2022-2023学年湖南省郴州市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省郴州市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省郴州市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中是轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
2. 已知x=−1y=2是方程2x+ky=6的解，则k等于(    )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 下列运算正确的是(    )
A. (2a2)3=8a6 B. (3a)2=6a2 C. a5+a5=2a10 D. 3a2⋅a3=3a6
4. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是(    )
A. a(m+n)=am+an B. a2−b2−9=(a+b)(a−b)−9
C. 10x2−5x=5x(2x−1) D. (x+3)(x−3)=x2−9
5. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，∠AOE=26°，则∠BOD的度数是(    )
A. 24°
B. 32°
C. 54°
D. 64°
6. 某中学随机地调查50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：
时间(小时)
4
5
6
7
人数
12
15
20
3
则这50名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数是(    )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 为响应“科教兴国”的战略号召，某校成立创客实验室，准备购买航拍无人机和编程机器人.已知购买3架航拍无人机和4个编程机器人所需费用相同，购买6个航拍无人机和9个编程机器人共需76500元.设购买l架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为(    )
A. 3x=4y9x+6y=76500 B. 4x=3y9x+6y=76500
C. 4x=3y6x+9y=76500 D. 3x=4y6x+9y=76500
8. 如图所示，将一块直角三角板和直尺摆放在一起，则∠1与∠2的和是(    )
A. 45°
B. 90°
C. 60°
D. 85°


二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 计算4a⋅a3−a4= ______ ．
10. 因式分解：x(a+b)−2y(a+b)= ______ ．
11. 如图，直线a/​/b，且a，b之间相距8cm.点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段PQ的最小值是______ cm．


12. 若m+n=7，mn=3，则m2+n2= ______ ．
13. 在今年的体育中考前，甲、乙两名同学练习投掷实心球，每人投10次.平均成绩均为9.8米，方差分别为s甲2=0.1，s乙2=0.02，则成绩较稳定的是______ (填“甲“或“乙”)．
14. 已知计算(2x+a)(3−x)的结果中不含x的一次项，则a的值是______ ．
15. 如图，在三角形ABC中，∠BAC=42°，将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE，则∠CAD= ______ °.


16. 如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移2cm得到三角形DEF.若三角形ABC的周长为10cm，则四边形ABFD的周长为______ cm．


三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解方程组：x−2y=3①3x−y=4②．
18. (本小题6.0分)
若xy=−2，y−2x=5，求代数式8x3y−8x2y2+2xy3的值．
19. (本小题6.0分)
请在横线处填写结论或结论成立的理由，完成下面的证明过程．
如图，BD//GF，∠1=∠2，试说明∠DEB+∠ABC=180°．
解：因为BD//GF(已知)，所以∠1=∠DBA(两直线平行，同位角相等)，
又因为∠1=∠2(已知)，所以______ (等量代换)，
所以DE//AB(______ )，所以∠DEB+∠ABC=180°(______ ).

20. (本小题8.0分)
如图，已知三角形ABC和直线MN，且三角形ABC的顶点在网格格点上．
(1)画出三角形ABC向上平移5小格后的三角形A1B1C1；
(2)画出三角形ABC关于直线MN成轴对称的三角形A2B2C2．

21. (本小题8.0分)
某校为助力我市旅发大会，特组织七年级各班的合唱比赛，决定在七年级各班中选取合唱成绩最好的班级参加这次演出，其中两个班的各项得分如表：

服装(分)
音准(分)
创新(分)
七年级(一)班
90
77
85
七年级(二)班
74
95
80
(1)请计算两个班这三项的平均得分，根据平均得分比较哪个班成绩更好？
(2)如果将服装、音准、创新三项得分按1：7：2的比例确定各班的最终成绩，通过计算比较哪个班成绩更好？
22. (本小题8.0分)
为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增5000个停车位，用以解决景区停车难的问题.已知新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元．
(1)求新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
(2)有关部门计划投资950万元用于建造这5000个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？
23. (本小题8.0分)
如图，直线m，n被直线BD，CD所截，m/​/n，BC⊥CD，垂足为C.直线AE平分∠DAC交CD于点E.点F在直线n上，∠FDA=64°，∠B=32°．
(1)试说明：AE⊥CD；
(2)求∠FDC的度数．

24. (本小题10.0分)
阅读与思考：如果一对数m，n，满足m2+n5=m+n2+5，我们称这一对数m，n为“相随数对”，记为(m,n)．
(1)若(2,n)是“相随数对”，则n= ______ ；
(2)若(m,n)是“相随数对”，
①用含n的代数式表示m；
②若25m+n=6，求m，n的值．
25. (本小题10.0分)
如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)请用含字母m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积．
(2)观察图2，请写出三个代数式：(m+n)2⋅(m−n)2，mn之间的等量关系；
(3)用6张长为m，宽为n(m>n)的小长方形纸片，按图3方式无空隙不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，如果BC的长度x变化时，S始终保持不变，则m，n应满足的关系是什么？
26. (本小题12.0分)
如图1，小明将一个含30°的直角三角板POM(其中∠MOP=90°，∠OPM=30°)按图1所示放置，使得直角三角板的一边MO落在直线AB上.过顶点P作直线EF/​/AB.作直线CD//MP，分别交直线AB，EF于点G，H．

(1)如图1，求∠CGB的度数．
(2)如图2，将直角三角板POM绕顶点M逆时针旋转，旋转角为β，且0<β<135°.在旋转过程中，直线AB，CD位置保持不变，直线EF随着点P的运动位置发生变化．
①当点P在直线AB下方时，试说明∠OPF−∠OMB=90°；
②当直角三角板的一边与直线CD平行时，求旋转角β及∠OPF的度数．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】B 
【解析】解：∵x=−1y=2是方程2x+ky=6的一个解，
∴代入得：−2+2k=6，
解得：k=4，
故选：B．
把x=−1y=2代入方程2x+ky=6，即可得出一个关于k的方程，求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能根据题意得出关于k的方程是解此题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：A、(2a2)3=8a6，故A符合题意；
B、(3a)2=9a2，故B不符合题意；
C、a5+a5=2a5，故C不符合题意；
D、3a2⋅a3=3a5，故D不符合题意；
故选：A．
利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

4.【答案】C 
【解析】解：A.a(m+n)=am+an，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.a2−b2−9=(a+b)(a−b)−9，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.10x2−5x=5x(2x−1)，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.(x+3)(x−3)=x2−9，是整式的乘法，故不合题意．
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

5.【答案】D 
【解析】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOC=90°，
∴∠EOA+∠AOC=90°，
∵∠AOE=26°，
∴∠AOC=90°−26°=64°，
∴∠BOD=∠AOC=64°．
故选：D．
根据垂线定义可求得∠EOC=90°，进而求得∠AOC，再根据对顶角相等求解即可．
本题考查垂线定义、对顶角相等，熟练掌握垂线定义和对顶角相等是解答的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：根据统计图可知，这组数据中6出现20次，次数最多，
所以这组数据的众数为6．
故选：C．
根据众数的概念求解即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

7.【答案】D 
【解析】解：设购买l架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，
由题意得：3x=4y6x+9y=76500．
故选：D．
根据“购买3架航拍无人机和4个编程机器人所需费用相同，购买6个航拍无人机和9个编程机器人共需76500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．

8.【答案】B 
【解析】解：如图所示：过E作EF//CD，
由题意可知：AB/​/CD，
∴EF//AB，
∴∠3=∠GEF，
∵EF/​/CD，
∴∠4=∠NEF，
∴∠3+∠4=∠GEF+∠NEF=∠GEN=90°，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°．
故选：B．
过点E作AB的平行线EF，∠1=∠3，∠2=∠4，在根据平行线的性质，即可求得∠1+∠2的值．
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．

9.【答案】3a4 
【解析】解：4a⋅a3−a4=4a4−a4=3a4，
故答案为：3a4．
先根据单项式乘单项式的法则计算4a⋅a3，再合并同类项即可得出结果．
本题考查了单项式的乘法，整式的加减，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．

10.【答案】(a+b)(x−2y) 
【解析】解：原式=(a+b)(x−2y)．
故答案为：(a+b)(x−2y)．
直接提取公因式a+b，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

11.【答案】8 
【解析】解：当PQ⊥b时，根据垂线段最短，可以知道此时线段PQ最短，
∵直线a/​/b，且a、b之间相距8cm，
∴线段PQ的最小值是8cm，
故答案为：8．
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，根据平行线之间的距离和垂线段最短即可得出答案．
本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间的距离的定义和垂线段最短是解题的关键．

12.【答案】43 
【解析】解：当m+n=7，mn=3时，
m2+n2
=(m+n)2−2mn
=72−2×3
=49−6
=43．
故答案为：43．
利用完全平方公式进行求解即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是熟记完全平方公式的形式：a2±2ab+b2=(a±b)2．

13.【答案】乙 
【解析】解：∵s甲2=0.1，s乙2=0.02，
∴s甲2>s乙2，
∴成绩较稳定的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

14.【答案】6 
【解析】解：(2x+a)(3−x)
=6x−2x2+3a−ax
=−2x2+3a+(6−a)x，
∵结果中不含x的一次项，
∴6−a=0，
解得：a=6．
故答案为：6．
利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件即可求解．
本题主要考查多项式乘多项式，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

15.【答案】18 
【解析】解：∵将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE，
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=∠BAC=42°，
∵∠CAD=∠CAE−∠DAB，
∴∠CAD=60°−42°=18°
故答案为：18．
由旋转的性质得出∠BAD=∠CAE=60°，∠DAE=∠BAC=42°，由∠CAD=∠CAE−∠DAB即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．

16.【答案】14 
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴DF=AC，AD=CF=2cm，
∵△ABC的周长为10cm，即AB+BC+AC=10cm，
∴AB+BC+CF+DF+AD=(AB+BC+AC)+AD+CF=20+3+3=14(cm)，
即四边形ABFD的周长为14cm．
故答案为：14．
先根据平移的性质得DF=AC，AD=CF=2cm，再由△ABC的周长为10cm得到AB+BC+AC=10cm，然后利用等线段代换可计算出AB+BC+CF+DF+AD=14(cm)．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．

17.【答案】解：②×2−①，得5x=5，
解得x=1，
把x=1代入①，得1−2y=3，
解得y=−1，
故方程组的解为x=1y=−1． 
【解析】②×2−①，消去未知数y进行求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

18.【答案】解：原式=2xy(4x2−4xy+y2)
=2xy(2x−y)2，
当xy=−2，y−2x=5时，
原式=−4×(−5)2
=−100． 
【解析】先对多项式进行因式分解：第一步提取公因式，第二步用公式法分解，第三步检查分解是否彻底，再整体代入计算即可
本题考查了因式分解，整体代入法求代数式的值，正确进行因式分解是解题的关键．

19.【答案】∠DBA=∠2  内错角相等，两直线平行  两直线平行，同旁内角互补 
【解析】解：∵因为BD//GF(已知)，
所以∠1=∠DBA(两直线平行，同位角相等)，
又因为∠1=∠2(已知)，
所以∠DBA=∠2(等量代换)，
所以DE//AB(内错角相等，两直线平行)，
所以∠DEB+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
故答案为：∠DBA=∠2；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
根据平行线的判定方法和性质解答即可．
本题考查了平行线的判定与性质，熟记判定方法和相关性子是解题关键．

20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求． 
【解析】(1)根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可；
(2)根据轴对称的性质画出△A2B2C2即可．
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

21.【答案】解：(1)七年级(一)班平均成绩为90+77+853=84(分)，
七年级(二)班平均成绩为74+95+803=83(分)，
∵84>83，
∴七年级(一)班成绩好；
(2)七年级(一)班平均成绩为90+77×7+85×210=79.9(分)，
七年级(二)班平均成绩为74+95×7+80×210=89.9(分)，
∵79.9<89.9，
∴七年级(二)班成绩好． 
【解析】(1)根据算术平均数的定义列式计算即可得出答案；
(2)根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数和算术平均数的定义．

22.【答案】解：(1)设新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需要y万元，
根据题意得：3x+2y=0.82x+4y=1.2，
解得：x=0.1y=0.25
∴新建1个地上停车位需要0.1万元，新建1个地下停车位需要0.25万元．
(2)设新建m个地下停车位，则新建(5000−m)个地上停车位，
根据题意得：0.25m+0.1(5000−m)=950，
解得：m=3000，
∴5000−m=5000−3000=2000，
答：新建3000个地下停车位，2000个地上停车位． 
【解析】(1)设新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需要y万元，根据“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设新建m个地下停车位，则新建(5000−m)个地上停车位，根据总价=单价×数量即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程．

23.【答案】解：(1)∵m//n，∠FDA=64°，
∴∠FDA=∠DAC=64°，
∵直线AE平分∠DAC交CD于点E，
∴∠DAE=32°，
∵∠B=32°，
∴∠DAE=∠B，
∴AE/​/BC，
∵BC⊥CD，
∴AE⊥CD；
(2)∵∠DAE=32°，AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠ADC=90°−32°=58°，
∴∠FDC=∠FAD+∠ADC=60°+58°=118°． 
【解析】(1)先根据m/​/n，∠FDA=64°得出∠FDA=∠DAC=64°，再由直线AE平分∠DAC交CD于点E得出∠DAE=32°，根据∠B=32°可得出AE/​/BC，由BC⊥CD即可得出结论；
(2)由(1)可知，∠DAE=32°，AE⊥CD，故可得出∠ADC的度数，进而得出结论．
本题考查的是平行线的性质和垂线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．

24.【答案】−252 
【解析】解：(1)∵(2,n)是“相随数对”，
∴22+n5=2+n2+5，
解得：n=−252，
故答案为：−252；
(2)①∵(m,n)是“相随数对”，
∴m2+n5=m+n2+5，
∴35m+14n=10(m+n)，
解得：m=−425n；
②∵25m+n=6，m=−425n，
∴−4n+n=6，
解得：n=−2，
∴m=−425n=825，
∴m的值为825，n的值为−2．
(1)根据“相随数对”的意义可得：22+n5=2+n2+5，然后进行计算即可解答；
(2)①根据“相随数对”的意义可得：m2+n5=m+n2+5，然后进行计算即可解答；
②把m=−425n代入25m+n=6中进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．

25.【答案】解：(1)阴影部分的面积为(m+n)2−4mn．
(2)阴影部分的面积也可为(m−n)2，
故(m+n)2−4mn=(m−n)2．
(3)左上角的阴影部分的面积=(BC−4n)⋅m，
右下角的阴影部分的面积=(BC−m)⋅2n，
S=(BC−4n)⋅m−(BC−m)⋅2n，
化简后，S=BC(m−2n)−2mn，
∵如果BC的长度x变化时，S始终保持不变，
∴m−2n=0，
∴m=2n． 
【解析】(1)阴影部分的面积间接用大减小可求，或直接求边长求亦可；
(2)根据阴影部分的面积的两种表示方法列等式即可；
(3)先用BC，m，n表示出S，再根据BC的长度x变化时S始终保持不变，得出m，n应满足的关系．
本题考查学生掌握图形面积展开分析(面积法)的能力，以及对S关于BC的函数关系式中的变与不变的分析能力．

26.【答案】解：(1)∵CD//MP，
∴∠BGD=∠OMP=90°−∠OPM=60°，
∴∠CGB=180°−∠BGD=120°；
   (2)①如图所示，设AB与OP交于点Q，

∵EF//AB，
∴∠OPF=∠OQB，
∴∠OPF−∠OMB=∠OQB−∠OMB=∠MOP=90°；
②由(1)可知，∠BGD=60°，
当OP/​/CD时，如图所示，设AB与OP交于点Q，

∵OP/​/CD，
∴∠BQP=∠BGD=60°，
∴∠OQB=180°−∠BQP=120°，
∵∠MOP=90°，
∴β=∠OMB=∠OQB−∠MOP=30°，
∵EF//AB，
∴∠OPF=∠OQB=120°，
当OM/​/CD时，如图所示

∵OM//CD，
∴∠OMA=∠BGD=60°，
∴β=∠OMB=180°−∠OMA=120°，
∵∠OMP=90°−∠OPM=60°，
∴∠PMB=∠OMB−∠OMP=60°，
∵EF//AB，
∴∠MPF=180°−∠PMB=120°，
∴∠OPF=∠OPM+∠MPF=150°，
当MP/​/CD时，β=180°>135°(舍)，
综上，β=30°，∠OPF=120°或β=120°，∠OPF=150°． 
【解析】(1)由CD//MP，得∠BGD=∠OMP=90°−∠OPM=60°进而∠CGB=180°−∠BGD=120°；
(2)①设AB与OP交于点Q，由EF/​/AB，可得∠OPF=∠OQB，进而由外角得出∠OPF−∠OMB=∠OQB−∠OMB=∠MOP=90°；
②由(1)可知，∠BGD=60°，然后分情况讨论：当OP/​/CD时°；当OM/​/CD时；当MP/​/CD时；三种情况分别得出结论即可．
本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和等知识是解题的关键．