2021届湖北省恩施市清江外国语学校高三上学期数学周考试卷（10月21日）

这是一份2021届湖北省恩施市清江外国语学校高三上学期数学周考试卷（10月21日），共20页。试卷主要包含了考试结束后，考生上交答题卡，已知，，则，对于定义在上的函数，且为偶函数，设，，为正实数，且，则等内容，欢迎下载使用。
清江外国语学校高三年级2018级高三数学周考试卷（10月21日）
1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．考试结束后，考生上交答题卡．
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数的共轭复数是
A． B． C． D．
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．已知抛物线的准线为，圆与相切．则
A． B． C． D．
4．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，．若不低于分的人数是人，则该班的学生人数是
A． B． C． D．
5．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄在之间，其余人的年龄依次相差一岁，则最年长者的年龄为
A． B． C． D．
6．已知，，则
A． B． C． D．
7．已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上．若，，，，则球的表面积为
A． B． C． D．
8．对于定义在上的函数，且为偶函数．当时，，设，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
二、选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．设，，为正实数，且，则
A． B．
C． D．
10．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则a可以取的值为
A. B. C. D.
11．对，，若函数同时满足：（1）当时，有；（2）当时，有，则称为函数．下列是函数的有
A． B．
C． D．
12．在长方体中，，是平面内不同的两点，，是平面内不同的两点，且，，，，，分别是线段，的中点，则下列结论正确的是
A．若，则 B．若，重合，则
C．若与相交，且，则可以与相交
D．若与是异面直线，则不可能与平行
三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数的图象在点处的切线方程为________．
14．已知，且，则________．
15．已知向量，（，），若，则的最小值为________．
16．已知，是双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与的左支交于点，与的右支交于点，，则的离心率为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（12分）设是公比大于的等比数列，，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和．

19．（12分）如图，在圆柱中，为圆的直径，，是弧上的两个三等分点，是圆柱的母线．
（1）求证：平面；
（2）设，，求二面角的余弦值．

20．（12分）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调，“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高．已知该厂每月的污水处理量最少为150万吨，最多为300万吨，月处理成本万元与月处理量万吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一万吨污水产生的收益价值为万元．
该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低；
该厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润．

21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，若上总存在两个点、关于直线对称，且，求实数的取值范围．

22．（12分）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若函数有两个不同的零点，，求的取值范围．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1～8小题为单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9～12小题为多项选择题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
B
D
C
C
AD
BD
BC
BD
8．解，因为函数为偶函数，所以，
即函数的图象关于直线对称，即．
又因为当时，，所以函数在上单调递减，因而在上单调递增，因为，所以，即，即．故选C．
12．解：若，则、、、四点共面，当时，平面、、两两相交有三条交线，分别为、、，则三条交线交于一点，则与平面交于点，则与不平行．故A错误：
若，两点重合，则，、、﹑四点共面，平面、、两两相交有三条交线，分别为、、，由，得，故B正确；
若与相交，确定平面，平面、、两两相交有三条交线，分别为、、，因为，所以，所以与不可能相交．故C错误；
当与是异面直线时，如图，连接，取中点，连接，．则，因为平面，平面，则平面．假设，因为平面，平面，所以平面．

又，∴平面平面，同理可得，平面平面，则平面平面，与平面平面矛盾．所以假设错误，不可能与平行，故D正确，故选BD．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
16．解：由题意知，，
所以，即，易得．
设，，．
由双曲线的定义得：，解得：，所以，
因为，所以离心率 ．
三、解答题；本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
解：已知，由正弦定理，
得， 2分
因为为三角形内角，， 3分
所以，即 4分
所以， 5分
因为，所以 6分
选择条件①的解析：
解法一：由及正弦定理，可得， 7分
由余弦定理，
则， 9分
解得． 10分
解法二：由，又因为，所以， 7分
则，展开得，， 8分
所以，
所以， 9分
所以． 10分
选择条件②的解析：
解法一：由，可得， 7分
由余弦定理得， 8分
， 9分
解得． 0分
解法二：由得． 7分
因为，所以，是以为顶角的等边三角形．
所以，所以． 8分
由正弦定理得，， 9分
解得． 10分
选择条件③的解析：
解法一：由，又因为，则， 8分
与矛盾，则问题中的三角形不存在． 10分
解法二：由，则，
则， 8分
与三角形内角和等于矛盾，因而三角形不存在． 10分
18．（12分）
解：（1）设等比数列的公比为．依题意，
有 1分
将代入得，
得． 2分
联立得
两式两边相除消去得，
解得或（舍去）， 3分
所以． 4分
所以． 5分
（2）解法一：因为 6分
所以，……① 7分
……② 8分
①②，得 9分
． 11分
所以，数列的前项和． 12分
解法二：因为

所以 8分
进而得


11分
所以数列的前项和为 12分
19．（12分）
解：（1）连接，， 1分

因为，是半圆上的两个三等分点，
所以，
又，
所以，，均为等边三角形．
所以， 2分
所以四边形是平行四边形． 3分
所以， 4分
因为平面，平面，
所以平面． 5分
（2）因为是圆柱的母线，
所以平面，平面，所以 6分
因为为圆的直径，所以，
在中，，，
所以，
所以在中， 7分
（方法一）因为，，，
所以平面，
又平面，
所以．
在内，作于点，连接．

因为，，平面，
所以平面， 8分
又平面，
所以，
所以就是二面角的平面角． 9分
在中，，
． 10分
在中，，
所以， 11分
所以．
所以，二面角的余弦值为． 12分
（方法二）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
所以， 8分
设平面的法向量为，则
即
令，则,
所以平面的一个法向量为． 9分
因为平面的一个法向量， 10分
所以． 11分
所以结合图形得，二面角的余弦值为． 12分
【答案】解：由题意可知，每万吨污水的处理成本为：
，
当且仅当时等号成立；
所以该厂每月污水处理量为200万吨时，
才能使每万吨的处理成本最低，最低成本为万元．
设该厂每月获利为Z万元，则
，
因为，所以，
当时，Z有最大值，
所以该污水处理厂每月能获利；
且当月处理量为250万吨时，利润最大，为万元．
【解析】由题意知每万吨污水的处理成本为，用基本不等式求出它的最小值以及对应的x值；
设该厂每月获利为Z万元，列出函数解析式，利用函数关系求出的取值范围和最大值即可．
本题考查了二次函数模型的实际应用问题，也考查了利用基本不等式求最值问题，是中档题．
21．（12分）
解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为． 1分
由椭圆的定义得，
所以． 2分
因为，所以． 3分
因此，椭圆的标准方程为． 4分
（2）根据题意可设直线的方程为，联立，
整理得， 5分
由，得． 6分
设，，
则，． 7分
又设的点为，则，．
由于点在直线上，
所以，得， 8分
代入，得，所以……①． 9分
因为，，所以

． 10分
由，得，
得，得，所以……② 11分
由①②得，故实数的取值范围为． 12分
22．（12分）
解：（1）函数的定义域为． 1分
则． 2分
（i）当，即时，
令得，，得，
又因为，所以，
所以函数在上单调递增，在上单调递减． 3分
（ⅱ）当，即时，，
又由得对任意的恒成立．
所以函数在上单调递增． 4分
综上，当时，函数在单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增． 5分
（2）解法一：，
函数的定义域为，．
（i）当时，，函数在上是增函数，不可能有两个零点； 6分
（ii）当时，在上，．在上，． 7分
所以函数在单调速增，在上单调递减．
此时为函数的最大值． 8分
若，则最多有一个零点，不合题意．所以，
解得． 9分
此时，且，
10分
令，则
所以在上单调递增．
所以，即． 11分
故函数有两个不同的零点，，．
综上，的取值范围是． 12分
解法二：
因为 6分
所以“函数有两个零点”等价于“直线与函数的图象有两个交点” 7分

则； 8分
得函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为， 9分
又因为函数在其定义域上连续不断，（这个理由可以不写）
且易知当时，，当时，﹐
当时， 10分
所以当函数有两个零点时，只需满足， 11分
即的取值范围为． 12分
注：求最大值后也可以画图象说明：