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2022-2023学年广西贺州市昭平县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广西贺州市昭平县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西贺州市昭平县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 4的算术平方根是( )
A. 2 B. 4 C. −2 D. −4
2. 目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻.体温T超过37.5℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊.体温“超过37.5℃”用不等式表示为( )
A. T>37.5℃ B. T<37.5℃ C. T≤37.5℃ D. T≥37.5℃
3. 下列各数中是无理数的是( )
A. −1 B. 0 C. 5 D. 3.14
4. 下列说法错误的是( )
A. 两点之间线段最短
B. 对顶角相等
C. 同角的余角相等
D. 平移只改变图形的位置和大小，不改变图形的形状
5. 下列运算不正确的是( )
A. a−3⋅a7=a4 B. (a−3)−2=a6
C. a2÷a×1a=a2 D. a⋅a3+a2⋅a2=2a4
6. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是( )
A. m4−1=(m2+1)(m+1)(m−1) B. x2−y2−1=(x+y)(x−y)−1
C. 15ab−6a+3=3(5ab−2a) D. (x−2y)2=x2−4xy+4y2
7. 若分式−5x+3有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠3 B. x≠−3 C. x>0 D. x>−3
8. 将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是( )
A. (x+y)2=x2+2xy+y2
B. (x−y)2=x2−2xy+y2
C. (x+y)(x−y)=x2−y2
D. (x+y)2−(x−y)2=4xy
9. 2011年12月，天文学家发现一颗新的与地球最近的系外类地行星，名为“HD85512B“，距地球大约36光年，此距离用科学记数法表示为(1光年=30万千米)( )
A. 108×108米 B. 1.08×1010米 C. 3.0×108米 D. 108×108千米
10. 小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜．喜欢数学的甲同学说：“至少20元．”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元．”讨厌数学的丙同学说：“至多12元．”小王说：“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为( )
A. 12
A. 6cm
B. 8cm
C. 10cm
D. 12cm
12. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1=∠3；②如果∠2=30°，则有AC//DE；③如果∠2=45°，则有BC//AD；④如果∠4=∠C，必有∠2=30°，其中正确的有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 因式分解：4m2−1=______．
14. 计算：3aa+2−aa+2= ______ ．
15. 已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是______ ．
16. 已知xa=2，xb=3，则x3a+2b=______．
17. 如图所示，请写出能判定CE//AB的一个条件______．
18. 规定(a)表示小于a的最大整数，如(3)=2，( 10)=3.现将37进行如下操作：37→第一次( 37)=6→第二次( 6)=2→第三次( 2)=1.类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为______．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 解不等式组：2x−1<7①3x−12≥x+1②，并在数轴上表示出不等式组的解集．
四、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
计算：|− 2|− 16+(− 2)−327．
21. (本小题6.0分)
先化简，再求值：x2x2−1÷(1x+1+x−1)；从−1，1，2中选一个代入求值．
22. (本小题10.0分)
如图，点P是∠AOB的边OB上的一个格点．
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C；
(3)线段PH的长度是点P到______ 的距离.线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______ (用“<”号连接)，依据是______ ．
23. (本小题10.0分)
阅读下列材料：
分解因式：4x−16x3．
小天的做法：原式=x(4−16x2)①
=x[22−(4x)2]②
=x(2−4x)(2+4x)③
小朵的做法：
原式=4x(1−4x2)①
=4x(1−4x)(1+4x)②
小云的做法：
原式=16x3−4x①
=4x(4x2−1)②
=4x(2x−1)(2x+1)③
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小天的解题过程从______ 步出现错误的，错误的原因是：______ ；
(2)小朵的解题过程从______ 步出现错误的，错误的原因是：______ ；
(3)小云的解题过程从______ 步出现错误的，错误的原因是：______ ．
(4)若他们的解题过程都不正确，请你写出正确的解题过程．
24. (本小题10.0分)
已知(x2+mx−3)(2x+n)的展开式中不含x2项，常数项是−6．
(1)求m，n的值．
(2)求(m+n)(m2−mn+n2)的值．
25. (本小题10.0分)
已知：如图，AB//CD，EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.求证：EG//FH.请完成以下证明过程：
证明：∵AB//CD
∴∠AEF=∠EFD( )
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠ =12∠AEF，∠ =12∠EDD( )
∴∠ =∠ ( )，
∴EG//FH( )
26. (本小题10.0分)
当今社会，我们的生活已经离不开口罩，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩.已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
(1)A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
(2)根据口罩使用情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买的B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若加购总费用不超过2000元，则加购A型口罩的数量最多是多少个？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵22=4，
∴4算术平方根为2．
故选A．
如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．
2.【答案】A
【解析】解：A、表示超过37.5°C，选项符合题意；
B、表示低于37.5°C，选项不符合题意；
C、表示不高于37.5°C，选项不符合题意；
D、表示不低于37.5°C，选项不符合题意．
故选：A．
超过37.5°C即大于37.5°C，用不等式表示出来即可．
本题考查不等式的定义，根据定义解题是关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、−1是有理数，不符合题意；
B、0是有理数，不符合题意；
C、 5是无理数，符合题意；
D、3.14是有理数，不符合题意．
故选：C．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.两点之间线段最短，因此选项A不符合题意；
B.对顶角相等，因此选项B不符合题意；
C.同角的余角相等，因此选项C不符合题意；
D.平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据线段的性质，对顶角相等，同角的余角线段以及平移的性质逐项进行判断即可．
本题考查平移的性质，对顶角，余角以及线段的性质，掌握平移的性质，对顶角相等，同角的余角相等以及两点之间线段相等是正确判断的前提．
5.【答案】C
【解析】解：A.a−3⋅a7=a4，故此选项不符合题意；
B.(a−3)−2=a6，故此选项不符合题意；
C.a2÷a×1a=a×1a=1≠a2，故此选项符合题意；
D.a⋅a3+a2⋅a2=a4+a4=2a4，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，分式的乘法，合并同类项进行判断即可．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，分式的乘法，合并同类项．掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、m4−1=(m2+1)(m+1)(m−1)，选项正确，符合题意；
B、x2−y2−1=(x+y)(x−y)−1，等式右边不是整式积的形式，不符合题意；
C、15ab−6a+3=3(5ab−2a+1)，分解错误，不符合题意；
D、(x−2y)2=x2−4xy+4y2，是整式的乘法，不符合题意；
故选：A．
根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可．
本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，得：x+3≠0，
∴x≠−3；
故选：B．
根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据图形可得：大正方形的面积为(x+y)2，阴影部分小正方形的面积为(x−y)2，一个小长方形的面积为xy，
则大正方形的面积−小正方形的面积=4个小长方形的面积，
即(x+y)2−(x−y)2=4xy，
故选：D．
利用图形可得出大正方形的面积−小正方形的面积=4个小长方形的面积，写出大正方形的面积、阴影部分小正方形的面积和一个小长方形的面积即可得出答案
本题主要考查的是完全平方公式，解题关键是根据图形推出：大正方形的面积−小正方形的面积=4个小长方形的面积．
9.【答案】B
【解析】解：36光年
=36×30×10000×1000
=1.08×1010米．
故选：B．
对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是比原整数位数少1的数．
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10.【答案】C
【解析】解：依题意得：x<20x>15x>12，
∴15
根据三个同学的说法都错误，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵将周长为6cm的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=6cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=8(cm)．
故选：B．
先根据平移的性质得出AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，再根据四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF即可得出结论．
本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC//DE，故②正确；
∵∠2=45°，
∴∠3=45°=∠B，
∴BC//AD.故③正确；
∵∠4=∠C，
∴AC//DE，
∴∠1=∠E=60°，
∴∠2=90°−60°=30°，故④正确；
故选：D．
先根据余角的概念和同角的余角相等判断①；再根据平行线的判定定理判断②；然后根据平行线的判定定理判断③；最后根据平行线的判定与性质判断④．
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
13.【答案】(2m−1)(2m+1)
【解析】解：4m2−1=(2m−1)(2m+1)．
故答案为：(2m−1)(2m+1)．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
14.【答案】2aa+2
【解析】解：3aa+2−aa+2=3a−aa+2=2aa+2．
故答案为：2aa+2．
分式分母相同，直接加减，最后约分．
本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
15.【答案】x≥1
【解析】解：这个不等式的解集是：x≥1．
故答案为：x≥1．
直接根据数轴写出答案即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
16.【答案】72
【解析】解：∵xa=2，xb=3，
∴原式=(xa)3⋅(xb)2=8×9=72，
故答案为：72
原式利用同底数幂上的乘法，以及幂的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】∠DCE=∠A(答案不唯一)
【解析】解：能判定CE//AB的一个条件是：∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°．
故答案为：∠DCE=∠A(答案不唯一)．
能判定CE//AB的，判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．因而可以判定的条件是：∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°．
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
18.【答案】677
【解析】解：把程序反过来操作为：1=( 2)←2=( 5)←5=( 26)←26=( 677)←677，
由此可得：进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为677．
故答案为：677．
由题意只需把程序反过来操作，即可得到答案．
本题考查新定义问题，估计无理数的大小，关键是明白：规定(a)表示小于a的最大整数．
19.【答案】解：由①得2x<8，所以x<4，
由②得3x−1⩾2x+2，
所以3x−2x⩾2+1
所以x≥3，
所以不等式组的解集为3≤x<4．
解集在数轴上表示如下图：
．
【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可．
20.【答案】解：原式= 2−4− 2−3
=−7．
【解析】首先进行绝对值的化简，开平方运算，开立方运算，再进行加减运算即可．
本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
21.【答案】解：x2x2−1+(1x+1+x−1)
=x2(x+1)(x−1)+[1x+1+(x+1)(x−1)x+1]
=x2(x+1)(x−1)+(1+x2−1x+1)
=x2(x+1)(x−1)⋅x+1x2
=1x−1，
根据分式有意义的条件，得：x≠±1，
∴在−1，1，2中，x只能为2，
∴当x=2时，原式=12−1=1．
【解析】先根据分式的混合运算法则对式子进行化简，再根据分式有意义的条件得出x的值，再将其代入即可求解．
本题主要考查分式的化简求值、分式有意义的条件，分式化简求值时需注意的问题：①化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”.②代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
22.【答案】OA PH
(2)
(3)∵PH⊥OA，
∴PH表示的是点P到OA的距离；
PH
(2)根据题意作图即可；
(3)过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短．
本题主要考查了点到直线的距离，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键．
23.【答案】③ 因式分解不彻底 ② 平方差公式用错 ① 提取负号后，负号丢失，没弄清是方程还是多项式
【解析】解：(1)小天的解题过程从第③步出现错误的，错误的原因是：因式分解不彻底，
故答案为：③；因式分解不彻底；
(2)小朵的解题过程从第②步出现错误的，错误的原因是：平方差公式用错，
故答案为：②；平方差公式用错；
(3)小云的解题过程从第①步出现错误的，错误的原因是：提取负号后，负号丢失，没弄清是方程还是多项式；
故答案为：①；提取负号后，负号丢失，没弄清是方程还是多项式；
(4)原式=4x(1−4x2)
=4x(1−2x)(1+2x)．
提公因式后利用平方差公式进行因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)原式=2x3+2mx2−6x+nx2+mnx−3n
=2x3+2mx2+nx2+mnx−6x−3n
=2x3+(2m+n)x2+(mn−6)x−3n，
由于展开式中不含x2项，常数项是−6，
则2m+n=0且−3n=−6，
解得：m=−1，n=2；
(2)由(1)可知：m=−1，n=2，
∴原式=m3+n3=(−1) 3+23，
=−1+8
=7．
【解析】(1)直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m，n的值；
(2)利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
25.【答案】已知 两直线平行，内错角相等 GEF HFE 角平分线定义 GEF HFE 等量代换 内错角相等，两直线平行
【解析】证明：∵AB//CD(已知)，
∴∠AEF=∠EFD(两直线平行，内错角相等)，
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD(已知)，
∴∠GEF=12∠AEF，∠HFE=12∠EFD，(角平分线定义)，
∴∠GEF=∠HFE(等量代换)，
∴EG//FH(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；GEF；HFE；角平分线定义；GEF；HFE；等量代换；内错角相等，两直线平行．
由AB与CD平行，利用两直线平行，内错角相等得到一对角相等，再由EG与FH为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为(x−1.5)元．
由题意得：8000x=5000x−1.5，
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，
∴x−1.5=2.5，
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元．
(2)设加购A型口罩的数量是m个，则加购B型口罩的数量是2m个．
由题意得：2.5×2m+4m≤2000，
解得：m≤22229．
∵m是正整数，
∴m的最大值为222．
答：加购A型口罩的数量最多222个．
【解析】(1)设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为(x−1.5)元．根据用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同列方程，解方程并检验即可；
(2)设加购A型口罩的数量是m个，则加购B型口罩的数量是2m个．根据加购总费用不超过2000元列出不等式，解不等式即可得到答案．
此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键．
2022-2023学年广西贺州市昭平县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 4的算术平方根是( )
A. 2 B. 4 C. −2 D. −4
2. 目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻.体温T超过37.5℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊.体温“超过37.5℃”用不等式表示为( )
A. T>37.5℃ B. T<37.5℃ C. T≤37.5℃ D. T≥37.5℃
3. 下列各数中是无理数的是( )
A. −1 B. 0 C. 5 D. 3.14
4. 下列说法错误的是( )
A. 两点之间线段最短
B. 对顶角相等
C. 同角的余角相等
D. 平移只改变图形的位置和大小，不改变图形的形状
5. 下列运算不正确的是( )
A. a−3⋅a7=a4 B. (a−3)−2=a6
C. a2÷a×1a=a2 D. a⋅a3+a2⋅a2=2a4
6. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是( )
A. m4−1=(m2+1)(m+1)(m−1) B. x2−y2−1=(x+y)(x−y)−1
C. 15ab−6a+3=3(5ab−2a) D. (x−2y)2=x2−4xy+4y2
7. 若分式−5x+3有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠3 B. x≠−3 C. x>0 D. x>−3
8. 将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是( )
A. (x+y)2=x2+2xy+y2
B. (x−y)2=x2−2xy+y2
C. (x+y)(x−y)=x2−y2
D. (x+y)2−(x−y)2=4xy
9. 2011年12月，天文学家发现一颗新的与地球最近的系外类地行星，名为“HD85512B“，距地球大约36光年，此距离用科学记数法表示为(1光年=30万千米)( )
A. 108×108米 B. 1.08×1010米 C. 3.0×108米 D. 108×108千米
10. 小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜．喜欢数学的甲同学说：“至少20元．”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元．”讨厌数学的丙同学说：“至多12元．”小王说：“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为( )
A. 12
A. 6cm
B. 8cm
C. 10cm
D. 12cm
12. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1=∠3；②如果∠2=30°，则有AC//DE；③如果∠2=45°，则有BC//AD；④如果∠4=∠C，必有∠2=30°，其中正确的有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 因式分解：4m2−1=______．
14. 计算：3aa+2−aa+2= ______ ．
15. 已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是______ ．
16. 已知xa=2，xb=3，则x3a+2b=______．
17. 如图所示，请写出能判定CE//AB的一个条件______．
18. 规定(a)表示小于a的最大整数，如(3)=2，( 10)=3.现将37进行如下操作：37→第一次( 37)=6→第二次( 6)=2→第三次( 2)=1.类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为______．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 解不等式组：2x−1<7①3x−12≥x+1②，并在数轴上表示出不等式组的解集．
四、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
计算：|− 2|− 16+(− 2)−327．
21. (本小题6.0分)
先化简，再求值：x2x2−1÷(1x+1+x−1)；从−1，1，2中选一个代入求值．
22. (本小题10.0分)
如图，点P是∠AOB的边OB上的一个格点．
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C；
(3)线段PH的长度是点P到______ 的距离.线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______ (用“<”号连接)，依据是______ ．
23. (本小题10.0分)
阅读下列材料：
分解因式：4x−16x3．
小天的做法：原式=x(4−16x2)①
=x[22−(4x)2]②
=x(2−4x)(2+4x)③
小朵的做法：
原式=4x(1−4x2)①
=4x(1−4x)(1+4x)②
小云的做法：
原式=16x3−4x①
=4x(4x2−1)②
=4x(2x−1)(2x+1)③
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小天的解题过程从______ 步出现错误的，错误的原因是：______ ；
(2)小朵的解题过程从______ 步出现错误的，错误的原因是：______ ；
(3)小云的解题过程从______ 步出现错误的，错误的原因是：______ ．
(4)若他们的解题过程都不正确，请你写出正确的解题过程．
24. (本小题10.0分)
已知(x2+mx−3)(2x+n)的展开式中不含x2项，常数项是−6．
(1)求m，n的值．
(2)求(m+n)(m2−mn+n2)的值．
25. (本小题10.0分)
已知：如图，AB//CD，EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.求证：EG//FH.请完成以下证明过程：
证明：∵AB//CD
∴∠AEF=∠EFD( )
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠ =12∠AEF，∠ =12∠EDD( )
∴∠ =∠ ( )，
∴EG//FH( )
26. (本小题10.0分)
当今社会，我们的生活已经离不开口罩，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩.已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
(1)A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
(2)根据口罩使用情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买的B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若加购总费用不超过2000元，则加购A型口罩的数量最多是多少个？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵22=4，
∴4算术平方根为2．
故选A．
如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．
2.【答案】A
【解析】解：A、表示超过37.5°C，选项符合题意；
B、表示低于37.5°C，选项不符合题意；
C、表示不高于37.5°C，选项不符合题意；
D、表示不低于37.5°C，选项不符合题意．
故选：A．
超过37.5°C即大于37.5°C，用不等式表示出来即可．
本题考查不等式的定义，根据定义解题是关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、−1是有理数，不符合题意；
B、0是有理数，不符合题意；
C、 5是无理数，符合题意；
D、3.14是有理数，不符合题意．
故选：C．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.两点之间线段最短，因此选项A不符合题意；
B.对顶角相等，因此选项B不符合题意；
C.同角的余角相等，因此选项C不符合题意；
D.平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据线段的性质，对顶角相等，同角的余角线段以及平移的性质逐项进行判断即可．
本题考查平移的性质，对顶角，余角以及线段的性质，掌握平移的性质，对顶角相等，同角的余角相等以及两点之间线段相等是正确判断的前提．
5.【答案】C
【解析】解：A.a−3⋅a7=a4，故此选项不符合题意；
B.(a−3)−2=a6，故此选项不符合题意；
C.a2÷a×1a=a×1a=1≠a2，故此选项符合题意；
D.a⋅a3+a2⋅a2=a4+a4=2a4，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，分式的乘法，合并同类项进行判断即可．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，分式的乘法，合并同类项．掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、m4−1=(m2+1)(m+1)(m−1)，选项正确，符合题意；
B、x2−y2−1=(x+y)(x−y)−1，等式右边不是整式积的形式，不符合题意；
C、15ab−6a+3=3(5ab−2a+1)，分解错误，不符合题意；
D、(x−2y)2=x2−4xy+4y2，是整式的乘法，不符合题意；
故选：A．
根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可．
本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，得：x+3≠0，
∴x≠−3；
故选：B．
根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据图形可得：大正方形的面积为(x+y)2，阴影部分小正方形的面积为(x−y)2，一个小长方形的面积为xy，
则大正方形的面积−小正方形的面积=4个小长方形的面积，
即(x+y)2−(x−y)2=4xy，
故选：D．
利用图形可得出大正方形的面积−小正方形的面积=4个小长方形的面积，写出大正方形的面积、阴影部分小正方形的面积和一个小长方形的面积即可得出答案
本题主要考查的是完全平方公式，解题关键是根据图形推出：大正方形的面积−小正方形的面积=4个小长方形的面积．
9.【答案】B
【解析】解：36光年
=36×30×10000×1000
=1.08×1010米．
故选：B．
对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是比原整数位数少1的数．
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10.【答案】C
【解析】解：依题意得：x<20x>15x>12，
∴15
根据三个同学的说法都错误，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵将周长为6cm的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=6cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=8(cm)．
故选：B．
先根据平移的性质得出AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，再根据四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF即可得出结论．
本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC//DE，故②正确；
∵∠2=45°，
∴∠3=45°=∠B，
∴BC//AD.故③正确；
∵∠4=∠C，
∴AC//DE，
∴∠1=∠E=60°，
∴∠2=90°−60°=30°，故④正确；
故选：D．
先根据余角的概念和同角的余角相等判断①；再根据平行线的判定定理判断②；然后根据平行线的判定定理判断③；最后根据平行线的判定与性质判断④．
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
13.【答案】(2m−1)(2m+1)
【解析】解：4m2−1=(2m−1)(2m+1)．
故答案为：(2m−1)(2m+1)．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
14.【答案】2aa+2
【解析】解：3aa+2−aa+2=3a−aa+2=2aa+2．
故答案为：2aa+2．
分式分母相同，直接加减，最后约分．
本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
15.【答案】x≥1
【解析】解：这个不等式的解集是：x≥1．
故答案为：x≥1．
直接根据数轴写出答案即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
16.【答案】72
【解析】解：∵xa=2，xb=3，
∴原式=(xa)3⋅(xb)2=8×9=72，
故答案为：72
原式利用同底数幂上的乘法，以及幂的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】∠DCE=∠A(答案不唯一)
【解析】解：能判定CE//AB的一个条件是：∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°．
故答案为：∠DCE=∠A(答案不唯一)．
能判定CE//AB的，判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．因而可以判定的条件是：∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°．
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
18.【答案】677
【解析】解：把程序反过来操作为：1=( 2)←2=( 5)←5=( 26)←26=( 677)←677，
由此可得：进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为677．
故答案为：677．
由题意只需把程序反过来操作，即可得到答案．
本题考查新定义问题，估计无理数的大小，关键是明白：规定(a)表示小于a的最大整数．
19.【答案】解：由①得2x<8，所以x<4，
由②得3x−1⩾2x+2，
所以3x−2x⩾2+1
所以x≥3，
所以不等式组的解集为3≤x<4．
解集在数轴上表示如下图：
．
【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可．
20.【答案】解：原式= 2−4− 2−3
=−7．
【解析】首先进行绝对值的化简，开平方运算，开立方运算，再进行加减运算即可．
本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
21.【答案】解：x2x2−1+(1x+1+x−1)
=x2(x+1)(x−1)+[1x+1+(x+1)(x−1)x+1]
=x2(x+1)(x−1)+(1+x2−1x+1)
=x2(x+1)(x−1)⋅x+1x2
=1x−1，
根据分式有意义的条件，得：x≠±1，
∴在−1，1，2中，x只能为2，
∴当x=2时，原式=12−1=1．
【解析】先根据分式的混合运算法则对式子进行化简，再根据分式有意义的条件得出x的值，再将其代入即可求解．
本题主要考查分式的化简求值、分式有意义的条件，分式化简求值时需注意的问题：①化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”.②代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
22.【答案】OA PH
(2)
(3)∵PH⊥OA，
∴PH表示的是点P到OA的距离；
PH
(2)根据题意作图即可；
(3)过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短．
本题主要考查了点到直线的距离，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键．
23.【答案】③ 因式分解不彻底 ② 平方差公式用错 ① 提取负号后，负号丢失，没弄清是方程还是多项式
【解析】解：(1)小天的解题过程从第③步出现错误的，错误的原因是：因式分解不彻底，
故答案为：③；因式分解不彻底；
(2)小朵的解题过程从第②步出现错误的，错误的原因是：平方差公式用错，
故答案为：②；平方差公式用错；
(3)小云的解题过程从第①步出现错误的，错误的原因是：提取负号后，负号丢失，没弄清是方程还是多项式；
故答案为：①；提取负号后，负号丢失，没弄清是方程还是多项式；
(4)原式=4x(1−4x2)
=4x(1−2x)(1+2x)．
提公因式后利用平方差公式进行因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)原式=2x3+2mx2−6x+nx2+mnx−3n
=2x3+2mx2+nx2+mnx−6x−3n
=2x3+(2m+n)x2+(mn−6)x−3n，
由于展开式中不含x2项，常数项是−6，
则2m+n=0且−3n=−6，
解得：m=−1，n=2；
(2)由(1)可知：m=−1，n=2，
∴原式=m3+n3=(−1) 3+23，
=−1+8
=7．
【解析】(1)直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m，n的值；
(2)利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
25.【答案】已知 两直线平行，内错角相等 GEF HFE 角平分线定义 GEF HFE 等量代换 内错角相等，两直线平行
【解析】证明：∵AB//CD(已知)，
∴∠AEF=∠EFD(两直线平行，内错角相等)，
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD(已知)，
∴∠GEF=12∠AEF，∠HFE=12∠EFD，(角平分线定义)，
∴∠GEF=∠HFE(等量代换)，
∴EG//FH(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；GEF；HFE；角平分线定义；GEF；HFE；等量代换；内错角相等，两直线平行．
由AB与CD平行，利用两直线平行，内错角相等得到一对角相等，再由EG与FH为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为(x−1.5)元．
由题意得：8000x=5000x−1.5，
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，
∴x−1.5=2.5，
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元．
(2)设加购A型口罩的数量是m个，则加购B型口罩的数量是2m个．
由题意得：2.5×2m+4m≤2000，
解得：m≤22229．
∵m是正整数，
∴m的最大值为222．
答：加购A型口罩的数量最多222个．
【解析】(1)设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为(x−1.5)元．根据用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同列方程，解方程并检验即可；
(2)设加购A型口罩的数量是m个，则加购B型口罩的数量是2m个．根据加购总费用不超过2000元列出不等式，解不等式即可得到答案．
此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键．
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