高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算第2课时教学设计及反思

1.1.2空间向量的数量积（第二课时）

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)

一、教学目标

1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养；

2.借助利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求夹角的运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

二、教学重难点

1.空间向量的数量积运算

2.利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求夹角

三、教学过程

1.复习回顾

1.1复习回顾，巩固新知

问题1：前面我们学习了空间向量的数量积的哪些内容？

1. 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间      一点，作，则

叫做向量与的夹角，记作          .

2. 向量的数量积：

已知向量，则                  叫做的数量积，记作，即                  .

规定:零向量与任意向量的数量积等于       .

3. 空间向量数量积的性质：    

（1）设单位向量，则．

（2）    ．

（3）    ＝      .

【设计意图】通过对平面向量的数量积运算的复习，帮助学生回顾知识点的形成过程，对数量积知识点的复习，巩固学生已学知识点的落实，促进对空间向量数量积运算的理解与掌握.

1.2【课前热身--初步应用，理解概念】

【设计意图】创设数学情境，通过简单的实例，让学生运用空间向量数量积的相关知识点解决简单的应用问题

2.探究典例，应用知识解决问题

例1  如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB = 5，

AD = 3，AA'= 7，∠BAD = 60°，∠BAA'= ∠DAA'= 45°. 求：

(1)  ；(2) AC'的长（精确到0.1）.

  【活动预设】学生分析解题思路，教师给出解答示范.                                     

【设计意图】巩固空间向量的数量积定义的应用，引导学生思考如何利用空间向量解决立体几何的距离问题，考查学生对空间向量线性运算以及数量积运算律的综合运用，培养学生的数学运算能力，促进数学核心素养的提升.

例2　BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，平行四边形ABB1A1、平行四边形BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.

【活动预设】学生先完成分并展示他们的解答，师生共同纠正补充.  

【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成对数概念.

例3  在三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，求证：SC⊥AB.

  【活动预设】学生小组讨论，分析解题思路，然后请小组代表解答，师生共同纠正补充.                                     

【设计意图】巩固空间向量的数量积定义的应用，引导学生思考如何利用空间向量解决立体几何的垂直问题，考查学生对空间向量线性运算以及数量积运算律的综合运用，培养学生的数学运算能力，促进数学核心素养的提升。

例4 如图，m,n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m， l⊥n ，求证： l⊥α.

【活动预设】引导学生尝试把立体几何中证明垂直的问题转化为向量的计算问题.

【设计意图】由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质都可以用向量的运算表示出来，引导学生直线可以由直线上一点与它的方向向量确定，把直线和向量有机的联系起来，把立体几何中的垂直问题转化到空间向量的数量积运算问题，感悟向量方法与综合几何发的共性与差异.

3.归纳小结，方法渗透

回顾本节课的学习过程，你学到了什么？

【设计意图】

（1）梳理本节课对于空间向量数量积的认知；

（2）通过类比平面向量的研究方法，渗透转化思想，让学生将已学知识联系起来类比学习.