北京市西城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份北京市西城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共49页。试卷主要包含了2﹣8a的顶点为A，0＜h＜等内容，欢迎下载使用。
北京市西城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．根与系数的关系（共1小题）
1．（2022秋•西城区期末）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，且x1＞x2，若2x1＝x2+5，求m的值．
二．二次函数的性质（共1小题）
2．（2022秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t，且3a+2b+c＝0．
（1）当c＝0时，求t的值；
（2）点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）在抛物线上，若a＞c＞0，判断y1，y2与y3的大小关系，并说明理由．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2022秋•西城区期末）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 　 　，点P的坐标是 　 　；
（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．

四．二次函数综合题（共1小题）
4．（2021秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．
（1）若a＝1，
①点A到x轴的距离为 　 　；
②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；
（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．
五．三角形综合题（共2小题）
5．（2021秋•西城区期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．
（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；
②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；
（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．


6．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠APB＝45°，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接AQ．
（1）依题意，补全图形，并证明：AQ＝BP；
（2）求∠QAP的度数；
（3）若N为线段AB的中点，连接NP，请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系，并证明．

六．四边形综合题（共1小题）
7．（2020秋•西城区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE＝1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．
设CM＝x，矩形PMDN的面积为S．
（1）DM＝　 　（用含x的式子表示），x的取值范围是　 　；
（2）求S与x的函数关系式；
（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．

七．切线的性质（共1小题）
8．（2021秋•西城区期末）如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CDEF是矩形；
（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．

八．切线的判定与性质（共2小题）
9．（2021秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．

10．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点O是AC上一点，以O为圆心，OA长为半径作圆，使⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E．过点B作BF∥AC，交ED的延长线于点F．
（1）若AB＝4，求⊙O的半径；
（2）连接BO，求证：四边形BFEO是平行四边形．

九．圆的综合题（共3小题）
11．（2020秋•西城区期末）对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2）．
（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，）三点中，点A和点B的等距点是 　 　；
（2）已知直线y＝﹣2．
①若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 　 　；
②若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；
（3）记直线AB为直线l1，直线l2：y＝﹣x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．
12．（2021秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．
（1）如图，点A的坐标为（1，0）．
①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的 　 　倍特征点；
②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点 　 　是点A关于⊙O的倍特征点；
③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；
（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．

13．（2022秋•西城区期末）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．
（1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 　 　；
（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．
一十．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2021秋•西城区期末）问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；
②分别连接AE，BD并延长相交于点F；
③连接FC并延长交AB于点H．
所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．
（1）根据小芸的作法，补全图形；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，
∴∠ADB＝∠AEB＝　 　°．（ 　 　）（填推理的依据）
∴AE⊥BE，BD⊥AD．
∴AE，　 　是△ABC的两条高线．
∵AE，BD所在直线交于点F，
∴直线FC也是△ABC的高所在直线．
∴CH是△ABC中AB边上的高．

15．（2022秋•西城区期末）已知：点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°．
求作：直线l，使其过点C，并与⊙O相切．
作法：①连接OC；
②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于⊙O外一点D；
③作直线CD．
直线CD就是所求作直线l．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OB，BD，
∵OB＝OC＝BD＝CD，
∴四边形OBDC是菱形．
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝　 　°（ 　 　）（填推理的依据）．
∴四边形OBDC是正方形．
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD．
∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（ 　 　）（填推理的依据）．

一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）
16．（2020秋•西城区期末）借助网格画图并说理：
如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．
（1）补全图形；
（2）填空：∠BEC＝　 　°，理由是 　 　；
（3）判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；
（4）∠BAC　 　∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．

一十二．旋转的性质（共2小题）
17．（2021秋•西城区期末）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．

18．（2022秋•西城区期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，连接AE，BE，CE．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若△ACD是等边三角形，且∠ABC＝30°，AB＝3，BD＝5，求BE的长．

一十三．作图-旋转变换（共1小题）
19．（2020秋•西城区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．
（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝　 　°，AA'＝　 　；
（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；
②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．

一十四．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2021秋•西城区期末）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．
（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．
一十五．利用频率估计概率（共1小题）
21．（2022秋•西城区期末）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．

（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是 　 　，其中红球的个数是 　 　；
（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．


北京市西城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．根与系数的关系（共1小题）
1．（2022秋•西城区期末）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，且x1＞x2，若2x1＝x2+5，求m的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）m＝﹣4．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣9）
＝4m2﹣4m2+36
＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：解方程，得，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+3，x2＝m﹣3，
∵2x1＝x2+5，
∴2（m+3）＝m﹣3+5，
∴m＝﹣4．
二．二次函数的性质（共1小题）
2．（2022秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t，且3a+2b+c＝0．
（1）当c＝0时，求t的值；
（2）点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）在抛物线上，若a＞c＞0，判断y1，y2与y3的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）t＝；
（2）y2＜y3＜y1．
【解答】解：（1）∵3a+2b+c＝0，
∴当c＝0时，得3a+2b＝0，
∴b＝﹣，
∵y＝ax2+bx，对称轴为直线x＝t，
∴t＝﹣＝﹣＝；
（2）y2＜y3＜y1，
理由：∵3a+2b+c＝0，
∴b＝﹣，
∴t＝﹣＝﹣＝+，
∵a＞c＞0，
∴0＜＜，
∴，
∵点（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点的坐标是（2t+2，y1），
∴．
∴1＜3＜2t+2．
∵a＞0，
∴当x＞t时，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2022秋•西城区期末）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 　（0，70）　，点P的坐标是 　（40，30）　；
（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．

【答案】（1）（0，70），（40，30）；
（2）二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；
（3）运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
【解答】解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30），
故答案为：（0，70），（40，30）；
（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣+bx+c得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；
（3）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，

∵OC＝60m，
∴C（0，60），
设线段BC的关系式为y＝kx+m，则，
解得：，
所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60，
设M（a，﹣a2+a+70），则N（a，﹣a+60），
则MN＝﹣a2+a+70+a﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，
∵﹣＜0，
∴当a＝18时，MN有最大值，最大值为30.25，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
四．二次函数综合题（共1小题）
4．（2021秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．
（1）若a＝1，
①点A到x轴的距离为 　8　；
②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；
（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．
【答案】（1）①8．②4．
（2）≤h＜．
【解答】解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，
∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），
∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，
故答案为：8．
②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，
解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，
∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4．
（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，
∴点A坐标为（h，﹣8a），
∴|﹣8a|＝4，
解得a＝或a＝﹣，
当a＝时，如图，当抛物线开口向上，

∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，
∴点A坐标为（h，﹣4），
把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，
当﹣2h+1≤﹣4时，解得h≥，
∵0＜h＜，
∴≤h＜．
当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣h）2+4，
令﹣2x+1＝﹣（x﹣h）2+4，
整理得x2﹣（2h+4）x+h2﹣6＝0，
∴Δ＝（﹣2h﹣4）2﹣4（h2﹣6）＞0，
整理得h＜﹣，与题干不符，舍去；
综上，h的取值范围为≤h＜．
五．三角形综合题（共2小题）
5．（2021秋•西城区期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．
（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；
②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；
（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．


【答案】（1）①∠CAE＝∠CBD．理由见解析；②证明见解析；（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由见解析．
【解答】解：（1）①∠CAE＝∠CBD．理由：
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴∠CAE＝∠CBD．
②证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACH+∠ECH＝90°．
∵CF⊥AE，
∴∠ACH+∠CAH＝90°．
∴∠CAH＝∠ECH．
由①知：∠CAE＝∠CBD，
∴∠ECH＝∠CBD．
∴CF＝BF．
∵∠DCB＝90°，
∴∠DCF+∠ECF＝90°，∠CDF+∠CBD＝90°．
∴∠CDF＝∠DCF，
∴CF＝DF．
∴BD＝2CF．
由①知：△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD．
∴AE＝2CF．
解：（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由：
延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图，

∴F是BD的中点，
∴FD＝FB．
在△DCF和△BGF中，
，
∴△DCF≌△BGF（SAS）．
∴CD＝BG，∠DCF＝∠G．
∴CD∥BG．
∴∠DCB+∠GBC＝180°．
∵将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α，
∴∠ACD＝∠BCE＝α．
∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+α．
∴∠CBG＝180°﹣∠BCD＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．
∴∠ACE＝∠CBG．
∵CD＝CE，
∴CE＝BG．
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（SAS）．
∴AE＝CG．
∵FG＝FC，
∴CG＝2CF．
∴AE＝2CF．
∴若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．
6．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠APB＝45°，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接AQ．
（1）依题意，补全图形，并证明：AQ＝BP；
（2）求∠QAP的度数；
（3）若N为线段AB的中点，连接NP，请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）证明见解析部分；
（2）135°；
（3）PC＝PN．
【解答】（1）证明：∵∠QCP＝∠ACB＝90°，
∴∠QCA＝∠PCB，
在△QCA和△PCQ中，
，
∴△QCA≌△PCB（SAS），
∴AQ＝BP；

（2）解：∵△QCA≌△PCB，
∴∠CQA＝∠CPB，
∵∠APB＝∠CPQ＝45°，
∴∠APQ＝∠CPB，
∴∠AQP+∠APQ＝∠AQP+∠CQA＝∠CQP＝45°，
∴∠QAP＝180°﹣45°＝135°；

（3）解：结论：PC＝PN．
理由：如图，延长PN到T，使得NT＝NP，连接AT．
在△ANT和△BNP中，
，
∴△ANT≌△BNP（SAS），
∴AT＝PB，∵∠T＝∠NPB，
∴AT∥PB，
∴∠TAP+∠APB＝180°，
∵∠APB＝45°，
∴∠TAP＝135°＝∠QAP，
∵AQ＝PB，PB＝AT，
∴AT＝AQ，
在△PAT和△PAQ中，
，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PT＝PQ＝PC，
∴2PN＝PC，
∴PC＝PN．

六．四边形综合题（共1小题）
7．（2020秋•西城区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE＝1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．
设CM＝x，矩形PMDN的面积为S．
（1）DM＝　4﹣x　（用含x的式子表示），x的取值范围是　0≤x≤1　；
（2）求S与x的函数关系式；
（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．

【答案】（1）4﹣x，0≤x≤1；
（2）S＝﹣2x2+6x+8（0≤x≤1）；
（3）当x＝1时，矩形PMDN的面积最大，此时点P与点E重合，此时最大面积为12．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，CM＝x，BE＝1，
∴DM＝DC﹣CM＝4﹣x，其中0≤x≤1．
故答案为：4﹣x，0≤x≤1；

（2）如图，延长MP交AB于G，
∵正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点，四边形PMDN是矩形，CM＝x，BE＝1，
∴PM∥BC，BF＝FC＝BC＝2，BG＝MC＝x，GM＝BC＝4，
∴△EGP∽△EBF，EG＝1﹣x，
∴＝，即＝．
∴PG＝2﹣2x，
∴DN＝PM＝GM﹣PG＝4﹣（2﹣2x）＝2+2x，
∴S＝DM•DN＝（4﹣x）（2x+2）＝﹣2x2+6x+8，其中0≤x≤1．

（3）由（2）知，S＝﹣2x2+6x+8，
∵a＝﹣2＜0，
∴此抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣＝，即，
∴当x＜时，y随x的增大而增大．
∵x的取值范围为0≤x≤1，
∴当x＝1时，矩形PMDN的面积最大，此时点P与点E重合，此时最大面积为12．

七．切线的性质（共1小题）
8．（2021秋•西城区期末）如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CDEF是矩形；
（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．

【答案】（1）见解析；
（2）5．
【解答】（1）证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，
∴AC⊥CD，DE⊥CD，
∴AC∥DE，∠ACD＝90°，
∵EF⊥AC，
∴EF∥CD，
∴四边形CDEF是矩形；
（2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，
∴AB＝AC，BE＝DE＝2，
由（1）知，四边形CDEF是矩形，
∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴AE2＝AF2+EF2，
∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2）2，
解得AC＝5，
故AC的长为5．
八．切线的判定与性质（共2小题）
9．（2021秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）3．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，

由（1）得：∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
∵DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DF＝DE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB＝180°，
∵∠DCB+∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠DFA＝∠DEC＝90°，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝EC，
∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，
∴△BDF≌△BDE（AAS），
∴BF＝BE，
设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，
∵AB＝10，
∴AF+BF＝10，
∴x+8+x＝10，
∴x＝1，
∴BF＝9，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴BD2＝BF•BA，
∴BD2＝90，
∴BD＝3．
10．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点O是AC上一点，以O为圆心，OA长为半径作圆，使⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E．过点B作BF∥AC，交ED的延长线于点F．
（1）若AB＝4，求⊙O的半径；
（2）连接BO，求证：四边形BFEO是平行四边形．

【答案】（1）⊙O的半径为4﹣4；
（2）见解析．
【解答】（1）解：连接OD，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴∠ODC＝90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴OC＝OD，
∴OA+OC＝OD+OD＝AC＝4，
∴OD＝4﹣4，
故⊙O的半径为4﹣4；
（2）证明：在Rt△AOB与Rt△DOB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△DOB（HL），
∴∠AOB＝∠DOB，
∴∠AOB＝，
∵∠OED＝AOD，
∴∠AOB＝∠OED，
∴OB∥EF，
∵BF∥AC，
∴四边形BFEO是平行四边形．

九．圆的综合题（共3小题）
11．（2020秋•西城区期末）对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2）．
（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，）三点中，点A和点B的等距点是 　S（2，0）　；
（2）已知直线y＝﹣2．
①若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 　（4，0）或（8，0）　；
②若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；
（3）记直线AB为直线l1，直线l2：y＝﹣x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．
【答案】（1）S（2，0）；
（2）（4，0）或（8，0）；
（3）或r≥3．
【解答】解：（1）∵点A（6，0），B（0，2），R（3，0），S（2，0），T（1，），
∴AR＝3，BR＝，AS＝4，BS＝4，AT＝2，BT＝2，
∴AS＝BS，
∴点A和点B的等距点是S（2，0），
故答案为：S（2，0）；
（2）①设等距点的坐标为（x，0），
∴2＝|x﹣6|，
∴x＝4或8，
∴等距点的坐标为（4，0）或（8，0），
故答案为：（4，0）或（8，0）；
②如图1，设直线y＝a上的点Q为点A相直线y＝﹣2的等距点，连接QA，过点Q作直线y＝﹣2的垂线，垂足为点C，

∵点Q为点A和直线y＝﹣2的等距点，
∴QA＝QC，
∴QA2＝QC2
∵点Q在直线y＝a上，
∴可设点Q的坐标为Q（x，a）
∴（x﹣6）2+a2＝[a﹣（﹣2）]2．
整理得x2﹣12x+32﹣4a＝0，
由题意得关于x的方程x2﹣12x+32﹣4a＝0有实数根．
∴△＝（﹣12）2﹣4×1×（32﹣4a）＝16（a+1）≥0．
解得a≥﹣1；
（3）如图2，

直线l1和直线l2的等距点在直线l3：上．
直线l1和y轴的等距点在直线l4：或l5：y＝x+2上．
由题意得或r≥3．
12．（2021秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．
（1）如图，点A的坐标为（1，0）．
①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的 　　倍特征点；
②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点 　C3　是点A关于⊙O的倍特征点；
③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；
（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．

【答案】（1）①；②C3；③E（）或（）；（2）最大值为，最小值为．
【解答】解：（1）①∵A（1，0），P（﹣），
∴AP＝OA+OP＝1+＝，
∵B（﹣1，0），
∴AB＝2，
∵AP＝kAB，
∴k＝，
故答案为：；
②∵C1（0，），A（1，0），
∴OC1＝，
∴AC1＝＝，
假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，

∴，
∴AE＝＞2OA＝2，不符合题意，
∴点C1不是点A关于⊙O的倍特征点，
同理可求出AC3＝＝＝，
假设点C3是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴C3为AF的中点，
∴F（0，﹣1），
∵F在圆上，
∴点C3是点A关于⊙O的倍特征点，
∵C2（），
∴AC2＝，
∴，
∴点C2不是点A关于⊙O的倍特征点，
故答案为：C3；
③如图，当点D在y轴正半轴上时，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，

∵点E点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴E是AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠EAO＝60°，
∴∠EOA＝30°，
∴AE＝，EF＝，
OE＝＝，
∴EF＝，
∴E（），
当点D在y轴负半轴上时，同理可得E（），
综上：E（）或（）；
（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，

∴MN≥NP，AM≤BP，
∵AM＝AN﹣MN＝（1﹣k）AN，
∴，
∵k越大，1﹣k的值越小，
∴﹣1+的值越小，
∴当的值越大，k的值越大，
∴AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，
∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，
∵C，D是直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点，
∴C（1，0），D（0，1），
∵O到C和D的距离都是1，
∴OC＝OD＝1，
∴CD＝＝，
∵OG⊥CD，
∴CG＝DG＝，
∴OG＝＝，
∴FG＝OF﹣OG＝1﹣，
∴k＝，
∴k的最小值为，
当点N在E点，A在F点时，k有最大值为．
13．（2022秋•西城区期末）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．
（1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 　D，F　；
（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．
【答案】（1）D、F；
（2）①﹣2﹣≤t≤﹣2+；
②≤k≤或≤k≤．
【解答】解：（1）当A点是D点的中点时，对应点为（2，﹣4）；当B点是D点的中点时，对应点为（14，﹣4）；
当A点是E点的中点时，对应点为（﹣4，﹣6）；当B点是E点的中点时，对应点为（8，﹣6）；
当A点是F点的中点时，对应点为（﹣8，﹣4）；当B点是F点的中点时，对应点为（4，﹣4）；
当A点是O点的中点时，对应点为（﹣2，﹣4）；当B点是O点的中点时，对应点为（10，﹣4）；
∴D、F与点O关于线段AB双对合，
故答案为：D、F；
（2）①设K（k，0），
∵A（﹣1，﹣2），T（0，t），
∴A点关于K点对称点G为（2k+1，2），T点关于K点对称点H为（2k，﹣t），
∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，
∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，
∵⊙K的直径为1，
∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，2为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，2为半径的圆上，如图所示，
∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，
∴当圆G与圆H有交点，
∵GH＝，
∴≤4，
解得﹣2﹣≤t≤﹣2+；
②∵A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4），K（k，0），
∴A点关于K点的对称点F（2k+1，2），B点关于K点的对称点E（2k﹣5，2），C点关于K点的对称点G（2k+1，﹣4），
∴△ABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，
∵△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，
∴阴影区域与圆K有公共交点，
∵阴影部分是由△EGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，
如图1时，k﹣（2k+1）＝+1，解得k＝﹣；
如图2时，2k+1﹣k＝+1，解得k＝；
∴﹣≤k≤时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；

过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，
设直线EG的解析式为y＝k'x+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2k﹣3，
∴M（2k﹣3，0），
∵直线y＝﹣x与y＝﹣x+2k﹣3平行，
∴∠KMN＝45°，
∴KM＝KN＝，
如图3时，k﹣（2k﹣3）＝，解得k＝3﹣，
如图4时，2k﹣3﹣k＝，解得k＝3+，
∴≤k≤时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
综上所述：≤k≤或≤k≤时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．


一十．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2021秋•西城区期末）问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；
②分别连接AE，BD并延长相交于点F；
③连接FC并延长交AB于点H．
所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．
（1）根据小芸的作法，补全图形；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，
∴∠ADB＝∠AEB＝　90　°．（ 　直径所对的圆周角是直角　）（填推理的依据）
∴AE⊥BE，BD⊥AD．
∴AE，　BD　是△ABC的两条高线．
∵AE，BD所在直线交于点F，
∴直线FC也是△ABC的高所在直线．
∴CH是△ABC中AB边上的高．

【答案】（1）作图见解析部分．
（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．
【解答】解：（1）如图，线段CH即为所求．

（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），
∴AE⊥BE，BD⊥AD．
∴AE，BD是△ABC的两条高线．
∵AE，BD所在直线交于点F，
∴直线FC也是△ABC的高所在直线．
∴CH是△ABC中AB边上的高．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．
15．（2022秋•西城区期末）已知：点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°．
求作：直线l，使其过点C，并与⊙O相切．
作法：①连接OC；
②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于⊙O外一点D；
③作直线CD．
直线CD就是所求作直线l．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OB，BD，
∵OB＝OC＝BD＝CD，
∴四边形OBDC是菱形．
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝　90　°（ 　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半　）（填推理的依据）．
∴四边形OBDC是正方形．
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD．
∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（ 　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线　）（填推理的依据）．

【答案】（1）作图见解答过程；
（2）90，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：

（2）证明：连接OB，BD，如图：

∵OB＝OC＝BD＝CD，
∴四边形OBDC是菱形．
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∴四边形OBDC是正方形．
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD．
∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：90，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）
16．（2020秋•西城区期末）借助网格画图并说理：
如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．
（1）补全图形；
（2）填空：∠BEC＝　90　°，理由是 　直径所对的圆周角是直角　；
（3）判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；
（4）∠BAC　＜　∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【答案】（1）作图见解析部分．
（2）90，直径所对的圆周角是直角．
（3）点A在⊙O外．
（4）＜．
【解答】解：（1）补全图形见图1．


（2）∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°（直径所对的圆周角是直角）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．

（3）点A在⊙O外．
理由如下：连接OA．
∵BD＝4，CD＝2，
∴BC＝BD+CD＝6，r＝＝3．
∵AD⊥BC，
∴∠ODA＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝3，OD＝BD﹣OB＝1，
∴．
∵，
∴OA＞r，
∴点A在⊙O外．

（4）观察图象可知：∠BAC＜∠BEC．
故答案为：＜．
一十二．旋转的性质（共2小题）
17．（2021秋•西城区期末）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．

【答案】（1）见解析；
（2）8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE；
（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，
∴AE＝2DE＝4，
∴△AEF的面积＝×4×4＝8．
18．（2022秋•西城区期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，连接AE，BE，CE．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若△ACD是等边三角形，且∠ABC＝30°，AB＝3，BD＝5，求BE的长．

【答案】（1）∠CBE的度数为60°；
（2）BE的长为4．
【解答】解：（1）∵将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，
∴CB＝CE，∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∴∠CBE的度数为60°；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝DC，∠ACD＝60°，
∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∵CB＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD＝5，
∵∠CBE＝60°，∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝90°，
在Rt△ABE中，AB＝3，
∴BE＝＝＝4，
∴BE的长为4．
一十三．作图-旋转变换（共1小题）
19．（2020秋•西城区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．
（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝　60　°，AA'＝　2　；
（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；
②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．

【答案】（1）60，2．
（2）①作图见解析部分．结论AD＝A'D．证明见解析部分．
②1≤BD≤．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC•tan30°＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∵BA＝BA′，AC′＝A′C′，
∴∠ABC′＝∠A′BC′＝30°，
∴△ABA′是等边三角形，
∴α＝60°，AA′＝AB＝2．
故答案为：60，2．

（2）①补全图形如图所示：结论：AD＝A'D．

理由：如图2，过点A作A'C'的平行线，交CC'于点E，记∠1＝β．
∵将Rt△ABC绕点B顺时针旋转α得到Rt△A'BC'，
∴∠A'C'B＝∠ACB＝90°，A'C'＝AC，BC'＝BC．
∴∠2＝∠1＝β．
∴∠3＝∠ACB﹣∠1＝90°﹣β，∠A'C'D＝∠A'C'B+∠2＝90°+β．
∵AE∥A'C'
∴∠AED＝∠A'C'D＝90°+β．
∴∠4＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+β）＝90°﹣β．
∴∠3＝∠4．
∴AE＝AC．
∴AE＝A'C'．
在△ADE和△A'DC'中，
，
∴△ADE≌△A'DC'（AAS），
∴AD＝A'D．

②如图1中，当α＝60°时，BD的值最大，最大值为．
当α＝120°时，BD的值最小，最小值BD＝AB•sin30°＝2×＝1，
∴1≤BD≤．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2021秋•西城区期末）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．
（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．
【答案】（1）小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为；
（2）0．
【解答】解：（1）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，
∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；
（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，
∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．
一十五．利用频率估计概率（共1小题）
21．（2022秋•西城区期末）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．

（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是 　0.75　，其中红球的个数是 　3　；
（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．

【答案】（1）0.75，3；
（2）．
【解答】解：（1）从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是0.75，
4×0.75＝3（个），
答：红球的个数是3个．
故答案为：0.75，3；

（2）由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球．
列表如下：

白
红1
红2
红3
白

白，红1
白，红2
白，红3
红1


红1，红2
红1，红3
红2



红2，红3
红3




可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），
所以摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率是＝．