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2022-2023学年四川省资阳市安岳县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省资阳市安岳县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省资阳市安岳县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 方程2x−8=0的解是( )
A. x=3 B. x=−3 C. x=4 D. x=−4
2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
4. 若关于x的不等式x+m2−1>2m的解集是x>5，则m的值是( )
A. −1 B. 1 C. 2 D. 3
5. 若a−b3 D. a2
A. 77°
B. 62°
C. 57°
D. 55°
7. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F.若BC=10，△ABD的面积为24，则EF的长为( )
A. 1.2
B. 2.4
C. 3.6
D. 4.8
8. 下列说法：
(1)解方程x+14=x−5x−112时，去分母得3(x+1)=x−(5x−1)；
(2)若一个等腰三角形的两边长分别为5和9，则该三角形的周长是23；
(3)选择边长相等的正三角形、正方形、正六边形和正八边形中两种地砖密铺地面，不可以选择正三角形与正八边形；
(4)等边三角形和线段都是旋转对称图形.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，则大长方形的面积是( )
A. 6400cm2
B. 6700cm2
C. 6750cm2
D. 6800cm2
10. 定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α称为“友好角”.如果一个“友好三角形”的一个内角为42°，那么这个三角形的“友好角”α的度数为( )
A. 42° B. 84° C. 42°或84° D. 42°或84°或92°
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 已知方程5xm−2+1=0是关于x的一元一次方程，则m的值是______ ．
12. 不等式4x−3<2x+1的正整数解是______ ．
13. 如图，将长为6cm，宽为4cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为______ cm2．
14. 对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如：3⊗4=2×3+4=10.若x⊗(−y)=2，(2y)⊗x=1，则x+y的值是______ ．
15. 如图，在△ABC中，∠C=76°，AC边上有一点D，使得∠A=∠ABD，将△ABC沿BD翻折得到△A′BD，此时A′D//BC，则∠ABC的度数为______ ．
16. 如图，在第一个图中互不重叠的三角形共有4个，在第2个图中互不重叠的三角形共有7个，…，则在第15个图中互不重叠的三角形共有______ 个.
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)x+23−1=1−x2；
(2)x+2y=83x−4y=4．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：6−2x>05x+12+1≥2x−13，并将解集在数轴上表示出来．
19. (本小题9.0分)
如图，在四边形ABCD中，
(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O中心对称；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为BC上一点，连结AE．
(1)当AE为边BC的中线时，若AD=8，△ABC的面积为40，求CE的长；
(2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠B=38°，求∠DAE的度数．
21. (本小题8.0分)
在解方程组ax+4y=233x−by=5时，由于粗心，甲看错了方程中的a，而得到的解为x=1y=−1；乙看错了方程中的b，而得到的解为x=7y=−3．
(1)求a2−2ab+b2的值；
(2)求原方程组的正确解．
22. (本小题10.0分)
随着夏季的到来，某床上用品店准备新进A、B两种不同型号的凉席.在进货时，发现购进10件A型凉席和15件B型凉席的费用是3600元，购进25件A型凉席和30件B型凉席的费用是8100元．
(1)求A、B两种型号的凉席每件进价分别是多少元？
(2)已知A型凉席每件的售价是260元，B型凉席每件的售价是180元，现准备购进A型和B型凉席共60件，若使全部售完后获得的总利润不低于4400元，求最少需要购进A型凉席多少件？
23. (本小题10.0分)
在四边形ABCD中，∠A=80°，∠D=140°．
(1)如图①，若∠B=∠C，求出∠B的度数；
(2)如图②，若∠DCB的角平分线交AB于点E，且EC//AD，求出∠B的度数；
(3)如图③，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，求出∠BEC的度数．
24. (本小题11.0分)
定义：对于任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“柠安数”.将一个“柠安数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为f(a).例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和55与11的商为55÷11=5，所以f(23)=5.根据以上定义，回答下列问题：
(1)填空：
①下列两位数：60、58、88、31中，“柠安数”为______ ；
②计算：f(42)= ______ ；
(2)如果一个“柠安数”m的十位数字为n，个位数字是2n+1，且f(m)=13，请求出“柠安数”m；
(3)如果一个“柠安数”x满足x−5f(x)>30，求满足条件的x的值．
25. (本小题12.0分)
如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
(1)将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图2，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
(2)将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，边CD恰好与边MN平行？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2x−8=0，
移项得：2x=0+8，
合并同类项得：2x=8，
系数化为1得：x=4，
故选：C．
利用解一元一次方程的方法解方程即可．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，360°n=72°，
∴n=5，
故选：D．
根据正多边形的中心角=360°n，求出n即可．
本题考查正多边形的中心角知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4.【答案】B
【解析】解：解关于x的不等式x+m2−1>2m得：x>3m+2，
根据题意得：3m+2=5，
解得：m=1．
故选：B．
首先解关于x的不等式，然后根据不等式的解集是x>5，即可得到一个关于m的方程，从而求解．
本题考查了不等式的解集，正确解关于x的不等式是关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、在不等式a−b3，故本选项不符合题意；
D、当a=−5，b=1时，不等式a2
由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
6.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠B=28°，
∴∠D=∠B=28°，
∴∠EAD=180°−∠E−∠D=180°−95°−28°=57°，
∴∠BAD=∠EAB+∠EAD=57°+20°=77°，
故选：A．
根据全等三角形的对应角相等得到∠D=∠B=28°，根据三角形内角和定理求出∠EAD，进而求出∠BAD．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接EB，
∵E是AD的中点，△ABD的面积为24，
∴△EBD的面积为12，
∵D是边BC的中点，BC=10，
∴BD=5，
∴12×5×EF=12，
解得：EF=4.8，
故选：D．
连接EB，根据三角形的面积公式求出△EBD的面积，根据题意求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：(1)解方程x+14=x−5x−112时，去分母得3(x+1)=12x−(5x−1)，故原说法错误；
(2)若一个等腰三角形的两边长分别为5和9，则该三角形的周长是23或19，故原说法错误；
(3)选择边长相等的正三角形、正方形、正六边形和正八边形中两种地砖密铺地面，不可以选择正三角形与正八边形，说法正确；
(4)等边三角形和线段都是旋转对称图形，说法正确．
故选：B．
依据解一元一次方程的方法、等腰三角形的性质、正多边形以及旋转对称图形的定义进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了解一元一次方程的方法、等腰三角形的性质、正多边形以及旋转对称图形的定义，解题时注意：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°)后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
9.【答案】C
【解析】解：设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意得：x+2y=75x+3y=2x，
解得：x=45y=15，
∴10xy=10×45×15=6750，
即大长方形的面积是6750cm2，
故选：C．
设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：当42°的角为友好角α时，则友好角为42°；
当42°不是友好角，而是友好角的一半时，则友好角为：2×42°=84°；
当42°既不是友好角，也不是友好角的一半时，则有：α+12α=180°−42°，
解得：α=92°，
综上所述，这个三角形的友好角为：42°或84°或92°．
故选：D．
分42°角进行讨论，根据友好角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
11.【答案】3
【解析】解：∵方程5xm−2+1=0是关于x的一元一次方程，
∴m−2=1，
解得：m=3．
故答案为：3．
根据一元一次方程的定义(含有一个未知数且未知数的指数为1)得到m−2=1，求解即可．
本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解一元一次方程的定义是解题关键．
12.【答案】0
4x−2x<1+3，
2x<4，
x<2，
故答案为：0
本题考查了解一元一次不等式，以及解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13.【答案】12
【解析】解：由题意，阴影部分是矩形，长为(6−2)cm，宽为(4−1)cm，
∴阴影部分的面积=(6−2)(4−1)=12(cm2)，
故答案为：12．
利用平移的性质求出阴影部分矩形的长，宽即可解决问题．
本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】1
【解析】解：根据题中的新定义化简得：2x−y=2①4y+x=1②，
①+②得：3x+3y=3，
则x+y=1．
故答案为：1．
已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，两方程相加即可求出x+y的值．
此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15.【答案】78°
【解析】解：∵A′D//BC
∴∠CBA′=∠A′．
∵△ABD沿BD翻折得△A′BD，
∴∠A=∠A′，∠ABD=∠A′BD．
∵∠A=∠ABD，
∴∠CBA′=∠A′BD=∠ABD=∠A．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=76°，
∴∠A+3∠A=104°．
∴∠A=26°．
∴∠ABC=78°．
故答案为：78°．
先由平行线的性质得到∠CBA′与∠A′的关系，再由折叠得到∠A与∠A′、ABD与∠A′BD的关系，最后利用三角形的内角和定理求出∠ABC．
本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是180°”等知识点是解决本题的关键．
16.【答案】46
【解析】解：(1)图1中互不重叠的三角形有4个
图2中互不重叠的三角形有7=4+3个
图3中互不重叠的三角形有10=4+3×2个，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
图n中互不重叠的三角形有4+3(n−1)=(3n+1)个．
当n=15时，3×15+1=46，
故答案为：46．
根据图形结合题目所给数据寻找规律，发现图2比图1多3个互不重叠的三角形，即4+3个；图3比图2多3个互不重叠的三角形，即4+3×2个；依此类推，得出图n中互不重叠的三角形的个数规律，然后代入n=15即可求得答案．
本题考查了图形的变化类问题，把图形和数据相结合，找出其中的内在联系，按照规律便能顺利解题．
17.【答案】解：(1)x+23−1=1−x2，
2(x+2)−6=3(1−x)，
2x+4−6=3−3x，
5x=5，
x=1；
(2)x+2y=8①3x−4y=4②，
①×2得：2x+4y=16③，
②+③得：5x=20，
解得：x=4，
把x=4代入①得：4+2y=8，
解得：y=2，
故原方程组的解是：x=4y=2．
【解析】(1)利用解一元一次方程的方法进行求解即可；
(2)利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次方程，解答的关键是对相应的知识的掌握．
18.【答案】解：由6−2x>0，得：x<3，
由5x+12+1≥2x−13，得：x≥−1，
则不等式组的解集为−1≤x<3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)四边形A1B1C1D1如图所示；
(2)四边形A2B2C2D2如图所示；
(3)如图所示，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2关于直线PQ成轴对称．
【解析】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
(1)根据网格结构找出点A、B、C、D关于直线MN的对称点A1、B1、C1、D1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点A、B、C、D关于点O的对称点A2、B2、C2、D2的位置，然后顺次连接即可；
(3)观察图形，根据轴对称的性质解答．
20.【答案】解：(1)∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为40，
∴12BC⋅AD=40，
∴BC=40×28=10，
∵AE为边BC上的中线，
∴CE=12BC=5；
(2)∵∠C=66°，∠B=38°，
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=180°−66°−38°=76°，
∴AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=38°，
∵∠ADC=90°，∠C=66°，
∴∠CAD=90°−66°=24°，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=38°−24°=14°．
【解析】(1)先根据三角形面积公式计算出BC=8，然后根据AE为边BC上的中线得到CE的长；
(2)先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=78°，再利用角平分线的定义得到∠CAE=39°，接着计算出∠CAD，然后计算∠CAE−∠CAD即可．
本题考查了三角形的面积以及中线和角平分线，关键是明白三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12×底×高，计算角的关键是角的和差关系．
21.【答案】解：(1)将x=1y=−1代入3x−by=5得：3×1−b×(−1)=5，
解得：b=2；
将x=7y=−3代入ax+4y=23得：7a+4×(−3)=23，
解得：a=5，
∴a2−2ab+b2=(a−b)2=(5−2)2=9；
(2)由(1)可知：原方程组为5x+4y=23①3x−2y=5②，
①+②×2得：11x=33，
解得：x=3，
将x=3代入①得：5×3+4y=23，
解得：y=2，
∴原方程组的解为x=3y=2．
【解析】(1)将x=1y=−1代入3x−by=5，可求出b值，将x=7y=−3代入ax+4y=23，可求出a值，再将a，b的值代入a2−2ab+b2=(a−b)2中，即可求出结论；
(2)将a，b的值代入原方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是：(1)将甲、乙得出的解代入未看错的方程，分别求出b，a的值；(2)代入a，b的值，解二元一次方程组．
22.【答案】解：(1)设A种凉席每件进价是x元，B种凉席每件进价是y元，
根据题意得：10x+15y=360025x+30y=8100，
解得x=180y=120，
答：A种凉席每件进价是180元，B种凉席每件进价是120元；
(2)设购进A种凉席m件，则购进B种凉席(60−m)件，
∵全部售完后获取的利润不低于4400元，
∴(260−180)m+(180−120)(60−m)≥4400，
解得m≥40，
∵m为整数，
∴m最小取40，
答：最少需要购进A种凉席40件．
【解析】(1)设A种凉席每件进价是x元，B种凉席每件进价是y元，可得：10x+15y=360025x+30y=8100，即可解得A种凉席每件进价是180元，B种凉席每件进价是120元；
(2)设购进A种凉席m件，由全部售完后获取的利润不低于4400元，有(260−180)m+(280−120)(60−m)≥4400，即可知最少需要购进A种凉席40件．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．
23.【答案】解：(1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=80°∠D=140°，
∴∠B+∠C=360°−∠A−∠D=360°−80°−140°=140°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=70°；
(2)∵EC//AD，∠A=80°，∠D=140°，
∴∠AEC=180°−∠A=100°，∠DCE=180°−∠D=40°，
∵CE平分∠DCB，
∴∠ECB=∠DCE=40°，
∵∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠B=∠AEC−∠ECB=100°−40°=60°；
(3)∵∠A+∠ABC+∠DCB+∠D=360°，∠A=80°，∠D=140°，
∴∠ABC+∠DCB=360°−∠A−∠D=360°−80°−140°=140°，
∵BE，CE分别平分∠ABC和∠DCB，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠DCB，
∴∠EBC+∠ECB=12(∠ABC+∠DCB)=12×140°=70°，
∴∠BEC=180°−∠EBC−∠ECB=180°−70°=110°．
【解析】(1)根据四边形的内角和是360°，结合已知条件就可求解；
(2)根据平行线的性质得到∠AEC的度数，再根据角平分线的定义得到∠ECB=∠DCE=40°，最后根据三角形外角的性质进行求解；
(3)根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得∠EBC+∠ECB的度数，再进一步求得∠BEC的度数．
本题考查了四边形的内角和以及三角形的内角和、熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
24.【答案】58，31 6
【解析】解：(1)①由“柠安数”的定义可得“柠安数”为：58，31；
②f(42)=(42+24)÷11=6，
故答案为：①58，31；②6；
(2)∵任意一个“柠安数”m的十位上的数字是n，个位上的数字是2n+1，
∴f(m)=(10n+2n+1+20n+10+n)÷11=3n+1，
∵f(m)=13，
∴3n+1=13，
解得：n=4，
∴m=10n+2n+1=49；
(3)设x的十位上的数字是a，个位上的数字是b，
∴x=10a+b，f(x)=(10a+b+10b+a)÷11=a+b，
∵x−5f(x)>30，
∴10a+b−5(a+b)>30，
∴5a>30+4b，
∵b≥1，
∴5a>34，即a>6.8，
∵a为整数，
a可取7，8，9，
当a=7时b=1，x=71，
当a=8时b=1或2，x=81或82，
当a=9时b=1或2或3，x=91或92或93，
综上所述，满足条件的x的值为71，81，82，91，92，93．
(1)①有“柠安数“的定义可得；
②根据定义计算即可；
(2)根据一个“柠安数”m的十位数字为n，个位数字是2n+1，则f(10n+2n+1)=(10n+2n+1+20n+10+n)÷11=3n+1，由于f(m)=13，则3n+1=13，建立方程求n即可求m的值；
(3)设x十位数字为a，个位数字为b，根据x−5f(x)>30列出不等式，即可写出满足条件的x的值．
本题考查了因式分解的应用、解一元一次不等式、理解“柠安数”的定义，并按照定义分析是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1中，
当OD平分∠MON时，∵∠D=∠DON=45°，
∴CD//ON，
∴∠CEN+∠N=180°，
∵∠N=30°，
∴∠CEN=150°．
(2)①如图2−1中，当CD//MN时，设CD交MN于E．
则有∠OEM=∠D=45°，
∵∠OEM=∠N+∠EON，
∴∠EON=45°−30°=15°，
∴∠MOE=75°，
此时旋转角为75°，
∵每秒5°的速度，
∴75÷5=15(秒)；
②如图2−2中，当CD//MN时，延长DO交MN于E．
同法可得∠MOE=75°，可得旋转角=75°+180°=255°，
∵每秒5°的速度，
∴255÷5=51(秒)，
综上，在第15秒或51秒时，边CD恰好与边MN平行．
【解析】(1)证明CD//ON，利用平行线的性质即可解决问题．
(2)分两种情形：①如图2−1中，当CD//MN时，设CD交MN于E.②如图2−2中，当CD//MN时，延长DO交MN于E，分别求解即可．
本题考查作图−复杂作图，旋转变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
2022-2023学年四川省资阳市安岳县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 方程2x−8=0的解是( )
A. x=3 B. x=−3 C. x=4 D. x=−4
2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
4. 若关于x的不等式x+m2−1>2m的解集是x>5，则m的值是( )
A. −1 B. 1 C. 2 D. 3
5. 若a
A. 77°
B. 62°
C. 57°
D. 55°
7. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F.若BC=10，△ABD的面积为24，则EF的长为( )
A. 1.2
B. 2.4
C. 3.6
D. 4.8
8. 下列说法：
(1)解方程x+14=x−5x−112时，去分母得3(x+1)=x−(5x−1)；
(2)若一个等腰三角形的两边长分别为5和9，则该三角形的周长是23；
(3)选择边长相等的正三角形、正方形、正六边形和正八边形中两种地砖密铺地面，不可以选择正三角形与正八边形；
(4)等边三角形和线段都是旋转对称图形.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，则大长方形的面积是( )
A. 6400cm2
B. 6700cm2
C. 6750cm2
D. 6800cm2
10. 定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α称为“友好角”.如果一个“友好三角形”的一个内角为42°，那么这个三角形的“友好角”α的度数为( )
A. 42° B. 84° C. 42°或84° D. 42°或84°或92°
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 已知方程5xm−2+1=0是关于x的一元一次方程，则m的值是______ ．
12. 不等式4x−3<2x+1的正整数解是______ ．
13. 如图，将长为6cm，宽为4cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为______ cm2．
14. 对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如：3⊗4=2×3+4=10.若x⊗(−y)=2，(2y)⊗x=1，则x+y的值是______ ．
15. 如图，在△ABC中，∠C=76°，AC边上有一点D，使得∠A=∠ABD，将△ABC沿BD翻折得到△A′BD，此时A′D//BC，则∠ABC的度数为______ ．
16. 如图，在第一个图中互不重叠的三角形共有4个，在第2个图中互不重叠的三角形共有7个，…，则在第15个图中互不重叠的三角形共有______ 个.
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)x+23−1=1−x2；
(2)x+2y=83x−4y=4．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：6−2x>05x+12+1≥2x−13，并将解集在数轴上表示出来．
19. (本小题9.0分)
如图，在四边形ABCD中，
(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O中心对称；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为BC上一点，连结AE．
(1)当AE为边BC的中线时，若AD=8，△ABC的面积为40，求CE的长；
(2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠B=38°，求∠DAE的度数．
21. (本小题8.0分)
在解方程组ax+4y=233x−by=5时，由于粗心，甲看错了方程中的a，而得到的解为x=1y=−1；乙看错了方程中的b，而得到的解为x=7y=−3．
(1)求a2−2ab+b2的值；
(2)求原方程组的正确解．
22. (本小题10.0分)
随着夏季的到来，某床上用品店准备新进A、B两种不同型号的凉席.在进货时，发现购进10件A型凉席和15件B型凉席的费用是3600元，购进25件A型凉席和30件B型凉席的费用是8100元．
(1)求A、B两种型号的凉席每件进价分别是多少元？
(2)已知A型凉席每件的售价是260元，B型凉席每件的售价是180元，现准备购进A型和B型凉席共60件，若使全部售完后获得的总利润不低于4400元，求最少需要购进A型凉席多少件？
23. (本小题10.0分)
在四边形ABCD中，∠A=80°，∠D=140°．
(1)如图①，若∠B=∠C，求出∠B的度数；
(2)如图②，若∠DCB的角平分线交AB于点E，且EC//AD，求出∠B的度数；
(3)如图③，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，求出∠BEC的度数．
24. (本小题11.0分)
定义：对于任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“柠安数”.将一个“柠安数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为f(a).例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和55与11的商为55÷11=5，所以f(23)=5.根据以上定义，回答下列问题：
(1)填空：
①下列两位数：60、58、88、31中，“柠安数”为______ ；
②计算：f(42)= ______ ；
(2)如果一个“柠安数”m的十位数字为n，个位数字是2n+1，且f(m)=13，请求出“柠安数”m；
(3)如果一个“柠安数”x满足x−5f(x)>30，求满足条件的x的值．
25. (本小题12.0分)
如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
(1)将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图2，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
(2)将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，边CD恰好与边MN平行？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2x−8=0，
移项得：2x=0+8，
合并同类项得：2x=8，
系数化为1得：x=4，
故选：C．
利用解一元一次方程的方法解方程即可．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，360°n=72°，
∴n=5，
故选：D．
根据正多边形的中心角=360°n，求出n即可．
本题考查正多边形的中心角知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4.【答案】B
【解析】解：解关于x的不等式x+m2−1>2m得：x>3m+2，
根据题意得：3m+2=5，
解得：m=1．
故选：B．
首先解关于x的不等式，然后根据不等式的解集是x>5，即可得到一个关于m的方程，从而求解．
本题考查了不等式的解集，正确解关于x的不等式是关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、在不等式a
D、当a=−5，b=1时，不等式a2
由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
6.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠B=28°，
∴∠D=∠B=28°，
∴∠EAD=180°−∠E−∠D=180°−95°−28°=57°，
∴∠BAD=∠EAB+∠EAD=57°+20°=77°，
故选：A．
根据全等三角形的对应角相等得到∠D=∠B=28°，根据三角形内角和定理求出∠EAD，进而求出∠BAD．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接EB，
∵E是AD的中点，△ABD的面积为24，
∴△EBD的面积为12，
∵D是边BC的中点，BC=10，
∴BD=5，
∴12×5×EF=12，
解得：EF=4.8，
故选：D．
连接EB，根据三角形的面积公式求出△EBD的面积，根据题意求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：(1)解方程x+14=x−5x−112时，去分母得3(x+1)=12x−(5x−1)，故原说法错误；
(2)若一个等腰三角形的两边长分别为5和9，则该三角形的周长是23或19，故原说法错误；
(3)选择边长相等的正三角形、正方形、正六边形和正八边形中两种地砖密铺地面，不可以选择正三角形与正八边形，说法正确；
(4)等边三角形和线段都是旋转对称图形，说法正确．
故选：B．
依据解一元一次方程的方法、等腰三角形的性质、正多边形以及旋转对称图形的定义进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了解一元一次方程的方法、等腰三角形的性质、正多边形以及旋转对称图形的定义，解题时注意：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°)后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
9.【答案】C
【解析】解：设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意得：x+2y=75x+3y=2x，
解得：x=45y=15，
∴10xy=10×45×15=6750，
即大长方形的面积是6750cm2，
故选：C．
设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：当42°的角为友好角α时，则友好角为42°；
当42°不是友好角，而是友好角的一半时，则友好角为：2×42°=84°；
当42°既不是友好角，也不是友好角的一半时，则有：α+12α=180°−42°，
解得：α=92°，
综上所述，这个三角形的友好角为：42°或84°或92°．
故选：D．
分42°角进行讨论，根据友好角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
11.【答案】3
【解析】解：∵方程5xm−2+1=0是关于x的一元一次方程，
∴m−2=1，
解得：m=3．
故答案为：3．
根据一元一次方程的定义(含有一个未知数且未知数的指数为1)得到m−2=1，求解即可．
本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解一元一次方程的定义是解题关键．
12.【答案】0
4x−2x<1+3，
2x<4，
x<2，
故答案为：0
本题考查了解一元一次不等式，以及解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13.【答案】12
【解析】解：由题意，阴影部分是矩形，长为(6−2)cm，宽为(4−1)cm，
∴阴影部分的面积=(6−2)(4−1)=12(cm2)，
故答案为：12．
利用平移的性质求出阴影部分矩形的长，宽即可解决问题．
本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】1
【解析】解：根据题中的新定义化简得：2x−y=2①4y+x=1②，
①+②得：3x+3y=3，
则x+y=1．
故答案为：1．
已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，两方程相加即可求出x+y的值．
此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15.【答案】78°
【解析】解：∵A′D//BC
∴∠CBA′=∠A′．
∵△ABD沿BD翻折得△A′BD，
∴∠A=∠A′，∠ABD=∠A′BD．
∵∠A=∠ABD，
∴∠CBA′=∠A′BD=∠ABD=∠A．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=76°，
∴∠A+3∠A=104°．
∴∠A=26°．
∴∠ABC=78°．
故答案为：78°．
先由平行线的性质得到∠CBA′与∠A′的关系，再由折叠得到∠A与∠A′、ABD与∠A′BD的关系，最后利用三角形的内角和定理求出∠ABC．
本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是180°”等知识点是解决本题的关键．
16.【答案】46
【解析】解：(1)图1中互不重叠的三角形有4个
图2中互不重叠的三角形有7=4+3个
图3中互不重叠的三角形有10=4+3×2个，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
图n中互不重叠的三角形有4+3(n−1)=(3n+1)个．
当n=15时，3×15+1=46，
故答案为：46．
根据图形结合题目所给数据寻找规律，发现图2比图1多3个互不重叠的三角形，即4+3个；图3比图2多3个互不重叠的三角形，即4+3×2个；依此类推，得出图n中互不重叠的三角形的个数规律，然后代入n=15即可求得答案．
本题考查了图形的变化类问题，把图形和数据相结合，找出其中的内在联系，按照规律便能顺利解题．
17.【答案】解：(1)x+23−1=1−x2，
2(x+2)−6=3(1−x)，
2x+4−6=3−3x，
5x=5，
x=1；
(2)x+2y=8①3x−4y=4②，
①×2得：2x+4y=16③，
②+③得：5x=20，
解得：x=4，
把x=4代入①得：4+2y=8，
解得：y=2，
故原方程组的解是：x=4y=2．
【解析】(1)利用解一元一次方程的方法进行求解即可；
(2)利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次方程，解答的关键是对相应的知识的掌握．
18.【答案】解：由6−2x>0，得：x<3，
由5x+12+1≥2x−13，得：x≥−1，
则不等式组的解集为−1≤x<3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)四边形A1B1C1D1如图所示；
(2)四边形A2B2C2D2如图所示；
(3)如图所示，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2关于直线PQ成轴对称．
【解析】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
(1)根据网格结构找出点A、B、C、D关于直线MN的对称点A1、B1、C1、D1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点A、B、C、D关于点O的对称点A2、B2、C2、D2的位置，然后顺次连接即可；
(3)观察图形，根据轴对称的性质解答．
20.【答案】解：(1)∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为40，
∴12BC⋅AD=40，
∴BC=40×28=10，
∵AE为边BC上的中线，
∴CE=12BC=5；
(2)∵∠C=66°，∠B=38°，
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=180°−66°−38°=76°，
∴AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=38°，
∵∠ADC=90°，∠C=66°，
∴∠CAD=90°−66°=24°，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=38°−24°=14°．
【解析】(1)先根据三角形面积公式计算出BC=8，然后根据AE为边BC上的中线得到CE的长；
(2)先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=78°，再利用角平分线的定义得到∠CAE=39°，接着计算出∠CAD，然后计算∠CAE−∠CAD即可．
本题考查了三角形的面积以及中线和角平分线，关键是明白三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12×底×高，计算角的关键是角的和差关系．
21.【答案】解：(1)将x=1y=−1代入3x−by=5得：3×1−b×(−1)=5，
解得：b=2；
将x=7y=−3代入ax+4y=23得：7a+4×(−3)=23，
解得：a=5，
∴a2−2ab+b2=(a−b)2=(5−2)2=9；
(2)由(1)可知：原方程组为5x+4y=23①3x−2y=5②，
①+②×2得：11x=33，
解得：x=3，
将x=3代入①得：5×3+4y=23，
解得：y=2，
∴原方程组的解为x=3y=2．
【解析】(1)将x=1y=−1代入3x−by=5，可求出b值，将x=7y=−3代入ax+4y=23，可求出a值，再将a，b的值代入a2−2ab+b2=(a−b)2中，即可求出结论；
(2)将a，b的值代入原方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是：(1)将甲、乙得出的解代入未看错的方程，分别求出b，a的值；(2)代入a，b的值，解二元一次方程组．
22.【答案】解：(1)设A种凉席每件进价是x元，B种凉席每件进价是y元，
根据题意得：10x+15y=360025x+30y=8100，
解得x=180y=120，
答：A种凉席每件进价是180元，B种凉席每件进价是120元；
(2)设购进A种凉席m件，则购进B种凉席(60−m)件，
∵全部售完后获取的利润不低于4400元，
∴(260−180)m+(180−120)(60−m)≥4400，
解得m≥40，
∵m为整数，
∴m最小取40，
答：最少需要购进A种凉席40件．
【解析】(1)设A种凉席每件进价是x元，B种凉席每件进价是y元，可得：10x+15y=360025x+30y=8100，即可解得A种凉席每件进价是180元，B种凉席每件进价是120元；
(2)设购进A种凉席m件，由全部售完后获取的利润不低于4400元，有(260−180)m+(280−120)(60−m)≥4400，即可知最少需要购进A种凉席40件．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．
23.【答案】解：(1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=80°∠D=140°，
∴∠B+∠C=360°−∠A−∠D=360°−80°−140°=140°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=70°；
(2)∵EC//AD，∠A=80°，∠D=140°，
∴∠AEC=180°−∠A=100°，∠DCE=180°−∠D=40°，
∵CE平分∠DCB，
∴∠ECB=∠DCE=40°，
∵∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠B=∠AEC−∠ECB=100°−40°=60°；
(3)∵∠A+∠ABC+∠DCB+∠D=360°，∠A=80°，∠D=140°，
∴∠ABC+∠DCB=360°−∠A−∠D=360°−80°−140°=140°，
∵BE，CE分别平分∠ABC和∠DCB，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠DCB，
∴∠EBC+∠ECB=12(∠ABC+∠DCB)=12×140°=70°，
∴∠BEC=180°−∠EBC−∠ECB=180°−70°=110°．
【解析】(1)根据四边形的内角和是360°，结合已知条件就可求解；
(2)根据平行线的性质得到∠AEC的度数，再根据角平分线的定义得到∠ECB=∠DCE=40°，最后根据三角形外角的性质进行求解；
(3)根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得∠EBC+∠ECB的度数，再进一步求得∠BEC的度数．
本题考查了四边形的内角和以及三角形的内角和、熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
24.【答案】58，31 6
【解析】解：(1)①由“柠安数”的定义可得“柠安数”为：58，31；
②f(42)=(42+24)÷11=6，
故答案为：①58，31；②6；
(2)∵任意一个“柠安数”m的十位上的数字是n，个位上的数字是2n+1，
∴f(m)=(10n+2n+1+20n+10+n)÷11=3n+1，
∵f(m)=13，
∴3n+1=13，
解得：n=4，
∴m=10n+2n+1=49；
(3)设x的十位上的数字是a，个位上的数字是b，
∴x=10a+b，f(x)=(10a+b+10b+a)÷11=a+b，
∵x−5f(x)>30，
∴10a+b−5(a+b)>30，
∴5a>30+4b，
∵b≥1，
∴5a>34，即a>6.8，
∵a为整数，
a可取7，8，9，
当a=7时b=1，x=71，
当a=8时b=1或2，x=81或82，
当a=9时b=1或2或3，x=91或92或93，
综上所述，满足条件的x的值为71，81，82，91，92，93．
(1)①有“柠安数“的定义可得；
②根据定义计算即可；
(2)根据一个“柠安数”m的十位数字为n，个位数字是2n+1，则f(10n+2n+1)=(10n+2n+1+20n+10+n)÷11=3n+1，由于f(m)=13，则3n+1=13，建立方程求n即可求m的值；
(3)设x十位数字为a，个位数字为b，根据x−5f(x)>30列出不等式，即可写出满足条件的x的值．
本题考查了因式分解的应用、解一元一次不等式、理解“柠安数”的定义，并按照定义分析是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1中，
当OD平分∠MON时，∵∠D=∠DON=45°，
∴CD//ON，
∴∠CEN+∠N=180°，
∵∠N=30°，
∴∠CEN=150°．
(2)①如图2−1中，当CD//MN时，设CD交MN于E．
则有∠OEM=∠D=45°，
∵∠OEM=∠N+∠EON，
∴∠EON=45°−30°=15°，
∴∠MOE=75°，
此时旋转角为75°，
∵每秒5°的速度，
∴75÷5=15(秒)；
②如图2−2中，当CD//MN时，延长DO交MN于E．
同法可得∠MOE=75°，可得旋转角=75°+180°=255°，
∵每秒5°的速度，
∴255÷5=51(秒)，
综上，在第15秒或51秒时，边CD恰好与边MN平行．
【解析】(1)证明CD//ON，利用平行线的性质即可解决问题．
(2)分两种情形：①如图2−1中，当CD//MN时，设CD交MN于E.②如图2−2中，当CD//MN时，延长DO交MN于E，分别求解即可．
本题考查作图−复杂作图，旋转变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
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