2021届湖南省永州市高三第一次模拟数学试题

这是一份2021届湖南省永州市高三第一次模拟数学试题，共11页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡，已知向量，满足，，且，则，已知，，则下列关系中正确的是等内容，欢迎下载使用。

永州市2021年高考第一次模拟考试试卷
数 学
注意事项：
1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
2．考试结束后，只交答题卡．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，则
A． B． C． D．
2．若复数，则
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，且，则
A． B． C． D．
4．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
5．某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有
A．320种 B．360种 C．370种 D．390种
6．苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：
，试根据此公式估计下面代数式
的近似值为（可能用到数值）　 　
A． B． C． D．
7．在四面体中，，，则该四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
8．已知为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为
A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分.
（第9题图）
9．2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A，B两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A，B两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图可知，下列说法正确的是
A．A店营业额的平均值超过B店营业额的平均值
B．A店营业额在6月份达到最大值
C．A店营业额的极差比B店营业额的极差小
D．A店5月份的营业额比B店5月份的营业额小
10．已知，，则下列关系中正确的是
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．若函数（，）的两相邻对称轴之间的距离为，且 时有最大值，则下列结论成立的是
A． B．函数的一个单调递减区间为
C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称
12．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为，焦距为，点在椭圆上且满足，直线与椭圆交于另一个点，若，点在圆上，则下列说法正确的是
A．椭圆的焦距为 B．三角形面积的最大值为
C．圆在椭圆的内部 D．过点的圆的切线斜率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.
13．在等比数列中，若，则＝ .
14．若，则的值为________.
15．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，两人获一等奖的概率分别为和，若两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为_____.
16．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，,点、分别
是的中点,为上一点，且，为正方形内一点,
若，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）请从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题.
问题：在中，角所对的边分别为，已知
（1）求；
（2）求的面积.
（注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.）

18．（本题满分12分）设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，，…，组成一个项的等差数列，记其公差为，求数列的前项和.

19．（本题满分12分）某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围,制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，市政府在全市随机抽取了名市民进行调查，其中男士与女士的人数之比为，男士中有人表示政策无效，女士中有人表示政策有效.
（1）根据下列列联表写出和的值，并判断能否有的把握认为“政策是否有效与性别有关”；

政策有效
政策无效
总计
男生



女生



合计



（2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取名市民，再从这名市民中任意抽取名，对政策的有效性进行调研分析，设随机变量表示抽取到的名市民中女士的人数，求的分布列及数学期望．
参考公式： ．


















（第20题图）
20．（本题满分12分）已知在直三棱柱中，, ，点、分别为中点.三棱柱外一点满足平面,.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．





21．（本题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于,两点．过,分别作抛物线的切线，两切线交于点，若直线与抛物线的准线交于第四象限的点，且，求直线的方程.


22．（本题满分12分）已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）.若函数在点处的切线为，函数 在点处的切线为．
（1）若，求和的方程；
（2）若恒成立，求的取值范围.
永州市2021年高考第一次模拟考试试卷
数学参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
B
B
C
D

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分.部分选对的得3分.
题号
9
10
11
12
答案
A B C
C D
AD
A B C

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
解：选择条件①：（1） ，
由正弦定理可得：，整理可得：， 2分
根据余弦定理可知 3分
中，，从而有：
即，则，所以，
由正弦定理得 6分
（2）因为,
8分
.
综上所述： 10分
选择条件②：（1），
由正弦定理可得：，整理可得：， 2分
又，；；
化简整理可得： 6分
（2）由（1）知，故三角形为直角三角形，

综上所述： 10分

18．（本小题满分12分）
解：因为 所以，当时，，
两式相减得，，即，当时， 3分
又当时，，而，则， 4分
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以 . 6分
（2）依题意可知，，
由（1）得，，即， 8分
则，
，
两式相减得， 10分
即，
所以， 12分



19．（本小题满分12分）
解：（1）由题意知，男士人数为，女士人数为，
1分
由此填写列联表如下：

政策有效
政策无效
总计
男生
50
10
60
女生
25
15
40
合计
75
25
100
可知 ， 3分
由表中数据，计算 5分
所以没有的把握认为对“政策是否有效与性别有关”； 6分

（2）从被调查的该餐饮机构的市民中，利用分层抽样抽取10名市民，
男士抽取人，女士抽取4人， 7分
随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
， 10分
所以的分布列为

0
1
2
3
4






　数学期望为：． 12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）（坐标法略）几何法：取的中点为Q，连接
分别为的中点 1分
又平面,平面, 4分
，， ，
又 5分
（2）（几何法略）坐标法：取BC，AC的中点分别为F，H，
所以两两垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 6分
则， ，，，
从而，，.
设平面的法向量为，
则，即，
得y=0,取，则，
因而. 8分

设平面的法向量为，则，即，
得b=0,取，则，因而， 10分

从而. 11分
易知二面角为钝二面角，因而二面角的余弦值为. 12分

21． （本小题满分12分）
解：（1）由抛物线的方程可得焦点，由题意可得直线的方程为：，即，设，，
联立直线与抛物线的方程：，
整理可得 2分
， 3分
由抛物线的性质可得，解得，
所以抛物线的方程为： 4分
（2）易知直线的斜率存在且不为零，又由（1）知
故可设直线的方程为，代入抛物线的方程得，

设，，则，，，
， 6分
由抛物线得，则，
所以抛物线在，两点处的切线的斜率分别为，，
故两切线的方程分别为，，
即，， 8分
解得两切线的交点为，即，
又准线的方程为，由，得 9分
则，
由，得，得， 10分
因为直线与准线交于第四象限的点，
故有，
从而直线的方程为.，即. 12分

22．（本小题满分12分）
解：（1）根据题意可知：
函数在点处的切线为，
函数在点处的切线为，
而，， 1分
，根据导函数在该点的函数值相等可得， 2分
又，． 切线过点，斜率为；
切线过点，斜率为，，，
综上所述，所求的直线方程为：，， 4分
（2）方法一：，
故不等式恒成立可等价转化为：
在上恒成立，
记，，
当 时，，不合题意； 5分
当时，，
记，，
则，
所以在是增函数，又，
所以使得，即①， 6分
则当时，，即，
当时，，即，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以②， 8分
由①式可得，
代入②式得， 10分
因为，即，
故，，即，
所以时恒成立，故 的取值范围为 . 12分
方法二：根据已知条件可得：， .
且恒成立；
故可等价转化为：恒成立 7分
设，则，单调递增，
因而恒成立，即恒成立. 9分
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，从而即为所求。 12分