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第12讲 反比例函数单元整体分类总复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)
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这是一份第12讲 反比例函数单元整体分类总复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)，文件包含第12讲反比例函数单元整体分类总复习原卷版docx、第12讲反比例函数单元整体分类总复习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
第12讲 反比例函数单元整体分类总复习
考点一 反比例函数的解析式
【知识点睛】
v 反比例函数的解析式为或或
因为以上反比例函数的解析式的形式，我们得到，反比例函数的比例系数k的求解方法可以直接用反比例函数图象上的点的横纵坐标相乘得到。
【类题训练】
1．下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣ B． C．y＝﹣x2 D．
【分析】根据反比例函数：解析式的一般形式（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，可得答案．
【解答】解：A、是正比例函数，故A不合题意；
B、是反比例函数，故B符合题意；
C、不是反比例函数，故C不合题意；
D、不是反比例函数，故D不合题意；
故选：B．
2．已知y＝y1+y2，其中y1与x成反比例，且比例系数为k1，y2与x2成正比例，且比例系数为k2，若x＝﹣1时，
y＝0，则k1与k2的关系是（ ）
A．k1+k2＝0 B．k1﹣k2＝0 C．k1+k2＝1 D．klk2＝﹣1
【分析】根据题意先写出函数的表达式，把点代入函数表达式即可得到k1与k2的关系式．
【解答】B解：根据题意，y1＝，y2＝k2x2，
∴y＝y1+y2＝+k2x2，
∵若x＝﹣1时，y＝0，
∴﹣k1+k2（﹣1）2＝0，
∴k1﹣k2＝0．
故选：B．
3．函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝ 2 ．
【分析】根据反比例函数的定义，可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵函数是y关于x的反比例函数，
∴，
解得：m＝2．
故答案为：2．
4．已知y与x﹣3成反比例，当x＝4时，y＝﹣1；那么当x＝﹣4时，y＝ ．
【分析】设出函数表达式，把点代入表达式求出k值整理即可得到函数解析式，再把x＝﹣4代入函数解析式求出函数值即可．
【解答】解：设y＝，
∵当x＝4时，y＝﹣1，
∴k＝（4﹣3）×（﹣1）＝﹣1，
∴函数解析式为y＝﹣，
当x＝﹣4时，y＝﹣＝．
故答案为：．
5．已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），
（1）当m，n为何值时是一次函数？
（2）当m，n为何值时，为正比例函数？
（3）当m，n为何值时，为反比例函数？
【分析】（1）根据一次函数的定义知2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值；
（2）根据正比例函数的定义知2﹣n＝1，m+n＝0，5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值；
（3）根据反比例函数的定义知2﹣n＝﹣1，m+n＝0，5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值．
【解答】解：（1）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是一次函数时，
2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，
解得：n＝1且m≠；
（2）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是正比例函数时，，
解得：n＝1，m＝﹣1．
（3）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是反比例函数时，，
解得：n＝3，m＝﹣3．
考点二 反比例函数的图象与性质
【知识点睛】
图象
自变量x
的取值范围
增减性
在其每一象限内，y随x的增大而减小
在其每一象限内，y随x的增大而增大
中心对称性
双曲线的两支是中心对称图形，对称中心为原点
轴对称性
双曲线的两支是轴对称图形，对称轴为直线或直线
【类题训练】
1．在反比例函数y＝图象的每一个象限内，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＞1 C．k≥1 D．﹣1≤k＜1
【分析】利用反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵在反比例函数y＝图象的每一个象限内，y都随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，即k＞1，
故选：B．
2．在y＝的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵k＝6＞0，
∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜﹣＜0，
∴点（﹣1，y1），（﹣，y2）在第三象限，
∴y2＜y1＜0，
∵＞0，
∴点（，y3）在第一象限，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2．
故选：C．
3．点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣，3） C．（﹣5，﹣3） D．（，3）
【分析】先根据点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣3×5＝﹣15，
A、∵5×（﹣3）＝﹣15，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
B、∵﹣×3＝﹣≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；
C、∵﹣5×（﹣3）＝15≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；
D、∵×3＝≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意．
故选：A．
4．已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，8），则该函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第二、三象限
【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k，求出k的值，再根据k＜0，判断所经过象限．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（﹣2，8），
∴k＝﹣16＜0，
∴该函数的图象位于二、四象限；
故选：B．
5．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．
【解答】解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．
故选：D．
6．反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意；
B、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＞0，则反比例y＝经过第一、三象限，不符合题意；
C、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于正半轴，则b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意；
D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，符合题意；
故选：D．
7．对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．图象关于原点对称
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意；
C、∵x＝1时，y＝﹣＝﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
D、∵k＝﹣2＜0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴当x1＜0，x2＞0时，则y1＞y2，故本选项错误，符合题意，
故选：D．
8．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是 （﹣3，﹣4） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案是：（﹣3，﹣4）．
9．在函数的学习过程中，我们经历了“确定函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习过程我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质．
（1）根据题意，列表如下：
x
…
﹣3
﹣1
0
2
3
5
…
y
…
﹣1
﹣2
﹣4
4
2
1
…
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，写出该函数的增减性： 当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小 ；
（3）函数的图象可由函数的图象得到，其对称中心的坐标为 （1，0） ；
（4）根据上述经验回答：函数的图象可由函数的图象得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当y≤1时，x的取值范围是 x≥3或x＜1 ．
【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可．
（2）根据图象解答问题即可．
（3）根据图象解答问题即可．
（4）根据平移的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）描点并连线，画出函数的图象如图所示：
（2）当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．
故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．
（3）函数的图象可由函数的图象得到．对称中心为（1，0）．
故答案为（1，0）；
（4）函数的图象可由函数的图象向下平移1个单位得到，y≤1时，x≥3或x＜1．
故答案为x≥3或x＜1．
考点三 反比例函数中k的几何意义
【知识点睛】
图象中k的几何意义
【类题训练】
1．若图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影面积为2的是（ ）
A．图1 B．图2 C．图3 D．图4
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【解答】解：图1中，阴影面积为4；
图2中，阴影面积为×4＝2；
图3中，阴影面积为2××4＝4；
图4中，阴影面积为4××4＝8；
则阴影面积为2的有1个．
故选：B．
2．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，AB垂直x轴于点B，若S△ABO＝2.5，则k的值为（ ）
A．2.5 B．5 C．﹣5 D．﹣2.5
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．而S△ABO＝|k|，再由函数图象所在的象限确定k的值即可．
【解答】解：∵点P是反比例函数y＝图象上的一点，AB⊥x轴，S△ABO＝2.5，
∴S△ABO＝|k|＝2.5，
解得k＝±5．
又∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k＝﹣5．
故选：C．
3．如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为2，所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵AB＝AO，△ABO的面积为4，
∴S△ADO＝|k|＝2，
又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，
则k＝﹣4．
故选：D．
4．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1＝k2+2，则△OAB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．0.5
【分析】根据反比例函数k的几何意义得出△AOB的面积为 （﹣）＝（k1﹣k2），再根据k1＝k2+2，得k1﹣k2＝2，即可得出．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，
∴△AOB的面积为 （﹣）＝（k1﹣k2），
∵k1＝k2+2，
∴k1﹣k2＝2，
∴△AOB的面积为 ＝1，
故选：A．
5．如图，A，B是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，S△AOB＝3，则k的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴，根据A，B是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象上的两点，S△AOD＝S△BOC＝，再根据S四ABCO＝S△AOD+S四ADCB＝S△AOB+S△BOC，得S△ABO＝S四ADCB，列出方程，解出即可．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴，
∵A，B是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象上的两点，
∴S△AOD＝S△BOC＝，
∵S四ABCO＝S△AOD+S四ADCB＝S△AOB+S△BOC，
∴S△ABO＝S四ADCB，
∵A（2，），B（4，），
∴×2（+）＝3，
∴k＝4，
故选：A．
6．如图，反比例函数y＝（k＜0）的图象过正方形OABC的边BC的中点D，与AB相交于点E，若△BDE的面积为2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】设正方形的边长为m，则D（﹣m，），代入y＝（k＜0）求得y＝﹣，进而求得E（﹣，m），根据△BDE的面积为2，即可求得m＝4，进而求得k＝﹣8．
【解答】解：设正方形的边长为m，则D（﹣m，），
∵反比例函数y＝（k＜0）的图象过正方形OABC的边BC的中点D，
∴k＝﹣m•＝﹣，
∴y＝﹣，
把y＝m代入得，x＝﹣，
∴E（﹣，m），
∴BD＝BE＝，
∴BD•BE＝＝2，
解得m＝4（负数舍去），
∴k＝﹣4×＝﹣8，
故选：D．
7．如图，A，B是反比例函数y＝图象上的两点，分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形S1，S2，S3，已知S2＝3，S1+S3的值为（ ）
A．16 B．10 C．8 D．5
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得S1+S2＝S2+S3＝8，即可解决问题．
【解答】解：∵A，B是反比例函数y＝图象上的两点，
∴S1+S2＝S2+S3＝8，
∵S2＝3，
∴S1＝S3＝5，
∴S1+S3＝10，
故选：B．
8．如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，AD与y轴交于点E．若S△BCD＝3，则k的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．12
【分析】作AF⊥x轴于F，易得矩形ABOF的面积等于平行四边形ABCD的面积等于三角形BCD面积的2倍等于6，再利用|k|等于矩形ABOF的面积即可．
【解答】解：作AF⊥x轴于F，
∵S△BCD＝3，
∴S平行四边形ABCD＝2S△BCD＝6，
∵S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD，
∴S矩形ABOF＝6，
∴|k|＝6，
∵在第一象限，
∴k＝6，
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴上，函数）的图象经过菱形的顶点C和对角线的交点M，若菱形OABC的面积为6，则k的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），
则a•＝6，点M的坐标为（，），
∴，
解得，k＝2，
故选：D．
10．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为24，则k的值为 24 ．
【分析】根据三角形的面积公式可得S△AOD＝S△AOB＝12＝|k|，进而求出答案．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∵OC∥AD，＝，
∴＝，
∴S△AOD＝S△AOB＝×24＝12＝|k|，
而k＞0，
∴k＝24，
故答案为：24．
11．如图，在直角坐标系中，点A、C分别在两坐标轴上，点B在第二象限，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＜0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝3CE，四边形ODBE的面积是9，则k＝ ﹣3 ．
【分析】把所给的四边形面积分割为长方形面积减去两个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：设B点的坐标为（﹣a，b），
∵BE＝3CE，
∴E的坐标为（﹣，b），
又∵E在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣，
∵S四边形ODBE＝9，
∴S矩形ABCD﹣S△OCE﹣S△OAD＝9，
即ab﹣﹣＝9，
∴ab＝12，
∴k＝﹣＝﹣3．
故答案为：﹣3．
考点四 反比例函数与方程、不等式间的关系
【知识点睛】
与方程间的关系
求反比例函数的k值，用待定系数法时，会与一元一次方程相结合；求直线与双曲线交点坐标时，联立函数解析式，会与分式方程相结合
与不等式间
的关系
由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：
①根据图象找出交点横坐标，
②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。
简称：交点横——大在上——左小右大
解集特点：
①当没有象限限制时，解集的形式肯定是分两部分的，即“…或…”
②解集的其中一部分肯定与0有关
【类题训练】
1．已知正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，若点A（m，4），则点B的坐标为（ ）
A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（4，﹣1） D．（﹣4，1）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称
【解答】解：∵点A是正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象的交点，
∴﹣4＝4m，
解得 m＝﹣1，则点A的坐标是（﹣1，4）
∵点A（﹣1，4）与B关于原点对称，
∴B点的坐标为（1，﹣4）．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，函数y＝（x＜0）与y＝﹣x+4的图象交于点P（a，b），则代数式的值是（ ）
A．8 B．6 C．10 D．12
【分析】先把点P（a，b）分别代入y＝（x＜0）与y＝﹣x+4中，可得ab与b﹣a得值，代数式+可化为，代入即可得出答案．
【解答】解：把点P（a，b）分别代入y＝（x＜0）与y＝﹣x+4中，
得b＝，b＝﹣a+4，
即ab＝2，b+a＝4，
∴+＝＝＝＝6，
故选：B．
3．若一次函数y＝x+2与反比例函数y＝有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1 B．m＜2且m≠1 C．m＜0 D．m＞2
【分析】联立一次函数和反比例函数的解析式组成一元二次方程，判断根的判别式即可．
【解答】解：令y＝x+2＝，整理得x2+2x﹣1+m＝0，
∵两个函数有两个交点，
∴Δ＝4﹣4（﹣1+m）＞0，整理得m＜2，
又1﹣m≠0，
∴m≠1，
综上，m的取值范围为m＜2且m≠1．
故选：B．
4．如图，已知反比例函数y1＝（k1＞0）的图象与一次函数y2＝k2x（k2＞0）的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为2，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2
C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【分析】本题需先根据交点A的坐标，再根据图象在上方的对应的函数值大即可求出x的取值范围．
【解答】解：因为A的横坐标为2，
所以另一个交点的横坐标为﹣2，
从观察图象知，
当y1＜y2时，x＞2或﹣2＜x＜0．
故选：D．
5．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象可知不等式＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＞4 C．1＜x＜4 D．0＜x＜1或x＞4
【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0，
∴不等式＞kx+b的解集是0＜x＜1或x＞4，
故选：D．
6．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数y＝（m≠0）图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1），则不等式kx+b＜的解集是（ ）
A．x＜﹣1或x＞2 B．﹣1＜x＜0或0＜x＜2
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】利用函数图象得到当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m≠0）图象下方时x的取值即可．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m≠0）图象下方时，x的取值范围是：﹣1＜x＜0或x＞2，
∴不等式kx+b＜的解集是：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：D．
7．函数y＝kx﹣k与y＝在同一坐标系中的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．k＜0 B．m＞0 C．km＞0 D．＜0
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
【解答】解：由图象可知双曲线过二、四象限，m＜0；
一次函数过一、三，四象限，所以k＞0．
故选：D．
8．如图，已知一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（x＞0）交于C点，且AB＝AC，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，证明△AOB≌△ADC，得CD＝OB＝3，从而得出点C的坐标，即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴B（0，﹣3），
∴OB＝3，
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
在△AOB与△ADC中，
，
∴△AOB≌△ADC（AAS），
∴CD＝OB＝3，
∵点C在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴C（4，3），
将C坐标代入一次函数y＝kx﹣3中得4k﹣3＝3，
∴k＝，
故选：B．
9．如图，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点P．若OP＝，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】可设点P（m，m+2），由OP＝根据勾股定理得到m的值，进一步得到P点坐标，再根据待定系数法可求k的值．
【解答】解：设点P（m，m+2），
∵OP＝，
∴＝，
解得m1＝2，m2＝﹣4（不合题意舍去），
∴点P（2，4），
∴4＝，
解得k＝8．
故选：B．
10．已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，直接写出不等式kx﹣＞0的解集．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数解析式即可求解．
（2）先画出正比例函数图象，根据图象即可作答．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得：2m＝6．
∴m＝3．
∴A（3，2）
将点A坐标代入正比例函数解析式得：2＝3k．
∴k＝．
（2）如图：
由图象可知，不等式kx﹣＞0的解是x＞3或﹣3＜x＜0．
考点五 反比例函数的实际应用
【知识点睛】
以实际情境为模型的反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例函数图象的一部分
【类题训练】
1．古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（ ）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴1200×0.5＝Fl，整理得：，
故选：B．
2．三角形的面积为5，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解．
【解答】解：∵底边长为x，底边上的高为y的三角形面积为5，
∴，
∴．
故选：A．
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）与气体体积V（m3）成反比，其图象如图所示，当气球内的气压大于100P（kPa）时气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积V（m3）应满足（ ）
A． B． C． D．
【分析】设函数解析式为P＝，把点（2.4，50）的坐标代入函数解析式求出k值，可求出函数关系式；依题意P≤100，即≤100，解不等式即可．
【解答】解：设P与V的函数关系式为P＝，
则k＝2.4×50，
解得k＝120，
∴函数关系式为P＝（V＞0）．
根据题意可知，P≤100KPa，即≤100，
解得V≥，
∴为了安全起见，气体的体积应不小于m3．
故答案为：C．
4．小亮新买了一盏亮度可调节的台灯（图①），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图②所示．下列说法正确的是（ ）
A．电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而增大
B．电流I（A）与电阻R（Ω）的关系式为
C．当电阻R为550Ω时，电流I为0.5A
D．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A
【分析】直接利用反比例函数图象得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
【解答】解：A．由图象知，电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而减小，故此选项符合题意；
B．设反比例函数解析式为：I＝，把（1100，0.2）代入得：U＝1100×0.2＝220，则I＝，故此选项不符合题意；
C．把R＝550代入I＝得，I＝0.4A，故此选项不合题意；
D．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A；故此选项符合题意；
故选：D．
5．一款简易电子秤的工作原理：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R2，R2与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻R1的阻值为60欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为l安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为0～0.2安（温馨提示：导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式），则下面结论错误的为（ ）
A．用含I的代数式表示m为m＝150﹣
B．电子体重秤可称的最大质量为120千克
C．当m＝115时，若电源电压U为12（伏），则定值电阻R1最小为70（欧）
D．当m＝115时，若定值电阻R1为40（欧），则电源电压U最大为10（伏）
【分析】根据提示信息，I＝，且串联电阻总电阻为R＝R1+R2，代入即可判断A；由m＝150﹣和0≤I≤0.2，由反比例函数的性质即可判断B；根据R2＝﹣2m+240可求出R2，再根据＝求出R1，可判断C；根据R2＝﹣2m+240可求出R2，再根据U＝RI，由函数的性质可判断D．
【解答】解：A、根据题意可知，I＝＝＝，
解得m＝150﹣，
故A正确，不符合题意；
B、由m＝150﹣，得m随I的增大而增大，
∵0≤I≤0.2，
∴当I＝0.2时，m的最大值为120，
故B正确，不符合题意；
C、当U＝12时，m＝115时，
R2＝﹣2m+240＝﹣2×115+240＝10，
∵＝，
∴＝，
解得R1＝60，
故C错误，符合题意；
D、当m＝115时，R2＝﹣2m+240＝10，
∵R1＝40，
∴U＝（R1+R2）I＝（10+40）I＝50I，
∵50＞0，
∴U随I的增大而增大，
∵0≤I≤0.2，
∴当I＝0.2时，U增大，最大值为10，
故D正确．不符合题意．
故选：C．
6．血药浓度（PlasmaConcentration）指药物吸收后在血浆内的总浓度，已知药物在体内的浓度随着时间而变化．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药血药浓度（mg/L）5a最低中毒浓度（MTC）物的说法中正确的是（ ）
A．从t＝0开始，随着时间逐渐延长，血药浓度逐渐增大
B．当t＝1时，血药浓度达到最大为5amg/L
C．首次服用该药物1单位3.5小时后，立即再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
D．每间隔4h服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用
【分析】根据该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，通过观察图象的变化情况分别判断即可．
【解答】解：∵该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，
∴观察图象的变化情况可知：
A、从t＝0开始，随着时间逐渐延长，血药浓度先逐渐增大，再逐渐减小，故不符合题意；
B、当t＝1时，血药浓度达到最大为4amg/L，故不符合题意；
C、首次服用该药物1单位3.5小时后，血药浓度高于最低有效浓度，立即再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故不符合题意；
D、每间隔4h服用该药物1单位，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，故符合题意；
故选：D．
7．如表记录了一组物理试验数据，已知当温度不变时，气球内气体的压强P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，则P与V的函数关系式是 P＝ ．
V（单位：m3）
1
1.5
2
2.5
3
P（单位：kPa）
90
60
45
36
30
【分析】观察表格发现VP＝90，从而确定两个变量之间的关系即可．
【解答】解：观察发现：VP＝1×90＝1.5×60＝2×45＝2.5×36＝3×30＝90，
故P与V的函数关系式为P＝，
故答案为：P＝．
8．小贤想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为800N，阻力臂长为0.4m．设动力为y（N），动力臂长为x（m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计．）
（1）当动力臂长为1.6m时，至少需要动力 200 N，才能撬动石头；（2）此函数的解析式是 y＝ ．
【分析】（1）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，进而求出答案；
（2）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，可得出y关于x的函数表达式．
【解答】解：（1）∵阻力为800N，阻力臂长为0.4m，动力臂长为1.6m，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，
∴800×0.4＝1.6×动力，
则动力＝200（N），
答：当动力臂长为1.6m时，至少需要动力200N，才能撬动石头；
故答案为：200；
（2）∵阻力为800N，阻力臂长为0.4m．设动力为y（N），动力臂长为x（m），
∴800×0.4＝yx，
即xy＝320，
故此函数的解析式是：y＝．
故答案为：y＝．
9．饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 50 ℃．
【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y与开机时间x的函数关系式；由点（8，100），利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y与开机时间x的函数关系式，再将y＝20代入该函数关系式中求出x值即可，由56﹣40＝16＞8，将x＝16代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论．
【解答】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：y＝10x+20；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：，
依据题意，得：，
解得：m＝800，
∴，
当y＝20时，，
解得：t＝x＝40，
∵56﹣40＝16＞8，
∴当x＝16时，．
故答案为：50．
10．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培．
（1）求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式；
（2）若2≤R≤200，求电流I的变化范围．
【分析】（1）设函数解析式为，把R＝6时，I＝24代入求出k值即可得答案；
（2）根据反比例函数性质，把R＝2，R＝200代入求出I的最大值和最小值即可得答案．
【解答】解：（1）设函数解析式为，
∵当R＝6时，I＝24，
∴，
解得：k＝144，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为．
（2）∵中，144＞0，R＞0，
∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵2≤R≤200，
∴把电阻最小值R＝2代入，得到电流的最大值，，
把电阻最大值R＝200代入，得到电流的最小值，，
∴电流I的变化范围是0.72≤I≤72．
11．某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息：
售价x（元/件）
5
8
商品的销售量Q（件）
580
400
（1）求Q与x的函数关系式．
（2）若生产出的商品正好销完，求售价x．
（3）求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？
【分析】（1）根据题意，可以先设出Q与x的函数关系式，然后根据表格中的数据，即可计算出Q与x的函数关系式；
（2）将Q＝600代入（1）中的函数解析式，然后即可得到x的值；
（3）根据销售额＝售价×销售量，可以列出相应的函数解析式，再根据x的取值范围和一次函数的性质，可以得到售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少．
【解答】解：（1）设Q＝a+，
由表格可知：当x＝5时，Q＝580，当x＝8时，Q＝400，
∴，
解得，
即Q与x的函数关系式是Q＝100+；
（2）令Q＝600，
600＝100+，
解得x＝4.8，
答：生产出的商品正好销完，此时x的值是4.8；
（3）设月销售额为w元，
由题意可得，w＝x（100+）＝100x+2400，
∴w随x的增大而增大，
∵x≤10，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝3400，
答：售价x为10时，月销售额最大，最大值是3400元．
12．实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
（1）求部分双曲线AB的函数表达式；
（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6：30能否驾车去上班？请说明理由．
【分析】（1）首先求得线段OA所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解；
（2）把y＝20代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【解答】解：（1）依题意，直线OA过（，20），则直线OA的解析式为y＝80x，
当x＝时，y＝120，即A（，120），
设双曲线的解析式为y＝，将点A（，120）代入得：k＝180，
∴y＝（x≥）；
（2）由y＝得当y＝20时，x＝9，
从晚上22：00到第二天早上6：30时间间距为8.5小时，
∵8.5＜9，
∴第二天早上6：30不能驾车去上班．
13．为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函数关系（如图示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克．
研究表明：
①当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时学生方可进教室；
②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．
依据信息，解决下列问题：
（1）从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
（2）你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；
（2）利用反比例函数解析式求法得出答案．
【解答】解：（1）设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y＝，
把（8，6）代入得：k＝48，
故y关于x的函数关系式是y＝；
当y＝1.6时，代入y＝得x＝30，
答：从消毒开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，
理由：药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，
所以设y关于x的函数关系式是y＝kx（k≠0），
将点（8，6）代入，得k＝，
即y＝x，自变量x的取值范围是0≤x≤8：
将y＝3分别代入y＝x，y＝得，x＝4和x＝16，
那么持续时间是16﹣4＝12＞10分钟，所以有效杀灭空气中的病菌．
第12讲 反比例函数单元整体分类总复习
考点一 反比例函数的解析式
【知识点睛】
v 反比例函数的解析式为或或
因为以上反比例函数的解析式的形式，我们得到，反比例函数的比例系数k的求解方法可以直接用反比例函数图象上的点的横纵坐标相乘得到。
【类题训练】
1．下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣ B． C．y＝﹣x2 D．
【分析】根据反比例函数：解析式的一般形式（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，可得答案．
【解答】解：A、是正比例函数，故A不合题意；
B、是反比例函数，故B符合题意；
C、不是反比例函数，故C不合题意；
D、不是反比例函数，故D不合题意；
故选：B．
2．已知y＝y1+y2，其中y1与x成反比例，且比例系数为k1，y2与x2成正比例，且比例系数为k2，若x＝﹣1时，
y＝0，则k1与k2的关系是（ ）
A．k1+k2＝0 B．k1﹣k2＝0 C．k1+k2＝1 D．klk2＝﹣1
【分析】根据题意先写出函数的表达式，把点代入函数表达式即可得到k1与k2的关系式．
【解答】B解：根据题意，y1＝，y2＝k2x2，
∴y＝y1+y2＝+k2x2，
∵若x＝﹣1时，y＝0，
∴﹣k1+k2（﹣1）2＝0，
∴k1﹣k2＝0．
故选：B．
3．函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝ 2 ．
【分析】根据反比例函数的定义，可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵函数是y关于x的反比例函数，
∴，
解得：m＝2．
故答案为：2．
4．已知y与x﹣3成反比例，当x＝4时，y＝﹣1；那么当x＝﹣4时，y＝ ．
【分析】设出函数表达式，把点代入表达式求出k值整理即可得到函数解析式，再把x＝﹣4代入函数解析式求出函数值即可．
【解答】解：设y＝，
∵当x＝4时，y＝﹣1，
∴k＝（4﹣3）×（﹣1）＝﹣1，
∴函数解析式为y＝﹣，
当x＝﹣4时，y＝﹣＝．
故答案为：．
5．已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），
（1）当m，n为何值时是一次函数？
（2）当m，n为何值时，为正比例函数？
（3）当m，n为何值时，为反比例函数？
【分析】（1）根据一次函数的定义知2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值；
（2）根据正比例函数的定义知2﹣n＝1，m+n＝0，5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值；
（3）根据反比例函数的定义知2﹣n＝﹣1，m+n＝0，5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值．
【解答】解：（1）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是一次函数时，
2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，
解得：n＝1且m≠；
（2）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是正比例函数时，，
解得：n＝1，m＝﹣1．
（3）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是反比例函数时，，
解得：n＝3，m＝﹣3．
考点二 反比例函数的图象与性质
【知识点睛】
图象
自变量x
的取值范围
增减性
在其每一象限内，y随x的增大而减小
在其每一象限内，y随x的增大而增大
中心对称性
双曲线的两支是中心对称图形，对称中心为原点
轴对称性
双曲线的两支是轴对称图形，对称轴为直线或直线
【类题训练】
1．在反比例函数y＝图象的每一个象限内，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＞1 C．k≥1 D．﹣1≤k＜1
【分析】利用反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵在反比例函数y＝图象的每一个象限内，y都随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，即k＞1，
故选：B．
2．在y＝的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵k＝6＞0，
∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜﹣＜0，
∴点（﹣1，y1），（﹣，y2）在第三象限，
∴y2＜y1＜0，
∵＞0，
∴点（，y3）在第一象限，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2．
故选：C．
3．点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣，3） C．（﹣5，﹣3） D．（，3）
【分析】先根据点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣3×5＝﹣15，
A、∵5×（﹣3）＝﹣15，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
B、∵﹣×3＝﹣≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；
C、∵﹣5×（﹣3）＝15≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；
D、∵×3＝≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意．
故选：A．
4．已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，8），则该函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第二、三象限
【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k，求出k的值，再根据k＜0，判断所经过象限．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（﹣2，8），
∴k＝﹣16＜0，
∴该函数的图象位于二、四象限；
故选：B．
5．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．
【解答】解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．
故选：D．
6．反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意；
B、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＞0，则反比例y＝经过第一、三象限，不符合题意；
C、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于正半轴，则b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意；
D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，符合题意；
故选：D．
7．对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．图象关于原点对称
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意；
C、∵x＝1时，y＝﹣＝﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
D、∵k＝﹣2＜0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴当x1＜0，x2＞0时，则y1＞y2，故本选项错误，符合题意，
故选：D．
8．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是 （﹣3，﹣4） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案是：（﹣3，﹣4）．
9．在函数的学习过程中，我们经历了“确定函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习过程我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质．
（1）根据题意，列表如下：
x
…
﹣3
﹣1
0
2
3
5
…
y
…
﹣1
﹣2
﹣4
4
2
1
…
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，写出该函数的增减性： 当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小 ；
（3）函数的图象可由函数的图象得到，其对称中心的坐标为 （1，0） ；
（4）根据上述经验回答：函数的图象可由函数的图象得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当y≤1时，x的取值范围是 x≥3或x＜1 ．
【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可．
（2）根据图象解答问题即可．
（3）根据图象解答问题即可．
（4）根据平移的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）描点并连线，画出函数的图象如图所示：
（2）当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．
故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．
（3）函数的图象可由函数的图象得到．对称中心为（1，0）．
故答案为（1，0）；
（4）函数的图象可由函数的图象向下平移1个单位得到，y≤1时，x≥3或x＜1．
故答案为x≥3或x＜1．
考点三 反比例函数中k的几何意义
【知识点睛】
图象中k的几何意义
【类题训练】
1．若图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影面积为2的是（ ）
A．图1 B．图2 C．图3 D．图4
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【解答】解：图1中，阴影面积为4；
图2中，阴影面积为×4＝2；
图3中，阴影面积为2××4＝4；
图4中，阴影面积为4××4＝8；
则阴影面积为2的有1个．
故选：B．
2．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，AB垂直x轴于点B，若S△ABO＝2.5，则k的值为（ ）
A．2.5 B．5 C．﹣5 D．﹣2.5
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．而S△ABO＝|k|，再由函数图象所在的象限确定k的值即可．
【解答】解：∵点P是反比例函数y＝图象上的一点，AB⊥x轴，S△ABO＝2.5，
∴S△ABO＝|k|＝2.5，
解得k＝±5．
又∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k＝﹣5．
故选：C．
3．如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为2，所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵AB＝AO，△ABO的面积为4，
∴S△ADO＝|k|＝2，
又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，
则k＝﹣4．
故选：D．
4．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1＝k2+2，则△OAB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．0.5
【分析】根据反比例函数k的几何意义得出△AOB的面积为 （﹣）＝（k1﹣k2），再根据k1＝k2+2，得k1﹣k2＝2，即可得出．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，
∴△AOB的面积为 （﹣）＝（k1﹣k2），
∵k1＝k2+2，
∴k1﹣k2＝2，
∴△AOB的面积为 ＝1，
故选：A．
5．如图，A，B是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，S△AOB＝3，则k的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴，根据A，B是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象上的两点，S△AOD＝S△BOC＝，再根据S四ABCO＝S△AOD+S四ADCB＝S△AOB+S△BOC，得S△ABO＝S四ADCB，列出方程，解出即可．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴，
∵A，B是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象上的两点，
∴S△AOD＝S△BOC＝，
∵S四ABCO＝S△AOD+S四ADCB＝S△AOB+S△BOC，
∴S△ABO＝S四ADCB，
∵A（2，），B（4，），
∴×2（+）＝3，
∴k＝4，
故选：A．
6．如图，反比例函数y＝（k＜0）的图象过正方形OABC的边BC的中点D，与AB相交于点E，若△BDE的面积为2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】设正方形的边长为m，则D（﹣m，），代入y＝（k＜0）求得y＝﹣，进而求得E（﹣，m），根据△BDE的面积为2，即可求得m＝4，进而求得k＝﹣8．
【解答】解：设正方形的边长为m，则D（﹣m，），
∵反比例函数y＝（k＜0）的图象过正方形OABC的边BC的中点D，
∴k＝﹣m•＝﹣，
∴y＝﹣，
把y＝m代入得，x＝﹣，
∴E（﹣，m），
∴BD＝BE＝，
∴BD•BE＝＝2，
解得m＝4（负数舍去），
∴k＝﹣4×＝﹣8，
故选：D．
7．如图，A，B是反比例函数y＝图象上的两点，分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形S1，S2，S3，已知S2＝3，S1+S3的值为（ ）
A．16 B．10 C．8 D．5
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得S1+S2＝S2+S3＝8，即可解决问题．
【解答】解：∵A，B是反比例函数y＝图象上的两点，
∴S1+S2＝S2+S3＝8，
∵S2＝3，
∴S1＝S3＝5，
∴S1+S3＝10，
故选：B．
8．如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，AD与y轴交于点E．若S△BCD＝3，则k的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．12
【分析】作AF⊥x轴于F，易得矩形ABOF的面积等于平行四边形ABCD的面积等于三角形BCD面积的2倍等于6，再利用|k|等于矩形ABOF的面积即可．
【解答】解：作AF⊥x轴于F，
∵S△BCD＝3，
∴S平行四边形ABCD＝2S△BCD＝6，
∵S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD，
∴S矩形ABOF＝6，
∴|k|＝6，
∵在第一象限，
∴k＝6，
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴上，函数）的图象经过菱形的顶点C和对角线的交点M，若菱形OABC的面积为6，则k的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），
则a•＝6，点M的坐标为（，），
∴，
解得，k＝2，
故选：D．
10．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为24，则k的值为 24 ．
【分析】根据三角形的面积公式可得S△AOD＝S△AOB＝12＝|k|，进而求出答案．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∵OC∥AD，＝，
∴＝，
∴S△AOD＝S△AOB＝×24＝12＝|k|，
而k＞0，
∴k＝24，
故答案为：24．
11．如图，在直角坐标系中，点A、C分别在两坐标轴上，点B在第二象限，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＜0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝3CE，四边形ODBE的面积是9，则k＝ ﹣3 ．
【分析】把所给的四边形面积分割为长方形面积减去两个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：设B点的坐标为（﹣a，b），
∵BE＝3CE，
∴E的坐标为（﹣，b），
又∵E在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣，
∵S四边形ODBE＝9，
∴S矩形ABCD﹣S△OCE﹣S△OAD＝9，
即ab﹣﹣＝9，
∴ab＝12，
∴k＝﹣＝﹣3．
故答案为：﹣3．
考点四 反比例函数与方程、不等式间的关系
【知识点睛】
与方程间的关系
求反比例函数的k值，用待定系数法时，会与一元一次方程相结合；求直线与双曲线交点坐标时，联立函数解析式，会与分式方程相结合
与不等式间
的关系
由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：
①根据图象找出交点横坐标，
②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。
简称：交点横——大在上——左小右大
解集特点：
①当没有象限限制时，解集的形式肯定是分两部分的，即“…或…”
②解集的其中一部分肯定与0有关
【类题训练】
1．已知正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，若点A（m，4），则点B的坐标为（ ）
A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（4，﹣1） D．（﹣4，1）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称
【解答】解：∵点A是正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象的交点，
∴﹣4＝4m，
解得 m＝﹣1，则点A的坐标是（﹣1，4）
∵点A（﹣1，4）与B关于原点对称，
∴B点的坐标为（1，﹣4）．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，函数y＝（x＜0）与y＝﹣x+4的图象交于点P（a，b），则代数式的值是（ ）
A．8 B．6 C．10 D．12
【分析】先把点P（a，b）分别代入y＝（x＜0）与y＝﹣x+4中，可得ab与b﹣a得值，代数式+可化为，代入即可得出答案．
【解答】解：把点P（a，b）分别代入y＝（x＜0）与y＝﹣x+4中，
得b＝，b＝﹣a+4，
即ab＝2，b+a＝4，
∴+＝＝＝＝6，
故选：B．
3．若一次函数y＝x+2与反比例函数y＝有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1 B．m＜2且m≠1 C．m＜0 D．m＞2
【分析】联立一次函数和反比例函数的解析式组成一元二次方程，判断根的判别式即可．
【解答】解：令y＝x+2＝，整理得x2+2x﹣1+m＝0，
∵两个函数有两个交点，
∴Δ＝4﹣4（﹣1+m）＞0，整理得m＜2，
又1﹣m≠0，
∴m≠1，
综上，m的取值范围为m＜2且m≠1．
故选：B．
4．如图，已知反比例函数y1＝（k1＞0）的图象与一次函数y2＝k2x（k2＞0）的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为2，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2
C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【分析】本题需先根据交点A的坐标，再根据图象在上方的对应的函数值大即可求出x的取值范围．
【解答】解：因为A的横坐标为2，
所以另一个交点的横坐标为﹣2，
从观察图象知，
当y1＜y2时，x＞2或﹣2＜x＜0．
故选：D．
5．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象可知不等式＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＞4 C．1＜x＜4 D．0＜x＜1或x＞4
【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0，
∴不等式＞kx+b的解集是0＜x＜1或x＞4，
故选：D．
6．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数y＝（m≠0）图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1），则不等式kx+b＜的解集是（ ）
A．x＜﹣1或x＞2 B．﹣1＜x＜0或0＜x＜2
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】利用函数图象得到当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m≠0）图象下方时x的取值即可．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m≠0）图象下方时，x的取值范围是：﹣1＜x＜0或x＞2，
∴不等式kx+b＜的解集是：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：D．
7．函数y＝kx﹣k与y＝在同一坐标系中的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．k＜0 B．m＞0 C．km＞0 D．＜0
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
【解答】解：由图象可知双曲线过二、四象限，m＜0；
一次函数过一、三，四象限，所以k＞0．
故选：D．
8．如图，已知一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（x＞0）交于C点，且AB＝AC，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，证明△AOB≌△ADC，得CD＝OB＝3，从而得出点C的坐标，即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴B（0，﹣3），
∴OB＝3，
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
在△AOB与△ADC中，
，
∴△AOB≌△ADC（AAS），
∴CD＝OB＝3，
∵点C在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴C（4，3），
将C坐标代入一次函数y＝kx﹣3中得4k﹣3＝3，
∴k＝，
故选：B．
9．如图，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点P．若OP＝，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】可设点P（m，m+2），由OP＝根据勾股定理得到m的值，进一步得到P点坐标，再根据待定系数法可求k的值．
【解答】解：设点P（m，m+2），
∵OP＝，
∴＝，
解得m1＝2，m2＝﹣4（不合题意舍去），
∴点P（2，4），
∴4＝，
解得k＝8．
故选：B．
10．已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，直接写出不等式kx﹣＞0的解集．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数解析式即可求解．
（2）先画出正比例函数图象，根据图象即可作答．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得：2m＝6．
∴m＝3．
∴A（3，2）
将点A坐标代入正比例函数解析式得：2＝3k．
∴k＝．
（2）如图：
由图象可知，不等式kx﹣＞0的解是x＞3或﹣3＜x＜0．
考点五 反比例函数的实际应用
【知识点睛】
以实际情境为模型的反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例函数图象的一部分
【类题训练】
1．古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（ ）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴1200×0.5＝Fl，整理得：，
故选：B．
2．三角形的面积为5，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解．
【解答】解：∵底边长为x，底边上的高为y的三角形面积为5，
∴，
∴．
故选：A．
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）与气体体积V（m3）成反比，其图象如图所示，当气球内的气压大于100P（kPa）时气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积V（m3）应满足（ ）
A． B． C． D．
【分析】设函数解析式为P＝，把点（2.4，50）的坐标代入函数解析式求出k值，可求出函数关系式；依题意P≤100，即≤100，解不等式即可．
【解答】解：设P与V的函数关系式为P＝，
则k＝2.4×50，
解得k＝120，
∴函数关系式为P＝（V＞0）．
根据题意可知，P≤100KPa，即≤100，
解得V≥，
∴为了安全起见，气体的体积应不小于m3．
故答案为：C．
4．小亮新买了一盏亮度可调节的台灯（图①），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图②所示．下列说法正确的是（ ）
A．电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而增大
B．电流I（A）与电阻R（Ω）的关系式为
C．当电阻R为550Ω时，电流I为0.5A
D．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A
【分析】直接利用反比例函数图象得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
【解答】解：A．由图象知，电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而减小，故此选项符合题意；
B．设反比例函数解析式为：I＝，把（1100，0.2）代入得：U＝1100×0.2＝220，则I＝，故此选项不符合题意；
C．把R＝550代入I＝得，I＝0.4A，故此选项不合题意；
D．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A；故此选项符合题意；
故选：D．
5．一款简易电子秤的工作原理：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R2，R2与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻R1的阻值为60欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为l安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为0～0.2安（温馨提示：导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式），则下面结论错误的为（ ）
A．用含I的代数式表示m为m＝150﹣
B．电子体重秤可称的最大质量为120千克
C．当m＝115时，若电源电压U为12（伏），则定值电阻R1最小为70（欧）
D．当m＝115时，若定值电阻R1为40（欧），则电源电压U最大为10（伏）
【分析】根据提示信息，I＝，且串联电阻总电阻为R＝R1+R2，代入即可判断A；由m＝150﹣和0≤I≤0.2，由反比例函数的性质即可判断B；根据R2＝﹣2m+240可求出R2，再根据＝求出R1，可判断C；根据R2＝﹣2m+240可求出R2，再根据U＝RI，由函数的性质可判断D．
【解答】解：A、根据题意可知，I＝＝＝，
解得m＝150﹣，
故A正确，不符合题意；
B、由m＝150﹣，得m随I的增大而增大，
∵0≤I≤0.2，
∴当I＝0.2时，m的最大值为120，
故B正确，不符合题意；
C、当U＝12时，m＝115时，
R2＝﹣2m+240＝﹣2×115+240＝10，
∵＝，
∴＝，
解得R1＝60，
故C错误，符合题意；
D、当m＝115时，R2＝﹣2m+240＝10，
∵R1＝40，
∴U＝（R1+R2）I＝（10+40）I＝50I，
∵50＞0，
∴U随I的增大而增大，
∵0≤I≤0.2，
∴当I＝0.2时，U增大，最大值为10，
故D正确．不符合题意．
故选：C．
6．血药浓度（PlasmaConcentration）指药物吸收后在血浆内的总浓度，已知药物在体内的浓度随着时间而变化．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药血药浓度（mg/L）5a最低中毒浓度（MTC）物的说法中正确的是（ ）
A．从t＝0开始，随着时间逐渐延长，血药浓度逐渐增大
B．当t＝1时，血药浓度达到最大为5amg/L
C．首次服用该药物1单位3.5小时后，立即再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
D．每间隔4h服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用
【分析】根据该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，通过观察图象的变化情况分别判断即可．
【解答】解：∵该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，
∴观察图象的变化情况可知：
A、从t＝0开始，随着时间逐渐延长，血药浓度先逐渐增大，再逐渐减小，故不符合题意；
B、当t＝1时，血药浓度达到最大为4amg/L，故不符合题意；
C、首次服用该药物1单位3.5小时后，血药浓度高于最低有效浓度，立即再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故不符合题意；
D、每间隔4h服用该药物1单位，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，故符合题意；
故选：D．
7．如表记录了一组物理试验数据，已知当温度不变时，气球内气体的压强P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，则P与V的函数关系式是 P＝ ．
V（单位：m3）
1
1.5
2
2.5
3
P（单位：kPa）
90
60
45
36
30
【分析】观察表格发现VP＝90，从而确定两个变量之间的关系即可．
【解答】解：观察发现：VP＝1×90＝1.5×60＝2×45＝2.5×36＝3×30＝90，
故P与V的函数关系式为P＝，
故答案为：P＝．
8．小贤想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为800N，阻力臂长为0.4m．设动力为y（N），动力臂长为x（m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计．）
（1）当动力臂长为1.6m时，至少需要动力 200 N，才能撬动石头；（2）此函数的解析式是 y＝ ．
【分析】（1）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，进而求出答案；
（2）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，可得出y关于x的函数表达式．
【解答】解：（1）∵阻力为800N，阻力臂长为0.4m，动力臂长为1.6m，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，
∴800×0.4＝1.6×动力，
则动力＝200（N），
答：当动力臂长为1.6m时，至少需要动力200N，才能撬动石头；
故答案为：200；
（2）∵阻力为800N，阻力臂长为0.4m．设动力为y（N），动力臂长为x（m），
∴800×0.4＝yx，
即xy＝320，
故此函数的解析式是：y＝．
故答案为：y＝．
9．饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 50 ℃．
【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y与开机时间x的函数关系式；由点（8，100），利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y与开机时间x的函数关系式，再将y＝20代入该函数关系式中求出x值即可，由56﹣40＝16＞8，将x＝16代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论．
【解答】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：y＝10x+20；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：，
依据题意，得：，
解得：m＝800，
∴，
当y＝20时，，
解得：t＝x＝40，
∵56﹣40＝16＞8，
∴当x＝16时，．
故答案为：50．
10．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培．
（1）求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式；
（2）若2≤R≤200，求电流I的变化范围．
【分析】（1）设函数解析式为，把R＝6时，I＝24代入求出k值即可得答案；
（2）根据反比例函数性质，把R＝2，R＝200代入求出I的最大值和最小值即可得答案．
【解答】解：（1）设函数解析式为，
∵当R＝6时，I＝24，
∴，
解得：k＝144，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为．
（2）∵中，144＞0，R＞0，
∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵2≤R≤200，
∴把电阻最小值R＝2代入，得到电流的最大值，，
把电阻最大值R＝200代入，得到电流的最小值，，
∴电流I的变化范围是0.72≤I≤72．
11．某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息：
售价x（元/件）
5
8
商品的销售量Q（件）
580
400
（1）求Q与x的函数关系式．
（2）若生产出的商品正好销完，求售价x．
（3）求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？
【分析】（1）根据题意，可以先设出Q与x的函数关系式，然后根据表格中的数据，即可计算出Q与x的函数关系式；
（2）将Q＝600代入（1）中的函数解析式，然后即可得到x的值；
（3）根据销售额＝售价×销售量，可以列出相应的函数解析式，再根据x的取值范围和一次函数的性质，可以得到售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少．
【解答】解：（1）设Q＝a+，
由表格可知：当x＝5时，Q＝580，当x＝8时，Q＝400，
∴，
解得，
即Q与x的函数关系式是Q＝100+；
（2）令Q＝600，
600＝100+，
解得x＝4.8，
答：生产出的商品正好销完，此时x的值是4.8；
（3）设月销售额为w元，
由题意可得，w＝x（100+）＝100x+2400，
∴w随x的增大而增大，
∵x≤10，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝3400，
答：售价x为10时，月销售额最大，最大值是3400元．
12．实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
（1）求部分双曲线AB的函数表达式；
（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6：30能否驾车去上班？请说明理由．
【分析】（1）首先求得线段OA所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解；
（2）把y＝20代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【解答】解：（1）依题意，直线OA过（，20），则直线OA的解析式为y＝80x，
当x＝时，y＝120，即A（，120），
设双曲线的解析式为y＝，将点A（，120）代入得：k＝180，
∴y＝（x≥）；
（2）由y＝得当y＝20时，x＝9，
从晚上22：00到第二天早上6：30时间间距为8.5小时，
∵8.5＜9，
∴第二天早上6：30不能驾车去上班．
13．为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函数关系（如图示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克．
研究表明：
①当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时学生方可进教室；
②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．
依据信息，解决下列问题：
（1）从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
（2）你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；
（2）利用反比例函数解析式求法得出答案．
【解答】解：（1）设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y＝，
把（8，6）代入得：k＝48，
故y关于x的函数关系式是y＝；
当y＝1.6时，代入y＝得x＝30，
答：从消毒开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，
理由：药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，
所以设y关于x的函数关系式是y＝kx（k≠0），
将点（8，6）代入，得k＝，
即y＝x，自变量x的取值范围是0≤x≤8：
将y＝3分别代入y＝x，y＝得，x＝4和x＝16，
那么持续时间是16﹣4＝12＞10分钟，所以有效杀灭空气中的病菌．
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