2021届重庆市南开中学高三上学期第二次质量检测数学试题（解析版）

这是一份2021届重庆市南开中学高三上学期第二次质量检测数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届重庆市南开中学高三上学期第二次质量检测数学试题


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．(1，2) B．(1，2] C．[－2，2) D．(－2，2]
【答案】A
【解析】根据对数函数的单调性化简集合，再根据集合的交集运算可的结果.
【详解】
由得，即，所以，
又，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题.
2．设为虚数单位，如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先根据题意得到，从而得到，即可得到答案.
【详解】
由图知：，，
在复平面内对应的点为，为点.
故选：C
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算，同时考查复数的几何意义，属于简单题.
3．为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级1004人中抽取50人参加测试．首先由简单随机抽样剔除4名学生，然后剩余的1000名学生再用系统抽样的方法抽取，则（ ）
A．每个学生入选的概率均不相等 B．每个学生入选的概率可能为0
C．每个学生入选的概率都相等，且为 D．每个学生入选的概率都相等，且为
【答案】C
【解析】根据简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样以及概率公式计算可得结果.
【详解】
因为简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样，所以每个学生入选的概率都相等，且入选的概率等于.
故选：C.
【点睛】
本题考查了简单随机抽和系统抽样，考查了概率公式，属于基础题.
4．已知，则（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【解析】巧用“1”，化弦为切，由已知可得解.
【详解】


故选:D
【点睛】
本题关键在于化弦为切，属于基础题.
5．函数在处取得极值，则（ ）
A．，且为极大值点 B．，且为极小值点
C．，且为极大值点 D．，且为极小值点
【答案】B
【解析】先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值．
【详解】
解：∵，
∴，
又在处取得极值，
∴，得，
∴，
由得，，即，
∴，即，
同理，由得，，
∴在处附近的左侧为负，右侧为正，
∴函数在处取得极小值，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．
6．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用指数函数的性质可判断出的范围，再利用对数函数的性质判断的范围，从而可得结论
【详解】
解：因为在上为减函数，且，
所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，得，即，
因为在上为增函数，且，
所以，得，即，
所以，
故选：B
【点睛】
此题考查对数式、指数式比较大小，利用了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题
7．函数的部分图象如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图像可知，因为，所以或，然后分和两种情况结合函数图像求解的值即可
【详解】
解：由图像可知，
因为，所以或，
当时，，即，
解得，即，没有选项满足题意；
当时，，即 ，
解得，即，
当时，，此时 ，
故选：B
【点睛】
此题考查三角函数的图像和性质的应用，考查数形结合的思想，属于基础题
8．设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．(0，2020] D．(1，2020]
【答案】A
【解析】构造函数，利用导数可得为单调递增函数，将原不等式化为，根据单调性可解得结果.
【详解】
构造，
则

，
所以为单调递增函数，
又，所以不等式等价于等价于，所以，故原不等式的解集为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了构造函数并利用导数得到函数的单调性，考查了利用单调性解不等式，考查了转化化归思想，属于中档题.

二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】对各选项对应的函数逐个研究判断，即可求解．
【详解】
对于A，设，定义域为，，而函数在上递增，函数在上递减，所以函数在上递增，满足题意，正确；
对于B，设，定义域为，，而函数在上递增，函数在和上递减，所以函数在和上递增，在整个定义域上不是增函数，不符合题意，不正确；
对于C，作出函数的图象，如图所示：．
根据图象可知，满足题意，正确；
对于D，设，定义域为，，即，根据复合函数的单调性易知函数在上递增，而函数为奇函数，所以函数在上递增，故函数在上递增，满足题意，正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题主要考查函数的性质的判断，涉及幂函数，指数函数，对数函数的性质应用，单调性的运算，奇偶性的判断，属于中档题．
10．某中学高一年级半期考试后将进行新高考首选科目的选择，每位同学必须在“物理”、“历史”中二选一．学校采用分层抽样的方法，抽取了该年级部分男、女学生选科意愿的一份样本，并根据统计结果绘制如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（ ）

A．该年级男生数量多于女生数量
B．样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的学生数量
C．样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数
D．样本中对历史有意愿的女生人数多于对物理有意愿的女生人数
【答案】BC
【解析】由图1可知选项错误；由图2可知选项,正确, 选项不正确.
【详解】
由图1可知女生数量多于男生数量，故选项错误；
由图2可知样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的学生数量，故选项正确；
由图2可知样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数，故选项正确；
由图2样本中对历史有意愿的女生人数少于对物理有意愿的女生人数，故选项不正确.
故选：BC.
【点睛】
本题考查了等高条形图的应用，属于基础题.
11．下列说法正确的有（ ）
A．，，使 B．，，有
C．，，使 D．，，有
【答案】ABC
【解析】根据取特值法，易知A， C正确，D错误；根据两角和与差的正弦公式展开可知B正确．
【详解】
取，易知A正确D错误；取，，C正确；
因为

，故B正确，
故选：ABC．
【点睛】
本题主要考查两角和与差的正弦公式，余弦公式的理解和应用，属于基础题．
12．已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．是偶函数
B．是周期函数
C．在区间上，有且只有一个极值点
D．过(0，0)作的切线，有且仅有3条
【答案】ACD
【解析】利用函数的奇偶性的定义易知函数为偶函数，所以A正确；根据周期性的定义可判断B错误；根据导数判断其单调性，易知有且只有一个极值点，C正确；根据导数的几何意义求曲线过某点的切线方程可知D正确．
【详解】
对于A，因为函数的定义域为，显然，所以函数是偶函数，正确；
对于B，若存在非零常数，使得，令，则，即，令，则，因为，所以，即或．若，则，解得，舍去；若，则，解得，所以若存在非零常数，使得，则．
即，令，则，而，，不符合题意．故不存在非零常数，使得，B错误；
对于C ，，，，，
当，，故单减，
又，，故在上有且仅有一个解，有且只有一个极值点，故C正确；
对于D，设切点横坐标为，则切线方程为，
将 (0，0) 代入，得，解得或，．
若，则切线方程为；若，则，D正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，周期性的定义的应用，利用导数的几何意义求曲线过某点的切线方程，以及利用导数研究函数的极值点，属于中档题．


三、填空题
13．已知函数，则________．
【答案】
【解析】根据函数解析式，由自变量的范围代入相应的解析式即可求出．
【详解】
因为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查分段函数求值，涉及诱导公式的应用，属于基础题．
14．已知实数，满足，，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】先根据已知条件可得，再根据基本不等式可求得结果.
【详解】
因为且，所以，即，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了对数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
15．2020年国庆档上映的影片有《夺冠》，《我和我的家乡》，《一点就到家》，《急先锋》，《木兰·横空出世》，《姜子牙》，其中后两部为动画片．甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部，则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为________．
【答案】
【解析】这是一个古典概型，先利用分步计数原理求得甲观看了六部中的两部和乙观看了六部中的一部的基本事件数，再求得甲、乙两人观看同一部动画片的基本事件数，然后代入公式求解.
【详解】
甲观看了六部中的两部共有种，
乙观看了六部中的一部共有种，
则甲、乙两人观影共有种，
则甲、乙两人观看同一部动画片共有种，
所以甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查组合与分布计数原理，古典概型的概率求法，还考查了分析求解的能力，属于中档题.
16．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，，分别为，的中点，点在以为直径的半圆上．已知以直角边、为直径的半圆的面积之比为3，，则________．

【答案】
【解析】设，从而，再由，利用二倍角公式得到，，然后利用两角差的余弦公式由求解.
【详解】
设，则，且，
由，得，，，
故，
．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换在几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

四、解答题
17．已知函数 ．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象上的各点________；得到函数的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围．
在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答.
①向左平移个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半；
②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位．
【答案】（1）；（2）若选①，；若选②，．
【解析】（1）用正弦余弦的半角公式整理可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；
（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的，由的值域可得范围；
选②先周期变换后平移变换得对应的，同样由值域得的范围.
【详解】
（1），最小正周期为；
（2）选①时，，
由，得，故，，有解，故．
选②时，
由，得，故，
有解，故．
【点睛】
本题考查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题.
18．2018年至今，美国对“中兴”、“华为”等中国高科技公司进行疯狂的打压，引发国内“中国芯”研发热潮，但芯片的生产十分复杂，其中最重要的三种设备，刻蚀机、离子注入机、光刻机所需的核心技术仍被一些欧美国家垄断国内某知名半导体公司组织多个科研团队，准备在未来2年内全力攻关这三项核心技术已知在规定的2年内，刻蚀机、离子注入机和光刻机所需的三项核心技术，被科研团队攻克的概率分别为，，，各项技术攻关结果彼此独立．按照该公司对科研团队的考核标准，在规定的2年内，攻克刻蚀机离子注人机所需的核心技术，每项均可获得30分的考核分，攻克光刻机所需的核心技术，可获得60分的考核分，若规定时间结束时，某项技术未能被攻克，则扣除该团队考核分10分．已知团队的初始分为0分，设2年结束时，团队的总分为，求：
（1）已知团队在规定时间内，将三项核心技术都攻克的概率为，求该团队恰能攻克三项核心技术中的一项的概率；
（2）已知，求总分不低于50分的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由三项核心技术都攻克的概率求出，由此能求出恰能攻克三项核心技术中的一项的概率；
（2）三项技术都攻克，则，若攻克光刻机技术和刻蚀机、离子注入机中的一项，则，若技术刻蚀机和离子注入机，但未攻克光刻机技术，则，由此可求出结果
【详解】
（1）三项核心技术都攻克的概率为，故
恰能攻克三项核心技术中的一项的概率；
（2）若三项技术都攻克，则，；
若攻克光刻机技术和刻蚀机、离子注入机中的一项，
则，；
若技术刻蚀机和离子注入机，但未攻克光刻机技术，则，；
所以，
【点睛】
此题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等知识，考查运算求解能力，属于中档题
19．已知函数，
（1）求函数在上的最值；
（2）设在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）求导由，得到在上单调递增求解.
（2）根据在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立求解.
【详解】
（1），，
所以在上单调递增，
所以，；
（2），，
因为在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
，由（1）知递增，
所以当时，，
所以在区间上单调递增，
所以
所以．
【点睛】
本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
20．某电商平台为提升服务质量，从用户系统中随机选出300名客户，对该平台售前服务和售后服务的评价进行统计，得到一份样本数据，并用以估计所有用户对该平台服务质量的满意度．其中售前服务的满意率为，售后服务的满意率为，对售前服务和售后服务都不满意的客户有20人
（1）完成下面列联表，并分析是否有97.5%的把握认为售前服务满意度与售后服务满意度有关；

（2）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务两项都满意的客户保有率为95%，只对其中一项不满意的客户保有率为66%，对两项都不满意的客户保有率为1%，从该运营系统中任选3名客户，求在业务服务协议终止时保有客户人数的分布列和期望，
附：，．


【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关；（2）分布列见解析，数学期望为．
【解析】（1）根据题意填写列联表，计算，然后对照临界值得出结论；
（2）由题意知，计算对应的概率值，写出分布列，求出期望值
【详解】
（1）由题意知对售前服务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得列联表如下：

经计算得，
所以有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关．
（2）在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务都满意的客户保有的概率为，
只有一项满意的客户保有的概率为，
对二者都不满意的客户保有的概率为．
所以，从系统中任选一名客户保有的概率为，
故，，
，
，
，

（3）的分布列为：

．
【点睛】
此题考查独立性检验、超几何分布、独立重复试验以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考查分析问题的能力，属于中档题
21．在平面直角坐标系中，有定点，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线，交曲线于两点，，以，为切点作曲线的切线，交于点，连接，，．
（ⅰ）证明：点在一条定直线上；
（ⅱ）记，分别为，的面积，求的最小值．
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）16．
【解析】（1）利用数量积的坐标表示和向量的模的坐标公式即可化简，求得动点的轨迹的方程；
（2）（ⅰ）由过的直线与曲线相交有两个点，可设直线方程为，将直线方程与曲线的方程联立可得，，再利用导数的几何意义求出以，为切点的切线方程，即可联立解出点的坐标，从而得出点在一条定直线上；（ⅱ）根据，求出弦长以及，到直线的距离，即可得到其表达式，再根据函数的单调性即可得到的最小值．
【详解】
（1）设点，则，，
由，得，整理得：．
（2）（ⅰ）设：，，，，则，，联立直线与抛物线：，所以，；
由，求导得，切线：，即，
同理，切线：，
联立，可得，，即，所以，点在条定直线上．
（ⅱ）因为，设，到直线的距离为，，则，，所以
，即，其关于递增，显然，当时，取得最小值．
【点睛】
本题主要考查数量积的坐标表示，向量的模的坐标公式，直线与抛物线的位置关系的应用，导数几何意义的应用，以及抛物线中的面积问题的解法，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，综合性强，属于较难题．
22．函数，为的导函数．
（1）若，，证明：；
（2）若，且对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由题意可设，即可知函数为偶函数，
利用导数再判断函数在上单调递增，即可证出对，；
（2）先将原不等式变形可得，构造函数，即不等式等价于，利用导数可知函数在单调递增，即可得到，再构造函数，求出其值域，即可得到实数的取值范围．
【详解】
（1）证明：，
令，
则，，
所以在单调递增，所以，在单调递增；
所以时，，因为，函数为偶函数，
即有时，．
（2）
①
令，则①式等价于，
，当时，
又因为，，所以，，
所以，
令，，所以在递减，，所以．综上，实数的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及同构函数思想的应用，意在考查学生的转化能力，数学运算能力和数学建模能力，综合性较强，属于难题．