的图象与两坐标轴共有2个交点，则c＝　 　．
16．已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，函数值y的取值范围是 　 　．
17．如图①，是可移动的灌溉装置OA，以水平地面方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，如图②所示，其水柱的高度y（单位：m）与水柱距离喷水头的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式
y＝﹣x2+x+．当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置，则x的取值范围是 　 　．
​
18．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A3旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，则C2022的顶点坐标为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝﹣2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．




20．（6分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将二次函数y＝x2+2x﹣3化成顶点式；
（2）求图象与x轴，y轴的交点坐标．




21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+2
（1）填写表中空格处的数值
x
…
﹣1
0
1

3
…
y＝﹣x2+2x+2
…



2
﹣1
…
（2）根据上表，画出这个二次函数的图象；
（3）根据表格、图象，当0＜x＜3时，y的取值范围 　 　．
（4）根据图象，当x　 　时，y随x的增大而增大．



22．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于C（0，3），点P在抛物线上，横坐标设为m．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
（3）若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m，求m的值．



23．（8分）图1是一块铁皮材料的示意图，线段AB长为4dm，曲线是抛物线的一部分，顶点C在AB的垂直平分线上，且到AB的距离为4dm．以AB中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
​
（1）求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在AB上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．



24．（8分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式．
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？

25．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，当四边形OBPC的面积S最大时，求出面积的最大值及P点的坐标；
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．





26．（11分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，且CO＝3AO，连接AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，若点M是直线BC下方抛物线上一动点（不与点B，C重合），是否存在△BCM，使∠BCM＝90°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在y轴上找一点P，使得△ACP是等腰三角形，并求出点P的坐标．






浙教版2023年九年级上册 第1章《二次函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y≥3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【解答】解：A．y≥3x，是不等式，故该选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x＝x2+3x﹣x2＝3x，是一次函数，故该选项不符合题意；
C．y＝（x﹣1）2，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D．y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，故该选项不符合题意．
故选：C．
2．二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1
【分析】根据二次函数的一般形式找出a，b，c的值即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣6x﹣1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣6，﹣1．
故选：A．
3．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
4．将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+6 C．y＝（x+3）2+6 D．y＝（x﹣3）2+2
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为：y＝（x+3）2+2﹣4，即y＝（x+3）2﹣2．
故选：A．
5．抛物线一定经过点（　　）
A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，4）．
【分析】分别计算当x＝0和y＝0时y和x的取值即可选出正确答案．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2，
故A和D不正确．
当y＝0时，，解得x＝2或﹣2．
故选：B．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴一次函数y＝kx+1的图象经过经过第一、二、四象限，A、D选项不符合题意，C符合题意；
故选：C．
7．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出y1，y2，y3的值，然后比较它们的大小．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝9a+4；
当x＝﹣1时，y2＝4a+4；
当x＝5时，y3＝16a+4；
∵二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，
∴a＞0，
∴4a+4＜9a+4＜16a+4
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
8．二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（　　）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
【分析】根据判别式Δ＞0，得出结论．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＝9+8c，
∵c＞0，
∴9+8c＞0，
∴Δ＞0，
∴二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
9．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（　　）

A． B．y＝x（12﹣x） C． D．y＝x（24﹣x）
【分析】根据AD的边长为x米，可以得出AB的长为米，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．
【解答】解：∵AD的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，
∴AB＝米，
∵菜园的面积＝AD×AB＝x•，
∴y＝．
故选：C．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若，是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤（其中）其中正确的结论有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴a＜0，c＞0，再根据对称轴可得b＝﹣a＞0，由此可判断结论①；将点（2，0）代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0，则结论①正确；
将点（2，0）代入二次函数的解析式得：4a+2b+c＝0，则结论③错误；
将a＝﹣b代入4a+2b+c＝0得：﹣2b+c＝0，则结论②正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴和时的函数值相等，即都为y1，
又∵当时，y随x的增大而减小，且，
∴y1＞y2，则结论④错误；
由函数图象可知，当时，y取得最大值，最大值为，
∵，
∴，即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．若y＝（m+2）+（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　2　．
【分析】根据二次函数定义可得m+2≠0且m2﹣2＝2，再解即可．
【解答】解：由题意得：m+2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
12．已知抛物线y＝（a﹣1）x2+2x开口向下，那么a的取值范围是 　a＜1　．
【分析】由开口向下可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围．
【解答】解：∵y＝（a﹣1）x2+2x的开口向下，
∴a﹣1＜0，解得a＜1，
故答案为：a＜1．
13．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，如果此抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3，0），那么抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 　（﹣1，0）　．
【分析】结合对称轴和抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3，0）即可解答．
【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴交点（3，0）到对称轴的距离是2，
根据对称性可得另一交点到对称轴的距离等于2，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣1，0）．
14．已知函数y＝x2+mx+m﹣2的图象过点（1，m2），则实数m的值为 　1　．
【分析】将（1，m2）代入y＝x2+mx+m﹣2得，m2＝1+m+m﹣2，计算求解即可．
【解答】解：将（1，m2）代入y＝x2+mx+m﹣2得，m2＝1+m+m﹣2，
解得m＝1，
故答案为：1．
15．已知二次函数y＝x2+4x+c的图象与两坐标轴共有2个交点，则c＝　0或4　．
【分析】二次函数与y轴一定有一个交点，然后分成与y轴的交点是原点和不是原点，两种情况进行讨论求解．
【解答】解：在二次函数y＝x2+4x+c中，当x＝0时，y＝c，函数与y轴一定有一个交点．
当二次函数经过原点时，c＝0；
当二次函数不经过原点时，二次函数与x轴只有一个交点，则Δ＝16﹣4c＝0，
解得c＝4．
故答案为：0或4．
16．已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，函数值y的取值范围是 　0≤y≤4　．
【分析】由二次函数的增减性即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝x2，
∴该抛物线的对称轴为y轴，
当x＝0时，y＝0，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2＝1，当x＝2时，y＝22＝4，
∴0≤y≤4，
故答案为：0≤y≤4．
17．如图①，是可移动的灌溉装置OA，以水平地面方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，如图②所示，其水柱的高度y（单位：m）与水柱距离喷水头的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式
y＝﹣x2+x+．当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置，则x的取值范围是 　0≤x≤6且x≠3　．
​
【分析】根据题意可先求出点A的坐标，然后求出当y＝0时对应的x值，即可得出水柱的水平距离x的取值范围，然后求出顶点坐标和对称轴，再求出点A关于对称轴对称的点，根据当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置，即可得出x的取值范围．
【解答】解：由题意可得：当x＝0时，y＝，
∴A（0，），
当y＝0时，即＝0，
解得：，，
∴水柱的水平距离x的取值范围为：0≤x≤，
∵y＝＝﹣（x﹣3）2+3，
∴顶点坐标为（3，3），对称轴x＝3，
∴点A（0，）关于对称轴对称的点为（6，），
∵当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置，
∴x的取值范围为：0≤x≤6且x≠3；
故答案为：0≤x≤6且x≠3．
18．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A3旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，则C2022的顶点坐标为 　（4043，﹣1）　．

【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，得到图象C1与x轴交点坐标为：（0，0），（2，0），此时顶点坐标为（1，1），再利用旋转的性质得到图象C2与x轴交点坐标为：（2，0），（4，0），顶点坐标为（3，﹣1），于是可推出抛物线上的点的横坐标x为偶数时，纵坐标为0，横坐标是奇数时，纵坐标为1或﹣1，按照上述规律进行解答，即可求解．
【解答】解：∵一段抛物线C1：y＝﹣x（x﹣2）＝﹣（x﹣1）2（0≤x≤2），
∴图象C1与x轴交点坐标为：O（0，0），A1（2，0），此时抛物线顶点坐标为（1，1），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，
∴图象C2与x轴交点坐标为：A1（2，0），A2（4，0），此时抛物线顶点坐标为（3，﹣1），
将C2绕点A2旋转180°得C3，
图象C3与x轴交点坐标为：A2（4，0），A3（6，0），此时抛物线顶点坐标为（5，1），…
∴当n为奇数时，∁n的顶点坐标为（2n﹣1，1），
当n为偶数时，∁n的顶点坐标为（2n﹣1，﹣1），
当n＝2022时，C2022的顶点坐标为（2×2022﹣1，﹣1），即（4043，﹣1），
故答案为：（4043，﹣1）．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝﹣2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．
【分析】（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2求出a，得到这个二次函数的表达式，再将x＝﹣2代入即可求出y的值；
（2）根据a的符号判断抛物线的开口方向，把抛物线解析式化为顶点式，进而求出对称轴、顶点坐标．
【解答】解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2得，
a•32＝3，解得a＝，
所以这个二次函数的表达式为y＝x2；
当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2＝；

（2）∵y＝x2，a＝＞0，
∴图象开口向上；
对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）．
20．（6分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将二次函数y＝x2+2x﹣3化成顶点式；
（2）求图象与x轴，y轴的交点坐标．
【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式即可；
（2）令y＝0，即x2+2x﹣3＝0方程的两个根即是抛物线与x轴的两个交点的横坐标．
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4
（2）令x＝0，则y＝﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3），
又∵y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）
∴该抛物线与x轴的交点坐标是（﹣3，0）（1，0）．
21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+2
（1）填写表中空格处的数值
x
…
﹣1
0
1
　2　
3
…
y＝﹣x2+2x+2
…
　﹣1　
　2　
　3　
2
﹣1
…
（2）根据上表，画出这个二次函数的图象；
（3）根据表格、图象，当0＜x＜3时，y的取值范围 　﹣1＜y≤3　．
（4）根据图象，当x　＜1　时，y随x的增大而增大．

【分析】（1）根据所给表格填出x的值，再求y的值；
（2）描点，连线即可；
（3）直接根据函数图象得出y的取值范围；
（4）根据函数图象可直接得出x的取值范围．
【解答】解：（1）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y＝﹣x2+2x+2
…
﹣1
2
3
2
﹣1
…
故答案为：﹣1，2，3，2；
（2）根据上表，画出这个二次函数的图象：

（3）根据表格、图象，当0＜x＜3时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
故答案为：﹣1＜y≤3；
（4）由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大．
故答案为：＜1．
22．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于C（0，3），点P在抛物线上，横坐标设为m．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
（3）若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m，求m的值．

【分析】（1）依据题意，将A、C两点坐标代入已知解析式，进而建立方程组，从而可以得解；
（2）依据题意，由A点坐标结合解析式可以求出B点坐标，进而判断m的范围；
（3）依据题意，进行分类讨论后即可得解．
【解答】解：（1）由题意，将A、C两点坐标代入已知解析式得，，
∴．
∴所求解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）由题意，抛物线交x轴于A、B两点，
又解析式为y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0），
∴令y＝0，有﹣x2+2x+3＝0，又一个根是﹣1．
∴根据两根之积为﹣3，从而可以求得B（3，0）．
∴结合图象，当点P在x轴上方时，﹣1＜m＜3．
（3）由题意，y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1．
当m≤1时，当x＝1时，P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m＝4，
∴m＝﹣5．
当m＞1时，当x＝m时，P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m＝﹣m2+2m+3，
∴m1＝﹣1（舍去），m2＝4．
综上，符合题意得m为﹣5或4．
23．（8分）图1是一块铁皮材料的示意图，线段AB长为4dm，曲线是抛物线的一部分，顶点C在AB的垂直平分线上，且到AB的距离为4dm．以AB中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
​
（1）求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在AB上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．
【分析】（1）根据抛物线经过点（﹣2，0），（2，0），（0，4）可求出表达式；
（2）设矩形为MNPQ，其中点M，N在AB上，点P，Q在抛物线上，根据对称性可知：矩形MNPQ关于y轴对称，设OM＝t，则ON＝t，四边形MNPQ的周长为P，据此可得MQ＝NP＝﹣t2+4，然后可得出P关于t的二次函数关系式，最后求出这个二次函数的最大值即可．
【解答】解：（1）依题意得抛物线经过点（﹣2，0），（2，0），（0，4），
设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣2），
再将（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣2）中，得：a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）（x﹣2），
即：y＝﹣x2+4，
设矩形为MNPQ，其中点M，N在AB上，点P，Q在抛物线上，

根据对称性可知：矩形MNPQ关于y轴对称，
即点M，N关于y轴对称，点P，Q关于y轴对称，
设OM＝t，则ON＝t，四边形MNPQ的周长为W，
∴MN＝2t，点Q的横坐标为t，
∴点Q的纵坐标为：﹣t2+4，
∴MQ＝NP＝﹣t2+4，
∴W＝2（MN+MQ）＝2（2t﹣t2+4），
即：W＝﹣2（t﹣1）2+10，
当t＝1时，W为最大，最大值为10．
∴矩形周长的最大值为10dm．
24．（8分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式．
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【分析】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可；
（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；
（3）由（2）中的函数关系式得出降价x元获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x），
即W＝﹣50x2﹣400x+9000
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000；
（2）由（1）得：
W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800
.﹣50＜0，
.x＝4时，W最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元．
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750解得：x1＝3，x2＝5，
∵让利于民，
.x1＝3不合题意，舍去，
定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43元．
25．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，当四边形OBPC的面积S最大时，求出面积的最大值及P点的坐标；
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．

【分析】（1）用待定系数法求抛物线的表达式；
（2）将四边形OBPC分割成两个三角形PBC和三角形OBC；
（3）分两类，AC作为菱形的一条边和对角线，数形结合法求N的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的表达式为：y＝kx+3，代入B（3，0）得，k＝﹣1，
∴y＝﹣x+3，
过P作PD∥y轴交BC于点Q，设P（x，﹣x2+2x+3），Q（x，﹣x+3），
∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，
∴S四边形OBPC＝S△PBC+S△OBC＝×3×PD+×OB×OD＝×3×（﹣x2+3x）+×3×3＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+，
∴当t＝时，S四边形OBPC的最大值＝，此时P点的坐标（，）．

（3）存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，满足条件的N的坐标为（，3）或（﹣，3）或（﹣5，3）．理由如下：
A（﹣1，0）、C（0，3），AC＝，当AC作为菱形的一条边时，如图，N（，3）或（﹣，3）．

当AC作为菱形的对角线时，设菱形的边长为x，在Rt△COM中，OC＝3，CM＝x，OM＝AM﹣OA＝x﹣1，由勾股定理得，32+（x﹣1）2＝x2，
∴x＝5，
∴N（﹣5，3）．

综上，N（，3）或（﹣，3）或（﹣5，3）．
26．（11分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，且CO＝3AO，连接AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，若点M是直线BC下方抛物线上一动点（不与点B，C重合），是否存在△BCM，使∠BCM＝90°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在y轴上找一点P，使得△ACP是等腰三角形，并求出点P的坐标．

【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设M（m，m2﹣2m﹣3），分别求出CM＝，BM＝，BC＝3，再由勾股定理建立方程求出m的值即可求M点坐标；
（3）设P（0，y），可得CP＝|y+3|，AC＝，AP＝，再根据等腰三角形的腰的关系分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵CO＝3AO，
∴CO＝3，
∴C（0，﹣3），
将A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
∴1﹣b+c＝0，c＝﹣3，
解得b＝﹣2，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在△BCM，使∠BCM＝90°，理由如下：
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴B（3，0），
设M（m，m2﹣2m﹣3），
∴CM＝，BM＝，BC＝3，
当∠BCM＝90°时，（）2＝（）2+（3）2，
解得m＝0（舍）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
（3）设P（0，y），
∴CP＝|y+3|，AC＝，AP＝，
当AC＝AP时，＝，
解得y＝3或y＝﹣3（舍），
∴P（0，3）；
当AC＝CP时，＝|y+3|，
解得y＝﹣3或y＝﹣﹣3，
∴P（0，﹣3）或（0，﹣﹣3）；
当CP＝AP时，＝|y+3|，
解得y＝﹣，
∴P（0，﹣）；
综上所述：P点坐标为（0，3）或（0，﹣3）或（0，﹣﹣3）或（0，﹣）．