安徽省宣城市2020届高三第二次调研测试数学（文）试题 Word版含解析

这是一份安徽省宣城市2020届高三第二次调研测试数学（文）试题 Word版含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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宣城市2020届高三年级第二次调研测试
数学（文科）
一、选择题
1.已知全集，集合，，则　　
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．
详解】解：，
，或，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．
【详解】解：由足，得，
则复数的在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
3.已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：因为，即，
，
所以
故选：C
【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用，属于基础题.
4.设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，，，也成等差数列，结合，我们易根据等差数列的性质得到，，代入即可得到答案．
【详解】解：根据等差数列的性质，
若数列为等差数列，则，，，也成等差数列；
又，
则数列，，，是以为首项，以为公差的等差数列
则，，，
所以，

故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据数列为等差数列，则，，，也成等差数列，然后根据等差数列的性质，判断数列，与的关系，是解答本题的关键．
5.函数的图象大致是（　 　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得出答案．
【详解】解：函数的定义域为，，
故函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；
当时，，，，可排除选项．
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象的运用，涉及了函数的奇偶性，考查数形结合思想及极限思想，属于基础题．
6.国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是（ 　　）

A. 回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多
B. 回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的
C. 回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人
D. 回答该问卷的总人数不可能是1000人
【答案】D
【解析】
【分析】
对于，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少；对于，选择“校园外宣传”的人数是最少的；对于，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多；对于，回答该问卷的总人数不可能是1000人．
【详解】解：对于，答该问卷的受访者中，
选择的（2）和（3）人数总和所占百分比为：
，
选择（4）的人数的百分比为，
回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少，故错误；
对于，回该问卷的受访者中，
由扇形统计图得选择“校园外宣传”的百分比最小，
选择“校园外宣传”的人数是最少的，故错误；
对于，回答该问卷的受访者中，
选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多，故错误；
对于，回答该问卷的总人数若是1000人，
选择（2）（4）的人分别为人，人不是整数，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．
7.已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知利用二倍角的三角函数公式化简：，结合同角三角函数基本关系式即可求解的值．
【详解】
即：
即：
即：
，故
可得：①
又②
由①②可得：
即：
可得：，解得：
，故

故选：D.
【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握二倍角的三角函数公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
8.若直线表示两和不同的直线，则的充要条件是（ ）
A. 存在直线，使， B. 存在平面，使，
C. 存在平面，使， D. 存在直线，使与直线所成的角都是
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充要条件定义和平行线定义，逐项判断，即可求得答案.
【详解】对于A，若，，则直线，可以平行，也可以相交，还可以异面，
故A错误；
对于B，若存在平面，使，，则，
故：“，”可以推出“”，
“存在平面，使，”是“”的充分条件
若，则存在平面，使，
故：“”可以推出“存在平面，使，”
“存在平面，使，”是“”的必要条件
故B正确；
对于C，若，，则直线，可以平行，也可以相交，还可以异面，
故C错误；
对于D，若直线，与直线所成的角都是，则直线，可以平行，也可以相交，还可以异面，
故D错误．
故选：B.
【点睛】本题考查直线与直线､直线与平面的位置关系，考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力．
9.已知向量满足，，，那么向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为，化简可得，结合已知，由，即可求得答案.
【详解】

又



故选：C.
【点睛】本题考查了向量的数量积，模长和夹角运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
10.已知实数满足线性约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据约束条件画出可行域，，则表示点与可行域内的点的连线的斜率，结合图象，即可求得答案.
【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示

令，则表示点与可行域内的点的连线的斜率．
结合图形可知，当点取点时，取得最小值．
由，得

故
故选：B.
【点睛】线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．
11.已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，若在双曲线的渐进线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出，，设.根据得到，从而得到，再整理即可得到离心率的取值范围.
【详解】双曲线的右顶点，
渐近线方程为.
抛物线的焦点为，
设，，，
因为，所以.
整理得.
由题知，即.
，，，
所以.
因为，所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的取值范围，根据题意得到的不等式为解题的关键，属于中档题.
12.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为　　
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数求导，利用导数求得的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：因为
所以，
由于，故函数在上为减函数，又，
故当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，且时，，
故函数的值域为，
作出函数的草图如下，

由图可知，要使函数的值域与函数的值域相同，则需，解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建立关于的不等式，考查转化思想，数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
二、填空题
13.已知函数的零点在区间上，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意有函数在为增函数，再结合，即可得解值.
【详解】由题意有函数在为增函数，
又，
，
即，
则函数的零点在区间上，
即
故答案：
【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了函数的零点，考查了分析能力和计算能力，属基础题.
14.在等比数列中，成等差数列，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差中项的性质得出，由等比数列的性质得出，从而得出，再由，即可得出答案.
【详解】设等比数列的公比为
因为成等差数列，所以
所以，则，即
解得

故答案为：
【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的计算，涉及了等差数列的性质，属于中档题.
15.已知，，，则的最小值为______.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据条件等式，变形待求式，利用基本不等式即可求解.
详解】，，,
,
当且仅当，即时等号成立，
即的最小值为8，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，式子的变形，“1”的利用，属于中档题.
16.在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积取最大时，其外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
易得当平面时，三棱锥的体积取最大，根据，，，得到，则三棱锥截取于长方体求解.
【详解】因为，，，
所以，
当平面时，三棱锥的体积取最大，
则三棱锥截取于长方体，
如图所示：

此时，外接球直径为，
所以半径为：，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查几何体的结构特征以及外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题
17.在中，内角所对的边长分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理的边化角公式求解即可；
（2）由正弦定理以及内角和定理得出，再由三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理的边化角公式可得
，，即，
，
（2）由正弦定理得
，
即

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
18.为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

优秀
非优秀
合计
男生

40

女生


50
合计


100

参考公式及数据：.

0.05
0.01
0.005
0.001

3841
6.635
7.879
10.828


【答案】（1），74.5分；（2）表格见解析，有
【解析】
【分析】
（1）根据频率和为1，求出，按照平均数公式，即可求解；
（2）由频率直方图求出，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的人数，补全列联表，求出的观测值，结合提供数据，即可得出结论.
【详解】（1）由题可得，
解得.
因为，
所以估计这100名学生的平均成绩为74.5分
（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有人，由此可得完整的列联表：

优秀
非优秀
合计
男生



女生



合计





∵的观测值，
∴有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”.
【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养，属于基础题.
19.在如图所示的多面体中，平面，四边形为平行四边形，点分别为的中点，且，，.

（1）求证：平面；
（2）若，求该多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取取的中点为，连，可证，且，所以四边形是平行四边形，从而可得，利用线面平行的判定，可得平面；
（2）连接，由四边形为平行四边形可知与面积相等，所以三棱锥与三棱锥体积相等，即该多面体的体积为三棱锥体积的二倍，由此根据题意，结合余弦定理，即可求出结果.
【详解】（1）证明：取的中点为，连，

∵分别为的中点，
，且，
又四边形为平行四边形，，且，
，且
∴四边形是平行四边形
即
又平面，平面，
平面；
（2）连接，

由四边形为平行四边形可知与面积相等，
所以三棱锥与三棱锥体积相等，
即该多面体的体积为三棱锥体积的二倍．
平面，平面，
，
由，可得，
又，
由余弦定理并整理得 ，
解得，
∴三棱锥的体积
∴该几何体的体积为.
【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的性质，考查多面体的体积，解题的关键是掌握线面平行，正确运用三棱锥的体积公式，本题属于基础题.
20.已知点是椭圆上一动点，点分别是左、右两个焦点.面积的最大值为，且椭圆的长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，在椭圆上，已知两点，，且以为直径的圆经过坐标原点.求证：的面积为定值.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意建立方程求出，即可得到椭圆方程；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线MN斜率不存在时易求三角形面积，当直线MN斜率存在时，设联立椭圆，根据弦长公式及点到直线的距离求三角形面积即可.
【详解】（1）由题意知，当点在短轴端点时，面积的最大值为，
所以，解得或，
因为，所以，所以.
所以椭圆标准方程为；
（2）以为直径的圆经过坐标原点，则，
又，所以.
①当直线的斜率不存在时，由题意知，
又，所以，；
②当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立，得.
则，
所以，
代入整理得：，
此时，
点到直线的距离，所以，
综上, 的面积为定值.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，定值问题，属于中档题.
21.已知函数f（x）＝xlnx+2x﹣1．
（1）求f（x）的极值；
（2）若对任意的x＞1，都有f（x）﹣k（x﹣1）＞0（k∈Z）恒成立，求k的最大值．
【答案】（1）极小值为﹣e﹣3﹣1，无极大值；（2）最大值为4．
【解析】
【分析】
（1）求导判断函数的单调性，由极值定义得解；（2）问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求函数的范围，进而得到实数的范围，由此得到答案．
【详解】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx+3，
令f′（x）＝0，解得x＝e﹣3，
当x∈（0，e﹣3）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减；
当x∈（e﹣3，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；
故f（x）的极小值为f（e﹣3）＝﹣e﹣3﹣1，无极大值；
（2）原式可化为，
令，则，
令h（x）＝x﹣2﹣lnx（x＞1），则，
故h（x）在（1，+∞）上递增，
故存在唯一的x0∈（3，4），使得h（x0）＝0，即lnx0＝x0﹣2，
且当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）递增；
故g（x）min＝g（x0）＝x0+1，
故k＜x0+1∈（4，5），所以实数k的最大值为4．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分离参数法及转化思想，考查逻辑推理能力．
22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【详解】解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，整理得，
根据，转换为极坐标方程为，
即或（包含），
所以曲线C的极坐标方程为．
（2）直线的参数方程为转换为直线的标准参数式为为参数）
代入圆的直角坐标方程为，
，设方程两根为，
所以，，
所以．
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线标准参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数
（Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；
（2），利用绝对值的三角不等式求得的最小值，然后解不等式即可．
详解：（1），
当时，得；当时，得；当时，得，
综上可得不等式的解集为.
（2）依题意，
令 .
∴，解得或，即实数的取值范围是.
点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：
（1）“能成立”：存在使不等式成立，存在使不等式成立；
（2）“恒成立”：对任意的不等式恒成立，对任意的不等式恒成立．