北京市门头沟区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类

这是一份北京市门头沟区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共22页。试卷主要包含了﹣1，计算，是反比例函数y＝的图象上的一点，已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3等内容，欢迎下载使用。
北京市门头沟区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共3小题）
1．（2020秋•门头沟区期末）计算：（2﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
2．（2021秋•门头沟区期末）计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0．
3．（2022秋•门头沟区期末）计算：．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
4．（2020秋•门头沟区期末）如图，点P（﹣3，1）是反比例函数y＝的图象上的一点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）设直线y＝kx与双曲线y＝的两个交点分别为P和P′，当＞kx时，直接写出x的取值范围．

5．（2021秋•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n）．
（1）求反比例函数y＝的解析式；
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．

三．二次函数的性质（共2小题）
6．（2020秋•门头沟区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

7．（2022秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+1（a＜0）上，其中x1＜x2，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当t＝1时，如果y1＝y2＝1，直接写出x1，x2的值；
（2）当x1＝﹣1，x2＝3时，总有y2＜y1＜1，求t的取值范围．

四．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2020秋•门头沟区期末）已知：抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和B（4，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G1：y＝ax2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
9．（2021秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；
（3）如果A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）三点均在抛物线y＝ax2﹣2ax+4上，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．

六．抛物线与x轴的交点（共2小题）
10．（2021秋•门头沟区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
4
…

y
…
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…

（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标．
11．（2022秋•门头沟区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当y＜0时，直接写出x的取值范围．

七．二次函数的应用（共1小题）
12．（2022秋•门头沟区期末）某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为x（单位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度y/m
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…
请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；

（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 　 　m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高1.6m的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 　 　m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）

八．切线的性质（共2小题）
13．（2020秋•门头沟区期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，AB＝BE，PD切⊙O于点D，交EB于点C，连接AE，点D在AE上．
（1）求证：BE⊥PC；
（2）连接OC，如果PD＝，∠ABC＝60°，求OC的长．

14．（2021秋•门头沟区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝8，求EF的长．

九．切线的判定与性质（共1小题）
15．（2022秋•门头沟区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果，DE＝1，求AB的长．

一十．相似三角形的判定（共2小题）
16．（2021秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行．添加一个条件　 　，使得△CDE∽△CAB，然后再加以证明．

17．（2022秋•门头沟区期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，连接CD．请添加一个条件 　 　，使得△ACD∽△ABC，然后再加以证明．


北京市门头沟区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2020秋•门头沟区期末）计算：（2﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
【答案】4．
【解答】解：原式＝1+﹣2×+3
＝1+﹣+3
＝4．
2．（2021秋•门头沟区期末）计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0．
【答案】3+4．
【解答】解：原式＝2×+2+5﹣1
＝+2+5﹣1
＝3+4．
3．（2022秋•门头沟区期末）计算：．
【答案】3．
【解答】解：
＝1+4×﹣2+2
＝1+2﹣2+2
＝3．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
4．（2020秋•门头沟区期末）如图，点P（﹣3，1）是反比例函数y＝的图象上的一点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）设直线y＝kx与双曲线y＝的两个交点分别为P和P′，当＞kx时，直接写出x的取值范围．

【答案】（1）y＝﹣；
（2）﹣3＜x＜0或x＞3．
【解答】解：（1）把P（﹣3，1）代入y＝得m＝﹣3×1＝﹣3，
所以反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）∵直线y＝kx与双曲线y＝的两个交点分别为P和P′，P（﹣3，1），
∴P′的坐标为（3，﹣1），
当＞kx时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞3．
5．（2021秋•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n）．
（1）求反比例函数y＝的解析式；
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝﹣2x的图象上．
∴n＝﹣2×（﹣1）＝2
∴点A的坐标为（﹣1，2）
∵点A在反比例函数的图象上．
∴k＝﹣2
∴反比例函数的解析式是y＝﹣．
（2）方法一：
∵A（﹣1，2），
∴OA＝＝，
∵点P在坐标轴上，
∴当点P在x轴上时设P（x，0），
∵PA＝OA，
∴＝，解得x＝﹣2；
当点P在y轴上时，设P（0，y），
∴＝，解得y＝4；
当点P在坐标原点，则P（0，0）．
∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．
方法二：过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，如图，
①当P在原点时，满足PA＝OA，则P点（0，0）；
②当P在x轴上时，
∵PA＝OA，AB⊥OP，A点坐标为（﹣1，2）
∴OB＝1，OP＝2OB＝2，
∴P（﹣2，0），
③当P在y轴上时，
∵PA＝OA，AC⊥OC，A点坐标为（﹣1，2）
∴OC＝2，OP＝2OC＝4，
∴P（0，4），
∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．

三．二次函数的性质（共2小题）
6．（2020秋•门头沟区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
（2）顶点（1，﹣4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
x1＝﹣1，x2＝3，
∴与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0），

7．（2022秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+1（a＜0）上，其中x1＜x2，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当t＝1时，如果y1＝y2＝1，直接写出x1，x2的值；
（2）当x1＝﹣1，x2＝3时，总有y2＜y1＜1，求t的取值范围．

【答案】（1）x1＝0，x2＝2；
（2）＜t＜1．
【解答】解：（1）根据题意知，当x＝0时，y＝1，
∵抛物线的对称轴x＝1，
∴（0，1）关于对称轴对称的点为（2，1），
∵y1＝y2＝1，且x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）根据题意知，当x＝0时，y＝1，
∵a＜0，图象开口向下，满足﹣1＜0，对应y1＜1，
∴t＞，
∴t＞，
∴点M（﹣1，y1）关于对称轴对称的点为M′（2t+1，y1），
∵a＜0，图象开口向下，﹣1＜3，且y2＜y1，
∴2t+1＜3，解得t＜1，
∴＜t＜1．
四．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2020秋•门头沟区期末）已知：抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和B（4，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G1：y＝ax2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3．
（2）≤a＜．
【解答】解：（1）把A（2，﹣3）和B（4，5）分别代入y＝x2+bx+c，
得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．
∴顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．
∴对称轴为直线x＝1，
∵B（4，5），
∴B点关于对称轴的对称点E点坐标为（﹣2，5），
当G2过E点时，代入E（﹣2，5），则a＝，
当G2过B点时，代入B（4，5），则a＝，
所以a的取值范围为≤a＜．
五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
9．（2021秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；
（3）如果A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）三点均在抛物线y＝ax2﹣2ax+4上，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）直线x＝1，顶点坐标为（1，4﹣a）；
（2）y＝4x2﹣8x+4；
（3）m的取值范围是0＜m＜．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+4＝a（x﹣1）2﹣a+4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4﹣a）；
（2）∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
∴方程ax2﹣2ax+4＝0有两个相等的根，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×4＝0，
解得a＝4或a＝0（不符合题意，舍去），
∴抛物线的表达式为y＝4x2﹣8x+4；
（3）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵A（m﹣1，y1）、B（m，y2）、C（m+2，y3）为该抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴，
解得0＜m＜．
∴m的取值范围是0＜m＜．
六．抛物线与x轴的交点（共2小题）
10．（2021秋•门头沟区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
4
…

y
…
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…

（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），（1，﹣4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（0，﹣3）代入得a（0﹣1）2﹣4＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
即该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
11．（2022秋•门头沟区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当y＜0时，直接写出x的取值范围．

【答案】（1）该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）该二次函数图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）；
（3）x的取值范围为﹣1＜x＜3．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴该二次函数图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）；
（3）∵抛物线开口向上，与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∴当y＜0时，x的取值范围为﹣1＜x＜3．
七．二次函数的应用（共1小题）
12．（2022秋•门头沟区期末）某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为x（单位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度y/m
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…
请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；

（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 　3.2　m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高1.6m的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 　1或9　m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）

【答案】（1）画图象见解答过程；
（2）3.2；
（3）y＝﹣0.1x2+x+0.7；
（4）1或9．
【解答】解：（1）描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：

（2）由图象可得，水柱最高点距离地面的垂直高度为3.2m，
故答案为：3.2；
（3）设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，将（0，0.7），（1，1.6），（2，2.3）代入得：
，
解得，
∴二次函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+0.7；
（4）在y＝﹣0.1x2+x+0.7中，令y＝1.6得：
﹣0.7x2+x+0.7＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴石柱距喷水枪的水平距离为1m或9m，
故答案为：1或9．
八．切线的性质（共2小题）
13．（2020秋•门头沟区期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，AB＝BE，PD切⊙O于点D，交EB于点C，连接AE，点D在AE上．
（1）求证：BE⊥PC；
（2）连接OC，如果PD＝，∠ABC＝60°，求OC的长．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【解答】证明：连接OD，

∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠E，
∴OD∥BE，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∴BE⊥PC；
（2）解：∵OD∥BE，∠ABC＝60°，
∴∠DOP＝∠ABC＝60°，
∵PD⊥OD，
∴tan∠DOP＝，
∴，
∴OD＝2，
∴OP＝4，
∴PB＝6，
∴sin∠ABC＝，
∴，
∴PC＝3，
∴DC＝，
∴DC2+OD2＝OC2，
∴（）2+22＝OC2，
∴OC＝．
14．（2021秋•门头沟区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝8，求EF的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OD，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO＝90°，
∵CD是⊙O的切线，D为切点，
∴∠CDO＝90°，
∴∠ADC+∠ADO＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠AOF＝∠ADC；
（2）∵OF⊥AD，BD⊥AD，
∴OF∥BD，
OF∥BD，AO＝OB，
∴AE＝DE，
∴OE＝BD＝8＝4，
∵sinC＝＝，
∴设OD＝x，OC＝3x，
∴OB＝x，
∴CB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝6，
∴EF＝OF﹣OE＝6﹣4＝2．

九．切线的判定与性质（共1小题）
15．（2022秋•门头沟区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果，DE＝1，求AB的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）AB＝．
【解答】（1）证明：连接OD；

∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEC；
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
即DE⊥OD，
又∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵＝tanC＝，
∴＝，
∴EC＝2，
∴DC＝，
∵DE⊥OD，CE⊥OD，
∴OD∥AC，
∵O为AB的中点，
∴D为BC的中点，
∴BD＝，
连接AD，

∵，
∴AD＝，
∴AB＝．
一十．相似三角形的判定（共2小题）
16．（2021秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行．添加一个条件　∠CDE＝∠A　，使得△CDE∽△CAB，然后再加以证明．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：添加条件为：∠CDE＝∠A，
理由：∵∠C＝∠C，
∠CDE＝∠A，
∴△CDE∽△CAB．
故答案为：∠CDE＝∠A．
17．（2022秋•门头沟区期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，连接CD．请添加一个条件 　∠ACD＝∠B（答案不唯一）　，使得△ACD∽△ABC，然后再加以证明．

【答案】∠ACD＝∠B（答案不唯一）．
【解答】解：添加∠ACD＝∠B，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故答案为：∠ACD＝∠B（答案不唯一）．