+广东省韶关市武江区北江实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学模拟试卷

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2022-2023学年广东省韶关市武江区北江实验学校八年级下学期期中数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”，这一结论的情况共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
3．（3分）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝，则∠CDE+∠ACD＝（　　）

A．60° B．75° C．90° D．105°
4．（3分）顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是（　　）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．邻边不等的平行四边形
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对边平行且相等
7．（3分）在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行．同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（　　）

A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
8．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　）

A．OA＝OC B．∠BOE＝∠OBA C．CO＝CE D．OE＝DC
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积为（　　）
​

A．14 B．24 C．48 D．96
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）当x　 　时，式子有意义．
12．（4分）为说明命题“如果|a|＝|b|，那么“a＝b”是假命题，你举出的一个反例是 　 　．
13．（4分）在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠BAC＝60°，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为　 　．
14．（4分）如果是二次根式，那么a、b应满足　 　．
15．（4分）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处．若∠DBC＝20°，则∠A′EB＝　 　．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值是 　 　．

17．（4分）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动，当正方形边长为2时，OD的最大值为　 　．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
18．（6分）计算．
．
．
19．（6分）如图，小斌用一根50m长的绳子围成一个平行四边形场地，其中一边长16m，求其他三边的长度．

20．（6分）如图是凹四边形ABCD，已知AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，且CD＝13，DA＝12，求这个凹四边形的面积．

四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
21．（8分）已知a+b＝﹣3，ab＝2，求的值．
解：
＝…第一步
＝….第二步
＝…第三步
＝＝﹣．
我们知道≥0，≥0，其和必然不小于0，而题中的结果却是负数，说明计算过程有错．
请问：（1）以上过程中，开始出现错误的是第 　 　步，错误原因是 　 　；
（2）写出你认为正确的解答过程．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝120°，求∠D的度数．

23．（8分）观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
＝＝＝﹣1；
＝；
按照以上的过程，解答以下问题：
（1）分母有理化：；
（2）计算：（）×．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
24．（10分）已知：矩形ABCD，AB＝2，BC＝5，动点P从点B开始向点C运动，动点P速度为每秒1个单位，以AP为对称轴，把△ABP折叠，所得△AB'P与矩形ABCD重叠部分面积为y，运动时间为t秒．
（1）当运动到第几秒时点B'恰好落在AD上；
（2）求y关于t的关系式，以及t的取值范围；
（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD面积的；
（4）连接PD，以PD为对称轴，将△PCD作轴对称变换，得到△PC'D，当t为何值时，点P、B'、C'在同一直线上？

25．（10分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．


2022-2023学年广东省韶关市武江区北江实验学校八年级下学期期中数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、为最简二次根式，所以A选项符合题意；
B、＝2，所以B选项不符合题意；
C、＝＝，所以C选项不符合题意；
D、＝，所以D选项符合题意．
故选：A．
2．（3分）顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”，这一结论的情况共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【解答】解：当①AD∥BC，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下：
连接AC，如图1所示：
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；

当①AD∥BC，③∠A＝∠C时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下：
连接AC，如图1所示：
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∵∠A＝∠C，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；

当③∠A＝∠C，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下：
如图2所示：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴2∠C+2∠B＝360°
∴∠C+∠B＝180°，
∴AB∥CD，
同理：AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．


3．（3分）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝，则∠CDE+∠ACD＝（　　）

A．60° B．75° C．90° D．105°
【答案】C
【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，
∴BC＝2DE＝，
∵AB＝2，AC＝1，
∴AC2+BC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠A＝＝，
∴∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE＝CE，
∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE+∠ACD＝90°，
故选：C．
4．（3分）顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是（　　）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．邻边不等的平行四边形
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF＝GH＝AC，FG＝EH＝BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC＝BD，
∴EF＝GH＝FG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：A．

5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
6．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对边平行且相等
【答案】A
【解答】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分，四个角都是直角，对边平行且相等；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直，对边平行且相等；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：四个角都是直角．
故选：A．
7．（3分）在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行．同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（　　）

A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
【答案】C
【解答】解：由题意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），
又∵AB＝30海里，
∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2
∴∠AOB＝90°，
∵∠DOA＝50°，
∴∠BOD＝40°，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏西40°，
故选：C．

8．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　）

A．OA＝OC B．∠BOE＝∠OBA C．CO＝CE D．OE＝DC
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝DC，OE∥DC，
∴OE∥AB，
∴∠BOE＝∠OBA，
∴选项A、B、D正确；
∵AB≠AC，
∴∠OEC≠∠OCE，
∴选项C错误；
故选：C．
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积为（　　）
​

A．14 B．24 C．48 D．96
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积＝×6×8＝24．
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5，
∵将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，
∴AE＝AB＝13，BD＝DE，
∴CE＝8，
∵DE2＝CD2+CE2，
∴DE2＝(12﹣DE)2+64，
∴DE＝，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）当x　≤2　时，式子有意义．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0，即x≤2时，二次根式有意义．
12．（4分）为说明命题“如果|a|＝|b|，那么“a＝b”是假命题，你举出的一个反例是 　a＝1，b＝﹣1（答案不唯一）　．
【答案】a＝1，b＝﹣1（答案不唯一）．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，|1|＝|﹣1|，但1≠﹣1，
即|a|＝|b|但不满足a＝b，
故答案为：a＝1，b＝﹣1（答案不唯一）
13．（4分）在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠BAC＝60°，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点B作BG⊥AC，过点A作AH⊥BC，连接AD，

∵AB＝5，∠BAC＝60°，BG⊥AC，
∴AG＝，BG＝AG＝，
∵AC＝8，AG＝，
∴GC＝，
∴BC＝＝＝7，
∵S△ABC＝•BC•AH＝•AC•BG，
∴AH＝，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠AED+∠AFD＝180°，
∴点A，点E，点D，点F四点在以AD为直径的圆上，设圆心为O，连接OE，OF，
∴∠EOF＝120°，
∴EF＝2•OE•cos30°，
∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，
∴AD与AH重合时，EF最小，
∴EF最小值为
14．（4分）如果是二次根式，那么a、b应满足　≥0且a≠0　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：是二次根式，则根据二次根式的意义必有≥0且a≠0．
15．（4分）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处．若∠DBC＝20°，则∠A′EB＝　55°　．

【答案】55°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝20°，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠ADB）＝（90°﹣20°）＝35°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值是 　+1　．

【答案】．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，OE，AC，

∵边长为2的菱形ABCD，
∴AB＝BC＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB的中点E，
∴，CE⊥AB
∴，
在Rt△ABO中，，
∴，
∴当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为．
故答案为：．
17．（4分）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动，当正方形边长为2时，OD的最大值为　1+　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，取AB的中点E，∵正方形边长为2，
∴OE＝AE＝BE＝AB＝×2＝1，
由勾股定理得，DE＝＝，
由两点之间线段最短可得D、E、O三点共线时OD的值最大，
最大值为1+．
故答案为：1+．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
18．（6分）计算．
．
．
【答案】（1）；
（2）9+2．
【解答】解：（1）+
＝3
＝；
（2）（2）（2）﹣（）2﹣
＝20﹣6﹣（2﹣2+1）﹣2
＝20﹣6﹣2+2﹣1﹣2
＝9+2．
19．（6分）如图，小斌用一根50m长的绳子围成一个平行四边形场地，其中一边长16m，求其他三边的长度．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵周长为50，
∴AB+BC＝25，
∵一边长为16m，
∴另一边长为9m，
∴其他三边的长为9m，16m，9m．
20．（6分）如图是凹四边形ABCD，已知AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，且CD＝13，DA＝12，求这个凹四边形的面积．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵52+122＝132，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，∠CAD＝90°，
∴这个凹四边形的面积＝△ADC的面积﹣△ABC的面积＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．

四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
21．（8分）已知a+b＝﹣3，ab＝2，求的值．
解：
＝…第一步
＝….第二步
＝…第三步
＝＝﹣．
我们知道≥0，≥0，其和必然不小于0，而题中的结果却是负数，说明计算过程有错．
请问：（1）以上过程中，开始出现错误的是第 　一　步，错误原因是 　∵a+b＝﹣3，ab＝2，∴a＜0，b＜0，∴+＝﹣﹣　；
（2）写出你认为正确的解答过程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）以上过程中，开始出现错误的是第一步，
错误原因是：∵a+b＝﹣3，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
∴+＝﹣﹣，
故答案为：一；∵a+b＝﹣3，ab＝2，∴a＜0，b＜0，∴+＝﹣﹣；
（2）∵a+b＝﹣3，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
∴+
＝﹣﹣
＝﹣
＝﹣．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝120°，求∠D的度数．

【答案】（1）证明见解析；
（2）60°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC 即 AB∥DF，
∴∠ABE＝∠FCB，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵四边形ABFC是矩形，
∴AF＝BC，AE＝AF，BE＝BC，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠AEC＝120°，
∴∠ABE＝∠BAE＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠ABE＝60°．
23．（8分）观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
＝＝＝﹣1；
＝；
按照以上的过程，解答以下问题：
（1）分母有理化：；
（2）计算：（）×．
【答案】（1）2﹣；
（2）2020．
【解答】解：（1）＝＝＝＝2﹣；
（2）原式＝（﹣1+﹣+2﹣+•••+﹣）×（+1）
＝（﹣1）×（+1）
＝2021﹣1
＝2020．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
24．（10分）已知：矩形ABCD，AB＝2，BC＝5，动点P从点B开始向点C运动，动点P速度为每秒1个单位，以AP为对称轴，把△ABP折叠，所得△AB'P与矩形ABCD重叠部分面积为y，运动时间为t秒．
（1）当运动到第几秒时点B'恰好落在AD上；
（2）求y关于t的关系式，以及t的取值范围；
（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD面积的；
（4）连接PD，以PD为对称轴，将△PCD作轴对称变换，得到△PC'D，当t为何值时，点P、B'、C'在同一直线上？

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，由折叠得：∠AB′P＝∠B＝90°，AB＝AB′＝2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAB′＝90°，
∴四边形ABPB′为正方形，
∴BP＝AB＝2，
∵动点P速度为每秒1个单位，
∴t＝2，
即当运动到第2秒时点B′恰好落在AD上；

（2）分两种情况：①当0≤t≤2时，如图2，PB＝t，
由折叠得：S△AB′P＝S△ABP，
∴y＝S△ABP＝AB•PB＝×2×t＝t，
②当2＜t≤5时，如图3，
由折叠得：∠APB＝∠APE，PB＝PB′＝t，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB，
∴∠DAP＝∠APE，
∴AE＝PE，
设AE＝x，则PE＝x，B′E＝t﹣x，
由勾股定理得：22+（t﹣x）2＝x2，
x＝，
∴，
综上所述：；

（3）①y＝t＝×2×5，
∴t＝2.5（舍），
②＝×2×5，
∴t1＝1（舍），t2＝4，
综上所述：在第4秒时，重叠部分面积都是矩形ABCD面积的；

（4）如图4，点P，B′，C′在同一直线上，
由折叠得：∠APB＝∠APB′，∠C′PD＝∠CPD，
∴∠APC′+∠C′PD＝×180°＝90°，
∵∠PAB′+∠APB′＝90°，
∴∠PAB′＝∠C′PD，
∵∠AB′P＝∠C′＝90°，
∴△AB′P∽△PC′D，
∴，
∴，
解得：t1＝1，t2＝4，如图5所示，
∴当t为1秒或4秒时，点P，B′，C′在同一直线上．





25．（10分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°
且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG
∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，
∴CE+CG＝4 是定值．