数学选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算第1课时教学设计

1.1.1空间向量及其线性运算（第一课时）

(人教A版2019普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)

一、教学目标

（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法；会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律；

（2）会用向量共线和向量共面充要条件；

（3）会用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题；形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点；

（4）通过探究、练习，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.

二、教学重难点

教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用

教学难点：空间向量的线性运算及其应用

三、教学过程

（一）创设情境，导入新课

师生活动：阅读章前引言，章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？

设计意图：图1中的引入情境于学生而言，非常熟悉。课堂上追问学生，飞行员收到来自不同方向的力又该如何表示，用图示法表示这些力吗?既贴近学生生活实际又自然将平面向量拓展到空间向量，既揭示了学习空间向量的必要性，又激发了学生的学习兴趣，也为后续空间向量的加法运算做了铺垫（尤其是在验证空间向量的加法结合律）.

(二)类比归纳，形成概念

问题1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？

追问(1)：平面向量是什么的？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？

追问（2）：如何表示平面向量？？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？

追问（3）：从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念. 你还记得吗？有哪些？你能把这些概念推广到空间向量中吗？

与平面向量一样，在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.与平面向量一样，空间向量也用有向线段来表示，有向线段的长度表示空间向量的模。空间向量可以用字母a,b,c,…表示.如图，若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作向量AB,其模记为向量a的模或向量AB的模.如图所示，对于任意一个空间向量，我们都可以将其放在一个平面内研究，这时，这个空间向量就是我们熟悉的平面向量了.

问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算及运算律吗？

追问（1）：平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？

答：平面向量有加法、减法和数乘运算. 先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律；

追问（2）：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义或法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加、减和数乘运算的定义或法则吗？

追问（3）：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间线性运算的运算律吗？

由于任意两个空间向量都可以通过平移，转化为同一平面内的向量，因此，我们猜想，空间向量的线性运算也具有和平面向量线性运算相同的运算律.

数学结论是需要严格证明的, 由合情推理、猜想得到的结论不一定正确，需要严格证明.

追问(4)：空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？

除空间向量加法的结合律以外，其他运算律都可以转化为平面向量线性运算的运算律进行证明.结合律涉及三个向量，它们可能不在同一个平面内.

追问（5）如何证明空间向量的加法结合律呢？

如图，可将空间中任意三个不共面的向量，通过平移使它们起点重合，分别平移表示表示这三个向量的线段，构成一个平行六面体. 我们借助这个平行六面体来证明加法的结合律.

一般地，对于三个不共面的向量a，b， c，以任意点O为起点， a，b， c为邻边作平行六面体，则a，b， c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.

问题3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中相应的问题呢？

由平面向量的线性运算，我们研究了平面向量的共线及线性表示等问题.

追问（1）：你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？

追问（2）：任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？

答：任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.

追问（3）：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？

问题4 如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.

求证： E，F，G，H 四点共面.

追问(1):如何证明E，F，G，H 四点共面？

答：可以通过证明E，F，G，H这四点构成的三个向量，如

共面，来证明这四点共面.

追问(2):如何证明这三个向量共面？

答：根据向量共面的充要条件，用表示即可.

追问(3):如何实现上述表示？

答：可以根据三角形法则，把分别用等向量来表示；再利用已知条件，将它们转化用表示的形式.而由已知平行四边形ABCD，得到，从而可以得到的关系，进一步得到的关系，最终用用表示.

思路小结：选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系是解决立体几何问题的常用方法.

问题5  回顾本节课的探究过程，你都学到了什么？

1. 从知识层面，我们学习了空间向量的有关概念和线性运算.包括空间向量的概念，表示法以及零向量、单位向量、共线向量等相关概念；我们把平面向量的线性运算推广空间向量，研究了空间向量的加法、减法、数乘运算的定义、运算法则以及运算律；通过空间向量的线性运算，我们有了直线的方向向量，以及空间中证明向量或点共面的方法.

2. 从本节课的研究方法上来看，我们始终类比平面向量的相关内容，在空间中进行推广，同时比较它与平面向量的共性和差异，并对差异之处进行了严格的证明，最终，在平面向量的相关内容推广过程中，既保持了原结论的延续性，又保证了新结论的严谨性.原有内容的融入到新内容中，这种兼容性是数学的特点， 是数学中常用的研究方法.今后继续研究空间向量的过程中，还会不断使用这样的方法.希望同学们在今后的学习中，继续大胆发现，勇于探索，严谨推理，体会数学的逻辑之美，严谨之美和广泛的应用.

四、课外作业

布置作业：教科书练P9复习巩固1,2,3,4

1.如图，E,F分别是长方体的棱的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：

（1）         （2）

（3）   （4）

2.如图，用表示.

3.如图，已知正方体，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x,y的值：

（1）

（2）

设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．