2024年高考物理复习第一轮：第 4讲　万有引力定律及其应用　相对论

这是一份2024年高考物理复习第一轮：第 4讲　万有引力定律及其应用　相对论，共19页。
第4讲　万有引力定律及其应用　相对论

[主干知识·填一填]
一、开普勒三定律的内容、公式
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
＝k，k是一个与行星无关的常量
二、万有引力定律及其应用
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝G，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪什扭秤实验测定．
3．适用条件
(1)两个质点之间的相互作用．
(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心的距离．
(3)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点，r为质点到球心的距离．
三、经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)物体的质量不随速度的变化而变化．
(2)同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果相同．
(3)适用条件：宏观物体、低速运动．
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝ .
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．
(3)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的．
[规律结论·记一记]
1．面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等．由面积定律可知，行星在近日点的速度比它在远日点的速度大．
2．开普勒行星运动定律既适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕地球运动．
3．万有引力定律的“三性”
(1)普遍性：任何有质量的物体间都存在万有引力．
(2)相互性：两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力．
(3)宏观性：只有质量巨大的天体间或天体与其附近物体间的万有引力才有实际的物理意义．
4．不考虑地球自转时，地球表面上的重力加速度g＝.
5．地球赤道上的物体随地球自转的向心力由万有引力与支持力的合力提供，而地球表面附近做匀速圆周运动的卫星由万有引力提供向心力．
[必刷小题·测一测]
一、易混易错判断
1．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆．(√)
2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大．(×)
3．只有天体之间才存在万有引力．(×)
4．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力．(×)
5．地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心．(√)
6．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(×)
二、经典小题速练
1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析：C　太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得＝，故＝，C正确．
2．两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为(　　)
A．2F　　　　　　　　 B．4F
C．8F D．16F
解析：D　由M＝πR3ρ可知，两球半径加倍后，其质量为原来的8倍，又r′＝2r，由万有引力定律F＝，F′＝，可得F′＝16F，选项D正确．
3．若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则为(　　)
A．1 B．
C． D．
解析：D　设地球质量为M，在地球表面的物体m：＝mg，故g＝，该物体在距地面3R处时：＝mg′，故得g′＝，故＝，选项D正确．

命题点一　开普勒行星运动定律(自主学习)
[核心整合]
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
[题组突破]
1．(对开普勒行星运动定律的理解)对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是(　　)
A．开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律
B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨迹是圆，太阳处于圆心位置
C．根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小
D．根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
解析：C　第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律，选项A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，选项B错误；根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大，距离太阳越远，其运动速度越小，选项C正确；根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比，选项D错误．
2．(开普勒第二定律的应用)如图所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运行轨道，A、B、C、D是轨道上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远．B和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是(　　)

A．卫星在C点的速度最大
B．卫星在C点的加速度最大
C．卫星从A经D到C点的运动时间为
D．卫星从B经A到D点的运动时间为
解析：C　卫星绕地球沿椭圆轨道运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速度最小，故A错误；在椭圆的各个点上都是引力产生加速度，有a＝，因卫星在A点与地球的距离最小，则卫星在A点的加速度最大，故B错误；根据对称性可知tADC＝tCBA＝，故C正确；卫星在近地点A附近速度较大，在远地点C附近速度较小，则tBAD，故D错误．
3．(开普勒第三定律的应用)太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是(　　)
A．10年　　　　　　　 B．2年
C．4年 D．8年
解析：D　设地球半径为R，则行星的半径为4R，根据开普勒第三定律得＝，解得T行＝T＝8T，故D正确．
命题点二　万有引力定律的理解和应用(多维探究)
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南、北两极，g值越大.由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
3．万有引力的“两点理解”
(1)两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
(2)地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
第1维度：万有引力与重力的关系…………………
　(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越．已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍．在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程．悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)

A．9∶1　　　　　　　 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
解析：B　悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝G，可得＝G∶G＝×2＝，故选B．
第2维度：万有引力的计算…………………
　(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
解析：B　万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与地球表面受到的引力的比值为＝＝0.4，选项B正确．
第3维度：万有引力提供向心力…………………
　(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m．已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(　　)
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
解析：C　忽略火星自转则＝mg① ，可知GM＝gR2，设与运行周期为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r，由万引力提供向心力可知：＝mr② ，设近火点到火星中心为：R1＝R＋d1③ ，设远火点到火星中心为：R2＝R＋d2④ ，由开普勒第三定律可知：＝⑤，由以上分析可得：d2≈6×107 m，故选C．
第4维度：求天体表面某高度处的重力加速度…………………
　科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样．若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c＝3×108 m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为(　　)
A．108 m/s2 B．1010 m/s2
C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
解析：C　黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有＝mg，又有＝，联立解得g＝，代入数据得重力加速度约为1012 m/s2，故C正确．
第5维度：万有引力定律和牛顿第二定律的综合应用…………………
　(2020·山东卷)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)
A．m B．m
C．m D．m
解析：B　着陆器向下做匀减速运动时的加速度大小a＝＝.在天体表面附近，有mg＝G，则＝×，整理得g火＝0.4g，由牛顿第二定律知，着陆器运动时有F－mg火＝ma，则制动力F＝m，选项B正确．
命题点三　天体质量和密度的估算(师生互动)
[核心整合]
1．重力加速度法
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
(1)由G＝mg得天体质量M＝.
(2)天体密度：ρ＝＝＝.
2．卫星环绕法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T.
(1)由G＝m得天体的质量M＝.
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
　(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　)

A．4×104M　　　　　　 B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
解析：B　可以近似把S2看成匀速圆周运动，由题图可知，S2绕黑洞的周期T＝16年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r＝1000R，地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知G＝mRω2＝mR，解得太阳的质量为M＝，同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知G＝m′rω2＝m′r，解得黑洞的质量为Mx＝，综上可得Mx＝3.90×106M，故选B．

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R; 计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径．
[题组突破]
1．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　)
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
解析：D　根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得G＝m＝mω2r＝mr，可得M＝＝＝，可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量．故选D．
2．(多选)“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2，已知地球半径为R1，月球半径为R2，则(　　)
A．地球表面与月球表面的重力加速度之比为
B．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
C．地球与月球的质量之比为
D．地球与月球的平均密度之比为
解析：BD　地球表面的重力加速度为g1＝，月球表面的重力加速度g2＝，地球表面与月球表面的重力加速度之比为＝，故A错误．根据第一宇宙速度公式v＝，得＝＝，故B正确．根据mg＝，得M＝，地球质量M1＝，月球的质量M2＝，所以地球与月球质量之比为＝＝，故C错误．平均密度ρ＝＝，得＝＝，故D正确．
命题点四　狭义相对论(自主学习)
[核心整合]
1．狭义相对论的两个基本假设
(1)狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的．
(2)光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的，光速与光源、观测者间的相对运动没有关系．
2．狭义相对论的质能关系
用m表示物体的质量，E表示它具有的能量，则爱因斯坦质能方程为：E＝mc2.
3．狭义相对论的三个有用的结论
(1)运动的时钟变慢了．
(2)运动的尺子长度缩短了．
(3)运动的物体质量增大了．
[题组突破]
1．(狭义相对论的理解)(多选)接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有(　　)
A．飞船上的人观测到飞船上的钟较快
B．飞船上的人观测到飞船上的钟较慢
C．地球上的人观测到地球上的钟较快
D．地球上的人观测到地球上的钟较慢
解析：AC　相对论告诉我们，运动的钟会变慢，由于飞船上的人相对飞船上的钟是静止的，而观测到地球上的钟是高速运动的，因此飞船上的人观测到飞船上的钟相对于地球上的钟快，A项正确，B项错误；同样，地球上的人观测到飞船上的钟是高速运动的，因此地球上的人观测到地球上的钟比飞船上的钟快，C项正确，D项错误．
2．(狭义相对论结论的应用)一艘太空飞船静止时的长度为30 m，他以0.6c(c为光速)的速度沿长度方向飞行越过地球，下列说法正确的是(　　)
A．飞船上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
B．地球上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
C．飞船上的观测者测得地球上发来的光信号速度小于c
D．地球上的观测者测得飞船上发来的光信号速度小于c
解析：B　飞船上的观测者相对飞船静止，测得的长度仍为30 m，而地球上的观测者观测高速飞行的飞船，长度缩短了，故A错误，B正确；根据狭义相对论的基本假设可知，飞船和地球上的观测者测得光信号的速度均为c，C、D均错误．
3．(光速不变原理)如图所示，两艘飞船A、B沿同一直线同向飞行，相对地面的速度均为v(v接近光速c)．地面上的人测得它们相距为L，则飞船A上的人测得两飞船间的距离________(选填“大于”“等于”或“小于”)L.当B向A发出一光信号，飞船A上的人测得该信号的速度为________．

解析：根据狭义相对论的光速不变原理，因此飞船A上的人测得信号的速度仍等于c(或光速)，以地面为参考系，在运动方向有尺缩效应现象，而B相对A是静止的，没有尺缩效应现象，则飞船A上的人测得两飞船距离应大于L.
答案：大于　c(或光速)

素养培优12　万有引力的三种计算思路
思路一　用万有引力定律计算质点间的万有引力
公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线．
　(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是(　　)
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：BC　由万有引力定律知A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d＝2rcos 30°＝r，由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，则D项错误．
思路二　推论法计算万有引力
推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零．
推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力，即F＝G.
　如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西．若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度(　　)
A．一直增大　　　　　 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
解析：D　设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有引力F＝G·＝πGρmr，物体的加速度a＝＝πGρr，由题意可知r先减小后增大，故a也先减小后增大，则选项D正确．
思路三　填补法求解万有引力
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想．
　如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　)
A．G B．0
C．4G D．G
解析：D　若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝G＝G，故D正确．
限时规范训练
[基础巩固]
1．(2022·重庆市外国语学校高三质检)(多选)质量为m的小物块静止在赤道处，下列关于小物块所受引力和重力的说法正确的是(　　)
A．小物块所受重力的方向一定指向地心
B．小物块所受引力的方向一定指向地心
C．若地球自转加快，小物块所受重力变小
D．若地球自转加快，小物块所受引力变小
解析：ABC　重力的方向竖直向下，而赤道处竖直向下和指向地心重合，则赤道位置的重力指向地心，则A项正确；物体受到地球的万有引力方向沿物体和地球的球心连线而指向地心，故B项正确；对赤道位置的物体分析可知，所受万有引力产生两分力效果，一是重力，二是自转向心力，且三者的方向都指向地心，满足：G＝mRω2＋mg赤，则自转加快即角速度ω增大，所需向心力变大，而引力不变，故重力变小，故C项正确；物体所受万有引力大小G，与自转快慢无关，则地球自转加快时小物块所受的引力不变，故D项错误．
2．(2022·安徽六安市省示范高中教学质检)国产科幻巨作《流浪地球》上映，开创了中国科幻电影的新纪元，打破了中国人不会拍摄科幻电影的魔咒，也引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论．其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系．假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为(　　)
A．8年　　　　　　　 B．6年　
C．4年 D．2年
解析：A　由开普勒第三定律＝，解得T1＝8年，选项A正确．
3．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)

解析：D　由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A．
4．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)(　　)
A． B．4倍
C．16倍 D．64倍
解析：D　天体表面的物体所受重力mg＝G，又知ρ＝，所以M＝，故＝＝64.D正确．
5．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得G＝mR
球形星体质量可表示为：M＝ρ·πR3
由以上两式可得：T＝ .
6．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现首颗系外“宜居”行星，假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍，那么一个在地球表面能举起64 kg物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A．40 kg B．50 kg
C．60 kg D．30 kg
解析：A　在地球表面，万有引力近似等于重力即＝mg，得g＝，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径约为地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力可认为是不变的，则人在行星表面所举起的物体的质量为m＝＝ kg＝40 kg，故A正确．
7．如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道．已知地球的半径R＝6400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)(　　)

A．3 h B．8 h
C．15 h D．20 h
解析：A　根据题图中MEO卫星距离地面高度为4200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R2＝42 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1.地球同步卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律，＝，解得T1＝3 h，选项A正确．
[能力提升]
8．(多选)探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想．假设人类某次利用飞船探测火星的过程中，飞船只在万有引力作用下贴着火星表面绕火星做圆周运动时，测得其绕行速度为v，绕行一周所用时间为T, 已知引力常量为G，则(　　)
A．火星表面的重力加速度为
B．火星的半径为
C．火星的密度为
D．火星的质量为
解析：BC　飞船在火星表面做匀速圆周运动，轨道半径等于火星的半径，根据v＝，得R＝，故B正确；根据万有引力提供向心力，有G＝mR，得火星的质量M＝，根据密度公式得火星的密度ρ＝＝＝，故C正确；根据M＝ρ·＝×× ＝，可知D错误；根据重力等于万有引力得，mg＝G，得g＝G＝，故A错误．
9．(多选)天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，后来哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星．哈雷彗星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点．若只考虑哈雷彗星和太阳之间的相互作用，则(　　)

A．哈雷彗星的运行周期约为76年
B．哈雷彗星从P点运动到M点需要19年
C．哈雷彗星从P经M到Q阶段，速率逐渐减小
D．哈雷彗星从P经M到Q阶段，机械能逐渐减小
解析：AC　设彗星的周期为T1，地球的公转周期为T2，这颗彗星轨道的半长轴a1约等于地球公转半径R的18倍，由开普勒第三定律＝k得＝＝≈76，即T1＝76年，A正确；从P到Q过程中，彗星需要克服引力做功，动能减小，即速率越来越小，所以从P到M过程中所需时间小于周期的四分之一，即小于19年，B错误，C正确；从P到Q过程中只有引力做功，机械能不变，D错误．
10．如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)(　　)

A．0.01 B．0.02
C．0.05 D．0.04
解析：D　由题意知，所挖出小球的半径为，质量为，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝G＝，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝G＝，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝G＝，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04，D选项正确．
11．(2022·山西太原二模)(多选)某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利用一些常见的数据计算出地球的半径和质量．已知常见数据为万有引力常量G，地球的自转周期T，地球两极处的重力加速度g0.若视地球为质量分布均匀的球体，赤道处的重力加速度g已经测出，则下列说法中正确的是(　　)
A．地球的半径为
B．地球的半径为
C．地球的质量为
D．地球的质量为
解析：BD　在两极地区，物体受到地球的万有引力等于其所受的重力，则有＝mg0，在赤道处，则有－mg＝m，联立可得地球的半径为R＝，将R＝代入＝mg0可得地球的质量为M＝，故A、C错误，B、D正确．
12．通常情况下中子星的自转速度是非常快的，因此任何的微小凸起都将造成时空的扭曲并产生连续的引力波信号，这种引力辐射过程会带走一部分能量并使中子星的自转速度逐渐下降．现有一中子星(可视为均匀球体)，它的自转周期为T0时恰能维持该星体的稳定(不因自转而瓦解)，则当中子星的自转周期增为T＝2T0时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为(　　)
A． B．2
C． D．
解析：D　自转周期为T0时恰能维持星体的稳定，有G＝mR，当中子星的自转周期增为T＝2T0时，在两极有G＝mg，在赤道有－mg′＝mR，联立解得＝.
13．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)
A．1－ B．1＋
C． D．
解析：A　如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G；设矿井底部处的重力加速度为g′，等效“地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部处的物体m受到的重力mg′＝G，又M＝ρV＝ρ·πR3，M′＝ρV′＝ρ·π(R－d)3，联立解得＝1－，A正确．
14．(多选)如图甲所示，假设某星球表面上有一倾角为θ的固定斜面，一质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上运动，其速度—时间图像如图乙所示．已知小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝，该星球半径为R＝6×104 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，π取3.14，则下列说法正确的是(　　)

A．该星球的第一宇宙速度v1＝3.0×104 m/s
B．该星球的质量M＝8.1×1026 kg
C．该星球的自转周期T＝1.3×104 s
D．该星球的密度ρ＝896 kg/m3
解析：ABD　物块上滑过程中，根据牛顿第二定律，在沿斜面方向上有μmgcos θ＋ mgsin θ＝ma1，下滑过程中，在沿斜面方向上有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，又知v­t图像的斜率表示加速度，则上滑和下滑过程中物块的加速度大小分别为a1＝ m/s2＝10 m/s2，a2＝ m/s2＝5 m/s2，联立解得g＝15 m/s2，该星球的第一宇宙速度为v1＝＝ m/s＝3.0×104 m/s，故选项A正确；根据黄金代换式GM＝gR2可得该星球的质量为M＝＝ kg＝8.1×1026 kg，故选项B正确；根据所给条件无法计算出该星球的自转周期，故选项C错误；该星球的密度ρ＝＝＝896 kg/m3，故选项D正确．