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2022-2023学年安徽省芜湖市弋江区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年安徽省芜湖市弋江区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省芜湖市弋江区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. −22 B. a C. (−3)2 D. −5
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC2+CA2=( )
A. 18 B. 12 C. 9 D. 6
3. 已知一组数据2、3、9、6、10、6，那么6是这组数据的( )
A. 平均数但不是中位数 B. 平均数也是中位数
C. 既不是平均数也不是中位数 D. 中位数但不是平均数
4. 一次函数y=kx+b与y=kbx(k、b为常数，kb≠0)在同一平面直角坐标系中的图象应该是( )
A. B.
C. D.
5. 下列说法中，不正确的是( )
A. 对角线互相垂直的矩形是正方形 B. 有一个角为直角的平行四边形是矩形
C. 相邻两角都互补的四边形是平行四边形 D. 两边相等的平行四边形是菱形
6. 下列计算中，正确的是( )
A. 18+ 2= 20 B. 2× 8=4
C. 2 3−2= 3 D. 27÷ 3=9
7. 如图，▱ABCD中，AB≠AD，AC和BD相交于点O，点E在BC边上，且OE⊥BD，若▱ABCD的周长为24cm，则△CDE的周长为( )
A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm
8. 函数y=2x−3和y=−kx+b(k≠0)的图象相交于点(2,1)，则关于x、y的方程组2x−y=3y=−kx+b的解为( )
A. x=2y=1 B. x=−2y=1 C. x=2y=−1 D. x=−2y=−1
9. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，点D是边AC上的动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，则EF的最小值是( )
A. 12013 B. 6013 C. 3013 D. 132
10. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF=3，则AB2+DC2的值是( )
A. 36 B. 27 C. 18 D. 9
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 若 x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
12. 已知x1，x2，…，xn的方差为2，则2x1，2x2，…，2xn的方差为______ ．
13. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，分别以四边形的各边为边长向外作四个正方形，当S1+S2=60，S3=10，则BC= ______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点B(0,2)，现将直线AB绕点A(1,−1)按逆时针方向旋转45°交x轴于点C，则点C的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
先化简，后求值： 25xy+x yx−1y xy3，其中x=6，y=13．
16. (本小题8.0分)
如图是第24届国际数学家大会会标图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．
求证：△ABF≌△CDH．
17. (本小题8.0分)
如图，∠ADC=90°，AD=16cm，CD=12cm，AB=29cm，BC=21cm．
(1)求AC的长度；
(2)求阴影部分面积．
18. (本小题8.0分)
已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,0)和B(1,3)．
(1)求k、b的值；
(2)若该一次函数的图象与直线y=m(m为大于0的常数)的图象交于点C，点O为原点，当△ACO面积为5时，求m的值．
19. (本小题10.0分)
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，BE//AC，CE//BD．
(1)求证：四边形BECO是菱形；
(2)若将题设中“矩形ABCD“这一条件改为“菱形ABCD“，其余条件不变，则四边形BECO是怎样的四边形？请给出证明．
20. (本小题10.0分)
为迎接省运会，芜湖市射击队要从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加比赛.两名射击运动员近五次选拔测试成绩条形统计图如图所示(单位：环)．
甲、乙五次选拔测试赛成绩统计表
年级
平均数
众数
方差
甲
a
8
c
乙
8
b
0.4
(1)已知甲成绩的众数是8环，乙成绩的平均数是8环，则a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)请补全条形统计图；
(3)现要从甲、乙两人中选拔一个成绩较为稳定的运动员参加比赛，应选谁？请说明理由．
21. (本小题12.0分)
阅读材料：一般地，设平面上任意两点A(x,y1)和B(x2,y2)可以用|AB|表示A，B两点之间的距离，那么该如何计算|AB|呢？作AA′⊥x轴、作BB′⊥x轴，垂足分别是点A′、B′；作AA″⊥y轴，垂足为点A″、作BB″⊥y轴，垂足为点B″，且与AA′交于点C，则四边形BB′A′C、ACB″A″是矩形．
∵|BC|=|x2−x1|，AC|=|y2−y1|，
∴|AB|2=|AC|2+|BC|2=(x2−x1)2+(y2−y1)2．
∴|AB|= (x2−x1)2+(y2−y1)2．
这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．
如：点A(1,4)和点B(5,2)之间的距离AB|= (5−1)2+(2−4)2= 20=2 5．
(1)请运用公式计算点M(4,2)和点N(2,−1)之间的距离；
(2)在(1)的条件下，点O为原点，求△MNO的周长．
22. (本小题12.0分)
暑期来临，八年级某中队从甲、乙两商店购买了若干杯奶茶，慰问位于A、B两地辛勤劳作的环卫工人.已知在甲商店购买了100杯奶茶，在乙商店购买了80杯奶茶，A地有70名环卫工人，B地有110名环卫工人.与某外卖平台协商后，得到两商店到两地的路程和每杯每千米的运费如下表：
路程(km)
运费(元/(杯⋅km))
甲商店
乙商店
甲商店
乙商店
A地
2
1.5
0.6
0.6
B地
2.5
2
0.5
0.4
(1)设甲商店运往A地奶茶x杯，求总运费y关于x的函数表达式；
(2)当甲、乙两商店各运往A、B两工地多少杯奶茶时，总运费最省？最省的总运费是多少？
23. (本小题14.0分)
已知：如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点P为边BC上一个动点，∠APM=60°，过点P作PE//CD交AC于点E，直线PM与CD相交于点Q，点Q到直线BC的距离为QH．
(1)求证：△CPE是等边三角形；
(2)求证：CP=DQ；
(3)试探求线段AC、CP、CH的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、∵−22=−4<0，∴ −22不是二次根式，不符合题意；
B、当a<0时， a不是二次根式，不符合题意；
C、 (−3)2= 9是二次根式，符合题意；
D、∵−5<0，∴ −5不是二次根式，不符合题意．
故选：C．
根据二次根式的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，
由勾股定理得：BC2+CA2=AB2=9．
故选：C．
直接利用勾股定理计算即可．
本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3.【答案】B
【解析】解：把这组数据从小到大排列为2、3、6、6、9、10，故中位数为6+62=6；
平均数为2+3+6+6+9+106=6，
所以6是这组数据平均数也是中位数．
故选：B．
应用众数，算术平均数的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了众数，算术平均数，熟练掌握众数，算术平均数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、由一次函数y=kx+b图象可知k>0，b>0；即kb>0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb<0，矛盾，故此选项不符合题意；
B、由一次函数y=kx+b图象可知k>0，b<0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb>0，矛盾，故此选项不符合题意；
C、由一次函数y=kx+b图象可知k>0，b<0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb<0，故此选项符合题意；
D、由一次函数y=kx+b图象可知k<0，b>0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb>0，矛盾，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y=kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k⋅b的符号，从而判断y=kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．
此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
5.【答案】D
【解析】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确；
B、有一个角为直角的平行四边形是矩形，说法正确；
C、四边形相邻两角都互补，则可得四边形的两组对边分别平行，从而可得四边形是平行四边形，说法正确；
D、两邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误；
故选：D．
根据平行四边形及特殊四边形的判定即可判定．
本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握这些判定方法是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、 18+ 2=3 2+ 2=4 2，故A不符合题意；
B、 2× 8= 16=4，故B符合题意；
C、2 3与−2不能合并，故C不符合题意；
D、27÷ 3=9 3，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵平行四边形ABCD的周长是24cm，
∴2BC+2CD=24cm，
∴BC+CD=12cm，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=AB+CE+DE=CD+BC=12cm，
故选：D．
根据平行四边形的性质求出BC+CD=12cm，根据线段的垂直平分线求出DE=BE，求出△CDE的周长等于CD+BC，代入求出即可．
本题考查了平行四边形的性质的应用，关键是求出CD+BC的长和求出△CDE的周长=CD+BC，题目具有一定的代表性，难度也不大，是一道比较好的题目．
8.【答案】A
【解析】解：∵函数y=2x−3和y=−kx+b(k≠0)的图象相交于点(2,1)，
∴关于x、y的方程组2x−y=3y=−kx+b的解为x=2y=1，
故选：A．
根据方程组的解就是交点坐标写出即可．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
9.【答案】B
【解析】解：如图，连接BD，
∵∠ABC=90°，AB=5，BC=12，
∴AC= AB2+BC2= 52+122=13，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴EF=BD，
由垂线段最短可知，BD⊥AC时，线段BD的长最小，
则线段EF的值最小，
此时，S△ABC=12BC⋅AB=12AC⋅BD，
即12×12×5=12×13⋅BD，
解得：BD=6013，
∴EF的最小值是6013，
故选：B．
连接BD，证四边形BEDF是矩形，得EF=BD，再由垂线段最短可得BD⊥AC时，线段EF的值最小，然后由三角形的面积求出BD的长即可．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM//AB，FM//CD，EM=12AB，FM=12CD，
∴∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，即∠NMF=90°，
由勾股定理得，ME2+MF2=EF2=9，
∴AB2+CD2=(2ME)2+(2MF)2=36．
故选：A．
连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，根据三角形中位线定理得到EM=12AB，FM=12CD，∠NMF=90°，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理和勾股定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】x≥−1
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，
∴x≥−1，
故答案为：x≥−1．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0是解题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：∵x1，x2，…，xn的方差为2，
∴2x1，2x2，…，2xn的方差为22×2=8，
故答案为：8．
根据题意，由数据方差的性质分析可得新数据的方差S′2=22S2，即可得答案．
本题考查数据方差的性质，注意数据方差的计算公式，属于基础题．
13.【答案】5 2
【解析】解：连接BD，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴S1+S2=S3+S4，
∵S1+S2=60，S3=10，
∴S4=60−10=50，
∴BC= 50=5 2．
故答案为：5 2．
连接BD，由勾股定理可知S1+S2=S3+S4，求出S4的值，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
14.【答案】(−1,0)
【解析】解：过A作AF⊥y轴于F，过B作BD⊥AB，交直线AC于D，作DE⊥y轴于E，
∵A(1,−1)，B(0,2)，
∴AF=1，OF=1，OB=2，
∴BF=3，
∵∠BAC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=BD，
∵∠ABF+∠DBE=∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠ABF=∠BDE，
∴△ABF≌△BDE(AAS)，
∴AF=BE=1，BF=DE=3，
∴OE=OB−BE=2−1=1，
∴D(−3,1)，
设直线AC的函数表达式为：y=kx+b，
把A(1,−1)，D(−3,1)代入得k+b=−1−3k+b=1，
解得k=−12b=−12，
∴直线AC的函数表达式为：y=−12x−12，
令y=0，则x=−1，
∴C(−1,0)，
故答案为：(−1,0)．
过A作AF⊥y轴于F，过B作BD⊥AB，交直线AC于D，作DE⊥y轴于E，根据题意得到AB=BD，由A(1,−1)，B(0,2)，求得AF=1，OB=2，根据全等三角形的性质得到BE=AF=1，ED=BF=3，求得D(−3,1)，设直线AC的函数表达式为：y=kx+b，利用待定系数法求得直线AC的解析式，进一步求得点C的坐标．
本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：原式=5 xy+x⋅ xyx−1y⋅y xy
=5 xy+ xy− xy
=5 xy，
当x=6，y=13时，原式=5× 6×13=5 2．
【解析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、二次根式的性质是解题的关键．
16.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠CDH=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
同理∠ADE=∠DCH，
∴∠BAF=∠DCH，
在△ABF与△DAE中
∠BAF=∠DCH∠AFB=∠CHDAB=CD，
∴△ABF≌△CDH(AAS)．
【解析】由正方形的性质知，AB=DC，由同角的余角相等知，∠BAF=∠ADE，又有∠AFB=∠DEA=90°，故根据AAS证得△ABF≌△DAE．
本题利用了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定求解．
17.【答案】解：(1)∵∠ADC=90°，AD=16cm，CD=12cm，
∴AC= AD2+CD2= 162+122=20(cm)，
∴AC的长度为20cm；
(2)∵AB=29cm，BC=21cm，AC=20cm，
∴AC2+BC2=202+212=841，AB2=292=841，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴阴影部分面积=△ABC的面积−△ACD的面积
=12AC⋅BC−12AD⋅CD
=12×20×21−12×16×12
=210−96
=114，
∴阴影部分面积为114．
【解析】(1)在Rt△ACD中，利用勾股定理进行计算即可解答；
(2)先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB=90°，然后根据阴影部分面积=△ABC的面积−△ACD的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,0)和B(1,3)，
∴0=−2k+b3=k+b，
解得k=1b=2，
(2)由(1)知一次函数的解析式为y=k+2，
∵y=k+2的图象与直线y=m(m为大于0的常数)的图象交于点C，
∴C的纵坐标为m，
∵A(−2,0)，
∴AO=2，
∵△ACO的面积=12×AO×m=12×2m=5，
∴m=5．
【解析】(1)利用待定系数法直接列方程组求解即可；
(2)由题可知C的纵坐标为m，利用三角形的面积可得m的值．
此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特征，能够得出C的纵坐标为m是关键．
19.【答案】(1)证明：∵矩形ABCD，
∴OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵BE//AC，CE//BD，
∴四边形BECO是平行四边形，
∴四边形BECO是菱形．
(2)解：平行四边形BECO是矩形；
理由：∵BE//AC，CE//BD，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴平行四边形BECO是矩形．
【解析】(1)根据矩形的性质求出OB=OC，证出四边形BECO是平行四边形即可；
(2)根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形BECO是平行四边形即可．
本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和证正出∠BOC=90°、OB=OC是解此题的关键．
20.【答案】8 8 2.8
【解析】解：(1)由题意得，a=15×(5+8×2+9+10)=8，
乙近五次选拔测试成绩中，8出现的次数最多，故众数b=8，
c=15×[(5−8)2+2×(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2)]=2.8，
故答案为：8；8；2.8；
(2)由题意可知，甲第三次测试成绩为8，乙第三次测试成绩为：4×8−(7+8+9+8)=8，
补全复式条形统计图如下：
(3)选乙加比赛，理由如下：
因为两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，更稳定，所以选乙加比赛．
(1)根据加权平均数的公式可得a的值，根据众数的定义可得b的值，根据方差的公式可得c的值；
(2根据题意分别求出甲和乙的第三次测试成绩，进而补全复式条形统计图；
(3)根据方差的意义解答即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和平均数的定义与计算公式．
21.【答案】解：(1)MN= (4−2)2+(−1−2)2= 13；
(2)∵OM= (4−0)2+(2−0)2=2 5，ON= (2−0)2+(−1−0)2= 5，
∴△MNO的周长=MN+OM+ON= 13+3 5．
【解析】由两点的距离公式计算即可．
本题考查两点的距离公式，关键是能应用两点的距离公式进行计算．
22.【答案】解：(1)设甲商店运往A地奶茶x杯，则甲商店运往B地奶茶(100−x)杯，乙商店运往A地奶茶(70−x)杯，乙商店运往B地奶茶[80−(70−x)]=(10+x)杯，
根据题意得：y=2×0.6x+2.5×0.5(100−x)+1.5×0.6×(70−x)+2×0.4(10+x)=−0.15x+196(0≤x≤70)，
∴总运费y关于x的函数关系式为：y=−0.15x+196(0≤x≤70)；
(2)∵一次函数y=−0.15x+196中，k=−0.15<0，
∴y的值随x的增大而减小，
∴当x=70时，总运费y最省，最省的总运费为−0.15×70+196=185.5(元)，
∴从甲商店运70杯到A地，运30杯到B地，从乙商店运0杯到A地，运80杯到B地，总运费最省，最省的总运费是185.5元．
【解析】(1)由甲商店运往A地奶茶x杯，根据题意首先求得甲商店运往B地奶茶(100−x)杯，乙商店运往A地奶茶(70−x)杯，乙商店运往B地奶茶(10+x)杯，然后根据表格求得总运费y关于x的函数关系式；
(2)根据(1)中的一次函数解析式的增减性，即可知当x=70时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最省的总运费．
本题考查了一次函数的实际应用问题，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∵PE//CD//AB，
∴∠EPC=∠ABC=60°，∠PEC=∠BAC=60°，
∴△CPE是等边三角形；
(2)证明：∵PE//CD，
∴∠EPQ=∠PQC，
∵∠APM=60°，∠DCH=∠B=60°，
∴∠APE+∠EPQ=∠PQC+∠QPC，
∴∠APE=∠QPC，
∵△CPE是等边三角形，
∴PE=PC，∠APE=180°−∠PEC=120°=∠PCQ，
∴△APE≌△QPC(ASA)，
∴AP=PQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAC+∠CAQ=60°=∠DAQ+∠CAQ，
∴∠PAC=∠DAQ，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠ACP=60°=∠D，
∴△APC≌△AQD(AAS)，
∴CP=DQ；
(3)解：AC=CP+2CH，证明如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
∵CD=CQ+QD，
∴AC=CQ+QD，
∵CP=QD，
∴AC=CQ+CP，
∵∠CHQ=90°，∠QCH=60°，
∴∠CQH=30°，
∴CQ=2CH，
∴AC=CP+2CH．
【解析】(1)证明△CPE的两个角等于60°，从而可得△CPE等边三角形；
(2)由PE//CD，得∠EPQ=∠PQC，又∠APE+∠EPQ=∠PQC+∠QPC，可得∠APE=∠QPC，即可得△APE≌△QPC(ASA)，AP=PQ，△APQ是等边三角形，从而可证△APC≌△AQD(AAS)，CP=DQ；
(3)由四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，得△ACD是等边三角形，AC=CD，又CP=QD，即得AC=CQ+CP，根据∠CHQ=90°，∠QCH=60°，知CQ=2CH，故AC=CP+2CH．
本题考查四边形综合应用，涉及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质及应用等，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定．
2022-2023学年安徽省芜湖市弋江区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. −22 B. a C. (−3)2 D. −5
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC2+CA2=( )
A. 18 B. 12 C. 9 D. 6
3. 已知一组数据2、3、9、6、10、6，那么6是这组数据的( )
A. 平均数但不是中位数 B. 平均数也是中位数
C. 既不是平均数也不是中位数 D. 中位数但不是平均数
4. 一次函数y=kx+b与y=kbx(k、b为常数，kb≠0)在同一平面直角坐标系中的图象应该是( )
A. B.
C. D.
5. 下列说法中，不正确的是( )
A. 对角线互相垂直的矩形是正方形 B. 有一个角为直角的平行四边形是矩形
C. 相邻两角都互补的四边形是平行四边形 D. 两边相等的平行四边形是菱形
6. 下列计算中，正确的是( )
A. 18+ 2= 20 B. 2× 8=4
C. 2 3−2= 3 D. 27÷ 3=9
7. 如图，▱ABCD中，AB≠AD，AC和BD相交于点O，点E在BC边上，且OE⊥BD，若▱ABCD的周长为24cm，则△CDE的周长为( )
A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm
8. 函数y=2x−3和y=−kx+b(k≠0)的图象相交于点(2,1)，则关于x、y的方程组2x−y=3y=−kx+b的解为( )
A. x=2y=1 B. x=−2y=1 C. x=2y=−1 D. x=−2y=−1
9. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，点D是边AC上的动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，则EF的最小值是( )
A. 12013 B. 6013 C. 3013 D. 132
10. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF=3，则AB2+DC2的值是( )
A. 36 B. 27 C. 18 D. 9
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 若 x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
12. 已知x1，x2，…，xn的方差为2，则2x1，2x2，…，2xn的方差为______ ．
13. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，分别以四边形的各边为边长向外作四个正方形，当S1+S2=60，S3=10，则BC= ______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点B(0,2)，现将直线AB绕点A(1,−1)按逆时针方向旋转45°交x轴于点C，则点C的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
先化简，后求值： 25xy+x yx−1y xy3，其中x=6，y=13．
16. (本小题8.0分)
如图是第24届国际数学家大会会标图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．
求证：△ABF≌△CDH．
17. (本小题8.0分)
如图，∠ADC=90°，AD=16cm，CD=12cm，AB=29cm，BC=21cm．
(1)求AC的长度；
(2)求阴影部分面积．
18. (本小题8.0分)
已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,0)和B(1,3)．
(1)求k、b的值；
(2)若该一次函数的图象与直线y=m(m为大于0的常数)的图象交于点C，点O为原点，当△ACO面积为5时，求m的值．
19. (本小题10.0分)
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，BE//AC，CE//BD．
(1)求证：四边形BECO是菱形；
(2)若将题设中“矩形ABCD“这一条件改为“菱形ABCD“，其余条件不变，则四边形BECO是怎样的四边形？请给出证明．
20. (本小题10.0分)
为迎接省运会，芜湖市射击队要从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加比赛.两名射击运动员近五次选拔测试成绩条形统计图如图所示(单位：环)．
甲、乙五次选拔测试赛成绩统计表
年级
平均数
众数
方差
甲
a
8
c
乙
8
b
0.4
(1)已知甲成绩的众数是8环，乙成绩的平均数是8环，则a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)请补全条形统计图；
(3)现要从甲、乙两人中选拔一个成绩较为稳定的运动员参加比赛，应选谁？请说明理由．
21. (本小题12.0分)
阅读材料：一般地，设平面上任意两点A(x,y1)和B(x2,y2)可以用|AB|表示A，B两点之间的距离，那么该如何计算|AB|呢？作AA′⊥x轴、作BB′⊥x轴，垂足分别是点A′、B′；作AA″⊥y轴，垂足为点A″、作BB″⊥y轴，垂足为点B″，且与AA′交于点C，则四边形BB′A′C、ACB″A″是矩形．
∵|BC|=|x2−x1|，AC|=|y2−y1|，
∴|AB|2=|AC|2+|BC|2=(x2−x1)2+(y2−y1)2．
∴|AB|= (x2−x1)2+(y2−y1)2．
这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．
如：点A(1,4)和点B(5,2)之间的距离AB|= (5−1)2+(2−4)2= 20=2 5．
(1)请运用公式计算点M(4,2)和点N(2,−1)之间的距离；
(2)在(1)的条件下，点O为原点，求△MNO的周长．
22. (本小题12.0分)
暑期来临，八年级某中队从甲、乙两商店购买了若干杯奶茶，慰问位于A、B两地辛勤劳作的环卫工人.已知在甲商店购买了100杯奶茶，在乙商店购买了80杯奶茶，A地有70名环卫工人，B地有110名环卫工人.与某外卖平台协商后，得到两商店到两地的路程和每杯每千米的运费如下表：
路程(km)
运费(元/(杯⋅km))
甲商店
乙商店
甲商店
乙商店
A地
2
1.5
0.6
0.6
B地
2.5
2
0.5
0.4
(1)设甲商店运往A地奶茶x杯，求总运费y关于x的函数表达式；
(2)当甲、乙两商店各运往A、B两工地多少杯奶茶时，总运费最省？最省的总运费是多少？
23. (本小题14.0分)
已知：如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点P为边BC上一个动点，∠APM=60°，过点P作PE//CD交AC于点E，直线PM与CD相交于点Q，点Q到直线BC的距离为QH．
(1)求证：△CPE是等边三角形；
(2)求证：CP=DQ；
(3)试探求线段AC、CP、CH的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、∵−22=−4<0，∴ −22不是二次根式，不符合题意；
B、当a<0时， a不是二次根式，不符合题意；
C、 (−3)2= 9是二次根式，符合题意；
D、∵−5<0，∴ −5不是二次根式，不符合题意．
故选：C．
根据二次根式的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，
由勾股定理得：BC2+CA2=AB2=9．
故选：C．
直接利用勾股定理计算即可．
本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3.【答案】B
【解析】解：把这组数据从小到大排列为2、3、6、6、9、10，故中位数为6+62=6；
平均数为2+3+6+6+9+106=6，
所以6是这组数据平均数也是中位数．
故选：B．
应用众数，算术平均数的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了众数，算术平均数，熟练掌握众数，算术平均数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、由一次函数y=kx+b图象可知k>0，b>0；即kb>0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb<0，矛盾，故此选项不符合题意；
B、由一次函数y=kx+b图象可知k>0，b<0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb>0，矛盾，故此选项不符合题意；
C、由一次函数y=kx+b图象可知k>0，b<0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb<0，故此选项符合题意；
D、由一次函数y=kx+b图象可知k<0，b>0；即kb<0，与正比例函数y=kbx的图象可知kb>0，矛盾，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y=kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k⋅b的符号，从而判断y=kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．
此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
5.【答案】D
【解析】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确；
B、有一个角为直角的平行四边形是矩形，说法正确；
C、四边形相邻两角都互补，则可得四边形的两组对边分别平行，从而可得四边形是平行四边形，说法正确；
D、两邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误；
故选：D．
根据平行四边形及特殊四边形的判定即可判定．
本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握这些判定方法是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、 18+ 2=3 2+ 2=4 2，故A不符合题意；
B、 2× 8= 16=4，故B符合题意；
C、2 3与−2不能合并，故C不符合题意；
D、27÷ 3=9 3，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵平行四边形ABCD的周长是24cm，
∴2BC+2CD=24cm，
∴BC+CD=12cm，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=AB+CE+DE=CD+BC=12cm，
故选：D．
根据平行四边形的性质求出BC+CD=12cm，根据线段的垂直平分线求出DE=BE，求出△CDE的周长等于CD+BC，代入求出即可．
本题考查了平行四边形的性质的应用，关键是求出CD+BC的长和求出△CDE的周长=CD+BC，题目具有一定的代表性，难度也不大，是一道比较好的题目．
8.【答案】A
【解析】解：∵函数y=2x−3和y=−kx+b(k≠0)的图象相交于点(2,1)，
∴关于x、y的方程组2x−y=3y=−kx+b的解为x=2y=1，
故选：A．
根据方程组的解就是交点坐标写出即可．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
9.【答案】B
【解析】解：如图，连接BD，
∵∠ABC=90°，AB=5，BC=12，
∴AC= AB2+BC2= 52+122=13，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴EF=BD，
由垂线段最短可知，BD⊥AC时，线段BD的长最小，
则线段EF的值最小，
此时，S△ABC=12BC⋅AB=12AC⋅BD，
即12×12×5=12×13⋅BD，
解得：BD=6013，
∴EF的最小值是6013，
故选：B．
连接BD，证四边形BEDF是矩形，得EF=BD，再由垂线段最短可得BD⊥AC时，线段EF的值最小，然后由三角形的面积求出BD的长即可．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM//AB，FM//CD，EM=12AB，FM=12CD，
∴∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，即∠NMF=90°，
由勾股定理得，ME2+MF2=EF2=9，
∴AB2+CD2=(2ME)2+(2MF)2=36．
故选：A．
连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，根据三角形中位线定理得到EM=12AB，FM=12CD，∠NMF=90°，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理和勾股定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】x≥−1
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，
∴x≥−1，
故答案为：x≥−1．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0是解题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：∵x1，x2，…，xn的方差为2，
∴2x1，2x2，…，2xn的方差为22×2=8，
故答案为：8．
根据题意，由数据方差的性质分析可得新数据的方差S′2=22S2，即可得答案．
本题考查数据方差的性质，注意数据方差的计算公式，属于基础题．
13.【答案】5 2
【解析】解：连接BD，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴S1+S2=S3+S4，
∵S1+S2=60，S3=10，
∴S4=60−10=50，
∴BC= 50=5 2．
故答案为：5 2．
连接BD，由勾股定理可知S1+S2=S3+S4，求出S4的值，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
14.【答案】(−1,0)
【解析】解：过A作AF⊥y轴于F，过B作BD⊥AB，交直线AC于D，作DE⊥y轴于E，
∵A(1,−1)，B(0,2)，
∴AF=1，OF=1，OB=2，
∴BF=3，
∵∠BAC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=BD，
∵∠ABF+∠DBE=∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠ABF=∠BDE，
∴△ABF≌△BDE(AAS)，
∴AF=BE=1，BF=DE=3，
∴OE=OB−BE=2−1=1，
∴D(−3,1)，
设直线AC的函数表达式为：y=kx+b，
把A(1,−1)，D(−3,1)代入得k+b=−1−3k+b=1，
解得k=−12b=−12，
∴直线AC的函数表达式为：y=−12x−12，
令y=0，则x=−1，
∴C(−1,0)，
故答案为：(−1,0)．
过A作AF⊥y轴于F，过B作BD⊥AB，交直线AC于D，作DE⊥y轴于E，根据题意得到AB=BD，由A(1,−1)，B(0,2)，求得AF=1，OB=2，根据全等三角形的性质得到BE=AF=1，ED=BF=3，求得D(−3,1)，设直线AC的函数表达式为：y=kx+b，利用待定系数法求得直线AC的解析式，进一步求得点C的坐标．
本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：原式=5 xy+x⋅ xyx−1y⋅y xy
=5 xy+ xy− xy
=5 xy，
当x=6，y=13时，原式=5× 6×13=5 2．
【解析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、二次根式的性质是解题的关键．
16.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠CDH=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
同理∠ADE=∠DCH，
∴∠BAF=∠DCH，
在△ABF与△DAE中
∠BAF=∠DCH∠AFB=∠CHDAB=CD，
∴△ABF≌△CDH(AAS)．
【解析】由正方形的性质知，AB=DC，由同角的余角相等知，∠BAF=∠ADE，又有∠AFB=∠DEA=90°，故根据AAS证得△ABF≌△DAE．
本题利用了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定求解．
17.【答案】解：(1)∵∠ADC=90°，AD=16cm，CD=12cm，
∴AC= AD2+CD2= 162+122=20(cm)，
∴AC的长度为20cm；
(2)∵AB=29cm，BC=21cm，AC=20cm，
∴AC2+BC2=202+212=841，AB2=292=841，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴阴影部分面积=△ABC的面积−△ACD的面积
=12AC⋅BC−12AD⋅CD
=12×20×21−12×16×12
=210−96
=114，
∴阴影部分面积为114．
【解析】(1)在Rt△ACD中，利用勾股定理进行计算即可解答；
(2)先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB=90°，然后根据阴影部分面积=△ABC的面积−△ACD的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,0)和B(1,3)，
∴0=−2k+b3=k+b，
解得k=1b=2，
(2)由(1)知一次函数的解析式为y=k+2，
∵y=k+2的图象与直线y=m(m为大于0的常数)的图象交于点C，
∴C的纵坐标为m，
∵A(−2,0)，
∴AO=2，
∵△ACO的面积=12×AO×m=12×2m=5，
∴m=5．
【解析】(1)利用待定系数法直接列方程组求解即可；
(2)由题可知C的纵坐标为m，利用三角形的面积可得m的值．
此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特征，能够得出C的纵坐标为m是关键．
19.【答案】(1)证明：∵矩形ABCD，
∴OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵BE//AC，CE//BD，
∴四边形BECO是平行四边形，
∴四边形BECO是菱形．
(2)解：平行四边形BECO是矩形；
理由：∵BE//AC，CE//BD，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴平行四边形BECO是矩形．
【解析】(1)根据矩形的性质求出OB=OC，证出四边形BECO是平行四边形即可；
(2)根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形BECO是平行四边形即可．
本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和证正出∠BOC=90°、OB=OC是解此题的关键．
20.【答案】8 8 2.8
【解析】解：(1)由题意得，a=15×(5+8×2+9+10)=8，
乙近五次选拔测试成绩中，8出现的次数最多，故众数b=8，
c=15×[(5−8)2+2×(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2)]=2.8，
故答案为：8；8；2.8；
(2)由题意可知，甲第三次测试成绩为8，乙第三次测试成绩为：4×8−(7+8+9+8)=8，
补全复式条形统计图如下：
(3)选乙加比赛，理由如下：
因为两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，更稳定，所以选乙加比赛．
(1)根据加权平均数的公式可得a的值，根据众数的定义可得b的值，根据方差的公式可得c的值；
(2根据题意分别求出甲和乙的第三次测试成绩，进而补全复式条形统计图；
(3)根据方差的意义解答即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和平均数的定义与计算公式．
21.【答案】解：(1)MN= (4−2)2+(−1−2)2= 13；
(2)∵OM= (4−0)2+(2−0)2=2 5，ON= (2−0)2+(−1−0)2= 5，
∴△MNO的周长=MN+OM+ON= 13+3 5．
【解析】由两点的距离公式计算即可．
本题考查两点的距离公式，关键是能应用两点的距离公式进行计算．
22.【答案】解：(1)设甲商店运往A地奶茶x杯，则甲商店运往B地奶茶(100−x)杯，乙商店运往A地奶茶(70−x)杯，乙商店运往B地奶茶[80−(70−x)]=(10+x)杯，
根据题意得：y=2×0.6x+2.5×0.5(100−x)+1.5×0.6×(70−x)+2×0.4(10+x)=−0.15x+196(0≤x≤70)，
∴总运费y关于x的函数关系式为：y=−0.15x+196(0≤x≤70)；
(2)∵一次函数y=−0.15x+196中，k=−0.15<0，
∴y的值随x的增大而减小，
∴当x=70时，总运费y最省，最省的总运费为−0.15×70+196=185.5(元)，
∴从甲商店运70杯到A地，运30杯到B地，从乙商店运0杯到A地，运80杯到B地，总运费最省，最省的总运费是185.5元．
【解析】(1)由甲商店运往A地奶茶x杯，根据题意首先求得甲商店运往B地奶茶(100−x)杯，乙商店运往A地奶茶(70−x)杯，乙商店运往B地奶茶(10+x)杯，然后根据表格求得总运费y关于x的函数关系式；
(2)根据(1)中的一次函数解析式的增减性，即可知当x=70时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最省的总运费．
本题考查了一次函数的实际应用问题，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∵PE//CD//AB，
∴∠EPC=∠ABC=60°，∠PEC=∠BAC=60°，
∴△CPE是等边三角形；
(2)证明：∵PE//CD，
∴∠EPQ=∠PQC，
∵∠APM=60°，∠DCH=∠B=60°，
∴∠APE+∠EPQ=∠PQC+∠QPC，
∴∠APE=∠QPC，
∵△CPE是等边三角形，
∴PE=PC，∠APE=180°−∠PEC=120°=∠PCQ，
∴△APE≌△QPC(ASA)，
∴AP=PQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAC+∠CAQ=60°=∠DAQ+∠CAQ，
∴∠PAC=∠DAQ，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠ACP=60°=∠D，
∴△APC≌△AQD(AAS)，
∴CP=DQ；
(3)解：AC=CP+2CH，证明如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
∵CD=CQ+QD，
∴AC=CQ+QD，
∵CP=QD，
∴AC=CQ+CP，
∵∠CHQ=90°，∠QCH=60°，
∴∠CQH=30°，
∴CQ=2CH，
∴AC=CP+2CH．
【解析】(1)证明△CPE的两个角等于60°，从而可得△CPE等边三角形；
(2)由PE//CD，得∠EPQ=∠PQC，又∠APE+∠EPQ=∠PQC+∠QPC，可得∠APE=∠QPC，即可得△APE≌△QPC(ASA)，AP=PQ，△APQ是等边三角形，从而可证△APC≌△AQD(AAS)，CP=DQ；
(3)由四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，得△ACD是等边三角形，AC=CD，又CP=QD，即得AC=CQ+CP，根据∠CHQ=90°，∠QCH=60°，知CQ=2CH，故AC=CP+2CH．
本题考查四边形综合应用，涉及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质及应用等，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定．
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