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第05讲 平行四边形单元整体分类总复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)
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这是一份第05讲 平行四边形单元整体分类总复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)，文件包含第05讲平行四边形单元整体分类总复习原卷版docx、第05讲平行四边形单元整体分类总复习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
第5讲 平行四边形单元整体分类总复习
考点一 多边形的内角和、外角和
【知识点睛】
v n边形的内角和为，外角和为360°，反过来，已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数
v 对角线公式
从n边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，n边形的对角线共有条
【类题训练】
1．若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
2．若一个正n边形的内角和为1080°，则它的每个外角度数是（ ）
A．36° B．45° C．72° D．60°
3．若一个多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB＝57°，则∠AGD＝（ ）
A．108° B．36° C．129° D．72°
5．一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加 180° B．减少 180° C．不变 D．不变或增加 180°或减少 180°
6．五边形的对角线一共有 条．
7．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10m向左转30°再沿直线前进10m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 m．
考点二 平行四边形的性质
【知识点睛】
1. 平行四边形的性质定理∶
（1） 平行四边形的对边平行且相等.
（2） 平行四边形的对角相等，邻角互补.
（3） 平行四边形的对角线互相平分.
2. 利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.
【类题训练】
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．130° B．115° C．65° D．50°
2．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB＝6，AD＝8，则EF的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
9．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，则：
①OE＝OF；②图中共有4对全等三角形；③若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；
④S四边形ABFE＝S△ABC；
其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝18cm，点P在AD边上以每秒3cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时．点P运动了
秒．
11．如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠D＝50°，则∠BCE的度数为 ．
12．如图所示，在形状为平行四边形的一块地中，有一条小路EFG，现在想把它改为过点G的直路，要求小路两侧土地面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
13．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若AB＝，AC＝2，BD＝4．
（1）猜想∠BAO＝ ，并证明你的猜想．
（2）求平行四边形ABCD的周长．
（3）求点A到BC边的距离．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
15．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 cm；
当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 cm；
当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 cm；
（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．
考点三 平行四边形的判定
【知识点睛】
v 平行四边形的判定方法：
(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(3) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(4) 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(5) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
v 将平行四边形问题化为三角形问题来解决，这是问题化为三角形问题来解决，这是解决平行四边形问题的常用方法。
v 在解决平行四边形的判定问题时，要结合题判定问题时，要结合题目条件选择恰当的方法进行证明。证明过程中的推理步骤要严谨，几何证明过程中的推理步骤要严谨，几何语言书写要规范。
【类题训练】
1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（ ）
①一组对边平行，另一组对边相等；②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
③一组对边平行，一组对角相等；④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
3．如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），点D在第一象限内，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 ．
5．在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
6．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC＝AD，点E在边BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，联结DE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）当AC＝BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
7．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．
（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．
考点四 平行四边形的性质与判定的综合
【知识点睛】
v 在解题的过程中，我们有时既需要用到平行四边形的判定定理，又需要用到平行四边形的性质定理，请注意正确使用，不要混淆.在进行有关计算时，还需要用到特殊三角形等其他几何知识以及数形结合的数学思想。
v 在已知条件中，若出现两线段互相平分，则可构造平行四边形，利用平行四边形的性质解题.
【类题训练】
1．刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD
2．在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．10° B．40° C．80° D．100°
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC且AD∥BC，AB＝9，AD＝6，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，E是▱ABCD的边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．24 B．17 C．13 D．10
7．如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（ ）
A．四边形EHFG
B．△AEG和△CHF
C．四边形EBHO和四边形GOFD
D．△AEO和四边形GOFD
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：
①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（ ）
A．①② B．③ C．②④ D．②③④
9．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：
①EF⊥AC；
②四边形ADFE为平行四边形；
③AD＝4AG；
④△DBF≌△EFA．
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 ．
11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有 ．
12．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 ．
13．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝10，AC＝4，求BF的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
15．如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．
（1）求证：△CEF为等边三角形；
（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；
（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．
考点五 三角形的中位线
【知识点睛】
v 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
v 当题目中出现多条线段的中点时，要联想到三角形的中位线.三角形的中位线定理既有两条线段之间的位置关系（平行），又有两条线段之间的数量关系（1∶2）.
v 三角形的中位线通常可以用来解决线段的位置关系与数量关系的相关问题，在实际运用中，有些问题虽然没有直接给出中位线或看似与三角形中位线定理无关，但通过添加辅助线就可运用其解决相关问题.
【类题训练】
1．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若DE＝4，则BC的长等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
3．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）
A．2 B．2.3 C．4 D．7
4．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，F在BC上，E为AF的中点，连接DE，AF，若BF＝DE，AC＝2DE，BD＝6，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．9
5．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
6．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝16，AC＝30，E，F分别为AB，CD的中点，则EF＝（ ）
A．15 B．.16 C．17 D．8
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．若AB＝4，BC＝8，则DO＝ ．
8．如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，AC＝7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B1C1的三边中点，得到△A2B2C2，…，按这样的规律下去，△A2022B2022C2022的周长为 ．
9．如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题．
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．
求证：∠PMN＝∠PNM
（1）在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，如图②，请先完成图①的证明，再继续证明∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．
10．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
11．如图，在△ABC中，点D为AC中点，延长CA至E，使AE＝BC，连接BE，点F为BE中点，连接FD并延长交BC延长线于G．
（1）求证：CD＝CG；
（2）若∠ACB＝60°，BC＝6，求FD的长．
第5讲 平行四边形单元整体分类总复习
考点一 多边形的内角和、外角和
【知识点睛】
v n边形的内角和为，外角和为360°，反过来，已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数
v 对角线公式
从n边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，n边形的对角线共有条
【类题训练】
1．若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
2．若一个正n边形的内角和为1080°，则它的每个外角度数是（ ）
A．36° B．45° C．72° D．60°
3．若一个多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB＝57°，则∠AGD＝（ ）
A．108° B．36° C．129° D．72°
5．一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加 180° B．减少 180° C．不变 D．不变或增加 180°或减少 180°
6．五边形的对角线一共有 条．
7．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10m向左转30°再沿直线前进10m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 m．
考点二 平行四边形的性质
【知识点睛】
1. 平行四边形的性质定理∶
（1） 平行四边形的对边平行且相等.
（2） 平行四边形的对角相等，邻角互补.
（3） 平行四边形的对角线互相平分.
2. 利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.
【类题训练】
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．130° B．115° C．65° D．50°
2．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB＝6，AD＝8，则EF的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
9．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，则：
①OE＝OF；②图中共有4对全等三角形；③若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；
④S四边形ABFE＝S△ABC；
其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝18cm，点P在AD边上以每秒3cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时．点P运动了
秒．
11．如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠D＝50°，则∠BCE的度数为 ．
12．如图所示，在形状为平行四边形的一块地中，有一条小路EFG，现在想把它改为过点G的直路，要求小路两侧土地面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
13．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若AB＝，AC＝2，BD＝4．
（1）猜想∠BAO＝ ，并证明你的猜想．
（2）求平行四边形ABCD的周长．
（3）求点A到BC边的距离．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
15．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 cm；
当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 cm；
当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 cm；
（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．
考点三 平行四边形的判定
【知识点睛】
v 平行四边形的判定方法：
(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(3) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(4) 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(5) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
v 将平行四边形问题化为三角形问题来解决，这是问题化为三角形问题来解决，这是解决平行四边形问题的常用方法。
v 在解决平行四边形的判定问题时，要结合题判定问题时，要结合题目条件选择恰当的方法进行证明。证明过程中的推理步骤要严谨，几何证明过程中的推理步骤要严谨，几何语言书写要规范。
【类题训练】
1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（ ）
①一组对边平行，另一组对边相等；②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
③一组对边平行，一组对角相等；④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
3．如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），点D在第一象限内，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 ．
5．在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
6．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC＝AD，点E在边BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，联结DE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）当AC＝BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
7．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．
（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．
考点四 平行四边形的性质与判定的综合
【知识点睛】
v 在解题的过程中，我们有时既需要用到平行四边形的判定定理，又需要用到平行四边形的性质定理，请注意正确使用，不要混淆.在进行有关计算时，还需要用到特殊三角形等其他几何知识以及数形结合的数学思想。
v 在已知条件中，若出现两线段互相平分，则可构造平行四边形，利用平行四边形的性质解题.
【类题训练】
1．刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD
2．在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．10° B．40° C．80° D．100°
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC且AD∥BC，AB＝9，AD＝6，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，E是▱ABCD的边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．24 B．17 C．13 D．10
7．如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（ ）
A．四边形EHFG
B．△AEG和△CHF
C．四边形EBHO和四边形GOFD
D．△AEO和四边形GOFD
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：
①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（ ）
A．①② B．③ C．②④ D．②③④
9．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：
①EF⊥AC；
②四边形ADFE为平行四边形；
③AD＝4AG；
④△DBF≌△EFA．
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 ．
11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有 ．
12．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 ．
13．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝10，AC＝4，求BF的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
15．如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．
（1）求证：△CEF为等边三角形；
（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；
（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．
考点五 三角形的中位线
【知识点睛】
v 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
v 当题目中出现多条线段的中点时，要联想到三角形的中位线.三角形的中位线定理既有两条线段之间的位置关系（平行），又有两条线段之间的数量关系（1∶2）.
v 三角形的中位线通常可以用来解决线段的位置关系与数量关系的相关问题，在实际运用中，有些问题虽然没有直接给出中位线或看似与三角形中位线定理无关，但通过添加辅助线就可运用其解决相关问题.
【类题训练】
1．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若DE＝4，则BC的长等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
3．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）
A．2 B．2.3 C．4 D．7
4．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，F在BC上，E为AF的中点，连接DE，AF，若BF＝DE，AC＝2DE，BD＝6，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．9
5．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
6．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝16，AC＝30，E，F分别为AB，CD的中点，则EF＝（ ）
A．15 B．.16 C．17 D．8
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．若AB＝4，BC＝8，则DO＝ ．
8．如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，AC＝7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B1C1的三边中点，得到△A2B2C2，…，按这样的规律下去，△A2022B2022C2022的周长为 ．
9．如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题．
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．
求证：∠PMN＝∠PNM
（1）在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，如图②，请先完成图①的证明，再继续证明∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．
10．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
11．如图，在△ABC中，点D为AC中点，延长CA至E，使AE＝BC，连接BE，点F为BE中点，连接FD并延长交BC延长线于G．
（1）求证：CD＝CG；
（2）若∠ACB＝60°，BC＝6，求FD的长．
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