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2024年高考物理复习第一轮：第 2讲 抛体运动
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这是一份2024年高考物理复习第一轮：第 2讲 抛体运动，共23页。
第2讲 抛体运动
[主干知识·填一填]
一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动．
(2)竖直方向：自由落体运动．
4．基本规律(如图)
(1)位移关系
(2)速度关系
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动．
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.
[规律结论·记一记]
1．平抛运动的运动时间：t＝，取决于竖直下落的高度，与初速度无关．
2．平抛运动的水平射程：x＝v0，取决于竖直下落的高度和初速度．
3．平抛运动的速度的变化规律
(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0.
(2)任意相等时间Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt.
4．平抛运动的位移的变化规律
(1)任意相等时间Δt内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt.
(2)连续相等的时间Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2.
[必刷小题·测一测]
一、易混易错判断
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．(×)
2．做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度的方向也时刻在变化．(×)
3．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．(×)
4．做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长．(×)
5．从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的．(√)
6．无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．(√)
二、经典小题速练
1.(人教版必修2P10做一做改编)(多选)为了验证做平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的是( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
解析：BC 两球从同一高度同时开始运动，竖直方向均做自由落体运动，落地时间一定相等，为了验证平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，应改变高度多次实验才能验证猜想，故A错误，B、C正确；本实验无法说明平抛运动在水平方向的运动是匀速直线运动，D错误．
2.小明玩飞镖游戏时，从同一位置先后以速度vA和vB将飞镖水平掷出，飞镖依次落在靶盘上的A、B两点，如图所示，飞镖在空中运动的时间分别为tA和tB.不计空气阻力，则( )
A．vA＜vB，tA＜tB
B．vA＜vB，tA＞tB
C．vA＞vB，tA＜tB
D．vA＞vB，tA＞tB
解析：C 飞镖做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2，得t＝，因为B下落的高度较大，所以B运动的时间长，即有tA＜tB；水平方向上做匀速直线运动，有x＝v0t，则初速度v0＝＝x，x相同，h越大，v0越小，所以有vA＞vB，选项C正确．
3．(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
解析：CD 两球加速度都是重力加速度g，A错误；飞行时间t＝2，因h相同，则t相同，B错误；水平位移x＝vxt，在t相同情况下，x越大说明vx越大，C正确；落地速度v＝ ，两球落地时竖直速度vy相同，可见vx越大，落地速度v越大，D正确．
命题点一 平抛运动的基本规律(自主学习)
[核心整合]
1．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定．
2．关于平抛(类平抛)运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝.
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
[题组突破]
1．(平抛运动规律的应用)(2020·全国卷Ⅱ)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.等于( )
A．20 B．18
C．9.0 D．3.0
解析：B 摩托车从a点做平抛运动到c点
水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝gt
可解得v1＝
动能E1＝mv＝
摩托车从a点到b点，水平方向3h＝v2t2，
竖直方向0.5h＝gt
解得v2＝3
动能E2＝mv＝mgh，故＝18.
2.(类平抛运动)如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可视为质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2
B．P→Q所用的时间t＝
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
解析：C 物块在斜面上的加速度为：a＝gsin θ，根据l＝at2，得：t＝ ，故A、B错误；物块的初速度为：v0＝＝b ，故C正确，D错误．
3．(斜抛运动)(2022·河南郑州一模)甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示．设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度v1与乒乓球击打乙的球拍的速度v2之比为( )
A. B.
C. D.
解析：C 由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可知，乒乓球在水平方向的分速度大小保持不变，竖直方向的分速度是不断变化的，由于乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，在甲处：vx＝v1sin 45°，在乙处：vx＝v2sin 30°；所以：＝＝，故C正确，A、B、D错误．
(1)类平抛运动问题的解题技巧
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解．
(2)斜抛运动可以从最高点分段研究，后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动时间、位移和速度具有对称性．
命题点二 多个物体的平抛运动问题(自主学习)
[核心整合]
对多体平抛问题的四点提醒
(1)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处．即轨迹相交是物体相遇的必要条件．
(2)若两物体同时从同一高度抛出，则两物体始终处在同一高度．
(3)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同．
(4)若两物体从同一高度先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大．
[题组突破]
1．(两球平抛后相遇)(多选)如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，若不计空气阻力，则( )
A．小球a比小球b先抛出
B．初速度va小于vb
C．小球a、b抛出点距地面高度之比为vb∶va
D．初速度va大于vb
解析：AB 由h＝gt2，得t＝，可知平抛运动的运动时间是由竖直高度决定的，由于小球a的高度比小球b的大，ta>tb，由于小球a、b的水平位移相等，由x＝v0t得va
A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5
B．三个小球下落的时间相同
C．三个小球落地的速度相同
D．三个小球落地的位移相同
解析：AB 三个小球的高度相等，则根据h＝gt2知，平抛运动的时间相等，因为水平位移之比为1∶3∶5，则根据x＝v0t得，初速度之比为1∶3∶5，故A、B正确；小球落地时竖直方向上的分速度相等，落地时的速度v＝，初速度不等，则落地的速度不等，故C错误；小球落地时的位移s＝，水平位移不等，竖直位移相等，则小球通过的位移不等，故D错误．
3.(同一位置平抛后落在同一竖直平面上)(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示．已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)( )
A．初速度之比是 ∶∶
B．初速度之比是1∶∶
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是 ∶∶
解析：AC 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，水平方向上做匀速直线运动．又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误．
4．(不同高度平抛后落在同一水平面上)(多选)在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一个固定的竖直杆，其上的三个光滑水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地的高度分别为3h、2h和h.当小车遇到障碍物M时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，落到水平路面上的第一落点分别是a、b、c点，如图所示．不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．三个小球从平抛至落地的时间之比tA∶tB∶tC＝∶∶1
B．三个小球从平抛至落地的时间之比tA∶tB∶tC＝3∶2∶1
C．三个小球落点的间距之比L1∶L2＝(－)∶(－1)
D．三个小球落点的间距之比L1∶L2＝1∶1
解析：AC 由题意可知，A、B、C三个小球下落高度之比为3∶2∶1，由于竖直方向上做自由落体运动，由t＝可知，三个小球从平抛至落地的时间之比为∶∶1，A正确，B错误；三个小球在水平方向上做速度相同的匀速直线运动，可知A、B、C三个小球的水平位移之比为∶∶1，因此由题图可知L1∶L2＝(－)∶(－1)，C正确，D错误．
命题点三 有约束条件的平抛运动模型(多维探究)
第1维度：落点在斜面上的平抛运动…………………
图示
方法
基本规律
运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形
水平v x＝v 0
竖直v y＝gt
合速度v＝
由tan θ＝＝得t＝
分解位移，构建位移的矢量三角形
水平x＝v 0t
竖直y＝gt2
合位移x合＝
由tan θ＝＝
得t＝
在运动起点同时分解v 0、g
由0＝v 1－a1t，0－v ＝－2a1d，得t＝，
d＝
分解平行于斜面的速度v
由v y＝gt得t＝
(多选)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点．不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φ
B．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θ
C．小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ∶1
D．小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
解析：BC 由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，由平抛运动的推论可知，tan φ＝2tan θ，选项B正确，A错误；设小球A在空中运动的时间为t1，小球B在空中运动的时间为t2，则由平抛运动的规律可得tan θ＝，tan θ＝，故＝2tan2 θ，选项C正确，D错误．
第2维度：落点在圆弧面上的平抛运动…………………
落点在圆弧面上的三种常见情景
(1)如图甲所示，小球从半圆弧左边平抛，落到半圆内的不同位置．由半径和几何关系制约时间t:h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t.
(2)如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等．
(3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等．
(多选)如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方P点，将一个小球以速度v0沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，测得该截面的圆心O与Q点的连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球从P运动到Q所用的时间是( )
A．t＝ B．t＝
C．t＝ D．t＝
解析：ABD 如图所示，小球在水平方向上做匀速运动，水平位移x＝Rsin θ＝v0t，得t＝，故选项A正确；小球到达Q点时竖直方向上的速度vy＝gt＝v0tan θ，得t＝，故选项B正确；小球从圆柱体的Q点沿切线飞过，故小球在Q点的速度方向垂直于半径OQ，在Q点的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，设小球通过Q点时其竖直位移为y，则y＝tan θ＝Rsin θtan θ，又有y＝gt2，联立解得t＝ ，选项D正确，C错误．
第3维度：落点在水平台阶上的平抛运动…………………
一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m．一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲打在第四级台阶上，则v的取值范围是( )
A. m/s
对于此类题目，无论落点怎样变化，其考查点均为平抛运动规律的应用，解题的关键是把约束界面的几何关系与平抛运动规律相互结合起来．
命题点四 平抛运动中的临界问题(师生互动)
[核心整合]
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件．
(2)分解速度或位移．
(3)若有必要，画出临界轨迹．
在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围．
解析：(1)打在AB中点的微粒，则h＝gt2
解得t＝.
(2)设打在B点的微粒初速度为v1，则
v1＝，2h＝gt
解得v1＝
同理，设打在A点的微粒初速度为v2，则v2＝L
所以微粒初速度范围为≤v≤L.
答案：(1) (2)≤v≤L
极限分析法在临界问题中的应用
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到产生临界的条件．
[题组突破]
1.(2022·四川内江市上学期一模)套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒．若重力加速度大小g＝10 m/s2，则小孩抛出圆环的初速度可能是( )
A．4.3 m/s B．5.6 m/s
C．6.5 m/s D．7.5 m/s
解析：B 根据h1－h2＝gt2得t＝＝ s＝0.2 s ，则平抛运动的最大速度v1＝＝ m/s＝6.0 m/s ，最小速度v2＝＝ m/s＝5.0 m/s，则5.0 m/s＜v＜6.0 m/s，故选项B正确．
2．如图所示，窗子上、下沿间的高度差H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2.则v的取值范围是( )
A．v＞7 m/s
B．v＜2.3 m/s
C．3 m/s＜v＜7 m/s
D．2.3 m/s＜v＜3 m/s
解析：C 小物件做平抛运动，可根据平抛运动规律解题．若小物件恰好经窗子上沿，则有h＝gt，L＝v1t1，得v1＝7 m/s，若小物块恰好经窗子下沿，则有h＋H＝gt，L＋d＝v2t2，得v2＝3 m/s，所以3 m/s ＜v＜7 m/s，故选项C正确．
3.(2022·广东五校一联)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A．0 B．0.1 m
C．0.2 m D．0.3 m
解析：C 小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有mg(H－h)＝mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确．
素养培优10 体育运动中的四类平抛运动问题
题型一 乒乓球的平抛运动问题
(多选)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的球1和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是( )
A．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率
B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率
C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
D．过网时球1的速度大于球2的速度
解析：AD 乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动．重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B错误；由h＝gt2可得两球飞行时间相同，C错误；由x＝vt可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D正确．
题型二 足球的平抛运动问题
如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)．球员顶球点的高度为h.足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )
A．足球位移的大小x＝
B．足球初速度的大小v0＝
C．足球末速度的大小v＝
D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝
解析：B 根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝ ，则足球位移的大小为：x＝＝ ，选项A错误；由h＝gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝ ，选项B正确；对足球应用动能定理：mgh＝mv2－mv，可得足球末速度v＝ ＝ ，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝，选项D错误．
题型三 网球的平抛运动问题
一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出，第一只球落在自己一方场地的B点，弹跳起来后，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处，如图所示，第二只球直接擦网而过，也落在A点处，设球与地面的碰撞过程没有能量损失，且运动过程不计空气阻力，则两只球飞过球网C处时水平速度之比为( )
A．1∶1 B．1∶3
C．3∶1 D．1∶9
解析：B 由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的．由于球与地面的碰撞没有能量损失，设第一只球自击出到落到A点时间为t1，第二只球自击出到落到A点时间为t2，则t1＝3t2.由于两球在水平方向均为匀速运动，水平位移大小相等，设它们从O点出发时的初速度分别为v1、v2，由x＝v0t得：v2＝3v1，所以有＝，所以两只球飞过球网C处时水平速度之比为1∶3，故B正确．
题型四 排球的平抛运动问题
如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高．如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界．设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是( )
A．H＝h B．H＝
C．H＝h D．H＝h
解析：C 将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有：H－h＝gt，H ＝gt，＝v0t1，＋＝v0t2，联立解得H＝h，故C正确．
解决体育运动中的平抛运动问题时，既要考虑研究平抛运动的思路和方法，又要考虑所涉及的体育运动设施的特点，如乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界；足球的球门有固定的高度和宽度．
限时规范训练
[基础巩固]
1．在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)( )
A．s B．s
C．s D．s
解析：C 设战机原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知炮弹在竖直方向有h＝gt2，解得t＝，则在水平方向s＝vt＝v；现战机高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则应有s′＝vt′，h＝gt′2，联立解得s′＝s，故C正确，A、B、D错误．
2.(2020·江苏卷)(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l.忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
解析：AD 由抛出点和落地点的几何关系，可推出小球A、B的位移大小相等，A正确；平抛的竖直分运动是自由落体运动，由h＝gt2可推出A运动的时间是B的倍，B错误；小球A的初速度v0A＝＝＝，小球B的初速度v0B＝＝＝，A的初速度是B的，C错误；根据机械能守恒定律，mAv＝mAv＋mAg·2l，mBv＝mBv＋mBgl，解得vA＝，vB＝，vA>vB，D正确．
3.某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等．若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度．下列说法正确的是( )
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同
B．运动员在A、D位置时重心的速度相同
C．运动员从A到B和从C到D的时间相同
D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间
解析：A 因每次曝光的时间间隔相等，设为Δt，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则相邻位置运动员重心的速度变化均为gΔt，故A正确；A和D处于同一水平高度，根据机械能守恒定律知运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，所以速度不同，故B错误；由题图可知，运动员从A到B为5Δt，从C到D的时间为6Δt，时间不相同，故C错误；由题图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的最高点位于C点，故D错误．故选A.
4.有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示，一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)，不计空气阻力．从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球下落时间与小球质量m有关
B．小球下落时间与小球初速度v有关
C．小球下落时间与水井井口直径d有关
D．小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关
解析：D 因为小球与井壁做多次弹性碰撞，碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，则将小球的运动轨迹连接起来就是一条做平抛运动的抛物线，可知小球在竖直方向做自由落体运动，由t＝可知，下落时间与小球的质量m、小球初速度v以及井口直径均无关，只与井口到水面高度差h有关，故选项D正确．
5．(多选)正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个，不计阻力，则( )
A．这5个球在空中排成一条直线
B．这5个球在空中处在同一抛物线上
C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变
D．相邻两球的落地点间距离相等
解析：AD 小球被释放后做平抛运动，其在水平方向的速度与飞机的飞行速度相等，飞机做匀速直线运动，所以5个小球始终在飞机的正下方，且相邻小球落地点的间距相等，故A、D正确，B错误；竖直方向上5个小球均做自由落体运动，由于第2个小球释放时第1个小球的速度已经为v0＝gt0＝10 m/s，所以第2个小球在空中运动时间t时，第1、2两小球的间距为Δh＝－gt2＝v0t，故两小球的间距逐渐增大，故C错误．
6．(2022·黄冈模拟)用如图甲所示的水平—斜面装置探究平抛运动．一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O点，O点与斜面顶端P点的距离为s.每次用水平拉力F，将物块由O点从静止开始拉动，当物块运动到P点时撤去拉力F.实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图像．若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角θ＝45°，g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求O、P间的距离s.(保留两位有效数字)
解析：根据牛顿第二定律，在OP段有
F－μmg＝ma，
又2as＝v，
由平抛运动规律和几何关系有，物块的水平射程x＝vPt，
物块的竖直位移y＝gt2，
由几何关系有y＝xtan θ，
联立以上各式可以得到x＝，
解得F＝ x＋μmg.
由题图乙知μmg＝5，＝10，
代入数据解得s＝0.25 m.
答案：0.25 m
[能力提升]
7．(2021·河北卷)铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2，O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m，重力加速度取g＝10 m/s2，则t1∶t2为( )
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
解析：C 铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，即x＝vt1，解得t1＝＝ s，铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体，即x＝g，解得t2＝ ＝ ＝0.4 s，则＝＝，故选C.
8.(2022·锦州模拟)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)．从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s.则小球第一次打在曲面上的位置为(g取10 m/s2)( )
A．(3 m，3 m) B．(2 m，4 m)
C．(1 m，1 m) D．(1 m，2 m)
解析：C 设小球第一次打在曲面上的位置为(x，y)，小球在水平方向有：x＝v0t; 竖直方向有：6－y＝gt2，x、y满足曲面方程，则y＝x2，联立各式并把g＝10 m/s2、v0＝1 m/s 代入解得x＝1 m，y＝1 m，则小球第一次打在曲面上的位置为(1 m，1 m)，故选项C正确．
9．(2022·海南琼海市高三期中)如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则( )
A．＝2 B．＝2
C．tan θ1tan θ2＝2 D．＝2
解析：C 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．由题知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C．
10．(多选)如图所示，水平抛出的物体，抵达斜面上端P处时速度恰好沿着斜面方向，紧贴斜面PQ无摩擦滑下，则下列物体沿x方向和y方向运动的位移—时间图像及速度—时间图像，可能正确的是( )
解析：AD 设斜面的倾角为α，水平抛出的物体抵达斜面之前在水平方向做匀速直线运动，故其水平速度vx＝v0，而抵达斜面后物体的加速度a＝gsin θ，故水平方向速度vx＝v0＋(gsin θcos θ)t，即在水平方向做匀加速运动可知B错误．抵达斜面之前物体在水平方向的位移x0＝v0t0，而抵达斜面后物体在水平方向的位移x＝x0＋v0Δt＋gsin θcos θΔt2，可知A正确．抵达斜面之前物体在竖直方向做自由落体运动，故竖直方向的速度vy＝gt，抵达斜面后物体在竖直方向的加速度ay＝gsin θsin θ＝gsin2 θ，故竖直方向的速度vy＝gt0＋g(sin θ)2t，可知D正确．抵达斜面前物体在竖直方向的位移y＝gt2，抵达斜面后物体在竖直方向的位移y＝gt＋gt0Δt＋gsin2θΔt2，可知C错误．
11．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的阻力，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A．
(1)设月球表面附近的重力加速度g＝1.6 m/s2，探测器在距离月球表面H＝2 km处速度v0＝100 m/s，方向竖直向下，探测器的总质量m＝4000 kg，探测器开动发动机，做匀减速直线运动，降落到月球表面时速度恰好为零，求这一过程需要的时间和发动机需要提供的力的大小．(不考虑探测器质量变化)
(2)假设探测器降落失败落在A点，与月球碰撞后弹起到h＝80 m高空B点处速度恰好沿水平方向，落月点A点与B点直线距离为L＝100 m，求探测器在最高点的速度大小．
解析：(1)由运动学公式H＝t1，得t1＝40 s
所以加速度大小为a＝＝2.5 m/s2
由牛顿第二定律得F－mg＝ma
所以F＝mg＋ma＝16 400 N.
(2)A、B之间直线距离为100 m，所以A、B之间水平距离为
x＝ ＝60 m
探测器做斜抛运动，因为在最高点速度水平，所以逆向可以看成平抛运动
h＝gt，x＝v1t2
解得：t2＝10 s，v1＝6 m/s.
答案：(1)40 s 16 400 N (2)6 m/s
第2讲 抛体运动
[主干知识·填一填]
一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动．
(2)竖直方向：自由落体运动．
4．基本规律(如图)
(1)位移关系
(2)速度关系
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动．
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.
[规律结论·记一记]
1．平抛运动的运动时间：t＝，取决于竖直下落的高度，与初速度无关．
2．平抛运动的水平射程：x＝v0，取决于竖直下落的高度和初速度．
3．平抛运动的速度的变化规律
(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0.
(2)任意相等时间Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt.
4．平抛运动的位移的变化规律
(1)任意相等时间Δt内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt.
(2)连续相等的时间Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2.
[必刷小题·测一测]
一、易混易错判断
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．(×)
2．做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度的方向也时刻在变化．(×)
3．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．(×)
4．做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长．(×)
5．从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的．(√)
6．无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．(√)
二、经典小题速练
1.(人教版必修2P10做一做改编)(多选)为了验证做平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的是( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
解析：BC 两球从同一高度同时开始运动，竖直方向均做自由落体运动，落地时间一定相等，为了验证平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，应改变高度多次实验才能验证猜想，故A错误，B、C正确；本实验无法说明平抛运动在水平方向的运动是匀速直线运动，D错误．
2.小明玩飞镖游戏时，从同一位置先后以速度vA和vB将飞镖水平掷出，飞镖依次落在靶盘上的A、B两点，如图所示，飞镖在空中运动的时间分别为tA和tB.不计空气阻力，则( )
A．vA＜vB，tA＜tB
B．vA＜vB，tA＞tB
C．vA＞vB，tA＜tB
D．vA＞vB，tA＞tB
解析：C 飞镖做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2，得t＝，因为B下落的高度较大，所以B运动的时间长，即有tA＜tB；水平方向上做匀速直线运动，有x＝v0t，则初速度v0＝＝x，x相同，h越大，v0越小，所以有vA＞vB，选项C正确．
3．(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
解析：CD 两球加速度都是重力加速度g，A错误；飞行时间t＝2，因h相同，则t相同，B错误；水平位移x＝vxt，在t相同情况下，x越大说明vx越大，C正确；落地速度v＝ ，两球落地时竖直速度vy相同，可见vx越大，落地速度v越大，D正确．
命题点一 平抛运动的基本规律(自主学习)
[核心整合]
1．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定．
2．关于平抛(类平抛)运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝.
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
[题组突破]
1．(平抛运动规律的应用)(2020·全国卷Ⅱ)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.等于( )
A．20 B．18
C．9.0 D．3.0
解析：B 摩托车从a点做平抛运动到c点
水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝gt
可解得v1＝
动能E1＝mv＝
摩托车从a点到b点，水平方向3h＝v2t2，
竖直方向0.5h＝gt
解得v2＝3
动能E2＝mv＝mgh，故＝18.
2.(类平抛运动)如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可视为质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2
B．P→Q所用的时间t＝
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
解析：C 物块在斜面上的加速度为：a＝gsin θ，根据l＝at2，得：t＝ ，故A、B错误；物块的初速度为：v0＝＝b ，故C正确，D错误．
3．(斜抛运动)(2022·河南郑州一模)甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示．设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度v1与乒乓球击打乙的球拍的速度v2之比为( )
A. B.
C. D.
解析：C 由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可知，乒乓球在水平方向的分速度大小保持不变，竖直方向的分速度是不断变化的，由于乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，在甲处：vx＝v1sin 45°，在乙处：vx＝v2sin 30°；所以：＝＝，故C正确，A、B、D错误．
(1)类平抛运动问题的解题技巧
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解．
(2)斜抛运动可以从最高点分段研究，后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动时间、位移和速度具有对称性．
命题点二 多个物体的平抛运动问题(自主学习)
[核心整合]
对多体平抛问题的四点提醒
(1)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处．即轨迹相交是物体相遇的必要条件．
(2)若两物体同时从同一高度抛出，则两物体始终处在同一高度．
(3)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同．
(4)若两物体从同一高度先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大．
[题组突破]
1．(两球平抛后相遇)(多选)如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，若不计空气阻力，则( )
A．小球a比小球b先抛出
B．初速度va小于vb
C．小球a、b抛出点距地面高度之比为vb∶va
D．初速度va大于vb
解析：AB 由h＝gt2，得t＝，可知平抛运动的运动时间是由竖直高度决定的，由于小球a的高度比小球b的大，ta>tb，由于小球a、b的水平位移相等，由x＝v0t得va
A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5
B．三个小球下落的时间相同
C．三个小球落地的速度相同
D．三个小球落地的位移相同
解析：AB 三个小球的高度相等，则根据h＝gt2知，平抛运动的时间相等，因为水平位移之比为1∶3∶5，则根据x＝v0t得，初速度之比为1∶3∶5，故A、B正确；小球落地时竖直方向上的分速度相等，落地时的速度v＝，初速度不等，则落地的速度不等，故C错误；小球落地时的位移s＝，水平位移不等，竖直位移相等，则小球通过的位移不等，故D错误．
3.(同一位置平抛后落在同一竖直平面上)(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示．已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)( )
A．初速度之比是 ∶∶
B．初速度之比是1∶∶
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是 ∶∶
解析：AC 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，水平方向上做匀速直线运动．又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误．
4．(不同高度平抛后落在同一水平面上)(多选)在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一个固定的竖直杆，其上的三个光滑水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地的高度分别为3h、2h和h.当小车遇到障碍物M时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，落到水平路面上的第一落点分别是a、b、c点，如图所示．不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．三个小球从平抛至落地的时间之比tA∶tB∶tC＝∶∶1
B．三个小球从平抛至落地的时间之比tA∶tB∶tC＝3∶2∶1
C．三个小球落点的间距之比L1∶L2＝(－)∶(－1)
D．三个小球落点的间距之比L1∶L2＝1∶1
解析：AC 由题意可知，A、B、C三个小球下落高度之比为3∶2∶1，由于竖直方向上做自由落体运动，由t＝可知，三个小球从平抛至落地的时间之比为∶∶1，A正确，B错误；三个小球在水平方向上做速度相同的匀速直线运动，可知A、B、C三个小球的水平位移之比为∶∶1，因此由题图可知L1∶L2＝(－)∶(－1)，C正确，D错误．
命题点三 有约束条件的平抛运动模型(多维探究)
第1维度：落点在斜面上的平抛运动…………………
图示
方法
基本规律
运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形
水平v x＝v 0
竖直v y＝gt
合速度v＝
由tan θ＝＝得t＝
分解位移，构建位移的矢量三角形
水平x＝v 0t
竖直y＝gt2
合位移x合＝
由tan θ＝＝
得t＝
在运动起点同时分解v 0、g
由0＝v 1－a1t，0－v ＝－2a1d，得t＝，
d＝
分解平行于斜面的速度v
由v y＝gt得t＝
(多选)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点．不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φ
B．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θ
C．小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ∶1
D．小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
解析：BC 由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，由平抛运动的推论可知，tan φ＝2tan θ，选项B正确，A错误；设小球A在空中运动的时间为t1，小球B在空中运动的时间为t2，则由平抛运动的规律可得tan θ＝，tan θ＝，故＝2tan2 θ，选项C正确，D错误．
第2维度：落点在圆弧面上的平抛运动…………………
落点在圆弧面上的三种常见情景
(1)如图甲所示，小球从半圆弧左边平抛，落到半圆内的不同位置．由半径和几何关系制约时间t:h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t.
(2)如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等．
(3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等．
(多选)如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方P点，将一个小球以速度v0沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，测得该截面的圆心O与Q点的连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球从P运动到Q所用的时间是( )
A．t＝ B．t＝
C．t＝ D．t＝
解析：ABD 如图所示，小球在水平方向上做匀速运动，水平位移x＝Rsin θ＝v0t，得t＝，故选项A正确；小球到达Q点时竖直方向上的速度vy＝gt＝v0tan θ，得t＝，故选项B正确；小球从圆柱体的Q点沿切线飞过，故小球在Q点的速度方向垂直于半径OQ，在Q点的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，设小球通过Q点时其竖直位移为y，则y＝tan θ＝Rsin θtan θ，又有y＝gt2，联立解得t＝ ，选项D正确，C错误．
第3维度：落点在水平台阶上的平抛运动…………………
一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m．一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲打在第四级台阶上，则v的取值范围是( )
A. m/s
对于此类题目，无论落点怎样变化，其考查点均为平抛运动规律的应用，解题的关键是把约束界面的几何关系与平抛运动规律相互结合起来．
命题点四 平抛运动中的临界问题(师生互动)
[核心整合]
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件．
(2)分解速度或位移．
(3)若有必要，画出临界轨迹．
在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围．
解析：(1)打在AB中点的微粒，则h＝gt2
解得t＝.
(2)设打在B点的微粒初速度为v1，则
v1＝，2h＝gt
解得v1＝
同理，设打在A点的微粒初速度为v2，则v2＝L
所以微粒初速度范围为≤v≤L.
答案：(1) (2)≤v≤L
极限分析法在临界问题中的应用
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到产生临界的条件．
[题组突破]
1.(2022·四川内江市上学期一模)套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒．若重力加速度大小g＝10 m/s2，则小孩抛出圆环的初速度可能是( )
A．4.3 m/s B．5.6 m/s
C．6.5 m/s D．7.5 m/s
解析：B 根据h1－h2＝gt2得t＝＝ s＝0.2 s ，则平抛运动的最大速度v1＝＝ m/s＝6.0 m/s ，最小速度v2＝＝ m/s＝5.0 m/s，则5.0 m/s＜v＜6.0 m/s，故选项B正确．
2．如图所示，窗子上、下沿间的高度差H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2.则v的取值范围是( )
A．v＞7 m/s
B．v＜2.3 m/s
C．3 m/s＜v＜7 m/s
D．2.3 m/s＜v＜3 m/s
解析：C 小物件做平抛运动，可根据平抛运动规律解题．若小物件恰好经窗子上沿，则有h＝gt，L＝v1t1，得v1＝7 m/s，若小物块恰好经窗子下沿，则有h＋H＝gt，L＋d＝v2t2，得v2＝3 m/s，所以3 m/s ＜v＜7 m/s，故选项C正确．
3.(2022·广东五校一联)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A．0 B．0.1 m
C．0.2 m D．0.3 m
解析：C 小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有mg(H－h)＝mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确．
素养培优10 体育运动中的四类平抛运动问题
题型一 乒乓球的平抛运动问题
(多选)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的球1和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是( )
A．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率
B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率
C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
D．过网时球1的速度大于球2的速度
解析：AD 乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动．重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B错误；由h＝gt2可得两球飞行时间相同，C错误；由x＝vt可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D正确．
题型二 足球的平抛运动问题
如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)．球员顶球点的高度为h.足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )
A．足球位移的大小x＝
B．足球初速度的大小v0＝
C．足球末速度的大小v＝
D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝
解析：B 根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝ ，则足球位移的大小为：x＝＝ ，选项A错误；由h＝gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝ ，选项B正确；对足球应用动能定理：mgh＝mv2－mv，可得足球末速度v＝ ＝ ，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝，选项D错误．
题型三 网球的平抛运动问题
一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出，第一只球落在自己一方场地的B点，弹跳起来后，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处，如图所示，第二只球直接擦网而过，也落在A点处，设球与地面的碰撞过程没有能量损失，且运动过程不计空气阻力，则两只球飞过球网C处时水平速度之比为( )
A．1∶1 B．1∶3
C．3∶1 D．1∶9
解析：B 由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的．由于球与地面的碰撞没有能量损失，设第一只球自击出到落到A点时间为t1，第二只球自击出到落到A点时间为t2，则t1＝3t2.由于两球在水平方向均为匀速运动，水平位移大小相等，设它们从O点出发时的初速度分别为v1、v2，由x＝v0t得：v2＝3v1，所以有＝，所以两只球飞过球网C处时水平速度之比为1∶3，故B正确．
题型四 排球的平抛运动问题
如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高．如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界．设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是( )
A．H＝h B．H＝
C．H＝h D．H＝h
解析：C 将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有：H－h＝gt，H ＝gt，＝v0t1，＋＝v0t2，联立解得H＝h，故C正确．
解决体育运动中的平抛运动问题时，既要考虑研究平抛运动的思路和方法，又要考虑所涉及的体育运动设施的特点，如乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界；足球的球门有固定的高度和宽度．
限时规范训练
[基础巩固]
1．在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)( )
A．s B．s
C．s D．s
解析：C 设战机原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知炮弹在竖直方向有h＝gt2，解得t＝，则在水平方向s＝vt＝v；现战机高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则应有s′＝vt′，h＝gt′2，联立解得s′＝s，故C正确，A、B、D错误．
2.(2020·江苏卷)(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l.忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
解析：AD 由抛出点和落地点的几何关系，可推出小球A、B的位移大小相等，A正确；平抛的竖直分运动是自由落体运动，由h＝gt2可推出A运动的时间是B的倍，B错误；小球A的初速度v0A＝＝＝，小球B的初速度v0B＝＝＝，A的初速度是B的，C错误；根据机械能守恒定律，mAv＝mAv＋mAg·2l，mBv＝mBv＋mBgl，解得vA＝，vB＝，vA>vB，D正确．
3.某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等．若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度．下列说法正确的是( )
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同
B．运动员在A、D位置时重心的速度相同
C．运动员从A到B和从C到D的时间相同
D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间
解析：A 因每次曝光的时间间隔相等，设为Δt，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则相邻位置运动员重心的速度变化均为gΔt，故A正确；A和D处于同一水平高度，根据机械能守恒定律知运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，所以速度不同，故B错误；由题图可知，运动员从A到B为5Δt，从C到D的时间为6Δt，时间不相同，故C错误；由题图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的最高点位于C点，故D错误．故选A.
4.有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示，一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)，不计空气阻力．从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球下落时间与小球质量m有关
B．小球下落时间与小球初速度v有关
C．小球下落时间与水井井口直径d有关
D．小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关
解析：D 因为小球与井壁做多次弹性碰撞，碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，则将小球的运动轨迹连接起来就是一条做平抛运动的抛物线，可知小球在竖直方向做自由落体运动，由t＝可知，下落时间与小球的质量m、小球初速度v以及井口直径均无关，只与井口到水面高度差h有关，故选项D正确．
5．(多选)正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个，不计阻力，则( )
A．这5个球在空中排成一条直线
B．这5个球在空中处在同一抛物线上
C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变
D．相邻两球的落地点间距离相等
解析：AD 小球被释放后做平抛运动，其在水平方向的速度与飞机的飞行速度相等，飞机做匀速直线运动，所以5个小球始终在飞机的正下方，且相邻小球落地点的间距相等，故A、D正确，B错误；竖直方向上5个小球均做自由落体运动，由于第2个小球释放时第1个小球的速度已经为v0＝gt0＝10 m/s，所以第2个小球在空中运动时间t时，第1、2两小球的间距为Δh＝－gt2＝v0t，故两小球的间距逐渐增大，故C错误．
6．(2022·黄冈模拟)用如图甲所示的水平—斜面装置探究平抛运动．一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O点，O点与斜面顶端P点的距离为s.每次用水平拉力F，将物块由O点从静止开始拉动，当物块运动到P点时撤去拉力F.实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图像．若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角θ＝45°，g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求O、P间的距离s.(保留两位有效数字)
解析：根据牛顿第二定律，在OP段有
F－μmg＝ma，
又2as＝v，
由平抛运动规律和几何关系有，物块的水平射程x＝vPt，
物块的竖直位移y＝gt2，
由几何关系有y＝xtan θ，
联立以上各式可以得到x＝，
解得F＝ x＋μmg.
由题图乙知μmg＝5，＝10，
代入数据解得s＝0.25 m.
答案：0.25 m
[能力提升]
7．(2021·河北卷)铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2，O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m，重力加速度取g＝10 m/s2，则t1∶t2为( )
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
解析：C 铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，即x＝vt1，解得t1＝＝ s，铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体，即x＝g，解得t2＝ ＝ ＝0.4 s，则＝＝，故选C.
8.(2022·锦州模拟)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)．从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s.则小球第一次打在曲面上的位置为(g取10 m/s2)( )
A．(3 m，3 m) B．(2 m，4 m)
C．(1 m，1 m) D．(1 m，2 m)
解析：C 设小球第一次打在曲面上的位置为(x，y)，小球在水平方向有：x＝v0t; 竖直方向有：6－y＝gt2，x、y满足曲面方程，则y＝x2，联立各式并把g＝10 m/s2、v0＝1 m/s 代入解得x＝1 m，y＝1 m，则小球第一次打在曲面上的位置为(1 m，1 m)，故选项C正确．
9．(2022·海南琼海市高三期中)如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则( )
A．＝2 B．＝2
C．tan θ1tan θ2＝2 D．＝2
解析：C 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．由题知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C．
10．(多选)如图所示，水平抛出的物体，抵达斜面上端P处时速度恰好沿着斜面方向，紧贴斜面PQ无摩擦滑下，则下列物体沿x方向和y方向运动的位移—时间图像及速度—时间图像，可能正确的是( )
解析：AD 设斜面的倾角为α，水平抛出的物体抵达斜面之前在水平方向做匀速直线运动，故其水平速度vx＝v0，而抵达斜面后物体的加速度a＝gsin θ，故水平方向速度vx＝v0＋(gsin θcos θ)t，即在水平方向做匀加速运动可知B错误．抵达斜面之前物体在水平方向的位移x0＝v0t0，而抵达斜面后物体在水平方向的位移x＝x0＋v0Δt＋gsin θcos θΔt2，可知A正确．抵达斜面之前物体在竖直方向做自由落体运动，故竖直方向的速度vy＝gt，抵达斜面后物体在竖直方向的加速度ay＝gsin θsin θ＝gsin2 θ，故竖直方向的速度vy＝gt0＋g(sin θ)2t，可知D正确．抵达斜面前物体在竖直方向的位移y＝gt2，抵达斜面后物体在竖直方向的位移y＝gt＋gt0Δt＋gsin2θΔt2，可知C错误．
11．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的阻力，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A．
(1)设月球表面附近的重力加速度g＝1.6 m/s2，探测器在距离月球表面H＝2 km处速度v0＝100 m/s，方向竖直向下，探测器的总质量m＝4000 kg，探测器开动发动机，做匀减速直线运动，降落到月球表面时速度恰好为零，求这一过程需要的时间和发动机需要提供的力的大小．(不考虑探测器质量变化)
(2)假设探测器降落失败落在A点，与月球碰撞后弹起到h＝80 m高空B点处速度恰好沿水平方向，落月点A点与B点直线距离为L＝100 m，求探测器在最高点的速度大小．
解析：(1)由运动学公式H＝t1，得t1＝40 s
所以加速度大小为a＝＝2.5 m/s2
由牛顿第二定律得F－mg＝ma
所以F＝mg＋ma＝16 400 N.
(2)A、B之间直线距离为100 m，所以A、B之间水平距离为
x＝ ＝60 m
探测器做斜抛运动，因为在最高点速度水平，所以逆向可以看成平抛运动
h＝gt，x＝v1t2
解得：t2＝10 s，v1＝6 m/s.
答案：(1)40 s 16 400 N (2)6 m/s
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