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2022-2023学年湖南省长沙实验中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙实验中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙实验中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是( )
A. x2−2=0 B. x2+y=1 C. x−1x=1 D. x2+x=x2+1
2. 抛物线y=−(x−2)2+1的顶点坐标( )
A. (2,1) B. (2,−1) C. (−2,1) D. (−2,−1)
3. 下列命题中，正确的命题的是( )
A. 有两边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 四个角相等的菱形是正方形 D. 两条对角线相等的四边形是矩形
4. 一次函数y=−2x−4的图象上有两点A(−3,y1)、B(1,y2)，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A. 1, 3，4 B. 3, 4, 5 C. 1, 2，1 D. 6，7，8
6. 已知关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A. −4 B. 0 C. 4 D. 8
7. 如图，一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，则不等式x+b>3的解是( )
A. x>−2
B. x>3
C. x<−2
D. x<3
8. 如图，在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.若AB= 3，∠DCF=30°，则EF的长为( )
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 2
9. 表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
−2
0
1
3
…
y
…
6
−4
−6
−4
…
下列各选项中，正确的是( )
A. 这个函数的最小值为−6
B. 这个函数的图象开口向下
C. 这个函数的图象与x轴无交点
D. 当x>2时，y的值随x值的增大而增大
10. 如果a是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，−a是一元二次方程x2+3x−m=0的一个根，那么a的值是( )
A. 1或2 B. 0或−3 C. −1或−2 D. 0或3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，图中三个四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为18，10，则正方形C的面积是______ ．
12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且DB=5，则CD= ______ ．
13. 一次函数y=2x−3的图象经过的象限是：______ ．
14. 为了解某居民区的用电情况，物业在月底进行了统计，发现有3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则平均用电______ 度.
15. 已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是______ ．
16. 某学校航模组设计制作的火箭升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式为h=−t2+12t+1.如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面______ m处打开．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解方程
(1)4(x−3)=2x(x−3)；
(2)x2−4x−7=0．
18. (本小题6.0分)
北京时间2023年2月10日，神舟十五号航天员圆满完成出舱活动全部既定任务，这是中国空间站全面建成后航天员首次出舱活动，见证着我国从航天大国迈向航天强国的奋进足迹.为了激发同学们学习航天知识的热情，某校举办了“致敬航天人，共筑星河梦”主题演讲比赛，比赛的成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)被抽取的学生共有______ 人，B等级的学生有______ 人；
(2)本次演讲成绩的中位数落在______ 等级，扇形图中D组对应扇形的圆心角为______ 度；
(3)若该校共有100名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩不低于90分的学生共有多少名？
19. (本小题6.0分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若BC=3，DC=2，求四边形OCED的面积．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+5图象经过点A(1,4)，点B是一次函数的图象与正比例函数y=23x的图象的交点．
(1)求k的值；
(2)求点B的坐标．
21. (本小题8.0分)
如图，是一个滑梯示意图，BC是滑梯，且∠ABC=45°，AC为3米，AE为1米．
(1)求滑梯BC的长度；
(2)为安全起见，减缓滑梯的坡度，把滑梯BC改成滑梯PC.若将滑梯PC水平放置，则刚好与EP一样长，求BP的长度．
22. (本小题9.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
(1)求证：四边形EFGO是矩形；
(2)若四边形ABCD是菱形，AB=10，BD=16，求OG的长．
23. (本小题9.0分)
如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
24. (本小题10.0分)
某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40)，请用x的代数式来表示销售量为______ 件；
(2)在(1)的条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
(3)在(1)的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
25. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,0)，(3,0)和(0,3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当AN+MN有最大值时，求出抛物线上点M的坐标；
(3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
∴A选项符合题意；
B选项未知数有2个，不符合题意；
C选项不是整式方程，不符合题意；
D化简，得x−1=0，不含有2次项，
∴D选项不符合题意．
故选：A．
本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵y=−(x−2)2+1是抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标(2,1)，
故选：A．
已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标．
考查了二次函数的性质，顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h．
3.【答案】C
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、四个角相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4.【答案】A
【解析】解：∵点A(−3,y1)，B(1,y2)在一次函数y=−2x−4的图象上，
∴y1=(−2)×(−3)−4=2，y2=(−2)×1−4=−6．
∵2>−6，
∴y1>y2．
故选：A．
先根据题意求出y1，y2的值，再比较其大小即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、∵1+ 3<4，
∴不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、∵( 3)2+( 4)2=7，( 5)2=5，
∴( 3)2+( 4)2≠( 5)2，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+12=2，( 2)2=2，
∴12+12=( 2)2，
∴能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵62+72=85，82=64，
∴62+72≠82，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意得Δ=42−4m=0，
解得m=4，
故选：C．
利用根的判别式的意义得到42−4m=0，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意：因为一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，
则不等式x+b>3的解是x>−2；
故选：A．
不等式x+b>3的解就是图象上点的纵坐标大于3对应的自变量的取值范围，据此解答即可．
本题考查了一次函数和一元一次不等式，属于基础题型，掌握求解的方法是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOF和△COE中，
∠ACB=∠DACAO=CO∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE=OF，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF=30°，
∴∠ECF=90°−30°=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CF，
∵AB= 3，
∴CD=AB= 3，
∵∠DCF=30°，
∴CF= 3÷ 32=2，
∴EF=2．
故选：B．
求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解．
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，判断出△CEF是等边三角形是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵抛物线经过点(0,−4)，(3,−4)，
∴抛物线对称轴为直线x=32，
∵抛物线经过点(−2,6)，
∴当x<32时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴x>32时，y随x增大而增大，
∴当x>2时，y随x增大而增大，
故选：D．
根据抛物线经过点(0,−4)，(3,−4)可得抛物线对称轴为直线x=32，由抛物线经过点(−2,6)可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意得a2−3a+m=0①，a2−3a−m=0②，
①+②得2a2−6a=0，解得a=0或a=3．
故选：D．
把x=a代入方程x2−3x+m=0得到a2−3a+m=0，把x=−a代入方程x2+3x−m=0得a2−3a−m=0，然后把两式相加得到关于a的方程，再解关于a的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11.【答案】28
【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可知
SC=SA+SB
=18+10
=28，
故答案为：28．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵点D是AB的中点，DB=5，
∴AB=2DB=10，
∵∠ACB=90°，
∴CD=12AB=5．
故答案为：5．
利用直角三角形斜边上的中线的性质，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
13.【答案】一、三、四
【解析】解：∵在一次函数y=2x−3中，k=2>3，b=−3<0，
∴一次函数y=2x−3的图象经过第一、三、四象限．
故答案为：一、三、四．
根据一次函数的系数利用一次函数图象与系数的关系即可找出一次函数图象经过的象限，此题得解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握“k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
14.【答案】45.5
【解析】解：平均用电=45×3+50×5+42×63+5+6=45.5(度)．
故答案为：45.5．
平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求45，50，42这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
15.【答案】5
【解析】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得−4t=−20，
解得t=5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得−4t=−20，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
16.【答案】170
【解析】解：h=−t2+12t+1=−(t−6)2+37
∵a=−1<0，
∴点火升空的最高点距地面37m，
故答案为：37．
把二次函数配方为顶点式，写出最大值解题即可．
本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值，运用配方法配成顶点式是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵4(x−3)=2x(x−3)，
∴4(x−3)−2x(x−3)=0，
则(x−3)(4−2x)=0，
∴x−3=0或4−2x=0，
解得x1=3，x2=2；
(2)∵x2−4x−7=0，
∴x2−4x=7，
则x2−4x+4=7+4，即(x−2)2=11，
∴x−2=± 11，
∴x1=2+ 11，x2=2− 11．
【解析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
(2)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
18.【答案】20 5 C 72
【解析】解：(1)被抽取的学生共有3÷15%=20(人)，
B等级人数为20−(3+8+4)=5(人)；
故答案为：20，5；
(2)∵共有20个数据，其中位数是第10、11个数据的平均数，
而第10、11个数据均落在C等级，
∴这组数据的中位数落在C等级；
420×360°=72°．
∴D组对应扇形的圆心角为72度；
故答案为：C，72；
(3)100×3+520=40(名)，
答：估计比赛成绩不低于90分的学生共有40名．
(1)由A等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出B等级人数即可；
(2)根据中位数的定义求解，再用360°乘以样本中D组人数所占比例即可；
(3)总人数乘以样本中成绩不低于90分的人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
19.【答案】(1)证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，BC=3，DC=2，
∴OA=OB=OC=OD，S矩形ABCD=3×2=6，
∴S△OCD=14S矩形ABCD=14×6=1.5，
∵四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的面积=2S△OCD=2×1.5=3．
【解析】(1)证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形性质可得：OC=OD，利用菱形的判定即可证得结论；
(2)先求出矩形面积，再根据矩形性质可得S△OCD=14S矩形ABCD，再由菱形性质可得菱形OCED的面积=2S△OCD可解答．
本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)把A(1,4)代入y=kx+5得k+5=4，
解得k=−1；
(2)由(1)得：y=−x+5，
解方程组y=23xy=−x+5，
解得x=3y=2，
故B点坐标是(3,2)．
【解析】(1)直接把A点坐标代入y=kx+5可求出k的值；
(2)根据两直线相交的问题，通过解方程组y=23xy=−x+5可得到B点坐标．
本题考查了两直线相交的问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
21.【答案】解：(1)∵∠ABC=45°，AC⊥AB，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AC=AB=3米，
∴BC= AC2+AB2= 32+32=3 2(米)，
即滑梯BC的长度为3 2米；
(2)设BP=x米，则EP=EA+AB+BP=1+3+x=4+x，
在Rt△CAP中，
由勾股定理得PC= AC2+AP2= 32+(3+x)2= x2+6x+18，
∵滑梯PC水平放置，则刚好与EP一样长，
∴PC=EP，
∴PC2=EP2，即(4+x)2=x2+6x+18，
解得x=1，
即BP的长度为1米．
【解析】(1)先证△ABC是等腰直角三角形，再根据勾股定理计算BC的长度；
(2)设BP=x米，根据勾股定理用含x的代数式表示出PC，再根据PC=EP列方程，求出x的值即可．
本题考查等腰直角三角形的判定、勾股定理，难度一般，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵点E是AB的中点，
∴AE=ED．
∴OE//BC，
∴OE//FG，
∵EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，
∴EF//OG，
∴四边形EFGO是平行四边形
∵EF⊥BC，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGO是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC，OC=12AC，OB=12BD，
∵AB=10，BD=16，
∴OB=8，BC=10，
在Rt△BOC中，OC= BC2−OB2= 102−82=6，
∴12BC⋅OG=12OC⋅OB，
即12×10×OG=12×6×8，
∴OG=4.8．
【解析】(1)根据平行四边形的性质可知OA=OC，根据已知可得AE=BE，所以OE//BC，EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，则EF//OG，先证明四边形是平行四边形，再证∠EFG是直角即可；
(2)根据菱形的性质可知AC⊥BD，根据已知可求出OC，然后利用等面积法求出OG即可．
本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，
∴点E，F的距离等于AE、AF的长，
∴当0
∴当4
分别描出三个点(0,0)，(4,4)(6,0)，然后顺次连线，如图：
(3)把y=3分别代入y=t和y=12−2t中，得：
3=t，3=12−2t，
解得：t=3或t=4.5，
∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．
【解析】(1)根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；
(2)根据画函数图象的方法分别画出两端函数图象即可；
(3)根据两个函数关系式分别求出当y=3时的t值即可解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．
24.【答案】(1000−10x)
【解析】解：(1)根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，
可知销售单价为x元时，销量为600−10(x−40)=1000−10x(件)，
故答案为：(1000−10x)；
(2)依题意得：−10x2+1300x−30000=10000，
化简得：x2−130x+4000=0，
∴(x−50)(x−80)=0，
解得x1=50，x2=80，
∵x>40，
∴销售价应定为50元或80元；
(3)∵该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，
∴600−10(x−40)≥540x≥44，
∴解得：44≤x≤46，
而w=−10x2+1300x−30000，
∵a=−10<0，
∴二次函数的图象开口向下，有最大值，
∵对称轴为x=−13002×(−10)=65，
∴当44≤x≤46时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w最大，
∴wmax=−10×462+1300×46−30000=8640(元)．
答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
(1)根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就会少售出10(x−40)件玩具，销量为600−10(x−40)；
(2)结合(1)以及获得了10000元销售利润可得方程−10x2+1300x−30000=10000，解方程即可；
(3)根据“销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务”列不等式组求出x的取值范围，再求出w=−10x2+1300x−30000在该范围内的最大值即可．
本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出二次函数关系式，会求二次函数的最值．
25.【答案】解：(1)将(−1,0)，(3,0)，(0,3)代入y=ax2+bx+c得：a−b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得：a=−1b=2c=3，
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3；
(2)∵直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为(m,−m2+2m+3)，点N的坐标为(m,0)，
∴MN=−m2+2m+3，AN=m+1，
∴AN+MN=m+1+(−m2+2m+3)=−m2+3m+4=−(m−32)2+254，
∵−1<0，且0
(3)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y=−x2+4．
当x=32时，y=−(32)2+2×32+3=154，
∴点M的坐标为(32,154)．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为(1,m)，点Q的坐标为(n,−n2+4)．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴−1+322=1+n2，
解得：n=−12，
∴点Q的坐标为(−12,154)；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴−1+12=32+n2，
解得：n=−32，
∴点Q的坐标为(−32,74)；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴−1+n2=1+322，
解得：n=72，
∴点Q的坐标为(72,−334)．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为(−12,154)或(−32,74)或(72,−334)．
【解析】(1)利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
(2)由“直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M”，可得出点M，N的坐标，进而可得出AN，MN的值，代入AN+MN中，可得出AN+MN=−(m−32)2+254，再利用二次函数的性质，即可求出m，代入可得M点的坐标；
(3)利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为y=−x2+4，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点M的坐标，假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为(1,m)，点Q的坐标为(n,−n2+4)，分AM为对角线、AP为对角线及AQ为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于n的一元一次方程，解之可得出n值，再将其代入点Q的坐标中，即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；(2)利用二次函数的性质，求出AN+MN的最大值；(3)利用平行四边形的性质(对角线互相平分)，找出关于n的一元一次方程．
2022-2023学年湖南省长沙实验中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是( )
A. x2−2=0 B. x2+y=1 C. x−1x=1 D. x2+x=x2+1
2. 抛物线y=−(x−2)2+1的顶点坐标( )
A. (2,1) B. (2,−1) C. (−2,1) D. (−2,−1)
3. 下列命题中，正确的命题的是( )
A. 有两边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 四个角相等的菱形是正方形 D. 两条对角线相等的四边形是矩形
4. 一次函数y=−2x−4的图象上有两点A(−3,y1)、B(1,y2)，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A. 1, 3，4 B. 3, 4, 5 C. 1, 2，1 D. 6，7，8
6. 已知关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A. −4 B. 0 C. 4 D. 8
7. 如图，一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，则不等式x+b>3的解是( )
A. x>−2
B. x>3
C. x<−2
D. x<3
8. 如图，在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.若AB= 3，∠DCF=30°，则EF的长为( )
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 2
9. 表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
−2
0
1
3
…
y
…
6
−4
−6
−4
…
下列各选项中，正确的是( )
A. 这个函数的最小值为−6
B. 这个函数的图象开口向下
C. 这个函数的图象与x轴无交点
D. 当x>2时，y的值随x值的增大而增大
10. 如果a是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，−a是一元二次方程x2+3x−m=0的一个根，那么a的值是( )
A. 1或2 B. 0或−3 C. −1或−2 D. 0或3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，图中三个四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为18，10，则正方形C的面积是______ ．
12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且DB=5，则CD= ______ ．
13. 一次函数y=2x−3的图象经过的象限是：______ ．
14. 为了解某居民区的用电情况，物业在月底进行了统计，发现有3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则平均用电______ 度.
15. 已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是______ ．
16. 某学校航模组设计制作的火箭升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式为h=−t2+12t+1.如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面______ m处打开．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解方程
(1)4(x−3)=2x(x−3)；
(2)x2−4x−7=0．
18. (本小题6.0分)
北京时间2023年2月10日，神舟十五号航天员圆满完成出舱活动全部既定任务，这是中国空间站全面建成后航天员首次出舱活动，见证着我国从航天大国迈向航天强国的奋进足迹.为了激发同学们学习航天知识的热情，某校举办了“致敬航天人，共筑星河梦”主题演讲比赛，比赛的成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)被抽取的学生共有______ 人，B等级的学生有______ 人；
(2)本次演讲成绩的中位数落在______ 等级，扇形图中D组对应扇形的圆心角为______ 度；
(3)若该校共有100名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩不低于90分的学生共有多少名？
19. (本小题6.0分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若BC=3，DC=2，求四边形OCED的面积．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+5图象经过点A(1,4)，点B是一次函数的图象与正比例函数y=23x的图象的交点．
(1)求k的值；
(2)求点B的坐标．
21. (本小题8.0分)
如图，是一个滑梯示意图，BC是滑梯，且∠ABC=45°，AC为3米，AE为1米．
(1)求滑梯BC的长度；
(2)为安全起见，减缓滑梯的坡度，把滑梯BC改成滑梯PC.若将滑梯PC水平放置，则刚好与EP一样长，求BP的长度．
22. (本小题9.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
(1)求证：四边形EFGO是矩形；
(2)若四边形ABCD是菱形，AB=10，BD=16，求OG的长．
23. (本小题9.0分)
如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
24. (本小题10.0分)
某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40)，请用x的代数式来表示销售量为______ 件；
(2)在(1)的条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
(3)在(1)的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
25. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,0)，(3,0)和(0,3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当AN+MN有最大值时，求出抛物线上点M的坐标；
(3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
∴A选项符合题意；
B选项未知数有2个，不符合题意；
C选项不是整式方程，不符合题意；
D化简，得x−1=0，不含有2次项，
∴D选项不符合题意．
故选：A．
本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵y=−(x−2)2+1是抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标(2,1)，
故选：A．
已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标．
考查了二次函数的性质，顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h．
3.【答案】C
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、四个角相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4.【答案】A
【解析】解：∵点A(−3,y1)，B(1,y2)在一次函数y=−2x−4的图象上，
∴y1=(−2)×(−3)−4=2，y2=(−2)×1−4=−6．
∵2>−6，
∴y1>y2．
故选：A．
先根据题意求出y1，y2的值，再比较其大小即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、∵1+ 3<4，
∴不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、∵( 3)2+( 4)2=7，( 5)2=5，
∴( 3)2+( 4)2≠( 5)2，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+12=2，( 2)2=2，
∴12+12=( 2)2，
∴能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵62+72=85，82=64，
∴62+72≠82，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意得Δ=42−4m=0，
解得m=4，
故选：C．
利用根的判别式的意义得到42−4m=0，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意：因为一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，
则不等式x+b>3的解是x>−2；
故选：A．
不等式x+b>3的解就是图象上点的纵坐标大于3对应的自变量的取值范围，据此解答即可．
本题考查了一次函数和一元一次不等式，属于基础题型，掌握求解的方法是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOF和△COE中，
∠ACB=∠DACAO=CO∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE=OF，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF=30°，
∴∠ECF=90°−30°=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CF，
∵AB= 3，
∴CD=AB= 3，
∵∠DCF=30°，
∴CF= 3÷ 32=2，
∴EF=2．
故选：B．
求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解．
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，判断出△CEF是等边三角形是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵抛物线经过点(0,−4)，(3,−4)，
∴抛物线对称轴为直线x=32，
∵抛物线经过点(−2,6)，
∴当x<32时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴x>32时，y随x增大而增大，
∴当x>2时，y随x增大而增大，
故选：D．
根据抛物线经过点(0,−4)，(3,−4)可得抛物线对称轴为直线x=32，由抛物线经过点(−2,6)可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意得a2−3a+m=0①，a2−3a−m=0②，
①+②得2a2−6a=0，解得a=0或a=3．
故选：D．
把x=a代入方程x2−3x+m=0得到a2−3a+m=0，把x=−a代入方程x2+3x−m=0得a2−3a−m=0，然后把两式相加得到关于a的方程，再解关于a的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11.【答案】28
【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可知
SC=SA+SB
=18+10
=28，
故答案为：28．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵点D是AB的中点，DB=5，
∴AB=2DB=10，
∵∠ACB=90°，
∴CD=12AB=5．
故答案为：5．
利用直角三角形斜边上的中线的性质，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
13.【答案】一、三、四
【解析】解：∵在一次函数y=2x−3中，k=2>3，b=−3<0，
∴一次函数y=2x−3的图象经过第一、三、四象限．
故答案为：一、三、四．
根据一次函数的系数利用一次函数图象与系数的关系即可找出一次函数图象经过的象限，此题得解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握“k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
14.【答案】45.5
【解析】解：平均用电=45×3+50×5+42×63+5+6=45.5(度)．
故答案为：45.5．
平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求45，50，42这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
15.【答案】5
【解析】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得−4t=−20，
解得t=5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得−4t=−20，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
16.【答案】170
【解析】解：h=−t2+12t+1=−(t−6)2+37
∵a=−1<0，
∴点火升空的最高点距地面37m，
故答案为：37．
把二次函数配方为顶点式，写出最大值解题即可．
本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值，运用配方法配成顶点式是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵4(x−3)=2x(x−3)，
∴4(x−3)−2x(x−3)=0，
则(x−3)(4−2x)=0，
∴x−3=0或4−2x=0，
解得x1=3，x2=2；
(2)∵x2−4x−7=0，
∴x2−4x=7，
则x2−4x+4=7+4，即(x−2)2=11，
∴x−2=± 11，
∴x1=2+ 11，x2=2− 11．
【解析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
(2)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
18.【答案】20 5 C 72
【解析】解：(1)被抽取的学生共有3÷15%=20(人)，
B等级人数为20−(3+8+4)=5(人)；
故答案为：20，5；
(2)∵共有20个数据，其中位数是第10、11个数据的平均数，
而第10、11个数据均落在C等级，
∴这组数据的中位数落在C等级；
420×360°=72°．
∴D组对应扇形的圆心角为72度；
故答案为：C，72；
(3)100×3+520=40(名)，
答：估计比赛成绩不低于90分的学生共有40名．
(1)由A等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出B等级人数即可；
(2)根据中位数的定义求解，再用360°乘以样本中D组人数所占比例即可；
(3)总人数乘以样本中成绩不低于90分的人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
19.【答案】(1)证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，BC=3，DC=2，
∴OA=OB=OC=OD，S矩形ABCD=3×2=6，
∴S△OCD=14S矩形ABCD=14×6=1.5，
∵四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的面积=2S△OCD=2×1.5=3．
【解析】(1)证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形性质可得：OC=OD，利用菱形的判定即可证得结论；
(2)先求出矩形面积，再根据矩形性质可得S△OCD=14S矩形ABCD，再由菱形性质可得菱形OCED的面积=2S△OCD可解答．
本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)把A(1,4)代入y=kx+5得k+5=4，
解得k=−1；
(2)由(1)得：y=−x+5，
解方程组y=23xy=−x+5，
解得x=3y=2，
故B点坐标是(3,2)．
【解析】(1)直接把A点坐标代入y=kx+5可求出k的值；
(2)根据两直线相交的问题，通过解方程组y=23xy=−x+5可得到B点坐标．
本题考查了两直线相交的问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
21.【答案】解：(1)∵∠ABC=45°，AC⊥AB，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AC=AB=3米，
∴BC= AC2+AB2= 32+32=3 2(米)，
即滑梯BC的长度为3 2米；
(2)设BP=x米，则EP=EA+AB+BP=1+3+x=4+x，
在Rt△CAP中，
由勾股定理得PC= AC2+AP2= 32+(3+x)2= x2+6x+18，
∵滑梯PC水平放置，则刚好与EP一样长，
∴PC=EP，
∴PC2=EP2，即(4+x)2=x2+6x+18，
解得x=1，
即BP的长度为1米．
【解析】(1)先证△ABC是等腰直角三角形，再根据勾股定理计算BC的长度；
(2)设BP=x米，根据勾股定理用含x的代数式表示出PC，再根据PC=EP列方程，求出x的值即可．
本题考查等腰直角三角形的判定、勾股定理，难度一般，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵点E是AB的中点，
∴AE=ED．
∴OE//BC，
∴OE//FG，
∵EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，
∴EF//OG，
∴四边形EFGO是平行四边形
∵EF⊥BC，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGO是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC，OC=12AC，OB=12BD，
∵AB=10，BD=16，
∴OB=8，BC=10，
在Rt△BOC中，OC= BC2−OB2= 102−82=6，
∴12BC⋅OG=12OC⋅OB，
即12×10×OG=12×6×8，
∴OG=4.8．
【解析】(1)根据平行四边形的性质可知OA=OC，根据已知可得AE=BE，所以OE//BC，EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，则EF//OG，先证明四边形是平行四边形，再证∠EFG是直角即可；
(2)根据菱形的性质可知AC⊥BD，根据已知可求出OC，然后利用等面积法求出OG即可．
本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，
∴点E，F的距离等于AE、AF的长，
∴当0
∴当4
分别描出三个点(0,0)，(4,4)(6,0)，然后顺次连线，如图：
(3)把y=3分别代入y=t和y=12−2t中，得：
3=t，3=12−2t，
解得：t=3或t=4.5，
∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．
【解析】(1)根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；
(2)根据画函数图象的方法分别画出两端函数图象即可；
(3)根据两个函数关系式分别求出当y=3时的t值即可解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．
24.【答案】(1000−10x)
【解析】解：(1)根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，
可知销售单价为x元时，销量为600−10(x−40)=1000−10x(件)，
故答案为：(1000−10x)；
(2)依题意得：−10x2+1300x−30000=10000，
化简得：x2−130x+4000=0，
∴(x−50)(x−80)=0，
解得x1=50，x2=80，
∵x>40，
∴销售价应定为50元或80元；
(3)∵该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，
∴600−10(x−40)≥540x≥44，
∴解得：44≤x≤46，
而w=−10x2+1300x−30000，
∵a=−10<0，
∴二次函数的图象开口向下，有最大值，
∵对称轴为x=−13002×(−10)=65，
∴当44≤x≤46时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w最大，
∴wmax=−10×462+1300×46−30000=8640(元)．
答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
(1)根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就会少售出10(x−40)件玩具，销量为600−10(x−40)；
(2)结合(1)以及获得了10000元销售利润可得方程−10x2+1300x−30000=10000，解方程即可；
(3)根据“销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务”列不等式组求出x的取值范围，再求出w=−10x2+1300x−30000在该范围内的最大值即可．
本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出二次函数关系式，会求二次函数的最值．
25.【答案】解：(1)将(−1,0)，(3,0)，(0,3)代入y=ax2+bx+c得：a−b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得：a=−1b=2c=3，
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3；
(2)∵直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为(m,−m2+2m+3)，点N的坐标为(m,0)，
∴MN=−m2+2m+3，AN=m+1，
∴AN+MN=m+1+(−m2+2m+3)=−m2+3m+4=−(m−32)2+254，
∵−1<0，且0
(3)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y=−x2+4．
当x=32时，y=−(32)2+2×32+3=154，
∴点M的坐标为(32,154)．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为(1,m)，点Q的坐标为(n,−n2+4)．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴−1+322=1+n2，
解得：n=−12，
∴点Q的坐标为(−12,154)；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴−1+12=32+n2，
解得：n=−32，
∴点Q的坐标为(−32,74)；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴−1+n2=1+322，
解得：n=72，
∴点Q的坐标为(72,−334)．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为(−12,154)或(−32,74)或(72,−334)．
【解析】(1)利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
(2)由“直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M”，可得出点M，N的坐标，进而可得出AN，MN的值，代入AN+MN中，可得出AN+MN=−(m−32)2+254，再利用二次函数的性质，即可求出m，代入可得M点的坐标；
(3)利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为y=−x2+4，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点M的坐标，假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为(1,m)，点Q的坐标为(n,−n2+4)，分AM为对角线、AP为对角线及AQ为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于n的一元一次方程，解之可得出n值，再将其代入点Q的坐标中，即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；(2)利用二次函数的性质，求出AN+MN的最大值；(3)利用平行四边形的性质(对角线互相平分)，找出关于n的一元一次方程．
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