2022-2023学年山东省临沂市沂南县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省临沂市沂南县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2B. x≤2C. x≠2D. x≠−2
2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 1，1，2C. 4，5，6D. 2， 2， 2
3. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD延长线于点E，若∠A=40°，则∠EBC的度数为( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
4. 下列运算中，结果正确的是( )
A. 3+ 3= 6B. 2 3× 3=3 3
C. 6÷ 3= 2D. 3 3− 3=3
5. 下列说法，不正确的是( )
A. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 邻边相等的平行四边形是菱形
D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
6. 如图，两条公路AC，BC恰好互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为0.9km，则M，C两点间的距离为( )
A. 0.5km
B. 0.6km
C. 0.9km
D. 1.2km
7. 如图，四边形ABCD为菱形，AB=4，∠A=60°，则BD的长为( )
A. 2
B. 4
C. 43 3
D. 4 3
8. 如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，D、E分别是AB、AC的中点，连接ED，则DE的长为( )
A. 4B. 5C. 3D. 3.5
9. 要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是( )
A. 测量四边形画框的两个角是否为90°
B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D. 测量四边形画框的四边是否相等
10. 如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为( )
A. 11cm2
B. 4 6cm2
C. 2 6cm2
D. 11cm2
11. 在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,2)，B(4,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A. (−2,2)B. (−3,2)C. (5,2)D. (3,−2)
12. 用四根长度相等的木条制作学具，先制作图1所示的正方形ABCD，测得BD=10cm，活动学具制成图2所示的四边形ABCD，测得∠A=120°，则图2中BD的长是( )
A. 5 3cmB. 10 3mmC. 10 6cmD. 5 6cm
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 化简 18的结果为______．
14. 直角三角形中，若两条直角边长分别为3，5，则斜边的长为______ ．
15. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点B(2,3)，则AC的长为______ ．
16. 在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE//BC，点F是DE延长线上一点，连接CF.添加下列条件：
①BD//CF；
②DF=BC；
③BD=CF；
④∠B=∠F．
能使四边形BCFD是平行四边形的是______ (填上所有符合要求的条件的序号)．
三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
计算：
(1)2 12−6 13+3 48；
(2)( 2+ 3)2−( 5+2)( 5−2).
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF．
19. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB=4，BC=2 3，CD=1，AD= 3．
(1)求AC的长；
(2)求证：AD⊥CD．
20. (本小题10.0分)
如图1，某中学的校门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱EFGH是宽度为30cm的矩形，伸缩电动门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30cm，当每个菱形的内角度数为60°(如图2)时，校门打开了5m．

(1)求该中学校门的总宽度是多少m．
(2)当每个菱形的内角度数为90°时，校门打开了多少m？
21. (本小题10.0分)
在解决问题：“已知a=1 2−1，求3a2−6a−1的值”．
∵a=1 2−1= 2+1( 2−1)( 2+1)= 2+1，
∴a−1= 2．
∴(a−1)2=2，
∴a2−2a=1，
∴3a2−6a=3，
∴3a2−6a−1=2．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)化简：2 5−2=______．
(2)若a=13+2 2，求2a2−12a−1的值．
22. (本小题12.0分)
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”如图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处，DG⊥GB且DG=10米，CG=60米，CE⊥GB.(不考虑两人身高，点G、C、B在同一水平线上)
(1)求小明与小亮之间的距离CD(结果保留根号)．
(2)若风筝A在小明的北偏东45方向上，且高度AB为60米，AB⊥GB，求此时风筝A到小亮的距离AD．
23. (本小题12.0分)
如图在△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
(2)若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
(3)若AC=6，AB=8，求BF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵式子 x−2在实数范围内有意义，
∴x−2≥0，
解得x≥2．
故选：A．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：
A、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、12+12≠(2)2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
C、52+42≠62，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、( 2)2+( 2)=22，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
故选：D．
三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】B
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，则∠ABE=∠E=90°，∠A+∠ABC=180°，
∴∠EBC=180°−∠A−∠ABE=180°−40°−90°=50°．
故选：B．
由“平行四边形的对边相互平行”的性质推知AB//CD，AD//BC，则∠ABE=∠E=90°，∠A+∠ABC=180°，据此进行解答．
本题主要考查了平行四边形的性质，解题时，利用“平行四边形的对边相互平行”的性质求得相关角的度数．
4.【答案】C
【解析】解：A． 3+ 3=2 3，所以A选项不符合题意；
B.2 3× 3=2×3=6，所以B选项不符合题意；
C. 6÷ 3= 6÷3= 2，所以C选项符合题意；
D.3 3− 3=2 3，所以D选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意；
C、邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
D、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故符合题意．
故选：D．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查了平行四边形、正方形、矩形、菱形的判定定理，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵公路AB的中点M与点C被湖隔开，
若测得AM的长为0.9km，
∴CM=AM=12AB=0.9km，
即M、C两点间的距离为0.9km．
故选：C．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，
∴AD=AB=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，
故选：B．
根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，根据勾股定理得：
BC= AB2−AC2= 102−82=6，
又∵D，E分别是AB，AC边中点，
所以DE为△ABC的中位线，
即DE=12BC=3．
故选：C．
先在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC，然后根据D，E分别是AB，AC边中点得出DE为△ABC的中位线，进而得到DE的长．
本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；
C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量四边形画框的四边是否相等，能判定为菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
由平行四边形的判定与性质、菱形的判定，矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：从一个大正方形中裁去面积为8cm2和3cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是 8+ 3=(2 2+ 3)cm，
余下阴影部分的面积是(2 2+ 3)2−(8+3)=4 6(cm2).
故选：B．
根据题意先求出大正方形的边长及面积，再根据大正方形的面积−两个小正方形的面积可求出余下阴影部分的面积，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是解题关键．
11.【答案】A
【解析】解：如图，

平行四边形的第三个顶点坐标为(5,2)或(−3,2)或(3,−2)，
故选：A．
根据题意画出平行四边形，即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，解题的关键是正确画出图形，属于中考常考题型．
12.【答案】D
【解析】解：∵图(1)中正方形ABCD的对角线BD的长为10cm，
∴AB=5 2cm，

如图(2)，连接AC，交BD于O，
∵∠BAD=120°，四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=30°，
∴AO=12AB=5 22cm，
∴BO= AB2−AO2=5 62cm，
∴BD=2BO=5 6cm，
故选：D．
图(1)中，依据勾股定理可得AB的长；图(2)中连接AC，依据菱形的性质以及勾股定理，即可得到BD的长．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质．
13.【答案】 24
【解析】解： 18= 1×28×2= 216= 24．
故答案为： 24．
把二次根式化为最简二次根式即可．
本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
14.【答案】 34
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是3和5，
∴斜边长为 32+52= 34．
故答案为： 34．
直接根据勾股定理求解可得．
本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
15.【答案】 13
【解析】解：如图，连接OB，
∵点B(2,3)，
∴OB= 22+32= 13，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB= 13．
故答案为： 13．
如图，连接OB，首先利用已知条件求出OB，然后利用矩形的性质即可求解．
此题主要考查了坐标与图形性质，同时也利用了矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：①∵BD//CF，DE//BC，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项①符合题意；
②∵DF//BC，DF=BC，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项②符合题意；
③由DF//BC，BD=CF，不能判定四边形BCFD为平行四边形；故选项③不符合题意；
④∵DE//BC，
∴∠B+∠BDF=180°，
∵∠B=∠F，
∴∠F+∠BDF=180°，
∴BD//CF，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项④符合题意；
综上所述：能使四边形BCFD是平行四边形的是①②④，
故答案为：①②④．
由平行四边形的判定分别对各个条件进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2 12−6 13+3 48
=4 3−2 3+12 3
=14 3；
(2)( 2+ 3)2−( 5+2)( 5−2)
=5+2 6−(5−4)
=5+2 6−1
=4+2 6．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF．
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD//BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
19.【答案】(1)解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵AB=4，BC=2 3，
∴AC= AB2−BC2= 42−(2 3)2=2，
∴AC的长为2；
(2)证明：∵AC=2，CD=1，AD= 3，12+( 3)2=22，
∴△ACD是直角三角形，
∴AD⊥CD．
【解析】(1)根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
(2)根据勾股定理的逆定理解答即可．
本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，BD=AB=30cm=0.3m，
0.3×21+5=11.3(m)，
所以，该中学校门的总宽度是11.3m．
(2)当菱形的∠A=90°时，
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是正方形，
如图，连接BD，
则BD=30 2cm=310 2m，11.3−0.3−310 2×20=(11−6 2)(m)，
所以，当每个菱形的内角为90°时，校门打开了(11−6 2)m．
【解析】(1)如图，连接BD.根据菱形和等边三角形的性质即可得到结论；
(2)根据正方形的判定定理得到四边形ABCD是正方形，如图，连接BD，根据正方形的性质即可得到结论．
此题考查了矩形的性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)2 5+4；
(2)∵a=13+2 2=3−2 2(3+2 2)×(3−2 2)=3−2 2，，
∴a−32=3−2 2−3=8，
∴2a2−12a−1
=2a2−6a+9−9−1
=2a−32−19，
=2×8−19
=−3．
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，理解例题并应用例题解决本题的关键．
(1)分子分母同时乘以( 5+2)，进行计算即可解答；
(2)先利用分母有理化化简a的值，然后再利用完全平方公式求出a2−6a的值，最后整体代入进行计算即可解答．
【解答】
解：(1)2 5−2=2×( 5+2)( 5−2)×( 5+2)=2 5+4，
故答案为：2 5+4；
(2)见答案．
22.【答案】解：(1)在Rt△CDG中，CD= DG2+CG2= 102+602=10 37(米)；
(2)∵CE⊥GB，AB⊥GB，
∴∠BAC=∠EAC=45°，
∴∠BCA=90°−45°=45°，
∴BC=AB=60米，
∴BG=BC+CG=120米，
过D作DH⊥AB于点H，
∵DG⊥GB，CE⊥GB，
∴四边形BHDG是矩形，
∴BH=DG=10米，DH=BG=120米，
在Rt△ADH中，
AD= DH2+AH2= 1202+502=130(米)．
【解析】(1)根据勾股定理直接求出CD；
(2)过D作AB⊥DF于点H，根据等腰三角形的判定证得BC=AB，在Rt△ADH中，根据勾股定理即可求出AD．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵AF//BC，
∴∠FAE=∠BDE，
∵E为AD中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
∠FAE=∠BDEAE=DE∠AEF=∠DEB，
∴△AEF≌△DEB(ASA)，
∴AF=BD，
∵AD为Rt△ABC的斜边中线，
∴AD=BD=CD，
∴AF=AD=CD，
∵AF//CD，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)BF=2 5AE，理由如下：
由(1)得△AEF≌△DEB，
∴BE=EF，AE=DE，
∴BF=2EF，
∵四边形ADCF是正方形，
∴AF=AD，∠FAD=90°，
设AE=DE=m，则AD=AF=2m，
在Rt△AEF中，
EF= AF2+AE2= 5m，
∴BF=2EF=2 5m，
∴BF=2 5AE；
(3)过F作FH⊥AB交BA延长线于H，过F作FK⊥AC于K，如图：

∵∠CAB=90°，AC=6，AB=8，
∴BC= AC2+AB2=10，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD=CD=5，
由(1)知四边形ADCF是菱形，
∴AF=CF=5，
∵FK⊥AC，
∴AK=CK=12AC=3，
∴FK= AF2−AK2= 52−32=4，
∵∠FHA=∠HAK=∠AKF=90°，
∴四边形AKFH是矩形，
∴FH=AK=3，AH=FK=4，
∴BH=AB+AH=8+4=12，
在Rt△FHB中，
BF= FH2+BH2= 32+122=3 17．
答：BF的长是3 17．
【解析】(1)由AD是BC边上的中线，AF//BC可证明△AEF≌△DEB(ASA)，得AF=BD，由AD为Rt△ABC的斜边中线，有AD=BD=CD，即得AF=AD=CD，即知四边形ADCF是菱形；
(2)由得△AEF≌△DEB，知BF=2EF，若四边形ADCF是正方形，则AF=AD，∠FAD=90°，设AE=DE=m，则AD=AF=2m，在Rt△AEF中可得EF= 5m，即可得BF=2 5AE；
(3)过F作FH⊥AB交BA延长线于H，过F作FK⊥AC于K，由∠CAB=90°，AC=6，AB=8，得BC= AC2+AB2=10，四边形ADCF是菱形即得AF=CF=5，可得AK=CK=12AC=3，FK= AF2−AK2=4，即可得FH=AK=3，AH=FK=4，在Rt△FHB中，BF= FH2+BH2=3 17．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．