2021届辽宁省高三上学期测评考试数学试题（解析版）

这是一份2021届辽宁省高三上学期测评考试数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届辽宁省高三上学期测评考试数学试题


一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由集合的并集运算即可得解.
【详解】
因为集合，，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查了集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．若复数(为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】根据复数的运算化简求值，即可求解
【详解】
因为，
所以对应的点，位于第三象限.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，复数的几何意义，属于容易题.
3．“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】利用全称命题的否定是特称命题，即可写出答案.
【详解】
“，”的否定为“，”，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了全称命题的否定是特称命题，属于基础题.
4．已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由平面向量线性运算及垂直的坐标表示，列方程即可得解.
【详解】
由题意，
又，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算及垂直的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.
5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用指数函数的单调性和对数函数的单调性结合中间数可得三者之间的大小关系.
【详解】
易知，即；，即；
，即，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查指数、对数的大小比较，此类问题，一般借助指数函数和对数函数的单调性来比较大小，必要时还需要结合中间数来比较大小.本题属于基础题.
6．《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书，与《孙子兵法》合称我国古代兵法谋略学的双壁.三十六计共分胜战计､敌战计､攻战计､混战计､并战计､败战计六套，每一套都包含六计，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分别求出总的基本事件数和2个计策都来自同一套基本事件数，然后利用概率公式计算即可.
【详解】
解：由已知从这36个计策中任取2个计策总共有种，其中2个计策都来自同一套的有种，
故所求概率.
故选：C.
【点睛】
本题考查古典概型的计算，是基础题.
7．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ）
A．30 B．60
C．90 D．120
【答案】D
【解析】将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.
【详解】
由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，
2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为
共60+60=120种，
故选D
【点睛】
本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.
8．2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是，，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意用表示，从而可求出，进而可求出椭圆的离心率.
【详解】
以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令地心为椭圆的右焦点，设标准方程为()，
则地心的坐标为(，0)，其中.由题意，得，，
解得，，所以.

故选:D.
【点睛】
本题考查了椭圆离心率的求解，属于基础题.

二、多选题
9．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（　　）

A．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
B．支出最高值与支出最低值的比是
C．第三季度平均收入为5000元
D．利润最高的月份是3月份和10月份
【答案】ACD
【解析】根据折线图，分别求得4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率即可判断A；由折线图得最高值与最低值即可判断B；由表可得7，8，9月每个月的收入，计算得平均值即可判断C；从表中可计算出利润最高与最低，可判断D.
【详解】
对于A选项，4至5月份的收入的变化率为，11至12月份的变化率为，因而两个变化率相同，所以A项正确.
对于B选项，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是，故B项错误.
对于C选项，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入为百元，故C选项正确.
对于D选项，利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D项正确.
综上可知，正确的为ACD，
故选：ACD.
【点睛】
本题考查了折线图的简单应用，数据分析处理的简单应用，属于基础题.
10．关于函数，下列叙述正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递增 D．函数在上先递减，后递增
【答案】ABC
【解析】利用公式可求函数的周期，利用整体法可求函数的单调区间和函数图象的对称轴，从而可得正确的选项.
【详解】
的最小正周期为函数的最小正周期的一半，
故的最小正周期为，故A正确.
令，解得，
故函数图象的对称轴为直线，当时，，故B正确.
令，解得，
故的单调递增区间为，
当时，可得的单调递增区间为，故C正确.
同理可得的单调递减区间为，
当时，可得的单调递减区间为，
所以在上为减函数，在为增函数，
在为减函数，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查形如的图象和性质，此类问题应利用的图象和性质结合整体法来处理，本题属于中档题.
11．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧棱底面，为的中点，若，，则（ ）

A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面
【答案】AC
【解析】由线面垂直的判定法则可得平面，从而可证明A；建立空间直角坐标系，求出与的方向向量，即可求出两直线所成角的余弦值，求出平面的法向量与的方向向量，从而可判断直线和平面是否平行.
【详解】
A:因为侧棱底面，所以，因为是等边三角形，，
所以，因为，所以平面，则， A正确；
以为原点，如图建立空间直角坐标系，则，，,
，所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，B不正确，C正确；
又因为，，设平面法向量为，
则，即 ，取，则，
因为，且，所以若平面不成立，D不正确；
故选:AC.

【点睛】
本题考查了线面垂直的判定，考查了线面平行的判定，考查了异面直线所成角的求解，属于中档题.本题的关键是建立空间坐标系，结合向量进行求解.
12．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是（ ）
A．1不是函数的一个下界
B．函数有下界，无上界
C．函数有上界，无下界
D．函数有界
【答案】BD
【解析】根据基本不等式可判断出错误；利用导数可确定中函数的单调性，从而确定是否存在上下界；由，可知，从而否定；根据正弦函数的值域可进行放缩得到中函数的上下界.
【详解】
对于，当时，（当且仅当时取等号），恒成立，是的一个下界，错误；
对于，，
时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，有下界，
又时，，无上界限，
综上所述：有下界，无上界，正确；
对于，，，，有下界，错误；
对于，，，
又，，，既有上界又有下界，
即有界，正确.
故选：.
【点睛】
本题考查函数的新定义运算的问题，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值、放缩法的应用等知识.


三、填空题
13．求曲线在点处的切线方程是________.
【答案】
【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，即所求切线方程为，即.
14．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，则数列的公比为______.
【答案】2
【解析】由已知条件，结合等比数列的通项公式，即可求出首项和公比.
【详解】
由，得，因为各项均为正数，所以，由，
得，解得，，所以公比为2.
故答案为:2
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.
15．已知双曲线：(，)的左集点为，过且与的一条渐近线垂直的直线与的右支交于点，若为的中点，且(为坐标原点)，则的离心率为______.
【答案】
【解析】设的右焦点为，由点到直线的距离，得，由三角形中位线的性质得到，从而求出，则，再根据，求出，最后利用勾股定理得到、的关系，即可得解；
【详解】
解:设的右焦点为，不妨设直线与渐近线交于点.在直角三角形中，由点到直线的距离，得，再结合，得；由为的中位线且，得，再由双曲线的定义，得，从而，.
在直角三角形中，，化简，得，所以.

故选：

【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质的应用，属于中档题.

四、双空题
16．已知圆锥的底面半径、高、体积分别为2、3、，圆柱的底面半径、高、体积分别为1、、，则_________，圆锥的外接球的表面积为_________．
【答案】4
【解析】利用圆锥和圆柱的体积相等可得圆柱的高h，再利用勾股定理，即即可得到半径R，从而求得外接球表面积.
【详解】
依题有解得．设圆锥的外接球的半径为，
则有，解得，则圆锥的外接球的表面积为
．
故答案为： (1) 4 ； (2) .
【点睛】
本题考查圆锥、圆柱的体积以及圆锥的外接球问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

五、解答题
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在中，角，，的对边分别为，，，且满足______.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】条件选择见解析（1）；（2）.
【解析】若选条件①：（1）由正弦定理边角互化得，进而求得，（2）由余弦定理结合基本不等式求得的范围即可得面积最大值
选条件②：（1）直接利用余弦定理计算得；（2）由余弦定理结合基本不等式求得的范围即可得面积最大值；选条件③：（1）利用二倍角余弦公式求得进而求得；（2）由余弦定理结合基本不等式求得的范围即可得面积最大值
【详解】
解：若选条件①：
（1）因为，由正弦定理，得
，
即.
在中，，得.
即，又，所以，所以.
（2）因为，由余弦定理得(当且仅当时等号成立)，
结合三角形的面积公式得到，
所以该三角形面积的最大值为.
若选条件②：
（1）结合余弦定理得到，又，所以.
（2）由，结合余弦定理得到：
(当且仅当时等号成立)，结合三角形的面积公式得到，所以该三角形面积的最大值为.
若选条件③：
（1）因为，所以
，所以.
又，所以.
（2）由，结合余弦定理得到：
(当且仅当时等号成立)，结合三角形的面积公式得到，所以该三角形面积的最大值为.
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值及三角形面积，注重考查三角公式及定理的熟练运算，是中档题
18．已知等差数列的公差，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，，求数列的前项的和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)结合等差数列的通项公式和已知条件即可求出首项，进而可求出通项公式.
(2)求出的通项公式，根据数列求和的定义写出的表达式，结合等差数列、等比数列前项和的公式即可求出.
【详解】
（1）由，得，又，所以，
所以.
（2）设公比为，由题意，，即，所以，
于是，故.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了数列的求和，属于基础题.
19．在三棱柱中，，，，且.

（1）求证：平面平面；
（2）设二面角的大小为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）要证明平面平面，只需证明平面即可；
（2）取的中点D，连接BD，以B为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为与平面的法向量为，利用夹角公式计算即可.
【详解】
（1）在中，，
所以，即.
因为，，，
所以.
所以，即.
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.

（2）由题意知，四边形为菱形，且，
则为正三角形，
取的中点D，连接BD，则.
以B为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则
，，，，.
设平面的法向量为，
且，.
由得取.
由四边形为菱形，得；
又平面，所以；
又，所以平面，
所以平面的法向量为.
所以.
故.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中档题.
20．为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
分数





甲班频数
5
6
4
4
1
乙班频数
1
3
6
5
5
（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？

甲班
乙班
总计
成绩优良



成绩不优良



总计



附：，其中.
临界值表

0.10
0.05
0.025

2.706
3.841
5.024
（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）填表见解析；能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”（2）详见解析
【解析】（1）先由统计数据可得列联表，再由列联表求出的观测值，然后结合临界值表即可得解；
（2）先确定的可能取值，再求对应的概率，列出分布列，然后求出其期望即可得解.
【详解】
解：（1）由统计数据可得列联表为：

甲班
乙班
总计
成绩优良
9
16
25
成绩不优良
11
4
15
总计
20
20
40
根据列联表中的数据，得的观测值为，
∴在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.
（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0，1，2，3.
；；
；.
∴的分布列为

0
1
2
3





所以.
【点睛】
本题考查了独立性检验及列联表，重点考查了离散型随机变量的分布列及期望，属中档题.
21．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2.
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设抛物线的准线与轴交于点，直线过点且与抛物线交于，两点（点在点，之间），点满足，求与的面积之和取得最小值时直线的方程.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.
【解析】（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点为，把点代入抛物线方程，再结合点到其焦点的距离为2，利用两点间距离公式得到关于的方程，解方程即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点，易知直线的斜率存在，且不为零，设其方程为，
设，，由，利用平面向量的坐标运算可得，，联立直线方程和抛物线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出的值，利用数形结合可得，，再利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】
（Ⅰ）的焦点为，依题意有，解得，
所以，抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的标准方程为，其准线方程为：，
所以点易知直线的斜率存在，且不为零，其方程为，
设，，因为，即，
∴，联立方程，消去，得，，
根据题意，作图如下：


.
当且仅当，即或时，
与的面积之和最小，最小值为.
时，，，直线的方程为；
时，，，直线的方程为，
∴与的面积之和最小值时直线的方程为或.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、利用数形结合思想和基本不等式求三角形面积的最值；考查运算求解能力、数形结合思想和转化与化归能力；属于综合型、难度大型试题.
22．已知函数().
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）对函数求导，按照、、、、分类，解出、的解集即可得解；
（2）按照、、、、分类，结合导数确定在上的最值即可得解.
【详解】
（1）因为，所以，
①当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
②当时，，
令，解得，，且，
当或时，；当时，；
所以在区间上单调递增，在区间和上均单调递减；
③当时，令，解得，，且，
当或时，；当时，；
所以在区间和上均单调递增，在区间上单调递减；
④当时，，所以在区间是上单调递增；
⑤当时，令，解得，，且，
当或时，；当时，；
所以在区间上单调递减，在区间和上均单调递增；
（2）由及（1）求解知，
①当时，，所以，不符合题意；
②当时，实数需满足下列三个条件：
(i)，得；
(ii)；
(iii)当时，则，
即当时，，
所以，故；
所以；
③当时，在区间单调递增，
又，所以当时，对成立，
又，所以满足题意；
④当时，，
则，即，
又当时，对有，
所以；
综上，所求实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查了利用导数确定函数的单调性及最值，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.