山东省潍坊市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份山东省潍坊市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共30页。试卷主要包含了【材料阅读】，与点C关于y轴对称，【情境再现】等内容，欢迎下载使用。

山东省潍坊市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数综合题（共1小题）
1．（2023•潍坊）【材料阅读】
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+⋯+qn+⋯的值，其中0＜q＜1．


例 求 …的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
…的结果等于该正方形的面积，即
．
方法2：借助函数 和y＝x的图象，观察图②可知
…的结果等于a1，a2，a3，…，an，…等各条竖直线段的长度之和，即两个函数图象的交点到x轴的距离．
因为两个函数图象的交点（1，1）到x轴的距离为1，
所以，．
【实践应用】
任多一 完善 …的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
＝　 　．
方法2：借助函数 和y＝x的图象，观察图④可知，
因为两个函数图象的交点的坐标为　 　，
所以 ＝　 　．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 +…的值．
任务三 用方法2，求 q+q2+q3+⋯+qn+…的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为 的矩形是黄金矩形，将黄金1矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出 +…的值．
二．反比例函数的应用（共1小题）
2．（2021•潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收
入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3

若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y＝（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数y＝（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．

三．二次函数的应用（共2小题）
3．（2023•潍坊）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在直角坐标系中，如图所示．
​
（1）从y＝ax+21（a≠0），y＝（k≠0），y＝﹣0.04x2+bx+c中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
4．（2023•潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB＝3米，AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠F＝135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？
​

四．二次函数综合题（共2小题）
5．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
【观察发现】
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
【思考交流】
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
【概括表达】
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．


6．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）与点C关于y轴对称．
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；
（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．
直线AC的函数表达式
S取的一个特殊值
满足条件的P点的个数
S的可能取值范围
①　 　
6
4个
③　 　
②　 　
3个
\
10
2个
④　 　

五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2022•潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
请你证明：AG＝BH．

【迁移应用】
延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．

六．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2023•潍坊）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG．求证：FG＝AB．

七．正多边形和圆（共1小题）
9．（2023•潍坊）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在上取一点E，连接AE，DE，过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
（1）求证：△AFD≌△CGD；
（2）若AB＝2，∠BAE＝30°，求阴影部分的面积．

八．圆的综合题（共1小题）
10．（2021•潍坊）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
11．（2023•潍坊）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线堪测石油资源，堪测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）


山东省潍坊市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数综合题（共1小题）
1．（2023•潍坊）【材料阅读】
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+⋯+qn+⋯的值，其中0＜q＜1．


例 求 …的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
…的结果等于该正方形的面积，即
．
方法2：借助函数 和y＝x的图象，观察图②可知
…的结果等于a1，a2，a3，…，an，…等各条竖直线段的长度之和，即两个函数图象的交点到x轴的距离．
因为两个函数图象的交点（1，1）到x轴的距离为1，
所以，．
【实践应用】
任多一 完善 …的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
＝　2　．
方法2：借助函数 和y＝x的图象，观察图④可知，
因为两个函数图象的交点的坐标为　（2，2）　，
所以 ＝　2　．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 +…的值．
任务三 用方法2，求 q+q2+q3+⋯+qn+…的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为 的矩形是黄金矩形，将黄金1矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出 +…的值．
【答案】【实践应用】任务一：2；（2，2）；2．
任务二：3；
任务三：；
【迁移拓展】．
【解答】解：【实践应用】任务一：2；（2，2）；2．
任务二：求 +…的值．
方法1：借助面积为3的正方形，观察图可知，
+…＝3．

方法2：借助函数y＝x+和y＝x的图象，观察图可知，
因为两个函数图象的交点的坐标为 （3，3），
所以 +…＝3．

任务三：借助函数y＝qx+q和y＝x的图象，观察图可知，
因为两个函数图象的交点的坐标为 （，），
所以q+q2+q3+⋯+qn+…＝．

【迁移拓展】+…＝﹣1＝．

二．反比例函数的应用（共1小题）
2．（2021•潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收
入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3

若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y＝（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数y＝（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．

【答案】（1）不能；（2）选用函数y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）模拟；（3）满足．
【解答】解：（1）∵1×1.5＝1.5，2×2.5＝5，
∴1.5≠5，
∴不能选用函数y＝（m＞0）进行模拟．
（2）选用y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），理由如下，
由（1）可知不能选用函数y＝（m＞0），
由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知，
x每增大1个单位，y的变化不均匀，
∴不能选用函数y＝kx+b（k＞0），
故只能选用函数y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）模拟．
（3）把（1，1.5），（2，2.5）代入y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）得：
，解得：，
∴y＝0.5x2﹣0.5x+1.5，
当x＝6时，y＝0.5×36﹣0.5×6+1.5＝16.5，
∵16.5＞16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
三．二次函数的应用（共2小题）
3．（2023•潍坊）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在直角坐标系中，如图所示．
​
（1）从y＝ax+21（a≠0），y＝（k≠0），y＝﹣0.04x2+bx+c中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）场景A的函数表达式为y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，场景B的函数表达式为y＝﹣x+21；
（2）化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
【解答】解：（1）观察两种场景可知，场景A为y＝﹣0.04x2+bx+c，场景B为y＝ax+21（a≠0），
把（10，16），（20，3）代入y＝﹣0.04x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，
把（5，16）代入y＝ax+21得：
5a+21＝16，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x+21；
答：场景A的函数表达式为y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，场景B的函数表达式为y＝﹣x+21；
（2）当y＝3时，
场景A中，x＝20，
场景B中，3＝﹣x+21，
解得x＝18，
答：化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
4．（2023•潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB＝3米，AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠F＝135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？
​

【答案】MH＝米时，面积最大为平方米．
【解答】解：连接CF，如图，

∵AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，
∴CF∥AB，
∴∠AFC＝∠BCF＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∵四边形MNGH是矩形，
∴∠HMN＝∠MNG＝90°，MH＝NG，
∴∠HQF＝∠GPC＝90°，MQ＝AF＝NP＝BC＝1米，
∵∠BCG＝∠AFH＝135°，
∴∠HFQ＝∠GCP＝45°，
∴FQ＝HQ，CP＝GP，
∴FQ＝HQ＝MH﹣MQ＝MH﹣1，
同理得：CP＝MH﹣1，
∴AM＝NB＝MH﹣1，
∴MN＝AB﹣AM﹣NB＝3﹣（MH﹣1）﹣（MH﹣1）＝5﹣2MH，
∴S矩形MNGH＝MN•MH
＝（5﹣2MH）•MH
＝5MH﹣2MH2
＝﹣2（MH2﹣MH）
＝﹣2（MH﹣）2+，
∴当MH＝米时，铁皮的面积最大，最大值为：平方米．
四．二次函数综合题（共2小题）
5．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
【观察发现】
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
【思考交流】
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
【概括表达】
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．


【答案】见试题解答内容
【解答】解：y＝﹣x2（答案不唯一）；
【观察发现】
如图：
【思考交流】
我不认同他们的说法，理由如下：
∵抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，
∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴，
例如：y＝﹣x2；
∴小亮的说法不正确；
∵抛物线y＝﹣x2经过x轴，
∴小莹的说法不正确；
【概括表达】
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵经过点（﹣1，﹣1），
∴a﹣b+c＝﹣1且a＜0，
∵抛物线不经过第一象限，
∴c≤0，
当c＝0时，a﹣b＝﹣1，
当a＜0，c＜0时，a﹣b+c＝﹣1，
综上所述：当a＜0，c＜0时，a﹣b+c＝﹣1，当a＜0，c＝0时，a﹣b＝﹣1．

6．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）与点C关于y轴对称．
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；
（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．
直线AC的函数表达式
S取的一个特殊值
满足条件的P点的个数
S的可能取值范围
①　y＝x+　
6
4个
③　0＜S＜　
②　　
3个
\
10
2个
④　S＞　

【答案】（1）点C在该抛物线y＝（x﹣2）2﹣上；证明见解答；
（2）四边形ABCO是菱形．证明见解答；
（3）①y＝x+；
②；
③0＜S＜；
④S＞．
点P的横坐标为1或1﹣3或1+3．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣，将A（4，0）代入，
得：0＝a（4﹣2）2﹣，
解得：a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣＝x2﹣x，
∵点B（2，2）与点C关于y轴对称，
∴C（﹣2，2），
当x＝﹣2时，y＝（﹣2﹣2）2﹣＝2，
∴点C在该抛物线y＝（x﹣2）2﹣上；
（2）四边形ABCO是菱形．
证明：∵B（2，2），C（﹣2，2），
∴BC∥x轴，BC＝2﹣（﹣2）＝4，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴BC＝OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OC＝＝4，
∴OC＝OA，
∴四边形ABCO是菱形．
（3）①设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，
∵A（4，0），C（﹣2，2），
∴，
解得：，
∴直线AC的函数表达式为y＝x+；
故答案为：y＝x+；
②当点P在直线AC下方的抛物线上时，如图2，
设P（t，t2﹣t），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
则H（t，t+），
∴PH＝t+﹣（t2﹣t）＝﹣t2+t+，
∵满足条件的P点有3个，
∴在直线AC下方的抛物线上只有1个点P，即S△PAC的值最大，
∵S△PAC＝S△PHC+S△PHA＝PH•[4﹣（﹣2）]＝3PH＝3（﹣t2+t+）＝（t﹣1）2+，
∴当t＝1时，S△PAC取得最大值，此时，点P的坐标为（1，﹣），
故答案为：；
③由②知，当0＜S＜时，在直线AC下方的抛物线上有2个点P，满足S△PAC＝S，
在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，
∴满足条件S△PAC＝S的P点有4个，符合题意．
故答案为：0＜S＜；
④∵满足条件S△PAC＝S的P点只有2个，而在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，
∴在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，
由②知，当S＞时，在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，符合题意．
故答案为：S＞．
点P的横坐标的值为1，
当点P在直线AC上方时，如图3，
∵S△PAC＝S△PCH﹣S△PAH＝PH•（xA﹣xC）＝3PH＝，
∴PH＝，
∴t2﹣t﹣＝，
解得：t＝1±3，
综上所述，点P的横坐标为1或1﹣3或1+3．



五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2022•潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
请你证明：AG＝BH．

【迁移应用】
延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．

【答案】【情境再现】证明见解答过程；
【迁移应用】猜想：DG⊥BH；证明见解答过程；
【拓展延伸】猜想：BH＝AG，证明见解答过程．
【解答】【情境再现】
证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，
∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，
∴∠BEH＝∠AFG，
∵OH＝OG，
∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，
在△BHE和△AGF中，
，
∴△BHE≌△AGF（SAS），
∴BH＝AG；
【迁移应用】
解：猜想：DG⊥BH；证明如下：
由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，
∴∠BHE＝∠AGF，
∵∠HOG＝90°，
∴∠AGF+∠GPO＝90°，
∴∠BHE+∠GPO＝90°，
∵∠GPO＝∠HPD，
∴∠BHE+∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝90°，
∴DG⊥BH；
【拓展延伸】
解：猜想：BH＝AG，证明如下：
设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：

由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，
∴△BOT∽△AOK，
∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，
∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，
∵OH＝GO，
∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，
∴＝＝，
∴△BTH∽△AKG，
∴＝＝，
∴BH＝AG．
六．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2023•潍坊）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG．求证：FG＝AB．

【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠FEC，
∴EF＝CF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°，
∴∠EAC＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴AF＝CF，
∵G是BC的中点，
∴GF是△ABC的中位线，
∴FG＝AB．
七．正多边形和圆（共1小题）
9．（2023•潍坊）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在上取一点E，连接AE，DE，过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
（1）求证：△AFD≌△CGD；
（2）若AB＝2，∠BAE＝30°，求阴影部分的面积．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，
∴∠EDG＝∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵∠ADF+∠FDC＝∠CDG+∠FDC＝90°，
∠ADF＝∠CDG，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（ASA），

（2）解：过点D作DH⊥AG于点H，连接OA，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠AGD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴∠DAG+∠BAG＝∠BAE+∠BAG＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE＝30°，
∵DH⊥AG，
∴∠DHG＝90°，
∴△HDG和△DFG都是等腰直角三角形，
在Rt△ADH中，∠DAG＝30°，
∴DH＝AD＝×2＝1，
AH＝＝，
∴AG＝AH+HG＝+1，
DF＝DG＝DH＝，
∴S△ADF＝S△ADG﹣S△DFG＝×（+1）×1﹣××＝，
∵OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OA＝AD＝，
∴S弓形AD＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣＝﹣1，
∴S阴影＝S△ADF+S弓形AD＝+﹣1＝．

八．圆的综合题（共1小题）
10．（2021•潍坊）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

【答案】（1）；
（2）证明见解答过程；
（3）底面半径为1，高为．
【解答】解：（1）当点H，O重合时，如图，连接OC，

∵AC＝CD，
∴OC是直角三角形斜边上的中线，
∴OC＝AD，
又∵OC＝OA，
即OA＝AD，
∴∠D＝30°，
又∵∠D+∠DAO＝90°，∠ABC+∠DAO＝90°，
∴∠ABC＝∠D＝30°，
∴sinθ＝；
（2）∵∠DCB＝∠DHB＝∠ACB＝90°，
由（1）知∠ABC＝∠D，
∴△BHF∽△DCF∽△DHA，
∴BH：DC：DH＝HF：CF：HA，
∴BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，∠AOC＝90°，
∴的长＝π•AB＝2π，
即圆锥的底面周长为2π，
∴圆锥的底面半径r＝＝1，
∵圆锥的母线＝OA＝4，
∴圆锥的高h＝＝＝，
即圆锥的底面半径和高分别为1和．
九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
11．（2023•潍坊）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线堪测石油资源，堪测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）

【答案】输油管道的最短长度是（6﹣6）千米．
【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，

由题意得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACG﹣∠BCF＝90°，
∵AB＝24千米，
∴AC＝AB＝12（千米），BC＝AC＝12（千米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，
∴CD＝AC•tan45°＝12（千米），
∴BD＝BC﹣CD＝（12﹣12）千米，
在Rt△BDE中，∠ABC＝30°，
∴DE＝BD＝（6﹣6）千米，
∴输油管道的最短长度是（6﹣6）千米．