资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩7页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 第07讲 三角形的中位线专题复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版) 试卷 0 次下载
- 第08讲 特殊平行四边形单元整体分类总复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版) 试卷 1 次下载
- 第10讲 特殊平行四边形中的动态问题专练-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版) 试卷 0 次下载
- 第11讲 正方形中的几个常用模型探究-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版) 试卷 0 次下载
- 第12讲 反比例函数单元整体分类总复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版) 试卷 0 次下载
第09讲 特殊平行四边形中的折叠问题-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)
展开
这是一份第09讲 特殊平行四边形中的折叠问题-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)，文件包含第09讲特殊平行四边形中的折叠问题解析版docx、第09讲特殊平行四边形中的折叠问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
第9讲 特殊四边形中的折叠问题专题训练
类型一 折叠与角度
1．如图，长方形纸片ABCD，P为边AD的中点，将纸片沿BP，CP折叠，使点A落在E处，点D落在F处，若∠1＝40°，则∠BPC大小为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
【分析】由折叠的性质可得∠BPE＝∠APB，∠CPF＝∠DPC，再利用平角的定义可求得∠APE+∠DPF＝140°，从而可求得∠BPE+∠CPF的度数，即可求∠BPC的度数．
【解答】解：由折叠可得：∠BPE＝∠APB＝∠APE，∠CPF＝∠DPC＝∠DPF，
∵∠1＝40°，∠APE+∠1+∠DPF＝180°，
∴∠APE+∠DPF＝140°，
∴∠BPE+∠CPF＝（∠APE+∠DPF）＝70°，
∴∠BPC＝∠1+∠BPE+∠CPF＝110°．
故选：B．
2．如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由折叠的性质得∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，再证2∠AED'＝180°﹣∠CEB，然后证3∠CEB＝180°﹣2α，即可得出结论．
【解答】解：由折叠的性质得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，
∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，
∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，
∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，
∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，
∴3∠CEB＝180°﹣2α，
∴∠CEB＝60°﹣α，
故选：A．
3．如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段BC上，∠AEC＝32°，则∠BFD等于（ ）
A．28° B．32° C．34° D．36°
【分析】根据矩形纸片沿EF折叠，可得∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，然后根据直角三角形两个锐角互余可得∠AEC＝∠DCB，再由对顶角相等，即可解决问题．
【解答】解：∵矩形纸片沿EF折叠，
∴∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，
∴∠AEC+∠ACE＝∠ACE+∠DCB＝90°，
∴∠AEC＝∠DCB，
∴∠AEC＝∠BFD，
∵∠AEC＝32°，
∴∠BFD＝32°，
故选：B．
4．如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2），则∠FGD的度数是 ，再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是 ．
【分析】根据图形的翻折变换依据平行线性质即可求解．
【解答】解：根据折叠可知：
∠FGD＝2∠FEG＝40°．
∵AD∥BC
∴∠EFG＝∠DEF＝20°
∴∠CFE＝180°﹣20°﹣40°＝120°
故答案为40°、120°．
5．如图，在正方形纸片ABCD上，E是AD上一点（不与点A，D重合）．将纸片沿BE折叠，使点A落在点A处，延长EA'交CD于点F，则∠EBF＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．不是定值
【分析】由折叠可得∠ABE＝∠A'BE，由题意可证Rt△BCF≌Rt△BA'F，可得∠CBF＝∠FBA'，即可求∠EBF的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠ABC＝90°
∵折叠
∴AB＝A'B，∠ABE＝∠A'BE
∴A'B＝BC，且BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BA'F（HL）
∴∠A'BF＝∠CBF
∵∠ABE+∠A'BE+∠A'BF+∠CBF＝90°
∴∠EBF＝45°
故选：B．
6．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△ABE处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
【分析】利用正方形的性质和轴对称的性质很容易求出∠CAE的大小．
【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，
∴∠BEF＝69+45＝114°，
由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，
∴∠BAE＝90﹣57＝33°，
∴∠EAC＝45﹣33＝12°．
故选：B．
7．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 度．
【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝50°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝70°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝110°，即可得出∠FED′的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝110°，
∴∠FED′＝110°﹣70°＝40°；
故答案为：40．
8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为 ．
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得：∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故答案为：75°．
类型二 折叠与长度
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过E作EG⊥CF于G，根据折叠可知△CEF是等腰三角形，可证明△ABE∽△EGC，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过E作EG⊥CF于G，
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，点E为BC的中点，
∴EB＝EF＝EC，
∴△CEF是等腰三角形，
∴G是CF中点，EG平分∠CEF，且AE平分∠BEF，
∴2∠AEF+2∠GEF＝180°，
∴∠AEF+∠GEF＝90°，即AE⊥EG，
∴∠BAE+∠BEA＝∠BEA+∠GEC＝90°，
∴∠BAE＝∠GEC，
∵∠B＝∠EGC＝90°，
∴△ABE∽△EGC，
根据题意，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，即，
∴在Rt△ABE中，，
∴，即，
∴，
∵CF＝2CG，
∴．
故选：D．
2．如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝16，AB＝8，则C′E的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】根据折叠和矩形的性质，可以得出三角形BDE是等腰三角形，Rt△AEB≌Rt△C′ED，所以C′E＝AE，在直角三角形DEC′中，利用勾股定理可求出ED的长，进而得到答案．
【解答】解：由折叠得，DC＝DC′＝AB＝8，∠CBD＝∠C′BD，
∵ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝∠C′BD，
∴ED＝EB，
∴Rt△AEB≌Rt△C′ED（HL），
∴C′E＝AE，
设BE＝ED＝x，则EC＝16﹣x，
在Rt△DEC′中，由勾股定理得，82+（16﹣x）2＝x2，
解得，x＝10，
∴C′E＝AE＝16﹣10＝6．
故选：D．
3．如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交AD边于点M，若AB＝6，BE＝2，则MF的长为（ ）
A． B．8 C．6 D．
【分析】作MN⊥BC于点N，由折叠得EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°．再用”AAS“证明△AFM≌△MNE得ME＝AM，在直角三角形AMF中使用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如图，作MN⊥BC于点N，
由折叠可得：△ABE≌△AFE．
∴EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AME＝∠CEM，
又MN⊥BC，
∴MN＝AB＝AF＝6，∠MNE＝∠AFM＝90°，
在△AFM和△MNE中，
，
∴△AFM≌△MNE（AAS）．
∴AM＝ME，
设MF＝x，则AM＝ME＝x+2，
在直角三角形AMF中，由勾股定理有：AM2＝AF2+MF2，
即（x+2）2＝36+x2，解得：x＝8．
故MF＝8．
故选：B．
4．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴AO＝1，AB＝3，
根据折叠可知：CD＝OA，
而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，
∴△CDE≌△AOE（AAS），
∴OE＝DE，OA＝CD＝1，
设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，
∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（3﹣x）2＝x2+12，
∴x＝，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
而AD＝AB＝3，
∴AE＝CE＝3﹣＝，
∴，
即，
∴DF＝，AF＝，
∴OF＝﹣1＝，
∴D的坐标为（﹣，）．
故选：A．
5．如图，在矩形ABCD中，在AD上取点E，连接BE，在BE上取点F，连接AF．将△ABF沿AF翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，若∠GFB＝90°，AB＝10，AD＝6，FG的长是（ ）
A．3 B．5 C．2 D．2
【分析】连接BG，延长AF交BG于H，由△ABF沿AF翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，可得AG＝AB＝10，FG＝FB，BH＝GH，∠GFH＝∠BFH，∠FHG＝∠FHB＝90°，可知DG＝＝8，CG＝CD﹣DG＝2，即得BG＝＝2，BH＝GH＝BG＝，根据∠GFB＝90°，得△GFH是等腰直角三角形，故FG＝GH＝×＝2．
【解答】解：连接BG，延长AF交BG于H，如图：
∵将△ABF沿AF翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，
∴AG＝AB＝10，FG＝FB，BH＝GH，∠GFH＝∠BFH，∠FHG＝∠FHB＝90°，
∵AD＝6，∠D＝90°，
∴DG＝＝＝8，
∴CG＝CD﹣DG＝10﹣8＝2，
∵∠C＝90°，BC＝AD＝6，
∴BG＝＝＝2，
∴BH＝GH＝BG＝，
∵∠GFB＝90°，
∴∠GFH＝∠BFH＝45°，
∴△GFH是等腰直角三角形，
∴FG＝GH＝×＝2，
故选：C．
6．如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠EAB+∠EBA＝90°，再结合勾股定理得出答案．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴AE＝＝3．
故选：B．
7．如图，点F是矩形ABCD边CD上一点，将矩形沿AF折叠，点D正好落在BC边上的点E处，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【分析】由折叠的性质得出AE＝AD＝10，EF＝DF，根据勾股定理求出BE＝8，设EF＝x，则CF＝6﹣x，得出x2＝22+（6﹣x）2，解方程即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°；
由翻折变换的性质得：
AE＝AD＝10，EF＝DF，
∵BE2＝AE2﹣AB2，
∴BE＝＝8，
∴CE＝2，
设EF＝x，则CF＝6﹣x；
在Rt△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2
∴x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
即EF＝．
故选：C．
8．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′，若D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为（ ）
A．3或4 B．或 C．或 D．或
【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′＝PD′，
设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，
∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，
又折叠图形可得AD＝AD′＝5，
∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，
即MD′＝3或4．
在Rt△END′中，设ED′＝a，
①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，
∴a2＝22+（4﹣a）2，
解得a＝，即DE＝，
②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，
∴a2＝12+（3﹣a）2，
解得a＝，即DE＝．
故选：B．
9．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边中点，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，已知AN＝3，MN＝5，设BN＝x，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出AM＝4，由折叠的性质得出AN＝NE＝3，CE＝CD，由勾股定理得出x2+82＝（x+6）2，解方程即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∵AN＝3，MN＝5，
∴AM＝＝＝4，
∵M是AD边中点，
∴AM＝DM＝4，BC＝8，
∵将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，
∴AN＝NE＝3，CE＝CD，
∵BN2+BC2＝CN2，
∴x2+82＝（x+6）2，
解得x＝．
故选：B．
10．如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．13 B． C．60 D．120
【分析】由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，于是矩形ABCD的面积等于矩形EFGH的2倍，矩形EFGH的面积可以求出，
【解答】解：如图，由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，
∴S矩形ABCD＝2S矩形EFGH＝2×EF•EH＝2×5×12＝120，
故选：D．
11．（2020•雁江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG分别平分∠EAD，则GH长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．想办法求出BN，CT即可解决问题．
【解答】解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．
由题意：∠BAD＝90°，∠BAE＝∠EAG＝∠GAM，
∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，
∵AB＝AG＝2，
∴AM＝AG•cos30°＝3，
同法可得CT＝3，
易知四边形ABNM，四边形GHTN是矩形，
∴BN＝AM＝3，GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣6＝4，
故选：B．
12．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，若AB＝a（取＝1.4，＝1.7），则BE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AC，在Rt△ABO中，求出AO的长度，进而求出AC的长度，然后根据EG⊥BD，AC⊥BD，可得EG∥AC，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴AO＝AB＝a，
∴AC＝2AO＝a，
∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，
∴EG＝AE，
∵EG⊥BD，AC⊥BD，
∴EG∥AC，
∴＝，
∵EG＝AE，
∴＝，
解得AE＝a≈a，
∴BE＝AB﹣AE＝a．
故选：A．
13．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．8cm
【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．
【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
∵矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝D′F，
在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，
∴x2＝62+（8﹣x）2，
解得：x＝．
故选：B．
14．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，
而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，
整理得16x＝48，所以x＝3．
故选：A．
15．如图，正方形ABCD的面积为12，点E在边AD上，且AE＝2，连接BE将△BAE沿BE折叠，点A对应点为F，延长BF交CD于点G，点M，N分别是BG，BE的中点，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接EG，根据正方形的面积求出边长，求出tan∠ABE的值，进而得到∠ABE＝30°，利用折叠和正方形的性质，推出∠CBG＝30°，利用BC÷cos30°，求出BG的长，进而求出FG的长，勾股定理求出EG的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为12，
∴正方形的边长为，
在Rt△BAE中，，AE＝2，
∴，
∴∠ABE＝30°，
∵△BAE沿BE折叠，点A对应点为F，
∴，∠EFB＝∠A＝90°，
∴∠GBC＝90°﹣∠ABE﹣∠EBG＝30°，
在Rt△BCG中，，∠GBC＝30°，
∴，
∴，
连接EG，
在Rt△EFG中：，
∵点M，N分别是BG，BE的中点，
∴MN是△BEG的中位线，
∴；
故选：A．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边AD上一动点，连接BF，将△ABF沿BF翻折得到△GBF，连接GE．当GE的长最小时，DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得BE的长，再由翻折知BG＝BA＝4，得点G在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，可知当点G、E、B三点共线时，GE最小，此时利用勾股定理列方程即可得到DF的长．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴∠C＝∠A＝90°，BC＝CD＝4，
∵点E是边CD的中点，
∴CE＝DE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵将△ABF沿BF翻折得到△FBG，
∴BG＝BA＝4，
∴点G在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，
∴如图所示，当点G、E、B三点共线时，GE最小，
∴GE的最小值＝BE﹣BG＝﹣4．
设DF＝x，则AF＝GF＝4﹣x，
∵∠D＝∠FGE＝90°，
∴DE2+DF2＝EF2＝FG2+EG2，
即22+x2＝（4﹣x）2+（）2，
解得x＝，
∴DF的长为，
故选：D．
类型三 折叠与综合
1．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB＝4，BC＝5，∠BAD＝135°，现将△ABE沿AE折叠，点B'是点B的对应点，设CE的长为x．若点B'落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是 ．
【分析】点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，求出CE＝1；
点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AH、HB′、DH，再证明DA＝DE＝5，求出EB′即可解决问题．
【解答】解：点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．
点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝135°，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠B＝45°，
由折叠的性质得：∠AB'H＝∠B＝45°，AB'＝AB＝4，∠AEB＝∠AED，
在Rt△AHB′中，∵∠AB′H＝45°，AB′＝4，
∴HB′＝AH＝AB'＝2，
在Rt△ADH中，DH＝＝＝，
∴B'D＝DH﹣HB'＝﹣2，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠AED，
∴DA＝DE＝5，
∴EB′＝BE＝DE﹣B'D＝5﹣（﹣2）＝5﹣+2，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣（5﹣+2）＝﹣2，
∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是1≤x≤﹣2，
故答案为：1≤x≤﹣2．
2．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．AE＝EC
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，可得BE＝DE，可证AE＝CE，由“SAS”可证△ABE≌△CDE，即可求解．
【解答】解：如图，
∵把矩形纸片ABC'D沿对角线折叠，
∴∠CBD＝∠DBC'，CD＝C'D＝AB，BC＝BC'，
∵AD∥BC'，
∴∠ADB＝∠DBC'，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴BE＝DE，
∴AE＝CE，
在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴选项A、C、D都不符合题意，
故选：B．
3．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，且BG＝CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】依据HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG；依据∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，即可得到∠EAG＝∠BAD；依据勾股定理列方程，即可得到DE＝4，CE＝8，进而得出CE＝2DE；依据三角形外角性质，即可得到∠AGB＝∠GCF，即可得到AG∥CF；根据GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，即可得到S△GFC＝×S△GCE＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
∴∠BAG＝∠FAG，
由折叠可得，∠DAE＝∠FAE，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，故②正确；
由题意得：EF＝DE，BG＝CG＝6＝GF，
设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得CE2+CG2＝GE2，
即（12﹣x）2+62＝（x+6）2，
解得：x＝4，
∴DE＝4，CE＝8，
∴CE＝2DE，故③正确；
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，故④正确；
∵S△GCE＝GC•CE＝×6×8＝24，
∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE＝3：2，
∴S△GFC＝×24＝，故⑤正确．
故选：D．
4．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF＝2
以上结论中，你认为正确的有 ．（填序号）
【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；
③根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出③错误；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，
故①正确；
②点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
点G与点D重合时，CF＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，
故②正确；
③∴∠BCH＝∠ECH，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，
故③错误；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF＝＝2，
故④正确．
综上所述，结论正确的有①②④．
故答案为：①②④．
5．如图，正方形ABCD的边长AB＝12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN＝5，连接AN．
（1）求△AEN的面积；
（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．
【分析】（1）由折叠的性质得NE＝AE，设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得出方程，得出AE＝，由三角形面积公式即可得出答案；
（2）作FH⊥AB于H，则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折叠的性质得出EF⊥AN，证明△EFH≌△NAB（ASA），得出EF＝AN即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
由折叠的性质得：NE＝AE，
设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，
在Rt△EBN中，由勾股定理得：52+（12﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴AE＝，
∴△AEN的面积＝AE×BN＝××5＝；
（2）EF⊥AN，EF＝AN，理由如下：
作FH⊥AB于H，如图所示：
则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，
由折叠的性质得：EF⊥AN，
∴∠NAB+∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠NAB，
在△EFH和△NAB中，，
∴△EFH≌△NAB（ASA），
∴EF＝AN．
6．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝16，AB＝CD＝34．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，求DE的长．
【分析】根据题意可知，分两种情况，然后画出相应的图形，再根据题目中的条件，计算出DE的长即可．
【解答】解：∵△ADE与△AD′E关于直线AE对称，
∴△AD′E≌△ADE，
∴∠D＝∠AD′E＝90°．
∵∠AD′B＝90°，
∴B、D′、E三点共线．
又∵△ABD′∽△BEC，
∴∠BAD′＝∠EBC，∠D′＝∠BCE，
∵AD′＝BC，
∴ABD′≌△BEC（ASA），
∴AB＝BE＝34．
∵BD′＝＝＝30，
∴DE＝D′E＝34﹣30＝4；
如图．
∵∠CBE+∠ABD″＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠BAD″＝∠CBE．
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝34，
∴DE＝D″E＝34+30＝64．
综上所述：DE＝4或64．
综上可得DE的长为4或64．
7．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，2），点E，F分别在边AB，BC上．沿着OE折叠该纸片，使得点A落在OC边上，对应点为A'，如图①．再沿OF折叠，这时点E恰好与点C重合，如图②．
（Ⅰ）求点C的坐标；
（Ⅱ）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与AB相交于点P，展开矩形纸片，如图③．
①求∠OPF的大小；
②点M，N分别为OF，OE上的动点，当PM+MN取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）先由折叠的性质得OA'＝OA＝2，OC＝OE，再证四边形OA'EA是正方形，得OA'＝A'E＝2，然后由勾股定理得OE＝2，即可求解；
（Ⅱ）①连接EF，由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，再证△EBF是等腰直角三角形，得BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，设AP＝x，则PB＝2﹣x，然后由勾股定理得出方程，解得：x＝2﹣2，最后证Rt△POA≌Rt△FPB（HL），得∠POA＝∠FPB，进而得出结论；
②作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，则△OGN为等腰直角三角形，当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，再求出OG＝NG＝ON＝2﹣，即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A（0，2），
∴OA＝2，
由折叠的性质得：OA'＝OA＝2，OC＝OE，
∵四边形OABC是矩形，
∴四边形OA'EA是正方形，
∴OA'＝A'E＝2，
在Rt△OA'E中，由勾股定理得：OE＝＝＝2，
∴点C的坐标为：（2，0）；
（Ⅱ）①连接EF，如图③所示：
由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，
由折叠的性质得：∠OEF＝∠OCF＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，
设AP＝x，则PB＝2﹣x，
由折叠的性质得：PO＝PF，即PO2＝PF2，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：PO2＝OA2+AP2，
在Rt△PBF中，由勾股定理得：PF2＝PB2+BF2，
∴22+x2＝（2﹣x）2+（2﹣2）2，
解得：x＝2﹣2，
∴AP＝BF，
在Rt△POA和Rt△FPB中，
，
∴Rt△POA≌Rt△FPB（HL），
∴∠POA＝∠FPB，
∵∠POA+∠APO＝90°，
∴∠FPB+∠APO＝90°，
∴∠OPF＝180°﹣（∠FPB+∠APO）＝90°；
②由①知，AP＝2﹣2，∠EOC＝45°，
作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，如图④所示：
则△OGN为等腰直角三角形，
当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，
此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，
∴四边形APN′O为矩形，
∴ON＝ON′＝AP＝2﹣2，
∴OG＝NG＝ON＝×（2﹣2）＝2﹣，
∴N（2﹣，2﹣）．
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；
（2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
（4）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形 AEA′D为菱形？并判断此时点A是否在BC上？请说明理由．
【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF＝t，又AE＝t，则DF＝AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，此时 AE＝AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
③如图（2），当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，此时AD＝AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD，则t＝12﹣2t，所以t＝4．即当t＝4时，四边形AEA′D为菱形．
【解答】解：（1）AE＝t，AD＝12﹣2t；
（2）∵DF⊥BC，∠C＝30°
∴DF＝CD＝×2t＝t
∵AE＝t
∴DF＝AE，
∵∠ABC＝90°，DF⊥BC
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
此时 AE＝AD∴
∴t＝3，
③如图（2），当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°
∴∠AED＝90°﹣∠A＝30°
∴AD＝AE∴
∴，
综上：当t＝3秒或秒时，△DEF为直角三角形；
（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD
∴t＝12﹣2t
∴t＝4
∴当t＝4时，四边形AEA′D为菱形，
设EA′交BC于点G
在Rt△EBG中，∠BEG＝180°﹣∠AEG＝60°
∴GE＝2BE
∵BE＝AB﹣AE＝6﹣4＝2
∴GE＝4＝EA′，
∴点G与点A′重合
∴点A在BC上．
9．如图，在四边形AOCB中，A（0，2），B（，n）C（，0），其中△ABO是等边三角形．
（1）如图（a），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使点A与点C重合．
①求点E坐标；
②求△BCF的面积；
（2）如图（b），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使EF∥OB，设点A对折后所对应的点为A′，△A′EF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，t）（t＞0），求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．
【分析】（1）①设点E坐标为（0，y），根据A的坐标得到OA的长，由B与C的横坐标相同得到BC垂直于x轴，再由三角形ABO为等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，且求出∠OBC为30度，进而求出n的值，由折叠的性质得到AE＝EC＝2﹣y，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出E坐标；
②过F作FM垂直于CB，设MB＝x，求出∠MBF为60度，在直角三角形MBF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出三角形BCF的面积；
（2）分两种情况考虑：当点A′落在四边形EOBF内或BC上时，如图（b）所示，重合部分的面积即为三角形AEF的面积，表示出S与t的关系式即可；当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，重合部分面积由两等边三角形面积之差，表示出S与t关系式即可．
【解答】解：（1）①设点E的坐标为（0，y），
∵A（0，2），B（，n），C（，0），
∴BC⊥x轴，OA＝2，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠BOC＝30°，OA＝OB＝AB＝2，
∴n＝1，
由对折可得AE＝EC＝2﹣y，
在Rt△OCE中，y2+3＝（2﹣y）2，
解得：y＝，
则E坐标为（0，）；
②作FM⊥CB于点M，设MB＝x，
∵∠MBF＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△MBF中，FB＝2x，FM＝x，
在Rt△MCF中，根据勾股定理得：（2﹣2x）2＝（x+1）2+（x）2，
解得：x＝，
则S△BCF＝BC•FM＝；
（2）∵EF∥OB，
∴△A′EF为等边三角形，
当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，
得S＝（2﹣t）2﹣（2﹣2t）2＝﹣t2+t（0＜x≤1）；
当点A′落在四边形EOBF内或OB上时，如图（b）所示，
得S＝（2﹣t）2（1≤x＜2）．
第9讲 特殊四边形中的折叠问题专题训练
类型一 折叠与角度
1．如图，长方形纸片ABCD，P为边AD的中点，将纸片沿BP，CP折叠，使点A落在E处，点D落在F处，若∠1＝40°，则∠BPC大小为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
【分析】由折叠的性质可得∠BPE＝∠APB，∠CPF＝∠DPC，再利用平角的定义可求得∠APE+∠DPF＝140°，从而可求得∠BPE+∠CPF的度数，即可求∠BPC的度数．
【解答】解：由折叠可得：∠BPE＝∠APB＝∠APE，∠CPF＝∠DPC＝∠DPF，
∵∠1＝40°，∠APE+∠1+∠DPF＝180°，
∴∠APE+∠DPF＝140°，
∴∠BPE+∠CPF＝（∠APE+∠DPF）＝70°，
∴∠BPC＝∠1+∠BPE+∠CPF＝110°．
故选：B．
2．如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由折叠的性质得∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，再证2∠AED'＝180°﹣∠CEB，然后证3∠CEB＝180°﹣2α，即可得出结论．
【解答】解：由折叠的性质得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，
∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，
∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，
∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，
∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，
∴3∠CEB＝180°﹣2α，
∴∠CEB＝60°﹣α，
故选：A．
3．如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段BC上，∠AEC＝32°，则∠BFD等于（ ）
A．28° B．32° C．34° D．36°
【分析】根据矩形纸片沿EF折叠，可得∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，然后根据直角三角形两个锐角互余可得∠AEC＝∠DCB，再由对顶角相等，即可解决问题．
【解答】解：∵矩形纸片沿EF折叠，
∴∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，
∴∠AEC+∠ACE＝∠ACE+∠DCB＝90°，
∴∠AEC＝∠DCB，
∴∠AEC＝∠BFD，
∵∠AEC＝32°，
∴∠BFD＝32°，
故选：B．
4．如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2），则∠FGD的度数是 ，再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是 ．
【分析】根据图形的翻折变换依据平行线性质即可求解．
【解答】解：根据折叠可知：
∠FGD＝2∠FEG＝40°．
∵AD∥BC
∴∠EFG＝∠DEF＝20°
∴∠CFE＝180°﹣20°﹣40°＝120°
故答案为40°、120°．
5．如图，在正方形纸片ABCD上，E是AD上一点（不与点A，D重合）．将纸片沿BE折叠，使点A落在点A处，延长EA'交CD于点F，则∠EBF＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．不是定值
【分析】由折叠可得∠ABE＝∠A'BE，由题意可证Rt△BCF≌Rt△BA'F，可得∠CBF＝∠FBA'，即可求∠EBF的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠ABC＝90°
∵折叠
∴AB＝A'B，∠ABE＝∠A'BE
∴A'B＝BC，且BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BA'F（HL）
∴∠A'BF＝∠CBF
∵∠ABE+∠A'BE+∠A'BF+∠CBF＝90°
∴∠EBF＝45°
故选：B．
6．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△ABE处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
【分析】利用正方形的性质和轴对称的性质很容易求出∠CAE的大小．
【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，
∴∠BEF＝69+45＝114°，
由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，
∴∠BAE＝90﹣57＝33°，
∴∠EAC＝45﹣33＝12°．
故选：B．
7．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 度．
【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝50°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝70°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝110°，即可得出∠FED′的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝110°，
∴∠FED′＝110°﹣70°＝40°；
故答案为：40．
8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为 ．
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得：∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故答案为：75°．
类型二 折叠与长度
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过E作EG⊥CF于G，根据折叠可知△CEF是等腰三角形，可证明△ABE∽△EGC，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过E作EG⊥CF于G，
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，点E为BC的中点，
∴EB＝EF＝EC，
∴△CEF是等腰三角形，
∴G是CF中点，EG平分∠CEF，且AE平分∠BEF，
∴2∠AEF+2∠GEF＝180°，
∴∠AEF+∠GEF＝90°，即AE⊥EG，
∴∠BAE+∠BEA＝∠BEA+∠GEC＝90°，
∴∠BAE＝∠GEC，
∵∠B＝∠EGC＝90°，
∴△ABE∽△EGC，
根据题意，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，即，
∴在Rt△ABE中，，
∴，即，
∴，
∵CF＝2CG，
∴．
故选：D．
2．如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝16，AB＝8，则C′E的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】根据折叠和矩形的性质，可以得出三角形BDE是等腰三角形，Rt△AEB≌Rt△C′ED，所以C′E＝AE，在直角三角形DEC′中，利用勾股定理可求出ED的长，进而得到答案．
【解答】解：由折叠得，DC＝DC′＝AB＝8，∠CBD＝∠C′BD，
∵ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝∠C′BD，
∴ED＝EB，
∴Rt△AEB≌Rt△C′ED（HL），
∴C′E＝AE，
设BE＝ED＝x，则EC＝16﹣x，
在Rt△DEC′中，由勾股定理得，82+（16﹣x）2＝x2，
解得，x＝10，
∴C′E＝AE＝16﹣10＝6．
故选：D．
3．如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交AD边于点M，若AB＝6，BE＝2，则MF的长为（ ）
A． B．8 C．6 D．
【分析】作MN⊥BC于点N，由折叠得EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°．再用”AAS“证明△AFM≌△MNE得ME＝AM，在直角三角形AMF中使用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如图，作MN⊥BC于点N，
由折叠可得：△ABE≌△AFE．
∴EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AME＝∠CEM，
又MN⊥BC，
∴MN＝AB＝AF＝6，∠MNE＝∠AFM＝90°，
在△AFM和△MNE中，
，
∴△AFM≌△MNE（AAS）．
∴AM＝ME，
设MF＝x，则AM＝ME＝x+2，
在直角三角形AMF中，由勾股定理有：AM2＝AF2+MF2，
即（x+2）2＝36+x2，解得：x＝8．
故MF＝8．
故选：B．
4．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴AO＝1，AB＝3，
根据折叠可知：CD＝OA，
而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，
∴△CDE≌△AOE（AAS），
∴OE＝DE，OA＝CD＝1，
设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，
∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（3﹣x）2＝x2+12，
∴x＝，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
而AD＝AB＝3，
∴AE＝CE＝3﹣＝，
∴，
即，
∴DF＝，AF＝，
∴OF＝﹣1＝，
∴D的坐标为（﹣，）．
故选：A．
5．如图，在矩形ABCD中，在AD上取点E，连接BE，在BE上取点F，连接AF．将△ABF沿AF翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，若∠GFB＝90°，AB＝10，AD＝6，FG的长是（ ）
A．3 B．5 C．2 D．2
【分析】连接BG，延长AF交BG于H，由△ABF沿AF翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，可得AG＝AB＝10，FG＝FB，BH＝GH，∠GFH＝∠BFH，∠FHG＝∠FHB＝90°，可知DG＝＝8，CG＝CD﹣DG＝2，即得BG＝＝2，BH＝GH＝BG＝，根据∠GFB＝90°，得△GFH是等腰直角三角形，故FG＝GH＝×＝2．
【解答】解：连接BG，延长AF交BG于H，如图：
∵将△ABF沿AF翻折，使得点B刚好落在CD边的G处，
∴AG＝AB＝10，FG＝FB，BH＝GH，∠GFH＝∠BFH，∠FHG＝∠FHB＝90°，
∵AD＝6，∠D＝90°，
∴DG＝＝＝8，
∴CG＝CD﹣DG＝10﹣8＝2，
∵∠C＝90°，BC＝AD＝6，
∴BG＝＝＝2，
∴BH＝GH＝BG＝，
∵∠GFB＝90°，
∴∠GFH＝∠BFH＝45°，
∴△GFH是等腰直角三角形，
∴FG＝GH＝×＝2，
故选：C．
6．如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠EAB+∠EBA＝90°，再结合勾股定理得出答案．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴AE＝＝3．
故选：B．
7．如图，点F是矩形ABCD边CD上一点，将矩形沿AF折叠，点D正好落在BC边上的点E处，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【分析】由折叠的性质得出AE＝AD＝10，EF＝DF，根据勾股定理求出BE＝8，设EF＝x，则CF＝6﹣x，得出x2＝22+（6﹣x）2，解方程即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°；
由翻折变换的性质得：
AE＝AD＝10，EF＝DF，
∵BE2＝AE2﹣AB2，
∴BE＝＝8，
∴CE＝2，
设EF＝x，则CF＝6﹣x；
在Rt△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2
∴x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
即EF＝．
故选：C．
8．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′，若D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为（ ）
A．3或4 B．或 C．或 D．或
【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′＝PD′，
设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，
∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，
又折叠图形可得AD＝AD′＝5，
∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，
即MD′＝3或4．
在Rt△END′中，设ED′＝a，
①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，
∴a2＝22+（4﹣a）2，
解得a＝，即DE＝，
②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，
∴a2＝12+（3﹣a）2，
解得a＝，即DE＝．
故选：B．
9．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边中点，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，已知AN＝3，MN＝5，设BN＝x，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出AM＝4，由折叠的性质得出AN＝NE＝3，CE＝CD，由勾股定理得出x2+82＝（x+6）2，解方程即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∵AN＝3，MN＝5，
∴AM＝＝＝4，
∵M是AD边中点，
∴AM＝DM＝4，BC＝8，
∵将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，
∴AN＝NE＝3，CE＝CD，
∵BN2+BC2＝CN2，
∴x2+82＝（x+6）2，
解得x＝．
故选：B．
10．如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．13 B． C．60 D．120
【分析】由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，于是矩形ABCD的面积等于矩形EFGH的2倍，矩形EFGH的面积可以求出，
【解答】解：如图，由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，
∴S矩形ABCD＝2S矩形EFGH＝2×EF•EH＝2×5×12＝120，
故选：D．
11．（2020•雁江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG分别平分∠EAD，则GH长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．想办法求出BN，CT即可解决问题．
【解答】解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．
由题意：∠BAD＝90°，∠BAE＝∠EAG＝∠GAM，
∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，
∵AB＝AG＝2，
∴AM＝AG•cos30°＝3，
同法可得CT＝3，
易知四边形ABNM，四边形GHTN是矩形，
∴BN＝AM＝3，GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣6＝4，
故选：B．
12．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，若AB＝a（取＝1.4，＝1.7），则BE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AC，在Rt△ABO中，求出AO的长度，进而求出AC的长度，然后根据EG⊥BD，AC⊥BD，可得EG∥AC，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴AO＝AB＝a，
∴AC＝2AO＝a，
∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，
∴EG＝AE，
∵EG⊥BD，AC⊥BD，
∴EG∥AC，
∴＝，
∵EG＝AE，
∴＝，
解得AE＝a≈a，
∴BE＝AB﹣AE＝a．
故选：A．
13．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．8cm
【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．
【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
∵矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝D′F，
在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，
∴x2＝62+（8﹣x）2，
解得：x＝．
故选：B．
14．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，
而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，
整理得16x＝48，所以x＝3．
故选：A．
15．如图，正方形ABCD的面积为12，点E在边AD上，且AE＝2，连接BE将△BAE沿BE折叠，点A对应点为F，延长BF交CD于点G，点M，N分别是BG，BE的中点，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接EG，根据正方形的面积求出边长，求出tan∠ABE的值，进而得到∠ABE＝30°，利用折叠和正方形的性质，推出∠CBG＝30°，利用BC÷cos30°，求出BG的长，进而求出FG的长，勾股定理求出EG的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为12，
∴正方形的边长为，
在Rt△BAE中，，AE＝2，
∴，
∴∠ABE＝30°，
∵△BAE沿BE折叠，点A对应点为F，
∴，∠EFB＝∠A＝90°，
∴∠GBC＝90°﹣∠ABE﹣∠EBG＝30°，
在Rt△BCG中，，∠GBC＝30°，
∴，
∴，
连接EG，
在Rt△EFG中：，
∵点M，N分别是BG，BE的中点，
∴MN是△BEG的中位线，
∴；
故选：A．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边AD上一动点，连接BF，将△ABF沿BF翻折得到△GBF，连接GE．当GE的长最小时，DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得BE的长，再由翻折知BG＝BA＝4，得点G在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，可知当点G、E、B三点共线时，GE最小，此时利用勾股定理列方程即可得到DF的长．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴∠C＝∠A＝90°，BC＝CD＝4，
∵点E是边CD的中点，
∴CE＝DE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵将△ABF沿BF翻折得到△FBG，
∴BG＝BA＝4，
∴点G在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，
∴如图所示，当点G、E、B三点共线时，GE最小，
∴GE的最小值＝BE﹣BG＝﹣4．
设DF＝x，则AF＝GF＝4﹣x，
∵∠D＝∠FGE＝90°，
∴DE2+DF2＝EF2＝FG2+EG2，
即22+x2＝（4﹣x）2+（）2，
解得x＝，
∴DF的长为，
故选：D．
类型三 折叠与综合
1．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB＝4，BC＝5，∠BAD＝135°，现将△ABE沿AE折叠，点B'是点B的对应点，设CE的长为x．若点B'落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是 ．
【分析】点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，求出CE＝1；
点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AH、HB′、DH，再证明DA＝DE＝5，求出EB′即可解决问题．
【解答】解：点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．
点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝135°，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠B＝45°，
由折叠的性质得：∠AB'H＝∠B＝45°，AB'＝AB＝4，∠AEB＝∠AED，
在Rt△AHB′中，∵∠AB′H＝45°，AB′＝4，
∴HB′＝AH＝AB'＝2，
在Rt△ADH中，DH＝＝＝，
∴B'D＝DH﹣HB'＝﹣2，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠AED，
∴DA＝DE＝5，
∴EB′＝BE＝DE﹣B'D＝5﹣（﹣2）＝5﹣+2，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣（5﹣+2）＝﹣2，
∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是1≤x≤﹣2，
故答案为：1≤x≤﹣2．
2．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．AE＝EC
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，可得BE＝DE，可证AE＝CE，由“SAS”可证△ABE≌△CDE，即可求解．
【解答】解：如图，
∵把矩形纸片ABC'D沿对角线折叠，
∴∠CBD＝∠DBC'，CD＝C'D＝AB，BC＝BC'，
∵AD∥BC'，
∴∠ADB＝∠DBC'，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴BE＝DE，
∴AE＝CE，
在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴选项A、C、D都不符合题意，
故选：B．
3．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，且BG＝CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】依据HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG；依据∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，即可得到∠EAG＝∠BAD；依据勾股定理列方程，即可得到DE＝4，CE＝8，进而得出CE＝2DE；依据三角形外角性质，即可得到∠AGB＝∠GCF，即可得到AG∥CF；根据GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，即可得到S△GFC＝×S△GCE＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
∴∠BAG＝∠FAG，
由折叠可得，∠DAE＝∠FAE，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，故②正确；
由题意得：EF＝DE，BG＝CG＝6＝GF，
设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得CE2+CG2＝GE2，
即（12﹣x）2+62＝（x+6）2，
解得：x＝4，
∴DE＝4，CE＝8，
∴CE＝2DE，故③正确；
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，故④正确；
∵S△GCE＝GC•CE＝×6×8＝24，
∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE＝3：2，
∴S△GFC＝×24＝，故⑤正确．
故选：D．
4．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF＝2
以上结论中，你认为正确的有 ．（填序号）
【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；
③根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出③错误；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，
故①正确；
②点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
点G与点D重合时，CF＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，
故②正确；
③∴∠BCH＝∠ECH，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，
故③错误；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF＝＝2，
故④正确．
综上所述，结论正确的有①②④．
故答案为：①②④．
5．如图，正方形ABCD的边长AB＝12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN＝5，连接AN．
（1）求△AEN的面积；
（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．
【分析】（1）由折叠的性质得NE＝AE，设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得出方程，得出AE＝，由三角形面积公式即可得出答案；
（2）作FH⊥AB于H，则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折叠的性质得出EF⊥AN，证明△EFH≌△NAB（ASA），得出EF＝AN即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
由折叠的性质得：NE＝AE，
设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，
在Rt△EBN中，由勾股定理得：52+（12﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴AE＝，
∴△AEN的面积＝AE×BN＝××5＝；
（2）EF⊥AN，EF＝AN，理由如下：
作FH⊥AB于H，如图所示：
则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，
由折叠的性质得：EF⊥AN，
∴∠NAB+∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠NAB，
在△EFH和△NAB中，，
∴△EFH≌△NAB（ASA），
∴EF＝AN．
6．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝16，AB＝CD＝34．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，求DE的长．
【分析】根据题意可知，分两种情况，然后画出相应的图形，再根据题目中的条件，计算出DE的长即可．
【解答】解：∵△ADE与△AD′E关于直线AE对称，
∴△AD′E≌△ADE，
∴∠D＝∠AD′E＝90°．
∵∠AD′B＝90°，
∴B、D′、E三点共线．
又∵△ABD′∽△BEC，
∴∠BAD′＝∠EBC，∠D′＝∠BCE，
∵AD′＝BC，
∴ABD′≌△BEC（ASA），
∴AB＝BE＝34．
∵BD′＝＝＝30，
∴DE＝D′E＝34﹣30＝4；
如图．
∵∠CBE+∠ABD″＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠BAD″＝∠CBE．
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝34，
∴DE＝D″E＝34+30＝64．
综上所述：DE＝4或64．
综上可得DE的长为4或64．
7．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，2），点E，F分别在边AB，BC上．沿着OE折叠该纸片，使得点A落在OC边上，对应点为A'，如图①．再沿OF折叠，这时点E恰好与点C重合，如图②．
（Ⅰ）求点C的坐标；
（Ⅱ）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与AB相交于点P，展开矩形纸片，如图③．
①求∠OPF的大小；
②点M，N分别为OF，OE上的动点，当PM+MN取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）先由折叠的性质得OA'＝OA＝2，OC＝OE，再证四边形OA'EA是正方形，得OA'＝A'E＝2，然后由勾股定理得OE＝2，即可求解；
（Ⅱ）①连接EF，由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，再证△EBF是等腰直角三角形，得BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，设AP＝x，则PB＝2﹣x，然后由勾股定理得出方程，解得：x＝2﹣2，最后证Rt△POA≌Rt△FPB（HL），得∠POA＝∠FPB，进而得出结论；
②作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，则△OGN为等腰直角三角形，当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，再求出OG＝NG＝ON＝2﹣，即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A（0，2），
∴OA＝2，
由折叠的性质得：OA'＝OA＝2，OC＝OE，
∵四边形OABC是矩形，
∴四边形OA'EA是正方形，
∴OA'＝A'E＝2，
在Rt△OA'E中，由勾股定理得：OE＝＝＝2，
∴点C的坐标为：（2，0）；
（Ⅱ）①连接EF，如图③所示：
由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，
由折叠的性质得：∠OEF＝∠OCF＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，
设AP＝x，则PB＝2﹣x，
由折叠的性质得：PO＝PF，即PO2＝PF2，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：PO2＝OA2+AP2，
在Rt△PBF中，由勾股定理得：PF2＝PB2+BF2，
∴22+x2＝（2﹣x）2+（2﹣2）2，
解得：x＝2﹣2，
∴AP＝BF，
在Rt△POA和Rt△FPB中，
，
∴Rt△POA≌Rt△FPB（HL），
∴∠POA＝∠FPB，
∵∠POA+∠APO＝90°，
∴∠FPB+∠APO＝90°，
∴∠OPF＝180°﹣（∠FPB+∠APO）＝90°；
②由①知，AP＝2﹣2，∠EOC＝45°，
作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，如图④所示：
则△OGN为等腰直角三角形，
当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，
此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，
∴四边形APN′O为矩形，
∴ON＝ON′＝AP＝2﹣2，
∴OG＝NG＝ON＝×（2﹣2）＝2﹣，
∴N（2﹣，2﹣）．
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；
（2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
（4）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形 AEA′D为菱形？并判断此时点A是否在BC上？请说明理由．
【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF＝t，又AE＝t，则DF＝AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，此时 AE＝AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
③如图（2），当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，此时AD＝AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD，则t＝12﹣2t，所以t＝4．即当t＝4时，四边形AEA′D为菱形．
【解答】解：（1）AE＝t，AD＝12﹣2t；
（2）∵DF⊥BC，∠C＝30°
∴DF＝CD＝×2t＝t
∵AE＝t
∴DF＝AE，
∵∠ABC＝90°，DF⊥BC
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
此时 AE＝AD∴
∴t＝3，
③如图（2），当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°
∴∠AED＝90°﹣∠A＝30°
∴AD＝AE∴
∴，
综上：当t＝3秒或秒时，△DEF为直角三角形；
（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD
∴t＝12﹣2t
∴t＝4
∴当t＝4时，四边形AEA′D为菱形，
设EA′交BC于点G
在Rt△EBG中，∠BEG＝180°﹣∠AEG＝60°
∴GE＝2BE
∵BE＝AB﹣AE＝6﹣4＝2
∴GE＝4＝EA′，
∴点G与点A′重合
∴点A在BC上．
9．如图，在四边形AOCB中，A（0，2），B（，n）C（，0），其中△ABO是等边三角形．
（1）如图（a），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使点A与点C重合．
①求点E坐标；
②求△BCF的面积；
（2）如图（b），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使EF∥OB，设点A对折后所对应的点为A′，△A′EF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，t）（t＞0），求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．
【分析】（1）①设点E坐标为（0，y），根据A的坐标得到OA的长，由B与C的横坐标相同得到BC垂直于x轴，再由三角形ABO为等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，且求出∠OBC为30度，进而求出n的值，由折叠的性质得到AE＝EC＝2﹣y，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出E坐标；
②过F作FM垂直于CB，设MB＝x，求出∠MBF为60度，在直角三角形MBF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出三角形BCF的面积；
（2）分两种情况考虑：当点A′落在四边形EOBF内或BC上时，如图（b）所示，重合部分的面积即为三角形AEF的面积，表示出S与t的关系式即可；当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，重合部分面积由两等边三角形面积之差，表示出S与t关系式即可．
【解答】解：（1）①设点E的坐标为（0，y），
∵A（0，2），B（，n），C（，0），
∴BC⊥x轴，OA＝2，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠BOC＝30°，OA＝OB＝AB＝2，
∴n＝1，
由对折可得AE＝EC＝2﹣y，
在Rt△OCE中，y2+3＝（2﹣y）2，
解得：y＝，
则E坐标为（0，）；
②作FM⊥CB于点M，设MB＝x，
∵∠MBF＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△MBF中，FB＝2x，FM＝x，
在Rt△MCF中，根据勾股定理得：（2﹣2x）2＝（x+1）2+（x）2，
解得：x＝，
则S△BCF＝BC•FM＝；
（2）∵EF∥OB，
∴△A′EF为等边三角形，
当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，
得S＝（2﹣t）2﹣（2﹣2t）2＝﹣t2+t（0＜x≤1）；
当点A′落在四边形EOBF内或OB上时，如图（b）所示，
得S＝（2﹣t）2（1≤x＜2）．
相关试卷
【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-第09讲 特殊平行四边形中的折叠问题： 这是一份【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-第09讲 特殊平行四边形中的折叠问题，文件包含重难点讲义浙教版数学八年级下册-第09讲特殊平行四边形中的折叠问题原卷版docx、重难点讲义浙教版数学八年级下册-第09讲特殊平行四边形中的折叠问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
第11讲 正方形中的几个常用模型探究-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)： 这是一份第11讲 正方形中的几个常用模型探究-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)，文件包含第11讲正方形中的几个常用模型探究原卷版docx、第11讲正方形中的几个常用模型探究解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
第10讲 特殊平行四边形中的动态问题专练-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)： 这是一份第10讲 特殊平行四边形中的动态问题专练-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)，文件包含第10讲特殊平行四边形中的动态问题专练解析版docx、第10讲特殊平行四边形中的动态问题专练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
