第04讲 一元二次方程几何应用之动点问题专题训练-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

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第4讲 一元二次方程几何应用之动点问题专题训练
1．如图，矩形ABCD中，AB＝21cm，BC＝8cm，动点E从A出发，以3cm/s的速度沿AB向B运动，动点F从C出发，以2cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　）

A．3s B．s C．3s或s D．2.5s
【分析】过点E作EM⊥CD于点M，当运动时间为ts时，MF＝|21﹣5t|cm，EM＝8cm，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：过点E作EM⊥CD于点M，如图所示．
当运动时间为ts时，AE＝3tcm，CF＝2tcm，EM＝8cm，
∴MF＝|AB﹣AE﹣CF|＝|21﹣5t|cm．
根据题意得：82+（21﹣5t）2＝102，
整理得：5t2﹣42t+81＝0，
解得：t1＝3，t2＝，
∴EF的长为10cm时点E的运动时间是3s或s．
故选：C．

2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，AC＝13cm，点M从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点N从点B出发沿BC边向点C以1cm/s的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN的面积为9cm2时，点M，N的运动时间为（　　）

A．2s B．3s C．4 s D．5s
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长度，当运动时间为ts（0≤t≤5）时，BN＝tcm，BM＝（12﹣2t）cm，根据△MBN的面积为9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，AC＝13cm，
∴BC＝＝＝5（cm）．
当运动时间为ts（0≤t≤5）时，AM＝2tcm，BN＝tcm，BM＝（12﹣2t）cm，
依题意得：BN•BM＝9，即•t（12﹣2t）＝9，
整理得：t2﹣6t+9＝0，
解得：t1＝t2＝3，
∴点M，N的运动时间为3s．
故选：B．
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3cm，AC＝5cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为cm2，则点P运动的时间是（　　）

A．2s B．3s C．5s或3s D．5s
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度，当运动时间为ts时，BQ＝tcm，BP＝（4﹣t）cm，根据△PBQ的面积为cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3cm，AC＝5cm，
∴AB＝＝＝4（cm）．
当运动时间为ts时，AP＝tcm，BQ＝tcm，BP＝（4﹣t）cm，
依题意得：BP•BQ＝，
即•（4﹣t）•t＝，
整理得：t2﹣8t+15＝0，
解得：t1＝3，t2＝5，
当t＝3时，BQ＝1×3＝3，符合题意；
当t＝5时，BQ＝1×5＝5＞3，不符合题意，舍去．
∴点P运动的时间是3s．
故选：B．
4．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
【分析】设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，再结合当Q到达点C时两点同时停止运动，即可得出点P运动的时间．
【解答】解：设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
依题意得：（6﹣t）×2t＝5，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5，
∵当Q到达点C时两点同时停止运动，
∴2t≤8，
∴t≤4，
∴t＝1．
故选：A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从顶点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当P，Q两点运动（　　）秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2．

A．1 B．3 C．3或5 D．1或5
【分析】由题意可得CP＝AC﹣2t，CQ＝t，则利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：设运动的时间为ts，
由题意得：CP＝AC﹣2t，CQ＝t，
∴CP•CQ＝（AC﹣2t）t＝（12﹣2t）t＝﹣t2+6t＝5，
解得：t1＝1，t2＝5，
即当t＝1或t＝5时，Rt△CPQ的面积等于5cm2．
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB向点B以3m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 　10s或s　．

【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P运动到点C及点Q运动到点B所需时间，设运动时间为xs，当0＜x≤时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝3xm，根据△PCQ的面积等于450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值；当＜x＜25时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝40m，根据△PCQ的面积等于450m2，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．综上，此题得解．
【解答】解：50÷2＝25（s），40÷3＝（秒）．
设运动时间为xs．
当0＜x≤时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝3xm，
依题意得：（50﹣2x）•3x＝450，
整理得：x2﹣25x+150＝0，
解得：x1＝10，x2＝15（不合题意，舍去）；
当＜x＜25时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝40m，
依题意得：×40（50﹣2x）＝450，
解得：x＝．
故答案为：10s或s．
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为24平方厘米？（结果用最简二次根式表示）

【分析】设t秒后△PBQ的面积等于24平方厘米，分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据△PBQ的面积为24平方厘米列出方程求得时间即可．
【解答】解：设t秒后△PBQ的面积等于24平方厘米，根据题意得：
×2t×t＝24，
解得：t1＝﹣2（不合题意舍去），t2＝2．
答：2秒后△PBQ的面积等于24平方厘米．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）求四边形QAPC的面积；
（2）当t为何值时，△PCQ的面积是31cm2？

【分析】（1）当运动时间为ts时，DQ＝tcm，AQ＝（6﹣t）cm，AP＝2tcm，BP＝（12﹣2t）cm，利用S四边形QAPC＝S矩形ABCD﹣S△CDQ﹣S△BCP，即可求出四边形QAPC的面积；
（2）利用△PCQ的面积＝四边形QAPC的面积﹣△APQ的面积，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为ts时，DQ＝tcm，AQ＝（6﹣t）cm，AP＝2tcm，BP＝（12﹣2t）cm，
∴S四边形QAPC＝S矩形ABCD﹣S△CDQ﹣S△BCP
＝AB•BC﹣CD•DQ﹣BC•BP
＝12×6﹣×12t﹣×6（12﹣2t）
＝36（cm2）．
答：四边形QAPC的面积为36cm2．
（2）依题意得：36﹣×2t（6﹣t）＝31，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5．
答：当t的值为1或5时，△PCQ的面积是31cm2．
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．
（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．

【分析】（1）根据△PQB的面积等于9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣11＜0，可得所列方程没有实数根，进而得出△PQB的面积不等等于9cm2；
（2）根据四边形APQC的面积等于16cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
【解答】解：（1）△PQB的面积不能等于9cm2，
理由如下：
∵5÷1＝5s，8÷2＝4s，
∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，
根据题意可得：AP＝tm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，
假设△PQB的面积等于9cm2，
则，
整理得：t2﹣5t+9＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，
∴所列方程没有实数根，
∴△PQB的面积不能等于9cm2；
（2）由（1）得：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，
∵四边形APQC的面积等于16cm2，
∴，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得t1＝1，t2＝4，
∴t＝1或4时，四边形APQC的面积等于16cm2．
答：1s或4秒后，四边形APQC的面积等于16cm2．
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

【分析】（1）根据三角形的面积公式可以求出时间t；
（2）由等量关系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【解答】解：（1）∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，
∴t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；

（2）当S△PCQ＝S△ABC时，t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P、Q同时由A、C两点出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度沿线段AC、CB匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动．
（1）设经过t秒，用含t的代数式表示PC、CQ，PC＝　（6﹣t）cm　，CQ＝　2tcm　；
（2）几秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的？

【分析】（1）根据路程＝速度×时间，结合线段的和差关系即可求解；
（2）根据△PCQ的面积是△ABC面积的，列出方程计算即可求解．
【解答】解：（1）PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．
故答案为：（6﹣t）cm，2tcm；
（2）依题意有：×2t（6﹣t）＝×6×8×，
解得t1＝2，t2＝4．
故2或4秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的．
12．如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC，PQ∥AC，分别交AC，BC于R，Q．
（1）四边形PQCR的形状是 　平行四边形　；若设AP＝x，则四边形PQCR的面积可表示为 　（﹣x2+8x）cm2　．
（2）四边形PQCR的面积能为16cm2吗？能为20cm2吗？如果能，请求出P点与A点之间的距离；如果不能，请说明理由．

【分析】（1）由“PR∥BC，PQ∥AC”，可得出四边形PQCR的形状是平行四边形，设AP＝xcm，则PR＝xcm，BP＝BQ＝（8﹣x）cm，利用四边形PQCR的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形APR的面积﹣三角形PBQ的面积，即可找出四边形PQCR的面积；
（2）四边形PQCR的面积能为16cm2，由（1）的结论结合四边形PQCR的面积为16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；四边形PQCR的面积不能为20cm2，由（1）的结论结合四边形PQCR的面积为20cm2，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，可得出该方程无实数根，即四边形PQCR的面积不能为20cm2．
【解答】解：（1）∵PR∥BC，PQ∥AC，
∴四边形PQCR的形状是平行四边形．
设AP＝xcm，则PR＝xcm，BP＝BQ＝（8﹣x）cm，
∴四边形PQCR的面积＝AB•BC﹣AP•PR﹣BP•BQ
＝×8×8﹣•x•x﹣•（8﹣x）•（8﹣x）
＝﹣x2+8x．
故答案为：平行四边形；（﹣x2+8x）cm2．
（2）四边形PQCR的面积能为16cm2，
依题意得：﹣x2+8x＝16，
整理得：x2﹣8x+16＝0，
解得：x1＝x2＝4，
∴P点与A点之间的距离为4cm时，四边形PQCR的面积为16cm2；
四边形PQCR的面积不能为20cm2，理由如下：
依题意得：﹣x2+8x＝20，
整理得：x2﹣8x+20＝0，
∵Δ＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
∴该方程无实数根，
即四边形PQCR的面积不能为20cm2．
13．如图，四边形ABCD两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10．
设AC＝x，（0＜x＜5）
（1）用含x的式子表示：S四边形ABCD＝　﹣x2+5x　；
（2）当四边形ABCD四边形的面积为8cm2时，求AC、BD的长．

【分析】（1）设AC，BD交于O，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意得到方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设AC，BD交于O，
∵AC+BD＝10，AC＝x，
∴BD＝10﹣x，
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AC•DO+AC•BO＝AC•BD＝x（10﹣x）＝﹣x2+5x；
故答案为：﹣x2+5x；
（2）∵四边形ABCD四边形的面积为8cm2，
∴﹣x2+5x＝8，
解得x1＝2，x2＝8（不合题意舍去），
∴AC＝2cm，BD＝8cm．

14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．
（1）当t＝4时，求△APQ的面积．
（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．

【分析】（1）根据各边之间的关系，可找出当t＝4时AP，AQ的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出结论；
（2）利用时间＝路程÷速度，可分别求出点P，Q到达点A的时间，分0＜t＜6，6＜t＜8及t＞8三种情况考虑，根据△APQ的面积是△ABC面积的一半，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）当t＝4时，BP＝2×4＝8（cm），CQ＝1×4＝4（cm），
∴AQ＝AC﹣CQ＝8﹣4＝4（cm），AP＝AB﹣BP＝12﹣8＝4（cm），
∴△APQ的面积＝AQ•AP＝×4×4＝8（cm2）．
答：当t＝4时，△APQ的面积为8cm2．
（2）12÷2＝6（秒），8÷1＝8（秒）．
当0＜t＜6时，AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝（8﹣t）cm，
∴（12﹣2t）（8﹣t）＝××12×8，
整理得：t2﹣14t+24＝0，
解得：t1＝2，t2＝12（不符合题意，舍去）；
当6＜t＜8时，AP＝（2t﹣12）cm，AQ＝（8﹣t）cm，
∴（2t﹣12）（8﹣t）＝××12×8，
整理得：t2﹣14t+72＝0，
∵Δ＝（﹣14）﹣4×1×72＝﹣92＜0，
∴方程无解；
当t＞8时，AP＝（2t﹣12）cm，AQ＝（t﹣8）cm，
∴（2t﹣12）（t﹣8）＝××12×8，
整理得：t2﹣14t+24＝0，
解得：t1＝2（不符合题意，舍去），t2＝12．
综上所述，经过2秒或12秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．

15．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）当点P在边AB上运动时，作PE⊥AC于点E，请问：线段DE的长度是否改变？如果不改变，请求出这个定值，如果改变，请说明理由．

【分析】（1）分两种情况推理即可；
（1）根据三角形的面积公式解答即可；
（3）由等腰直角三角形和平行四边形进行解答即可．
【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，

∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，
∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．
（2）∵S△ABC＝，
∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，
整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，
当t＞10秒时，S△PCQ＝，
整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），
∴当点P运动5+5秒时，S△PCQ＝S△ABC．
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变，
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ACB＝∠QCM＝45°，
∴△APE和△QCM都是等腰直角三角形，
∵AP＝CQ，
∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM＝AC＝10，
∴DE＝5，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

16．如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P．
（1）求点P坐标和b的值；
（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动至A．设点Q的运动时间为t秒．
①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；
②是否存在t的值，使△APQ面积为△APC的一半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
③是否存在t的值，使△APQ为以AQ为底的等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把P（m，3）的坐标代入直线l1上的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b；
（2）根据直线l2的解析式得出C的坐标，
①根据题意得出AQ＝9﹣t，然后根据S＝AQ•|yP|即可求得△APQ的面积S与t的函数关系式；
②结合①的结论列方程可得答案；
③当PQ＝AQ时，可得（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（t﹣7﹣2）2，即可解得答案．
【解答】解；（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，
∴3＝﹣m+2，解得m＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，3），
把点P的坐标代入y2＝x+b得，3＝×（﹣1）+b，
解得b＝；
（2）∵b＝，
∴直线l2的解析式为y＝x+，
令y＝0得x＝﹣7，
∴C点的坐标为（﹣7，0），
①由直线l1：y1＝﹣x+2可知A（2，0），
∴AQ＝2+7﹣t＝9﹣t，
∴S＝AQ•|yP|＝×（9﹣t）×3＝﹣t；
②存在t的值，使△APQ面积为△APC的一半，理由如下：
根据题意得：﹣t＝×9×3×，
解得t＝，
∴t的值为时，使△APQ面积为△APC的一半；
③存在t的值，使△APQ为以AQ为底的等腰三角形，理由如下：
∵CQ＝t，C（﹣7，0），
∴Q（﹣7+t，0），
∵A（2，0），P（﹣1，3），
∴（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（2+1）2+（0﹣3）2，
∴（t﹣6）2＝32，
解得t＝3或t＝9（舍去），
当t的值为3时，△APQ为以AQ为底的等腰三角形．