高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

【教学内容解析】

计数就是数数．原理是在大量观察、实践的基础上，经过抽象、归纳、概括而得出具有普遍意义的基本规律．两个计数原理不仅是继续学习排列、组合和二项式定理的理论依据，更是处理计数问题的两种基本思想方法，在本章中是奠基性的知识．

从认知基础的角度看，两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的拓展应用，是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证．

从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干“类别”，再分类解决；运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干“步骤”，先对每个步骤分类处理，再分步完成．综合运用两个计数原理就是将综合问题分解为多个单一问题，再对每个单一问题各个击破．也就是说，两个计数原理的灵魂是划归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身．

从数学本质的角度看，计数原理是加法运算、乘法运算的延伸与推广，是生活中分类、分步背后所蕴含的数量关系的数学刻画.它与向量基本定理有异曲同工之处：都是通过分解、转化解决问题；都是把复杂的事情分解、转化为简单的事情后，先把简单的事情搞清楚，再解决复杂的问题.以退为进，以简驭繁，化难为易，化繁为简，是理解和掌握两个计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂．

因此，本课的主要任务是如何依托学生已有的认知基础总结得出两个计数原理，并能初步领会应用原理简捷地解决计数问题的要领．

根据以上分析，本节课的教学重点确定为：

教学重点：归纳出两个计数原理，并能初步用其解决一些简单的实际问题.

【学生学情分析】

计数问题学生并不陌生，在不同的学段都有相应的接触，特别是在高中数学《必修3》中学习“古典概型”时，学生又学会了用列举法解决最简单的计数问题；同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题，这些都是学生学习两个计数原理的认知基础．

两个计数原理虽简单朴素，易学好懂，但如何让学生借助已有的数学活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，实现认知的飞跃，则是本课必须要突破的难点所在．为此，抓住以下两个要点尤为重要：

一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳提炼的过程，加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机；

二是要在解决问题的过程中，始终突出两个计数原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键．

根据以上分析，本节课的教学难点确定为：

教学难点：根据实际问题的具体特征，正确理解“完成一件事”的含义；准确区分“分类”和“分步”．

【教学目标设置】

1.通过给出的具体实例，学生经历两个计数原理的抽象概括的发现过程，能归纳出两个计数原理，并能说出两个计数原理的联系与区别，体会从特殊到一般的思维，渗透数学抽象核心素养；

2.根据具体的问题情境，学生能描述“完成一件事”的具体含义，说出“分类”与“分步”的区别，总结出应用两个计数原理的基本步骤，培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考问题的能力；

3.通过课堂练习、引例探究和列举实例，学生会正确选择和应用两个计数原理解决一些简单的实际问题，领悟运用两个计数原理所包含的划归与转化、分类与整合和特殊与一般的思想方法，以及以退为进的思维策略，渗透应用意识.

【学习目标设置】

1.我能从不同的具体的事例中看出相同的本质，并用准确的语言描述分类加法计数原理和分步乘法计数原理；

2.我能辨析“分类”和“分步”的区别，在具体问题时能正确选择恰当的方法；

3.我能体会数学与生活的密切联系，会试着用数学的眼光观察周围的事物，用数学的思维解决生活中的问题.

【教学策略分析】

本节课采用文学故事的方式，以一个高中生在新冠疫情期间所产生的问题为导向，采用“情景引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺垫”的探究发现式教学方法，紧紧围绕如何抽象、怎样概括、如何归纳和怎么应用等问题展开，通过故事主人引导学生归纳出两个计数原理，并能学会初步应用．

具体教学策略分成如下五个环节：

【教学过程展示】

1．创设情境，提出问题

在抗击新冠疫情的过程中，每天睁开眼第一件事就是看确诊病例的数目.计数问题在生活中经常遇到.但有些复杂的计数问题我们却不能一下子得到答案，如下题：

问题：为支援湖北抗击新冠疫情，深圳市某医院欲从4名医生抽选3人分配到A，B，C三个地区参加医疗救援(每个地区一人)，则分配方案共有多少种？

【设计意图】以学生关心的知识背景切入本节课，以视频演示烘托气氛，提高了学生主动参与学习的积极性，同时点题：如何有效的计数．

2．实例探究，归纳原理

为了解决一些较为复杂的计数问题，我们需要学习一些基本的计数原理，今天我们就进入选修2-3第一章计数原理.我们先来看看人大附中深圳学校张伟同学在日常中遇到的一些计数问题.

问题1：疫情让张伟只能在家上学，他申请了一个 QQ 号，需要设定一个五位密码（密码由数字和小写字母构成)，前四位密码他准备设定为9527，最后一位密码他可以有多少种设法?

问题2：疫情结束，5月11日返校，深圳夏季校服有2种组合，张伟有3双鞋子，他一共有几种搭配？

问题3：高一下学期期末，张伟要进行选科，需要在物理和历史中2科中选一科，在化学、生物、政治和地理中选两科，即在化生、化政、化地、生政、生地、政地6种组合中选一种，小明的选科方案有多少种？

问题4：高二上学期开学，张伟惊喜地发现，学校更换了食堂，“快乐食间” 推 出两种套餐 ： A套餐（西餐）（15元）有8种配餐方式 ， B套餐（铁板烧）（ 18元 ）有 5种配餐方式 . 如果只选择一份套餐 ， 他有多少种不同的选择 ？

问题5：高二下学期，学校研学课有24门，选修课有28门，社团课有44门，张伟的选课方案有多少种？

分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.

注：（1）各类方案之间相互独立,都能独立的完成这件事；（2）先要根据具体的问题确定一个分类标准;（3）可推广到n类.

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.

注：（1）各步骤相互依存, 每步都完成才算完成此事；（2）确定一个分步的标准，然后对每步方法计数;（3）可推广到n步.

【设计意图】让学生体会知识获得的过程，通过独立思考、自主探究、合作交流归纳出原理．

3．例题讲解，即时应用

例题：现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不同的水粉画.(1)张伟从中任选一幅画布置教室，有几种不同的选法？.(2)从这些国画、油画、水粉画中各选一幅布置教室，有几种不同的选法？.(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置教室，有几种不同的选法？(4)要从已经选出的甲、乙、丙3幅不同的画中挑出2幅，分别挂在左、右两边墙的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

【设计意图】让学生体会应用两个原理解决问题的基本步骤，加深对两个原理的理解

4．演练反馈，巩固新知

练习1 :在模拟填写高考志愿表时,张伟 了解到A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:

A大学                   B大学

      生物学                数  学

    化  学               会计学

       医  学                信息技术学

    物理学                  法  学

工程学

如果他只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

练习2: 高二（18）班有男生25人，女生22人，

  (1)推选1人为班长，有多少种不同的选法？

  (2)推选1男1女作为数学课代表，有多少种不同的选法？

  (3)期中考试班级数学130~150（A段）有10人， 110~120 （B段）有27人， 110分以下（C段） 10人，从班级中选出2个人进行期中考试后座谈，要求这2个人不同分数段，有多少种不同的选法？

练习3:运动会中， 4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是       ; 4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有         种.练习：引例你能解决吗？

【设计意图】设问循序渐进，突出强调解题时，弄清完成一件事的要求至关重要，只有这样才能正确区分“分类”和“分步”（区分的关键是对“完成一件事”的理解）．呼应引例，开放探究，巩固两个计数原理．

5.拓展延申，更上一层

练习4:现用4种不同的颜色对深圳市东部5个行政区域图进行涂色，相邻区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有             种.

思考:现用4种不同的颜色对深圳市西部5个行政区域图进行涂色，相邻区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有             种.

【设计意图】加深对“完成一件事”的理解，渗透数学应用意识，渗透数学文化.

6.总结提炼，认知升华

知识总结：

方法总结

把复杂问题进行分解，变为简单问题；生活中处处有数学，要善用数学的眼光观察世界，用数学思维思考问题，用数学语言描述世界.