2021届内蒙古赤峰学院附中高三上学期周练8数学（文）试题

这是一份2021届内蒙古赤峰学院附中高三上学期周练8数学（文）试题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
赤峰学院附属中学2018级高三文科数学周测（10月31日）
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为 B．
C．的共轭复数 D．为纯虚数
3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元年，即输入，执行该程序框图，运行相应的程序，输出，从干支表中查出对应的干支为辛酉.我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元年，则该年所对应的干支为（ ）
六十干支表（部分）





戊辰
己巳
庚午
辛未
壬申





己未
庚申
辛酉
壬戌
癸亥


A．戊辰 B．辛未 C．已巳 D．庚申
5．已知定义在上的偶函数，当时，其解析式为，则在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
8．若随机变量，且.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．中，角所对的边分别为，已知向量，，且共线，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10．已知函数的最大值为，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列判断正确的是（）
A．函数在上单调递增
B．函数的图像关于直线对称
C．当时，函数的最小值为
D．要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位
11．已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．1

二、填空题
13．向量，，且、的夹角为锐角，则实数k的取值范围是________.
14．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：
（1）在闭区间上是连续不断的；
（2）在区间上都有导数．
则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值．则在区间上的拉格朗日中值________．
15．已知四棱锥，底面为正方形，平面，，，球与四棱锥的每个面都相切，则球的半径为______．
16．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________．


三、解答题
17．在中，角所对的边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）若，求的面积.

18．某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训.其中250名工人参加过短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人）.现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数），得到类工人生产能力的茎叶图（图1），类工人生产能力的频率分布直方图（图2）.

（1）在样本中求类工人生产能力的中位数，并估计类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若规定生产能力在内为能力优秀，现以样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层抽样共抽取名工人进行调查，请估计这名工人中的各类人数，完成下面的列联表.

若研究得到在犯错误的概率不超过的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关，则的最小值为多少？
参考数据：

参考公式：，其中.



19．在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，点是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.


20．已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于两点，为原点.
①求证：；
②设、分别与椭圆相交于、两点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明:为定值.



21．已知，是函数的导函数，，．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求的解析式；
（2）设，若对任意的，且，都有 ，求的取值范围．


【选考题】（请考生在第22、23题中任选一题作答）
22．在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；
设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值．


23．已知函数，
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）已知，若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

参考答案
1．A
【解析】
求解二次不等式可得：，
求解对数不等式可得：，
结合交集的定义有：.
本题选择A选项.
2．D
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,即可求得结果.
【详解】
,的虚部为,,,.
故选:D.
【点睛】
本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.
3．D
【解析】
【分析】
由对数函数的性质求出每个数的范围，即可判断大小.
【详解】
因为，，，所以.故选：D.
【点睛】
本题考查利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
输出，计算输出结果，查表可得结果.
【详解】
输入，，第一次循环，，，不成立；
第二次循环，，，不成立；
第三次循环，，，不成立；
由上可知，每执行一次循环后，的值对应地在上一次循环后的值中减去，则输出的的值为除后的余数，
，则输出的的值为，因此，公元年对应的干支为戊辰.
故选：A.
【点睛】
本题考查数学文化中的“干支纪年法”，考查程序框图的应用，考查计算能力，属于中等题.
5．A
【解析】
【分析】
根据偶函数性质及分段函数解析式求法，先求得时的解析式，即可由导数几何意义求得切线方程.
【详解】
定义在上的偶函数，所以
当时，其解析式为，
则当时，，则，
而，
所以当时，，
则，所以切点坐标为，
由，可得，
所以切线斜率为
则切线方程为，化简可得，
故选：A.
【点睛】
本题考查了由奇偶性求函数解析式，由导函数求切线方程，属于基础题.
6．A
【解析】
【分析】
可判断为上的奇函数，且单调递增，则不等式可化为，即，讨论的范围去绝对值即可求解.
【详解】
因为函数的定义域为，
且满足，
所以为上的奇函数，
则可化为，
因为恒成立，所以为上的增函数.
所以原不等式等价于不等式.
①当时，可化为，所以；
②当时，可化为，所以.
综上，原不等式的解集为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.
7．A
【解析】
【分析】
根据题意，用表示出与，求出的值即可.
【详解】
解：根据题意，设，则
，
又，
，
，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.
8．D
【解析】
【分析】
根据已知条件先得到的值即得到了的值，再利用抛物线的定义由的值可得到点的坐标为，要求的最小值即要在准线上找一点到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值.
【详解】
随机变量，且，
1和关于对称，
即，
设为第一象限中的点，，
抛物线方程为：，，
解得即，
关于准线的对称点为，
根据对称性可得：

当且仅当三点共线时等号成立.如图

故选：D
【点睛】
本题考查了利用抛物线的定义求解距离，定直线上的动点到两个定点的距离之和的最小值，关键是利用对称性把距离之和最小值转化为三点共线问题，属于较难题.
9．D
【解析】
【分析】
由向量共线的坐标表示得一等式，然后由正弦定理化边为角，利用诱导公式得展开后代入原式化简得，分类讨论得解．
【详解】
∵共线，∴，即，
，
，
整理得，
所以或，
或或（舍去）．
∴三角形为直角三角形或等腰三角形．
故选：D.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查向量共线的坐标表示，考查正弦定理，两角和的正弦公式，考查三角函数性质．解题时不能随便约分漏解．
10．D
【解析】
【分析】
根据题意求出函数f（x）的解析式，再判断四个选项中的命题是否正确即可．
【详解】
函数f（x）＝Asin（ωx+φ）中，A，，∴T＝π，ω2，
又f（x）的图象关于点（，0）对称，∴ωx+φ＝2×（）+φ＝kπ，
解得φ＝kπ，k∈Z，∴φ；
∴f（x）sin（2x）；
对于A，x∈[，]时，2x∈[，]，f（x）是单调递减函数，错误．
对于B，x时，f（）sin（2）＝0，f（x）的图象不关于x对称，错误；
对于C，x∈[，]时，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）的最小值为，C错误；
对于D，ycos2x向右平移个单位，得ycos2（x）cos（2x）的图象，
且ycos（2x）cos（2x）sin（2x），∴正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，以及正弦函数的图象和性质的应用问题，是中档题．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.
11．C
【解析】
【分析】
把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出的范围．
【详解】
，所以函数的图象与直线有两个交点，
作出函数的图象，如下图，

由得，设直线与图象切点为，则，，所以．
由得，，与在原点相切时，，
由得，，与在原点相切时，，
所以直线，，与曲线相切，
由直线与曲线的位置关系可得：
当时有两个交点，即函数恰有两个零点.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解．
12．B
【解析】
【分析】
根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值.
【详解】
根据题意,设,
则
由代入可得
即点的轨迹方程为
又因为,变形可得,即,且
所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:

所以的最小值即为到直线的距离最小值
根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值
设切线的方程为,化简可得
由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得
即
所以切线方程为或
所以当变化时, 到直线的最大值为
即的最大值为
故选:B
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.
13．
【解析】
【分析】
利用模长以及数量积公式求出，，，，结合题意得到，化简即可求出实数k的取值范围.
【详解】
,

由于、的夹角为锐角
则，解得：或
故答案为
【点睛】
本题主要考查了向量的模长以及数量积、向量的夹角的求法，属于中等题.
14．
【解析】
【分析】
先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得，进而求得的值即可.
【详解】
，则，
所以，
由拉格朗日中值的定义可知，，
即，
所以．
故答案为: .
【点睛】
本题考查函数与导数的简单应用，新定义的理解和应用，属于基础题．
15．
【解析】
【分析】
计算出四棱锥的表面积，利用等体积法计算出球的半径.
【详解】
依题意底面为正方形，平面，
所以，
由于，
所以平面，平面，
所以，
设内切球的半径为，
，
四棱锥的表面积，则有，解得．
故答案为：

【点睛】
本小题主要考查几何体内切球的有关计算，属于基础题.
16．2
【解析】
【分析】
如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到.
【详解】

由题得,.
因为.
所以,
过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作于点E,
设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，
所以|AE|=n-m，因为,
所以|AB|=3(n-m)，
所以3(n-m)=n+m，
所以.
所以.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．(1)见解析;(2) .
【解析】
【分析】
（1）将条件变形可得，利用余弦定理可得所证的结论．（2）当时，由（1）中的结论可得；再根据正弦定理可得，又，根据面积公式可得结果．
【详解】
（1）∵，
∴，
由余弦定理可得，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，
由正弦定理得，
∴，
又，
∴.
18．（1）132.6；（2）360
【解析】
试题分析：（1）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数，由频率分布直方图，估计出B类工人生产能力的平均数；
（2）列出能力与培训的列联表，计算卡方，结合表格作出判断.
试题解析：
（1）由茎叶图知类工人生产能力的中位数为123，由频率分布直方图，估计类工人生产能力的平均数为 ；
（2）由（1）及所给数据得能力与培训的列联表如下：

由上表得
，
解得，又人数必须取整，
∴的最小值为360.
19．（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）取中点，连结，，证明，再利用线面平行判定定理证明即可；
（2）设点到平面的距离为，利用等积法，可求得答案.
【详解】
（1）取中点，连结，.
因为为中点，所以，.
因为，.所以且.
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连由（1）得平面，
设点到平面的距离为，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，同理平面；
在等腰直角三角形中，∵，∴，
在直角三角形中，，又，
∵，∴，
由，
∴
点到平面的距离.

【点睛】
本题考查线面平行的证明、点到面的距离，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等积法的应用.
20．（1）；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据椭圆过定点以及椭圆的离心率可得，解得的值，由椭圆的定义可得的值，将的值代入椭圆方程即可得答案；（2）①设过椭圆的上顶点的直线的方程为，与抛物线方程联立，设出点的坐标，由根与系数的关系分析计算的值，由向量数量积的性质可得证明；②直线 与抛物线联立，由韦达定理及平面向量数量积公式可得， 的等量关系，结合点到直线距离公式可得结果.
试题解析：(1) ，所以，又，解得，，
所以椭圆的方程为
（2）①证明：设、，依题意，直线一定有斜率， 的方程为，
联立方程消去得 ，，又，，
②证明：设、，直线的方程为，，，，联立方程消去得 ，
，，
而
由 得
，即. 所以为定值.
【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
21．（1）或；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设，由及可解得；
（2）先求得，命题对任意的，且，都有 ，可转化为，等价于在上是增函数．利用导数研究可得的范围．
【详解】
解：（1）∵，
设，∴，
∵，∴，
依题意有，且，
可得，
解得，或，，
所以或．
（2）∵．
，
等价于．
设，则对任意的，
等价于在上是增函数．
，
可得，
依题意有，对任意，有恒成立．
由，可得．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是等价转化为用导数研究函数的单调性．本题考查了学生分析问题解决问题的能力，逻辑推理能力，属于较难题．
22．(Ⅰ) 曲线是焦点在轴上的椭圆；(Ⅱ)．
【解析】
试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为，（为参数），；曲线的直角坐标方程为，椭圆；（2）将直线代入椭圆得到，所以，解得．
试题解析：
(Ⅰ)直线的参数方程为.
曲线的直角坐标方程为，即，
所以曲线是焦点在轴上的椭圆.
(Ⅱ)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为
得，
，
得，
，
23．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将代入不等式，分类讨论即可解不等式，求得解集.
（2）由可知，结合绝对值三角不等式可知，进而可知，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
当时，不等式可化为，解得，
当时，不等式可化为，解得，
当时，不等式可化为，解得，
综上所述，不等式的解集是.
（2），

由题意得
或
的取值范围是
【点睛】
本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式的综合应用，属于中档题.