北京市朝阳区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份北京市朝阳区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共36页。试卷主要包含了在抛物线y＝ax2+bx上，，点P是线段AB上的动点，得到线段CD等内容，欢迎下载使用。
北京市朝阳区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．根的判别式（共1小题）
1．（2022秋•朝阳区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
二．二次函数的性质（共1小题）
2．（2021秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx上．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求该抛物线的对称轴并比较y1，y2，y3的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范围．

三．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
3．（2022秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m），（4，n）在抛物线y＝ax2﹣2x（a＞0）上．
（1）当a＝1时，求m，n的值；
（2）点（x0，t）在此抛物线上，若存在0≤x0≤1，使得m＜t＜n，求a的取值范围．

四．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
4．（2020秋•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），点P是线段AB上的动点．
（1）①m＝　 　；
②求抛物线的解析式．
（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2+bx﹣3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标．

5．（2020秋•朝阳区期末）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为　 　；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
6．（2022秋•朝阳区期末）已知二次函数几组x与y的对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
3
4
…
y
…
12
5
0
﹣4
0
5
…
（1）求此二次函数的表达式；
（2）直接写出当x取何值时，y≤0．
六．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022秋•朝阳区期末）一位运动员在距篮圈中心（点C）水平距离5m处竖直跳起投篮（A为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为3m时，达到最高点（点B），此时高度为3.85m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心（点C）到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.75m，在这次跳投中，球在头顶上方0.15m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？

七．三角形综合题（共2小题）
8．（2020秋•朝阳区期末）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．
①求证：∠BDP＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．

9．（2022秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）

八．垂径定理的应用（共1小题）
10．（2022秋•朝阳区期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1m的圆，如图所示，若水面宽AB＝0.8m，求水的最大深度．

九．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2020秋•朝阳区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．

一十．圆的综合题（共2小题）
12．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为d（AB，⊙O）．
（1）若点A（﹣4，0）．
①当点B为（﹣3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，0），P3（1，0），P4（2，0）中，连接点A与点　 　的线段的长度就是d（AB，⊙O）；
②当点B为（﹣4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．
（2）若点A（﹣4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是　 　．

13．（2021秋•朝阳区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 　 　；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．

一十一．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2021秋•朝阳区期末）已知：如图，A为⊙O上的一点．
求作：过点A且与⊙O相切的一条直线．
作法：
①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知BO＝BA＝BP．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴∠OAP＝90°（ 　 　）（填推理的依据）．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切（ 　 　）（填推理的依据）．

15．（2022秋•朝阳区期末）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及圆上一点A．
求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点．

作法：如图2，
①连接OA并延长到点C；
②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线OA上方）；
③以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；
④连接CD并延长，交⊙D于点B，作直线AB．
直线AB就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接AD．
∵　 　＝AD
∴点C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直径．
∴　 　＝90°．（ 　 　）
∴AB⊥　 　．
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．（ 　 　）

一十二．几何变换综合题（共2小题）
16．（2021秋•朝阳区期末）在等边△ABC中，将线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AD．
（1）若线段DA的延长线与线段BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；
（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．

17．（2022秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（x，y）．对于点P的变换线段给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N，称线段MN为点P的变换线段．
已知线段MN是点P的变换线段．
（1）若点P（2，1），则点M的坐标为 　 　，点N的坐标为 　 　；
（2）若点P到点（2，2）的距离为1．
①PM﹣PN的最大值为 　 　；
②当点O到直线MN的距离最大时，点P的坐标为 　 　．

一十三．列表法与树状图法（共1小题）
18．（2021秋•朝阳区期末）一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P1；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P2．
请你猜想P1，P2的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．

北京市朝阳区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．根的判别式（共1小题）
1．（2022秋•朝阳区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵依题意，得Δ＝16﹣4（2m﹣1）＞0．
∴m＜，
即m的取值范围是m＜；

（2）∵m为正整数，
∴m＝1或2，
当m＝1时，方程为x2﹣4x+1＝0的根不是整数；
当m＝2时，方程为x2﹣4x+3＝0的根x1＝1，x2＝3，都是整数．
综上所述，m＝2．
二．二次函数的性质（共1小题）
2．（2021秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx上．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求该抛物线的对称轴并比较y1，y2，y3的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范围．

【答案】（1）y1＞y3＞y2．
（2）＜t＜1．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵1﹣（﹣1）＞2﹣1＞1﹣1，
∴y1＞y3＞y2．
（2）把x＝0代入y＝ax2+bx得y＝0，
∴抛物线经过原点（0，0），
①a＞0时，抛物线开口向上，

∵y2＜0，
∴t＞0，
当y3＝y1时，t＝＝，
∵y3＜y1，
∴t＞，
当y3＝0时，t＝＝1，
∴＜t＜1满足题意．
②a＜0时，抛物线开口向下，
∵y2＜0，
∴t＜0，
∴x＞0时，y随x增大而减小，
∴y3＜y2，不符合题意．
综上所述，＜t＜1．
三．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
3．（2022秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m），（4，n）在抛物线y＝ax2﹣2x（a＞0）上．
（1）当a＝1时，求m，n的值；
（2）点（x0，t）在此抛物线上，若存在0≤x0≤1，使得m＜t＜n，求a的取值范围．

【答案】（1）m＝0，n＝8；
（2）a的取值范围是．
【解答】解：（1）当a＝1时，函数表达式为y＝x2﹣2x，
∵点（2，m），（4，n）在抛物线y＝x2﹣2x上．
∴m＝0，n＝8；
（2）∵点（2，m），（4，n）在抛物线y＝ax2﹣2x（a＞0）上，
∴m＝4a﹣4，n＝16a﹣8，
∵m＜n，
∴4a﹣4＜16a﹣8，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∵a＞0，
∴．
当时，
当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝a﹣2．
∵0≤x0≤1，y随x的增大而减小，
∴a﹣2＜0．
∵m＜t＜n，
∴4a﹣4＜0且16a﹣8＞a﹣2．
∴．
当时，总有t≤m＜n，不符合题意．
综上，a的取值范围是．
四．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
4．（2020秋•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），点P是线段AB上的动点．
（1）①m＝　2　；
②求抛物线的解析式．
（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2+bx﹣3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标．

【答案】（1）①2；②y＝x2﹣2x﹣3；
（2）（，﹣）．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），
∴将点B（m，﹣3）代入直线y＝﹣x﹣1，得﹣m﹣1＝﹣3，
解得m＝2，
故答案为：2；
②由①知：B（2，﹣3），
∵点A（﹣1，0），B（2，﹣3）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的横坐标为x，其中﹣1≤x≤2，
∴点P（x，﹣x﹣1），点Q（x，x2﹣2x﹣3），
∴PQ＝﹣x2+x+2，
∴当x＝时，PQ最大，
此时点P的坐标为（，﹣）．
5．（2020秋•朝阳区期末）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为　直线x＝﹣1　；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【答案】（1）直线x＝﹣1；
（2）y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+；
（3）当a＞0时，m＜﹣4或m＞2；当a＜0时，﹣4＜m＜2．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
解得a＝﹣1或a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），
①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
6．（2022秋•朝阳区期末）已知二次函数几组x与y的对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
3
4
…
y
…
12
5
0
﹣4
0
5
…
（1）求此二次函数的表达式；
（2）直接写出当x取何值时，y≤0．
【答案】（1）该二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）当﹣1≤x≤3时，y≤0．
【解答】解：（1）由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（1，﹣4），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
将（﹣1，0）代入得4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）由表格中数据知，当x＝﹣1和3时，y＝0，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴当﹣1≤x≤3时，y≤0．
六．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022秋•朝阳区期末）一位运动员在距篮圈中心（点C）水平距离5m处竖直跳起投篮（A为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为3m时，达到最高点（点B），此时高度为3.85m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心（点C）到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.75m，在这次跳投中，球在头顶上方0.15m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？

【答案】球出手时，他跳离地面的高度是0.15m．
【解答】解：以地面为x轴，过B点垂直于地面的直线为x轴，与地面的交点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：

由题意得，B（0，3.85），C（2，3.05），
∴设抛物线解析式为y＝ax2+3.85，
把点C坐标代入解析式得：4a+3.85＝3.05，
解得a＝﹣0.2，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.2x2+3.85，
设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
根据题意可知，h+1.75+0.15＝﹣0.2×9+3.85
解得h＝0.15．
答：球出手时，他跳离地面的高度是0.15m．
七．三角形综合题（共2小题）
8．（2020秋•朝阳区期末）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．
①求证：∠BDP＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．

【答案】（1）①证明过程见解析；
②BC﹣BD＝BP．
（2）BD﹣BC＝BP．
【解答】解：（1）①补全图形如图1，

证明：如图1，设PD与BC的交点为点E，
根据题意可知，∠CPD＝90°，
∵BC⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∴∠BDP+∠BED＝∠PCB+∠PEC＝90°，
∴∠BDP＝∠PCB；
②BC﹣BD＝BP．
证明：如图2，过点P作PF⊥BP交BC于点F，

∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴BP＝BF，∠PFB＝45°，
∴∠PBD＝∠PFC＝135°，
又∵∠BDP＝∠PCF，
∴△BPD≌△FPC（AAS），
∴BD＝FC，
在等腰直角△BPF中，BF＝BP，
∴BC﹣BD＝BP．
（2）BD﹣BC＝BP．
证明：如图3，过点P作PM⊥PB交BD于点M，

由（1）可知∠ABC＝∠PBM＝45°，
∴∠PBM＝∠PMB＝45°，
∴PB＝PM，∠PBC＝∠PCB＝135°，
同（1）可得∠PDB＝∠PCB，
∴△PMD≌△PBC（AAS），
∴DM＝BC，
∵PB＝PM，∠BPM＝90°，
∴BM＝PB，
∴BD﹣DM＝BM＝BD﹣BC＝PB．
9．（2022秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）

【答案】（1）∠B＝∠ACD；
（2）①DM＝EM；
②b﹣a．
【解答】解：（1）∠B＝∠ACD，理由如下：
由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，
∴∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，
∵∠A＝α，
∴∠B+∠BCA＝180°﹣α，
∴∠B＝∠ACD；
（2）①DM＝EM，理由如下：
在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，
∵BC＝CD，∠B＝∠ACD，
∴△CDM≌△BCN（ASA），
∴CN＝DM，
∵∠CMD＝∠E+∠BEM，∠BNC＝∠ACN+∠A，
又∵∠ECM＝∠A＝α，
∴∠E＝∠ACN，
∴△ECM≌△CAN（ASA），
∴CN＝EM，
∴DM＝EM；
②由①可知，CM＝BN，CM＝AN，
∴CM＝AN＝BN＝AB＝a，
∴AM＝AC﹣CM＝b﹣a．

八．垂径定理的应用（共1小题）
10．（2022秋•朝阳区期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1m的圆，如图所示，若水面宽AB＝0.8m，求水的最大深度．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作OC⊥AB于点C，连接OA，

∴∠ACO＝90°，，
∵AB＝0.8m，
∴AC＝0.4m，
∵直径为1m，
∴OA＝0.5m，
在Rt△ACO中，根据勾股定理，得（m），
∴0.3+0.5＝0.8（m），
∴水的最大深度为0.8m．
九．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2020秋•朝阳区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．

【答案】（1）见解析；
（2）1．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，CD，
∵∠CDA＝30°，
∴∠AOC＝2∠CDA＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴由（1）可得，四边形ACDO是菱形，
∴CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，
∴CE＝1．

一十．圆的综合题（共2小题）
12．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为d（AB，⊙O）．
（1）若点A（﹣4，0）．
①当点B为（﹣3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，0），P3（1，0），P4（2，0）中，连接点A与点　P3　的线段的长度就是d（AB，⊙O）；
②当点B为（﹣4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．
（2）若点A（﹣4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是　4+1≤d（AB，⊙O）≤4+2　．

【答案】（1）①P3．
②A′（，﹣）．
（2）4+1≤d（AB，⊙O）≤4+2．
【解答】解：（1）①根据线段AB到⊙O的“极大距离”的定义可知：
连接点A与点P3的线段的长度就是d（AB，⊙O），
故答案为：P3．

②如图1中，设A′B′交x轴于M，连接OA′．

∵OM⊥A′B′，
∴A′M＝B′M＝，
∴OM＝＝＝，
∴A′（，﹣）．

（2）如图2中，由题意，点B的运动轨迹是以A为圆心，1为半径的⊙A．

当线段BA平移到B′A′时，d（AB，⊙O）的值最大，最大值＝4+2，
当线段AB平移到A′B′时，d（AB，⊙O）的值最小，最小值＝4+1，
∴4+1≤d（AB，⊙O）≤4+2．
故答案为：4+1≤d（AB，⊙O）≤4+2．
13．（2021秋•朝阳区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 　B、C　；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．

【答案】（1）A、B、C；
（2）a＝或1≤a≤2；
（3）或3≤r≤9．
【解答】解：（1）①如图1，

∵点A到ON的最大距离是2，到ON的最小距离是0，
∴点A不是ON的二分点，
∵OB＝，BN＝2，
∴BN＝2OB，
∴B点是ON的二分点，
∵CD＝1，OC＝2，
∴点C是ON的二分点，
故答案为：B、C；
②如图2，

当OC＝2是最小值时，最大值是OD＝4，
∴（a﹣）2+1＝42，
∴a1＝（舍去），a2＝，
当最小值是1时，a≥，
最大值是2时，
∵OC＝2，
∴a≤2，
∴
综上所述：a＝或≤a≤2；
（2）如图3，

当点A在⊙O外时，设点M在AN上，M（x，0），（1≤x≤3），
假设M是⊙O的二分点，
∴x+r＝2（x﹣r），
∴x＝3r，
∴1≤3r≤3，
∴≤r≤1；
如图4，

点M在⊙O内，
∴x+r＝2（r﹣x），
∴x＝，
∴1≤≤3，
∴3≤r≤9，
综上所述：或3≤r≤9．
一十一．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2021秋•朝阳区期末）已知：如图，A为⊙O上的一点．
求作：过点A且与⊙O相切的一条直线．
作法：
①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知BO＝BA＝BP．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴∠OAP＝90°（ 　直径所对的圆周角是直角　）（填推理的依据）．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切（ 　过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线　）（填推理的依据）．

【答案】（1）作图见解析部分；
（2）直径所对的圆周角是直角，过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
【解答】解：（1）如图，直线PA即为所求；

（2）连接BA．
由作法可知BO＝BA＝BP．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴∠OAP＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切（过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
15．（2022秋•朝阳区期末）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及圆上一点A．
求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点．

作法：如图2，
①连接OA并延长到点C；
②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线OA上方）；
③以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；
④连接CD并延长，交⊙D于点B，作直线AB．
直线AB就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接AD．
∵　CD　＝AD
∴点C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直径．
∴　∠BAC　＝90°．（ 　直径所对的圆周角是90°　）
∴AB⊥　AC　．
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．（ 　过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线　）

【答案】CD，∠BAC，直径所对的圆周角是90°，OA，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线．
【解答】证明：如图：连接AD，

∵CD＝AD
∴点C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直径．
∴∠BAC＝90°（直径所对的圆周角是90°），
∴AB⊥AC，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线，（过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线），
故答案为：CD，∠BAC，直径所对的圆周角是90°，OA，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线．
一十二．几何变换综合题（共2小题）
16．（2021秋•朝阳区期末）在等边△ABC中，将线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AD．
（1）若线段DA的延长线与线段BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；
（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）可得：120°＜α＜180°；
（2）①图形见解答；
②AE＝AF+CE，过程详见解答．
【解答】解：如图，

从图可得：120°＜α＜180°；
（2）①如图2，

②如图3，

AE＝AF+CE，理由如下：
作∠ACG＝∠D交AE于G，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠D，
设∠ABD＝∠D＝∠ACG＝β，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴AD＝AC，
在△ADF和△ACG中，
，
∴△ADF≌△ACG（ASA），
∴AF＝AG，
∴AE＝AG+GE＝AF+GE，
在△BDE中，
∠BED＝180°﹣∠D﹣∠DBE＝180°﹣β﹣（60°+β）＝120°﹣2β，
∴∠CGE＝∠BED﹣∠ECG＝（120°﹣2β）﹣（60﹣β）＝60°﹣β，
∴∠CGE＝∠ECG，
∴EG＝CE，
∴AE＝AF+CE．
17．（2022秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（x，y）．对于点P的变换线段给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N，称线段MN为点P的变换线段．
已知线段MN是点P的变换线段．
（1）若点P（2，1），则点M的坐标为 　（﹣2，﹣1）　，点N的坐标为 　（﹣1，0）　；
（2）若点P到点（2，2）的距离为1．
①PM﹣PN的最大值为 　　；
②当点O到直线MN的距离最大时，点P的坐标为 　（2+，2﹣）或（2﹣，2+）　．

【答案】（1）（﹣2，﹣1），（﹣1，0）；
（2）①；
②（2+，2﹣）或（2﹣，2+）．
【解答】解：（1）∵点P关于原点的对称点为M，
∴M（﹣2，﹣1），
∵将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N，
∴N（﹣1，0），
故答案为：（﹣2，﹣1），（﹣1，0）；
（2）设点P（a，b），则点M（﹣a，﹣b），点N（﹣a+1，﹣b+1），
①∵PM﹣PN＜MN，
∴当点P，点N，点M三点共线时，PM﹣PN的最大值为MN的长，
∵点M（﹣a，﹣b），点N（﹣a+1，﹣b+1），
∴MN＝＝，
故答案为：；
②设点E坐标为（2，2），
∵点P到点（2，2）的距离为1．
∴点P在以点E（2，2）为圆心，1为半径的圆上运动，
设直线MN的解析式为y＝kx+n，
∵点M（﹣a，﹣b），点N（﹣a+1，﹣b+1），
∴k＝1，
∴直线MN的解析式为y＝x+n，
如图，当直线MN与⊙E相切于点P时，点O到直线MN的距离最大，直线MN于x轴交于点F，过点E作ED⊥x轴于D，交MN于G，过点P作PH⊥EG于H，

∵直线MN的解析式为y＝x+n，
∴∠GFD＝45°，
∴∠FGD＝∠EGP＝45°，
∵MN与⊙E相切于点P，
∴∠EPG＝90°，
∴∠PEH＝45°，
∵PH⊥EG，
∴∠EPH＝∠PEH＝45°，
∴EH＝PH＝EP＝，
∴点P（2+，2﹣），
如图，当直线MN与⊙E相切于点P'时，同理可求点P'（2﹣，2+），
故答案为：（2+，2﹣）或（2﹣，2+）．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
18．（2021秋•朝阳区期末）一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P1；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P2．
请你猜想P1，P2的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
【答案】P1＜P2，理由见解析．
【解答】解：猜想P1＜P2，理由如下：
活动1，画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，
∴P1＝＝；
活动2，画树状图如下：

共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴P2＝，
∵＝＜，
∴P1＜P2．