2022-2023学年辽宁省大连三十七中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省大连三十七中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连三十七中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB=50°，则∠ACB的度数是(    )
A. 25°
B. 50°
C. 75°
D. 100°


2. 如图，已知D，E分别是AB，AC上的点，且DE//BC，AE=2k，EC=k，DE=4，那么BC等于(    )


A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
3. 二次函数y=−2(x−1)2+3的图象的顶点坐标是(    )
A. (1,3) B. (−1,3) C. (1,−3) D. (−1,−3)
4. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为(    )
A. 3
B. 32
C. 12
D. 2 3
5. 将抛物线y=(x+1)2−4的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是(    )
A. y=(x−1)2−1 B. y=(x+3)2−1 C. y=(x−1)2−7 D. y=(x+3)2−7
6. 在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2)，F(−2,−2)，以原点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是(    )
A. (−2,1) B. (−8,4)
C. (−8,4)或(8,−4) D. (−2,1)或(2,−1)
7. 在同一平面内，已知⊙O的半径为2cm，OP=5cm，则点P与⊙O的位置关系是(    )
A. 点P在⊙O圆外 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O内 D. 无法确定
8. 若某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是(    )
A. 100sinαm B. 100sinβm C. 100cosαm D. 100cosβm
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，那么sinα的值是(    )
A. 35
B. 34
C. 45
D. 43


10. 已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为180°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(    )
A. 15cm B. 20cm C. 25cm D. 30cm
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是______  m．
12. 如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为50cm，水面宽AB=80cm，则水深CD约为______cm．


13. 已知函数y=−(x−1)2+2图象上两点A(2,y1)，B(3,y2)，则y1与y2的大小关系是y1 ______ y2(填“”或“=”)
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为(4,0)，则点E的坐标是______．


15. 如图，在⊙O中，弦BC=2，点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是______ ．


16. 如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h=20t−5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为          s.

三、解答题（本大题共9小题，共92.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)解方程：x2−4x−8=0；
(2)计算：|−2|+ 3tan30°−2−1+(−2022)0．
18. (本小题10.0分)
如图，∠CAB=∠CBD，AB=4，AC=8，BD=12，BC=6.求CD的长．

19. (本小题10.0分)
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,4)，B(−5,2)，C(−2,1)．
(1)将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标；
(2)求(1)中线段OB扫过的图形面积．

20. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)．
(1)求b与c的值；
(2)求函数的最大值；
(3)M(m,n)是抛物线上的任意一点，当n≥74时，利用函数图象写出m的取值范围．

21. (本小题10.0分)
如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度(结果保留小数点后一位.参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28， 2≈1.41)．

22. (本小题10.0分)
如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？

23. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点(点E不与点O，A重合).连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB.若CA=CD，∠ABC=∠D．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AB=13，CA=CD=5，则AD的长是______．

24. (本小题10.0分)
如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanA=2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF.设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC的重叠部分的面积为S．
(1)用含t的代数式表示线段PD的长；
(2)求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．


25. (本小题10.0分)
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图，在△ABC中，BA=BC，AB=kAC，点F在AC上，点E在BF上，BE=2EF，点D在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180°，探究线段AD与AE的数量关系并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠CAD与∠EAB相等”
小亮：“通过观察和度量，发现∠FAE与∠D也相等”
小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段AD与AE的数量关系.”
(1)求证：∠CAD=∠EAB；
(2)求ADAE的值(用含有K的式子表示)．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：∵∠AOB=50°，
∴∠ACB=12∠AOB=12×50°=25°，
故选：A．
利用圆周角定理，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：∵DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴ED：CB=AE：AC
设DB=AE=x
∵AE=2k，EC=k，DE=4，
∴4：BC=2k：(2k+k)，
解得BC=6．
故选：C．
根据已知可证△ADE∽△ABC，可得DE：CB=AE：AC，即可求BC的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．

3.【答案】A 
【解析】解：二次函数y=−2(x−1)2+3的图象的顶点坐标为(1,3)．
故选：A．
根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM=360°6×2=30°，
∴OM=OB⋅cos∠BOM=1× 32= 32；
故选：B．
根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．
本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：将抛物线y=(x+1)2−4的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是：y=(x+3)2−4+3，即y=(x+3)2−1，
故选：B．
根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：∵原点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，点E的坐标为(−4,2)，
∴点E的对应点E1的坐标为(−4×2,2×2)或(−4×(−2),2×(−2))，即(−8,4)或(8,−4)，
故选：C．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．

7.【答案】A 
【解析】解：∵⊙O的半径为2cm，OP=5cm，
∴点P到圆心的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故选：A．
根据点与圆的位置关系的判定方法对点P与⊙O的位置关系进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d 
【解析】解：∵y=−(x−1)2+2，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=1，
∵3>2>1，
∴y1>y2．
故答案为：>．
先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1，再根据二次函数的增减性，x>1时，y随x的增大而减小解答．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．

14.【答案】(6,6) 
【解析】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，
∴OAOD=23，OCOF=23，即4OD=23，4OF=23，
解得，OD=6，OF=6，
则点E的坐标为(6,6)，
故答案为：(6,6)．
根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换的两个图形相似是解题的关键．

15.【答案】2 
【解析】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC=2∠BAC=2×30°=60°，
而OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB=BC=2，
即⊙O的半径为2．
故答案为：2．
连接OB、OC，根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=60°，而OB=OC，于是可判断△OBC为等边三角形，所以OB=BC=1．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．

16.【答案】4 
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单，根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】
解：依题意，令h=0得：
0=20t−5t2，
得t(20−5t)=0，
解得t=0(舍去)或t=4，
即小球从飞出到落地所用的时间为4s．
故答案为4．  
17.【答案】解：(1)x2−4x−8=0，
x2−4x=8，
x2−4x+4=8+4，即(x−2)2=12，
∴x−2=±2 3，
∴x1=2+2 3，x2=2−2 3；
(2)原式=2+ 3× 33−12+1
=2+1−12+1
=312． 
【解析】(1)方程利用配方法求出解即可；
(2)原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂意义计算即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】解：∵AB=4，AC=8，BD=12，BC=6，
∴ACBD=ABBC=23，
∵∠CAB=∠CBD，
∴△ABC∽△BCD，
∴BCCD=23，
∴CD=32BC=9．
故CD的长为9． 
【解析】由∠CAB=∠CBD，AB=4，AC=8，BD=12，BC=6，即可证得△ABC∽△BCD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)∵OB= 22+52= 29，
∴线段OA扫过的图形面积=90⋅π×29360=29π4． 
【解析】(1)根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A1B1C1即可；
(2)利用扇形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是作图−旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．

20.【答案】解：(1)∵C点坐标为(0,3)，
∴c=3，
∵A坐标为(3,0)，
∴代入可求得b=2；
(2)由(1)可知抛物线解析式为y=−x2+2x+3，y=−(x−1)2+4，
∴函数的最大值为4，
(3)在抛物线y=−x2+2x+3，令y=74，可得−x2+2x+3=74，
解得x=−12或x=52，又二次函数开口向下，
∴当n≥74时，−12≤m≤52． 
【解析】(1)把A、C两点坐标代入抛物线解析式可求得b、c；
(2)把二次函数化成顶点式可求得其最大值；
(3)在抛物线中令y=74，求得x值，根据图象可得出m的取值范围．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握二次函数顶点式是解题的关键，注意数形结合思想的应用．

21.【答案】解：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC=BCCD，
∴BC=CD⋅tan∠BDC=20×tan45°=20m，
在Rt△ACD中，∵tan∠ADC=ACCD，
∴AC=CD⋅tan∠ADC=20×tan52°≈20×1.28=25.6m，
∴AB=AC−BC=5.6m．
答：旗杆AB的度约为5.6m． 
【解析】在Rt△BCD中，利用正切函数求得BC，在Rt△ACD中，利用正切函数求得AC，即可根据AB=AC−BC求得旗杆AB的高度．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．

22.【答案】解：(1)根据题意得：y=x(30−2x)=−2x2+30x，
∴y关于x的函数表达式为y=−2x2+30x；
(2)由题意得：0