北京市门头沟区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份北京市门头沟区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共36页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
北京市门头沟区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2022秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k（x+2）﹣1（k＞0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象的一个交点为A（﹣2，n）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，一次函数y＝k（x+2）﹣1（）的值大于反比例函数（m≠0）的值，直接写出k的取值范围．

二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1•x2＝y1•y2时，称点N是点M的等积点．已知点M（1，2）．
（1）在Q1（6，3），Q2（3，﹣1），Q3（﹣4，﹣2）中，点M的等积点是 　 　；
（2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标；
（3）已知点P（6，2），Q（2，a），⊙Q的半径为1，连接MP，点A在线段MP上．如果在⊙Q上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．

三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021秋•门头沟区期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边DC和DA足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB和BC两边）．设AB＝xm，S矩形ABCD＝ym2．
（1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形花园的面积为192m2时，求AB的长；
（3）如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙DC和DA的距离分别是15m和6m，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．

四．三角形综合题（共2小题）
4．（2021秋•门头沟区期末）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．

5．（2022秋•门头沟区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交AC于点F．
（1）如图1，当AC＝BC时，
①依题意补全图1，猜想∠ADC与∠CAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BF，EF的数量关系，并证明．
（2）如图2，当AC＝mBC（m＞0）时，直接用含m的等式表示线段BF，EF的数量关系．


五．四边形综合题（共1小题）
6．（2020秋•门头沟区期末）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：EG＝BC；
（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：　 　．

六．圆的综合题（共3小题）
7．（2020秋•门头沟区期末）在数学课上，老师布置了一项作图任务，如下：
已知：如图1，在△ABC中，AC＝AB，请在图中的△ABC内（含边），画出使∠APB＝45°的一个点P（保留作图痕迹），小红经过思考后，利用如下的步骤找到了点P：
（1）以AB为直径，作⊙M，如图2；
（2）过点M作AB的垂线，交⊙M于点N；
（3）以点N为圆心，NA为半径作⊙N，分别交CA、CB边于F、K，在劣弧上任取一点P即为所求点，如图3．

问题：
在（2）的操作中，可以得到∠ANB＝　 　°（依据：　 　）．
在（3）的操作中，可以得到∠APB＝　 　°（依据：　 　）．
8．（2020秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C我们给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们成为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”；若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”．
已知：点A（﹣2，0），点B（1，1）：
（1）在点R（3，5），S（3，﹣2），T（﹣4，﹣3）中，与点A，B为等距点的是　 　；
（2）点P（0，t）为y轴上一动点，若A，B，P三点为等距点，t的值为　 　；
（3）已知点D（2，0），有一半径为1，圆心为（0，m）的⊙M，若⊙M上存在点Q，使得A，D，Q三点为等距点，直接写出m的取值的范围．
9．（2021秋•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，C（0，2），⊙C的半径为1．如果将线段AB绕原点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）后的对应线段A'B'所在的直线与⊙C相切，且切点在线段A′B′上，那么线段AB就是⊙C的“关联线段”，其中满足题意的最小α就是线段AB与⊙C的“关联角”．
（1）如图1，如果A（2，0），线段OA是⊙C的“关联线段”，那么它的“关联角”为 　 　°．
（2）如图2，如果A1（﹣3，3）、B1（﹣2，3），A2（1，1）、B2（3，2），A3（3，0）、B3（3，﹣2）．
那么⊙C的“关联线段”有 　 　（填序号，可多选）．
①线段A1B1
②线段A2B2
③线段A3B3

（3）如图3，如果B（1，0）、D（t，0），线段BD是⊙C的“关联线段”，那么t的取值范围是 　 　．
（4）如图4，如果点M的横坐标为m，且存在以M为端点，长度为的线段是⊙C的“关联线段”，那么m的取值范围是 　 　．

七．作图—复杂作图（共2小题）
10．（2021秋•门头沟区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．
求作：⊙O，使得⊙O是△ABC的外接圆．
作法：①如图2，作∠BAC的平分线交BC于D；
②作线段AB的垂直平分线EF；
③EF与AD交于点O；
④以点O为圆心，以OB为半径作圆．
∴⊙O就是所求作的△ABC的外接圆．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）：
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠DAC，
∴　 　．
∵AB的垂直平分线EF与AD交于点O，
∴OA＝OB，OB＝OC．（　 　）（填推理的依据）
∴OA＝OB＝OC．
∴⊙O就是△ABC的外接圆．

11．（2022秋•门头沟区期末）下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O．
求作：等边△ABC，使得等边△ABC内接于⊙O．
作法：①如图2，作半径OM；图1
②以M为圆心，OM长为半径作弧，交⊙O于点A，B，连接AB；
③以B为圆心，AB长为半径作弧，交⊙O于点C；
④连接AC，BC．
∴△ABC就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，MA，MB．
由作图可知MA＝MB＝OM＝OA＝OB，
∴△OAM，△OBM是等边三角形．
∴∠AOM＝∠BOM＝　 　°．
∴∠AOB＝120°．
∵，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°．（ 　 　）（填推理的依据）
∵BC＝BA，
∴△ABC是等边三角形．

八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
12．（2021秋•门头沟区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC＝4，BC＝3，求BD的长．

13．（2022秋•门头沟区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CA＝CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．
（1）求证：△ABC∽△DBE；
（2）如果BC＝5，BE＝3，求AC的长．

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
14．（2020秋•门头沟区期末）数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米，求旗杆AB的高度．

15．（2021秋•门头沟区期末）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行70m到达点E处，在点E处测得塔顶M的仰角为60°．求永定楼的高MF．（结果保留根号）
16．（2022秋•门头沟区期末）定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为45°，定都阁底端B的俯角β为60°，此时无人机到地面的垂直距离PC为米，求定都阁的高AB．（结果保留根号）


北京市门头沟区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2022秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k（x+2）﹣1（k＞0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象的一个交点为A（﹣2，n）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，一次函数y＝k（x+2）﹣1（）的值大于反比例函数（m≠0）的值，直接写出k的取值范围．

【答案】（1）反比例函数的解析式为：y＝；
（2）k的取值范围是k≥1．
【解答】解：（1）对于y＝k（x+2）﹣1（k＞0），当x＝﹣2时，y＝﹣1，
∴一次函数y＝k（x+2）﹣1（k＞0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象的一个交点为A（﹣2，﹣1），
∴m＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）解方程组，得或，
由题意得：0＜≤1，
解得：k≥1，
则k的取值范围是k≥1．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1•x2＝y1•y2时，称点N是点M的等积点．已知点M（1，2）．
（1）在Q1（6，3），Q2（3，﹣1），Q3（﹣4，﹣2）中，点M的等积点是 　Q1，Q3　；
（2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标；
（3）已知点P（6，2），Q（2，a），⊙Q的半径为1，连接MP，点A在线段MP上．如果在⊙Q上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．

【答案】（1）Q2，Q3；
（2）N（2，1）或（﹣2，﹣1）；
（3）a的范围是≤a≤6+．
【解答】解：（1）∵1×6＝2×3，
∴Q1（6，3）是点M（1，2）的等积点；
∵1×3≠2×（﹣1），
∴Q2（3，﹣1）不是点M（1，2）的等积点；
∵1×（﹣4）＝（﹣2）×2，
∴Q3（﹣4，﹣2）是点M（1，2）的等积点，
故答案为：Q1，Q3；
（2）设N（m，），
∵点N是点M（1，2）的等积点，
∴m×1＝×2，
解得m＝2或m＝﹣2，
∴N（2，1）或（﹣2，﹣1）；
（3）∵点M（1，2），P（6，2），且点A在线段MP上，
∴点A的纵坐标为2，
设A（t，2）（1≤t≤6），点A的等积点H（x，y），
∴tx＝2y，即y＝x，
∴点A的等积点H在直线y＝x上，
∴在⊙Q上存在点A的等积点即是⊙Q与直线y＝x有公共点，
当t＝1，即A与M重合时，H在直线y＝x上，如图：

设H（p，p），
∵Q（2，a），HQ＝1，
∴（p﹣2）2+（p﹣a）2＝1，
化简整理得：p2﹣（a+4）p+a2+3＝0，
∵⊙Q与直线y＝x有公共点，
∴关于p的一元二次方程p2﹣（a+4）p+a2+3＝0总有实数根，
∴[﹣（a+4）]2﹣4×（a2+3）≥0，
解得≤a≤，
当t＝6，即A与P重合时，H在直线y＝3x上，如图：

设H（q，3q），
∵Q（2，a），HQ＝1，
∴（q﹣2）2+（3q﹣a）2＝1，
化简整理得：10q2﹣（6a+4）p+a2+3＝0，
∵⊙Q与直线y＝3x有公共点，
∴关于q的一元二次方程10q2﹣（6a+4）p+a2+3＝0总有实数根，
∴[﹣（6a+4）]2﹣4×10（a2+3）≥0，
解得6﹣≤a≤6+，
∴在⊙Q上存在点A的等积点，a的范围是≤a≤6+．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021秋•门头沟区期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边DC和DA足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB和BC两边）．设AB＝xm，S矩形ABCD＝ym2．
（1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形花园的面积为192m2时，求AB的长；
（3）如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙DC和DA的距离分别是15m和6m，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．

【答案】（1）y＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．
（2）AB长为16m或12m．
（3）花园面积最大值为195 m2．
【解答】解：（1）∵AB＝x，
∴BC＝28﹣x，
∴y＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x，
∵28﹣x＞0，
∴x＜28，
∴y与x的关系式为y＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．
（2）令y＝192，则﹣x2+28x＝192，
解得x＝16或x＝12，
∴AB长为16m或12m．
（3）∵点P在矩形内部，
∴，
解得6≤x≤13．
∵y＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
当x＜14时，y随x增大而增大，
∴x＝13时，y取最大值为﹣1+196＝195，
答：花园面积最大值为195 m2．
四．三角形综合题（共2小题）
4．（2021秋•门头沟区期末）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示：
猜想∠BAE＝∠BCD，理由如下：
∵CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
∴∠CDB＝∠CDA＝∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BAE＝∠BCD；
②AE＝CE+DE，理由如下：
作DG⊥DE，交AE于G，如图1﹣1所示：
则∠EDG＝90°＝∠CDA，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
由①得：∠DAG＝∠DCE，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴AG＝CE，DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG＝DE，
∵AE＝AG+EG，
∴AE＝CE+DE；
（2）依题意补全图形如图2所示：CE＝AE+DE，理由如下：
作DG⊥DE，交AE的延长线于G，
则∠EDG＝90°＝∠CDA，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同①得：∠DAG＝∠DCE，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴AG＝CE，DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG＝DE，
∵AG＝AE+EG，
∴CE＝AE+DE．



5．（2022秋•门头沟区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交AC于点F．
（1）如图1，当AC＝BC时，
①依题意补全图1，猜想∠ADC与∠CAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BF，EF的数量关系，并证明．
（2）如图2，当AC＝mBC（m＞0）时，直接用含m的等式表示线段BF，EF的数量关系．


【答案】（1）①作图证明见解析部分；
②结论：BF＝EF．证明见解析部分；
（2）结论：EF＝mBF．证明见解析部分．
【解答】解：（1）①图形如图1所示，结论：∠ADC＝∠CAE．

理由：过点E作EH⊥AC于点H．
∵AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∵∠EHA＝∠DAE＝∠ACD＝90°，
∴∠DAC+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，
∴∠DAC＝∠AEH，
在△EHA和△ACD中，
，
∴△EHA≌△ACD（AAS），
∴∠ADC＝∠CAE；

②结论：BF＝EF．
理由：∵△EHA≌△ACD，
∴AC＝EH，
∵BC＝AC，
∴BC＝EH，
在△EHF和△BCF中，
，
∴△EHF≌△BCF（AAS），
∴BF＝EF；

（2）结论：EF＝mBF．
理由：如图2中，过点E作EH⊥AC于点H．

同法可证△EHA≌△ACD，
∴AC＝EH，
∵∠EHF＝∠C＝90°，
∴EH∥BC，
∴△EHF∽△BCF，
∴＝＝＝，
∴EF＝mBF．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2020秋•门头沟区期末）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：EG＝BC；
（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：　AE+BG＝EG　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）补全图形，如图1所示：

（2）证明：连接BE，如图2：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ADC＝120°，
∴∠DCB＝60°．
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠DCA＝∠DCB＝30°，
又∠DEC＝50°，∠EDC＝100°，
由菱形的对称性可知，
∠EBC＝100°，
∠BEC＝50°，则∠GEB＝100°，
∴∠GEB＝∠CBE．
∵∠FBC＝50°，∴∠GBE＝50°，
∴∠EBG＝∠BEC．
在△GEB与△CBE中，
∴△GEB≌△CBE．
∴EG＝BC．
（3）由（2）得，EC＝BG，EG＝BC，
∴AE+BG＝AC，
在三角形ABC中，BA＝BC，∠BAC＝30°，
∴AC＝BC，
∴AE+BG＝EG．
六．圆的综合题（共3小题）
7．（2020秋•门头沟区期末）在数学课上，老师布置了一项作图任务，如下：
已知：如图1，在△ABC中，AC＝AB，请在图中的△ABC内（含边），画出使∠APB＝45°的一个点P（保留作图痕迹），小红经过思考后，利用如下的步骤找到了点P：
（1）以AB为直径，作⊙M，如图2；
（2）过点M作AB的垂线，交⊙M于点N；
（3）以点N为圆心，NA为半径作⊙N，分别交CA、CB边于F、K，在劣弧上任取一点P即为所求点，如图3．

问题：
在（2）的操作中，可以得到∠ANB＝　90　°（依据：　直径所对的圆周角等于90°　）．
在（3）的操作中，可以得到∠APB＝　45　°（依据：　同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半　）．
【答案】90，直径所对的圆周角等于90°，45，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
【解答】解：（1）连接NB，

∵AB是直径，
∴∠ANB＝90°（直径所对的圆周角等于90°），
（2）∵∠ANB＝2∠APB，
∴∠APB＝45°（同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
故答案为：90，直径所对的圆周角等于90°，45，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
8．（2020秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C我们给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们成为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”；若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”．
已知：点A（﹣2，0），点B（1，1）：
（1）在点R（3，5），S（3，﹣2），T（﹣4，﹣3）中，与点A，B为等距点的是　R　；
（2）点P（0，t）为y轴上一动点，若A，B，P三点为等距点，t的值为　﹣2或3　；
（3）已知点D（2，0），有一半径为1，圆心为（0，m）的⊙M，若⊙M上存在点Q，使得A，D，Q三点为等距点，直接写出m的取值的范围．
【答案】（1）R；
（2）﹣2或3；
（3）3≤m≤5或﹣5≤m≤﹣3．
【解答】解：（1）根据正方点的定义，可知点R与A、B是等距点，
故答案为R；
（2）由题意：t﹣0＝1﹣（﹣2）或1﹣t＝1﹣（﹣2），
解得t＝3或﹣2，
故答案为﹣2或3；
（3）如图，

∵点A（﹣2，0），点D（2，0），
∴与点A，点D成等距点的所有点所成的图形如图所示，
即在x轴上方时，当x＜﹣2时，是y＝﹣x+2图象，当﹣2≤x≤2时，是y＝4图象，当x＞2，是y＝x+2的图象；
在x轴下方时，当x＜﹣2时，是y＝x﹣2图象，当﹣2≤x≤2时，是y＝﹣4图象，当x＞2，是y＝﹣x﹣2的图象；
当⊙M与上面图象有交点时，⊙M上存在点Q，使得A，D，Q三点为等距点，
∴3≤m≤5或﹣5≤m≤﹣3．
9．（2021秋•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，C（0，2），⊙C的半径为1．如果将线段AB绕原点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）后的对应线段A'B'所在的直线与⊙C相切，且切点在线段A′B′上，那么线段AB就是⊙C的“关联线段”，其中满足题意的最小α就是线段AB与⊙C的“关联角”．
（1）如图1，如果A（2，0），线段OA是⊙C的“关联线段”，那么它的“关联角”为 　60　°．
（2）如图2，如果A1（﹣3，3）、B1（﹣2，3），A2（1，1）、B2（3，2），A3（3，0）、B3（3，﹣2）．
那么⊙C的“关联线段”有 　②③　（填序号，可多选）．
①线段A1B1
②线段A2B2
③线段A3B3

（3）如图3，如果B（1，0）、D（t，0），线段BD是⊙C的“关联线段”，那么t的取值范围是 　t≥　．
（4）如图4，如果点M的横坐标为m，且存在以M为端点，长度为的线段是⊙C的“关联线段”，那么m的取值范围是 　﹣2＜m≤4　．

【答案】（1）60；
（2）②③；
（3）t≥；
（4）﹣2＜m≤4．
【解答】解：（1）如图1，作OD与⊙C相切于点D，

∴CD⊥OD，
∵sin∠COD＝＝，
∴∠COD＝30°，
∴∠AOD＝60°，OD＝＜2，
∴OA的“关联角”为60°，
故答案为：60；
（2）如图2，连接OB1，OA2，OB2，OB3，

∵OB1＝3＞3，
∴A1B1绕O旋转无法与⊙C相切，
故A1B1不是⊙C的“关联线段”，
∵OA2＝，OB2＝，＜3＜，
∴A2B2是⊙C的“关联线段”，
∵OA3＝3，
∴A3B3是⊙C的“关联线段”，
故答案为：②③；
（3）如图3，

∴B点旋转路线在半径为1的⊙O上，
当OD与⊙C相切时，
由（1）知，OD＝，
∴当t≥时，线段BD是⊙C的“关联线段”，
故答案为：t≥；
（4）如图4，当m取最大值时，

M点运动最小半径是O到过（m，0）的直线l的距离是m，
∵CD＝1，M'D＝，
∴M'C＝2，
∴OM'＝4，
∴m的最大值为4，
如图5，当m取最小值时，

开始时存在ME与⊙C相切，
∵CE＝1，ME＝，
∴MC＝2，
∵0°＜α＜180°，
∴m＞﹣2，
综上，m的取值为﹣2＜m≤4，
故答案为：﹣2＜m≤4．
七．作图—复杂作图（共2小题）
10．（2021秋•门头沟区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．
求作：⊙O，使得⊙O是△ABC的外接圆．
作法：①如图2，作∠BAC的平分线交BC于D；
②作线段AB的垂直平分线EF；
③EF与AD交于点O；
④以点O为圆心，以OB为半径作圆．
∴⊙O就是所求作的△ABC的外接圆．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）：
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠DAC，
∴　AD是BC的垂直平分线　．
∵AB的垂直平分线EF与AD交于点O，
∴OA＝OB，OB＝OC．（　垂直平分线上的点到线段两端的距离相等　）（填推理的依据）
∴OA＝OB＝OC．
∴⊙O就是△ABC的外接圆．

【答案】（1）图形见解答；
（2）AD是BC的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠DAC，
∴AD是BC的垂直平分线．
∵AB的垂直平分线EF与AD交于点O，
∴OA＝OB，OB＝OC（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴OA＝OB＝OC．
∴⊙O就是△ABC的外接圆．
故答案为：AD是BC的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
11．（2022秋•门头沟区期末）下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O．
求作：等边△ABC，使得等边△ABC内接于⊙O．
作法：①如图2，作半径OM；图1
②以M为圆心，OM长为半径作弧，交⊙O于点A，B，连接AB；
③以B为圆心，AB长为半径作弧，交⊙O于点C；
④连接AC，BC．
∴△ABC就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，MA，MB．
由作图可知MA＝MB＝OM＝OA＝OB，
∴△OAM，△OBM是等边三角形．
∴∠AOM＝∠BOM＝　60　°．
∴∠AOB＝120°．
∵，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°．（ 　同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半　）（填推理的依据）
∵BC＝BA，
∴△ABC是等边三角形．

【答案】（1）见解答；
（2）60，同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
【解答】解：（1）如图：

△ABC即为所求；
（2）连接OA，OB，MA，MB，

由作图可知MA＝MB＝OM＝OA＝OB，
∴△OAM，△OBM是等边三角形，
∴∠AOM＝∠BOM＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°．（同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半），
∵，
∵BC＝BA，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：60，同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
12．（2021秋•门头沟区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC＝4，BC＝3，求BD的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD 是AB 边上的高，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
∴由勾股定理得 AB＝5
∵△ABC∽△CBD，
∴＝
∴BD＝＝＝
13．（2022秋•门头沟区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CA＝CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．
（1）求证：△ABC∽△DBE；
（2）如果BC＝5，BE＝3，求AC的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）AC的长是．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CD，
∴∠ACB＝∠E＝90，
∴CA＝CD，
∵∠A＝∠CDA，
∵∠BDE＝∠CDA，
∴∠A＝∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．
（2）解：∠E＝90°，BC＝5，BE＝3，
∴CE＝＝＝4，
∴DE＝4﹣CD＝4﹣AC，
∵△ABC∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝，
∴AC的长是．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
14．（2020秋•门头沟区期末）数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米，求旗杆AB的高度．

【答案】（5+5）米．
【解答】解：如图所示：
由题意可得，EN＝BF＝5米，EN⊥AB，
∵α为45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴AN＝EN＝5米，
∵tanβ＝＝＝tan60°＝，
解得：BN＝5，
则旗杆AB＝AN+BN＝（5+5）米．

15．（2021秋•门头沟区期末）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行70m到达点E处，在点E处测得塔顶M的仰角为60°．求永定楼的高MF．（结果保留根号）
【答案】（35+1.5）米．
【解答】解：由题意得：AB＝70米，CF＝1.5米，∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∵∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∴∠AMB＝30°，
∴∠AMB＝∠MAB，
∴MB＝AB＝70米，
在Rt△BCM中，∠MCB＝90°，∠MBC＝60°，
∴∠BMC＝30°．
∴BC＝BM＝35（米），
∴MC＝BC＝35（米），
∴MF＝CF+CM＝（35+1.5）米．
即永定楼的高MF为（35+1.5）米．
16．（2022秋•门头沟区期末）定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为45°，定都阁底端B的俯角β为60°，此时无人机到地面的垂直距离PC为米，求定都阁的高AB．（结果保留根号）

【答案】定都阁的高AB为（46﹣46）米．
【解答】解：如图：延长BA交PD于点E，

由题意得：
∠BEP＝90°，EB＝PC＝46米，∠EPA＝45°，∠EPB＝60°，
在Rt△EBP中，EP＝＝＝46（米），
在Rt△EAP中，AE＝EP•tan45°＝46×1＝46（米），
∴AB＝EB﹣AE＝（46﹣46）米，
∴定都阁的高AB为（46﹣46）米．