湖北省襄阳市樊城区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）A. 2，3，4 B. C. 1，2，2 D. 5，12，13【答案】D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；B、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；C、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；D、因为，能构成直角三角形，此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2. 如图，在平面直角坐标系中的顶点的坐标分别是，，，则点C的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据坐标与图形性质以及平行四边形的性质求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，即轴，∵坐标分别是，，，∴，点C与点B的纵坐标相等，都为3，∴点C的横坐标为，∴点C的坐标为，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解答的关键．3. 菱形的两条对角线的长分别是4cm和6cm，则菱形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答．【详解】解：菱形的两条对角线的长分别是4cm和6cm，菱形的面积为，故答案为：B．【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算，菱形的面积计算主要有两种计算方法：第一种为菱形的面积等于对角线乘积的一半；第二种为菱形的面积等于底乘高；熟练掌握相关知识点是解题的关键．4. 如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，于点，连接，若，则的面积为（　　）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】作于点，根据勾股定理求得，得，则，所以，即可求得的面积为6．【详解】解：作于点，则，于点，，四边形是边长为4的正方形，，，，，，，∴∴，，的面积为6，故选：B．【点睛】此题重点考查正方形的性质、勾股定理与三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求得是解题的关键．5. 如图1，四边形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到的中点时，的面积为（　　）A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.6【答案】A【解析】【分析】首先结合图形和函数图象判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可．【详解】解：根据题意得：四边形是梯形，当点从运动到处需要2秒，则，面积为4，则，根据图象可得当点运动到点时，面积为10，则，则运动时间为5秒，，设当时，函数解析式为，，解得，当时，函数解析式为，当运动到中点时时间，则，故选：A．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键．6. 如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；D、∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．7. 依据所标数据（度数为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据菱形的判定方法、勾股定理逆定理、等腰三角形判定方法求解．【详解】A. 由已知条件不能得证为菱形，本选项符合题意；B. 根据勾股逆定理，，所以对角线互相垂直，故四边形为菱形，本选项不符合题意；C. 邻边相等，为菱形，本选项不符合题意； D. 由等角对对边知一组邻边相等，为菱形，本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题考查菱形的判定，勾股定理逆定理，等腰三角形判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．8. 如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可【详解】解：如图，当时，重叠部分为三角形，面积，如图，当时，重叠部分为梯形，面积，∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．9. 如图，在正方形中，点E，F分别在边上，点P是的中点，连接．若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接、、、，过点P作交于G，先利用平行线分线段成比例证明，再证是等边三角形，是等腰三角形，得到，从而求得，继而求得，然后由直角三角形性质求得，继续证明，得到，，从而可证得是等边三角形，根据等边三角形三线合一可得出，最后由等腰直角三角形，得出，即可由求解．【详解】解：连接、、、，过点P作交于G，∵正方形，∴，，，∵∴，，∴，∵点P是的中点，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，是等腰三角形，∴，∴，∴，∴，∵点P是的中点，，∴，∴，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，∴∵点P是的中点，∴，∵，，∴∴，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，作辅助线构造等边三角形与全等三角形是解题的关键．10. 如图，正方形的边，分别在轴，轴上，点，分别在，上，是等边三角形，连接，交于点．若，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过点作于，利用正方形性质和等边三角形性质可证得，得出，推出，利用等腰直角三角形性质和等边三角形性质即可求得答案．【详解】解：如图，过点作于，四边形是正方形，，，，是等边三角形，，，，，即，，，，，是等边三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，点的坐标为，．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，知识点较多，综合性强，是常考题型，熟练掌握相关性质是解题关键．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11. 如图，点E是正方形中延长线上一点，连接，点F是的中点，连接，若，，则的长为 ______． 【答案】【解析】【分析】根据正方形的性质得出，进而利用证明，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．【详解】解：过F作分别交于G，H，则四边形为矩形，∴，，，∵四边形是正方形，∴，，∵F是的中点，∴，在与中，，∴，∴，，在中，，∴，，∴，∴，在中，，故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质，关键是根据正方形的四边相等和勾股定理求解线段长．12. 如图，在中，，P是斜边上的动点，连接于点D，连接．则的最小值是 _____． 【答案】2【解析】【分析】取中点M，连接，由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理求出的长，由三角形的三边关系即可求出的最小值．【详解】解：取中点M，连接， ∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴的最小值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造，应用三角形的三边关系定理求的最小值．13. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为…按此规律，则点的纵坐标为______．【答案】【解析】【分析】联立直线与直线的表达式并解得，故，，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，即可求解，找出规律即可求得答案．【详解】解：由解得，，；点，，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式解得，直线的表达式为：，由解得，，，，，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式解得，直线的表达式为：，同理可得的纵坐标为，按此规律，则点的纵坐标为，∴点的纵坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系．14. 在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为．在直角坐标系中，有，，三点，另有一点与，，构成平行四边形的顶点，则点的坐标为___________．【答案】或或【解析】【分析】当是对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或是对角线时，同理可解．【详解】解：设点，，当是对角线时，由中点坐标公式得∶，解得∶，即点的坐标为∶；当或是对角线时，由中点坐标公式得∶或，解得∶或，即点的坐标为∶或，故答案为∶或或．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质等知识，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．15. 如图，中，是角平分线，是中线，于P，，，则的长为 _____． 【答案】1【解析】【分析】延长交于点F，证明P为的中点，进而根据三角形中位线的性质即可求解．【详解】解：如图所示，延长交于点F， ∵中，是角平分线，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，则，又是中线，则，∴是的中位线，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，掌握三角形中位线的性质与判定是解题的关键．三．解答题（共8小题，满分70分）16. 如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F．（1）求证：四边形是菱形．（2）若，，求菱形的面积．【答案】（1）见解析 （2）45【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质可得，，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；（2）设菱形的边长为，则，在中，利用勾股定理求出的值，然后根据菱形的面积公式即可得．小问1详解】证明：四边形是矩形，∴，，，∵O为矩形的对角线的中点，∴，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形．【小问2详解】解：四边形矩形，，设菱形的边长为，则，，，在中，，即，解得，，则四边形的面积为．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．17. 如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使得，连接．（1）求证：平行且等于；（2）求证：四边形是矩形；（3）若，求的长．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得（2）由（1）可证明四边形是平行四边形，再根据，即可求证；（3）根据勾股定理的逆定理，求得F是直角三角形，等面积法求得，即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴；小问2详解】证明：∵，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴，∴平行四边形是矩形；【小问3详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，∵，∴，∴是直角三角形，即，∵的面积，∴．【点睛】此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．18. 计算：（1）（2）【答案】（1） （2）1【解析】【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则计算求解；（2）利用二次根式乘除法的运算法则计算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．19. 已知，，求的值．【答案】4【解析】【分析】先求出、的值，再整体代入进行计算即可．【详解】解：，，，，．【点睛】本题考查求代数式的值，解题的关键是整体代入思想的应用．20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线（）交于点P，．（1）求直线的解析式；（2）连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标；（3）将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）； （2）或； （3）或；【解析】【分析】（1）先求出，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点Q的坐标；（3）先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．【小问1详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令，则，∴点A为，∴，∵，∴点C为，点D为，∴直线的解析式为；【小问2详解】解：在中，令，则，∴点B为，∵，解得，∴点P的坐标为；∴；∵点Q在直线上，则设点Q为，则当点Q在点B的下方时，如下图：∵，点P的坐标为，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴点的坐标为；当点Q在点P的上方时，如上图：，∴，∴解得：，∴，∴点的坐标为；综合上述，点的坐标为或；【小问3详解】解：∵直线向下平移1个单位长度得到直线，∴直线为，令，则，∴点E的坐标为，即；当作为矩形的边时，如图：∴点N的坐标为，∴点M的坐标为；当作为矩形的对角线时，如图：∴点F的坐标为，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴四边形是正方形，∴，，∴，∴点M的坐标为；综合上述，则点M的坐标为或；【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．（1）求直线的函数表达式；（2）若点P在线段上，且，求点P的坐标；（3）当 时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．【答案】（1）； （2）（，） （3）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）设点P坐标为，根据即可求解；（3）作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，即可求解．【小问1详解】解：∵点A在y轴上，直线过点A，∴点A坐标为，将点和点代入直线，得，解得，∴直线AB的函数表达式为；【小问2详解】解：设点P坐标为，令，得，∴点C坐标为，∵点，点，∴，，，∴，∵点P在线段上，∴，∵，∴，解得，∴点P坐标为；【小问3详解】解：设点P纵坐标为，∵，点P是x轴上方的一个动点，∴，解得，作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，则的最小值即为的长，∵点B坐标为，∴点B′坐标为，∴，∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，∴s，∴t的最小值为．【点睛】本题考查了一次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．22. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．当时，；当时，（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；（2）若．①求直线的解析式；②若直线与直线相交，且两条直线所夹的锐角为，求m的值．【答案】（1） （2）①；②或【解析】【分析】（1）根据当时，；当时，，即当时，，即，问题随之得解；（2）①先求出，用待定系数法即可得直线l1的解析式为；②设直线与x轴交于D，连接，直线与直线交于C，当C在y轴左侧时，过C作轴于H，分两种情况：当C在y轴左侧时，过C作轴于H，由可得，即可得，故，从而是等腰直角三角形，由，可得，代入得；当C在y轴右侧时，过C作轴于K，由是等腰直角三角形，有，而，即可得，代入得．【小问1详解】解：∵当时，；当时，，∴当时，，即，∴，∴，∴k，b的关系式为；小问2详解】①如图：由（1）知，，∵，∴，∴在中，，即利用勾股定理可得：，，把，，代入得：，解得，∴直线l1的解析式为；②设直线与x轴交于D，连接，直线与直线交于C，当C在y轴左侧时，过C作轴于H，如图：在中，令得，∴，，，，，，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，，，，把代入得：，解得；当C在y轴右侧时，过C作轴于K，如图：∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，在中，结合勾股定理，，，，把代入得：，解得，综上所述，两条直线所夹的锐角为，m的值为或．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．23. 如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．①若的面积为，求点M的坐标；②连接，如图2，若，求点P的坐标．【答案】（1） （2）①或；②或【解析】【分析】（1）分别求出、、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；（2）①设，则，，求出，再由，求出的值后即可求点坐标；②分两种情况讨论：当点在线段上时，利用角的关系推导出，再由勾股定理得，求出的值即可求点的坐标；当点在线段上时，同理可求点的另一个坐标．【小问1详解】在中，令得，，令得，，点与点关于轴对称，，设直线的解析式为，，解得，直线的函数解析式为；【小问2详解】①设，轴，，，，，解得，的坐标为或；②点在线段上运动，，当点在线段上时，如图：点与点关于轴对称，，，，，，，，，，，，，解得，；当点在线段上时，如图：同理可得，综上所述：点的坐标为或．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．