2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学试题（解析版）

这是一份2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学试题


一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先化简集合A，再利用并集运算即求得结果.
【详解】
依题意，，
∴，故，
故选：A.
【点睛】
本题考查了并集和补集的运算，属于基础题.
2．在等差数列中，，则（ ）
A．21 B．28 C．35 D．42
【答案】B
【解析】利用等差数列的性质化简计算即得结果.
【详解】
等差数列中，，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，属于基础题.
3．在中，，，，则（ ）
A．9 B． C． D．8
【答案】D
【解析】由，得到，然后由正弦定理求解.
【详解】
∵，故，
由正弦定理得，
所以，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．在三角形中，为的中点，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据为的中点，利用中点坐标公式得到，然后整理与，由系数相等求解.
【详解】
因为为的中点，
所以，
所以，
又，
所以，，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理的应用，属于基础题.
5．斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列满足，，设，则（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】B
【解析】根据满足，偶数项代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，即得结果.
【详解】
因为斐波那契数列满足，，
则和式中，偶数项代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，则，则.
故选:B.
【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，结合了数学文化中的斐波那契数列，属于中档题.
6．已知在直三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】采用补形法，将直三棱柱上方补一个三棱柱变为，取的中点，由将异面直线转化到同一三角形中，结合几何关系与余弦定理即可求解
【详解】
如图所示，直三棱柱向上方补形为直三棱柱，其中，，分别为各棱的中点，取的中点，可知，异面直线与所成角即为与所成角.设，则，，，，故异面直线与所成角的余弦值为

故选：B.
【点睛】
本题考查几何体中异面直线夹角余弦值的求解，余弦定理的使用，补形法将异面直线转化为共面直线是解题关键，属于中档题
7．已知函数满足：，函数，若，则（ ）
A． B．0 C．0 D．4
【答案】B
【解析】由已知得出是奇函数，又是奇函数，根据奇偶性可得答案
【详解】
由知，，
令，所以，所以是奇函数，
又是奇函数，所以函数为奇函数，故，解得，
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，利用奇偶性求函数值的问题.
8．设双曲线的左顶点为，右焦点为，若圆与直线交于坐标原点及另一点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】先设交点，通过直线方程和已知条件解得坐标，再代入圆的方程得，即得离心率.
【详解】
如图所示，，设直线上点，，

则，即，得，
将代入圆，得，即，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的交点，以及双曲线离心率，属于中档题.

二、多选题
9．在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项 D．展开式中含项的系数为
【答案】BCD
【解析】由二项展开式的性质逐个判断即可.
【详解】
对于A，令，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；
对于B，展开式中奇数项的二项式系数和为，B正确；
对于C，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C正确；
对于D，展开式中含的项为，D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查二项展开式的相关性质，属于基础题.
10．对于函数，说法正确的有（ ）
A．对，都有
B．函数有两个零点，且互为倒数
C．，使得
D．对，，都有
【答案】BD
【解析】由对数运算性质判断A错，B对，结合对数图像判断C错，D对
【详解】
，，由对数运算法则知，选项A错误；
选项B中，，即或，互为倒数，故选项B正确；
由的图像特征知，当时，，则，同理可证当时，，当时，，故选项C错误；
如图，由于是上凸函数，故应为点对应纵坐标，应为点对应纵坐标，故，故选项D正确

故选:BD
【点睛】
本题考查对数的基本运算和对数函数的特征，属于基础题
11．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系中，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为.在的反射坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（ ）

A． B．
C． D．在上的投影为
【答案】AD
【解析】，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确.
【详解】
，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；
由于，故在上的投影为，故D正确。
故选：AD
【点睛】
本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．若方程和的根分别为和，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】根据题意将问题转化为，，和，分别是与和交点的横坐标，再用导数研究函数和的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.
【详解】
解：由题，，和，分别是和的两个根，
即与和交点的横坐标.
对于函数，定义域为，，所以函数在和上单调递增，且时，；
对于函数，，所以函数在上单调递增，在单调递减，且当，时，，时，；
故作出函数，的图像如图所示，
注意到：当时，，
由图可知，，，
从而，解得，
所以选项AD正确，选项C错误，
又.
故选：ABD.

【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.


三、填空题
13．若复数满足，则______.
【答案】
【解析】由复数的除法运算化简，再结合模长定义求解即可
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数的模长公式的使用，属于基础题
14．已知，且，则______.
【答案】
【解析】先由二倍角公式，将原式化为，进而可求出结果.
【详解】
由，得，
因为，所以，
从而，.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查由三角函数值求三角函数值，熟记二倍角公式即可，属于基础题型.
15．数列满足，，则的最小值是______
【答案】8
【解析】根据累加法求出，从而求出，再根据基本不等式即可求出最值．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
，
……
，
又∵，
上述个式子相加得，
，
∴，
当且仅当即时，等号成立，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查基本不等式的应用，属于中档题．
16．设函数，若存在的极值点，满足，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据题中条件，先求出，，，将问题转化为：存在，使得，进而可求出结果.
【详解】
由题意，令，，得，.
因为是的极值点，所以，
原问题可转化为：存在，使得，
故只需，从而.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查三角函数性质的应用，考查由函数极值点求参数，涉及一元二次不等式的解法，属于常考题型.

四、解答题
17．设是等差数列，前项和为；是各项均为正的等比数列，其前项和为，已知，，，.
（1）求和；
（2）若，求正整数的值.
【答案】（1），；（2）4.
【解析】（1）由题设条件先求出公比，进而求出和，再由与的关系求出；
（2）由（1）代换得，再化简解方程即可
【详解】
（1）设等比数列的公比为，
由，，可得，
∴，∴.
∴.
又设等差数列的公差为，
由，可得；
由，可得，
∴，∴.
（2），
由有，
∴，解得或(舍)，
故的值为4.
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列基本量的求解，前项和公式的求解，属于中档题
18．已知函数，将曲线向右平移个单位，得到的曲线关于原点对称.
（1）求；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先化简得，由题得到，即得解；
（2）根据的范围逐步求出函数在上的值域.
【详解】
（1）由题得，
将曲线向右平移个单位，得到.
由题得，，所以，.
因为，所以.
（2）由（1）知：，
因为，所以.
从而，
故在上的值域为.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数图象的变换和性质，考查三角函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施.为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生(男生与女生的人数之比为3：2)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意.其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85.

（1）估计100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表)
（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；
态度
性别
满意
不满意
合计
男生



女生

10

合计


100

【答案】（1）平均值为；（2）列联答案见解析，有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
【解析】（1）先由题中条件，求出，的值，再由频率分布直方图，根据组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均数；
（2）由题中先完善列联表，再由计算公式，求出，进而可判断出结果.
【详解】
（1）由已知得，解得，
又，解得，
所以评分的平均值为.
（2）由题意可得，列联表如下表：
态度
性别
满意
不满意
合计
男生
25
35
60
女生
30
10
40
合计
55
45
100
因此，
∴有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
【点睛】
本题主要考查由频率分布直方图求平均数，考查完善列联表，以及进行独立性检验，属于常考题型.
20．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，.
（1）求角的大小；
（2）若在线段上，且，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知和正弦定理可得答案；
（2）设，，，由余弦定理可解得x、y，再由面积公式可得答案.
【详解】
（1）由题意及正弦定理得，所以，
又因为为锐角三角形，故.
（2）设，，，则，
由余弦定理有，.
两式相加有.
在中，，
故或(舍)，所以，
故.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形问题.
21．，分别是椭圆的左､右焦点，，是上一点，与轴垂直，且.
（1）求的方程；
（2）设，，，是椭圆上的四点，与相交于，且，求四边形的面积的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）结合椭圆的定义以及已知条件求出，，转化求解，得到椭圆方程．
（2）设直线的斜率为，，，，，则直线的方程为，联立及得，利用韦达定理，弦长公式，结合直线斜率，求出，然后推出四边形的面积，利用基本不等式求解最值即可．
【详解】
解：（1）由于，则，，
又，得.
又，则，于是，故的方程为.
（2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，
，，则直线的方程为，
联立及得，
所以，.
.
由于直线的斜率为，用代换上式中的可得.
∵，∴四边形的面积为.
由，
所以，当时，即时取等号.
当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积，
综上可得，四边形面积的最小值为.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
22．已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求；
（2）若，的极大值大于，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）求导得到，根据曲线在点处的切线方程为，令求解.
（2）令，易得在上单增，由零点存在定理得到存在，使得，分析得到有唯一极大值，然后由的极大值大于，即，再将代入，转化为证明即可.
【详解】
（1），
由题，即，
解得或.
当时，，符合题意；
当时，，与题意不符，舍去.
所以.
（2）令，显然在上单增，
而，，
∴存在，使得，
即，也即.
当，，，；
当，，，；
当，，，；
所以在和上单增，在上单减.
所以有唯一极大值.
由题，
又由()得，即，
易知，在上单增，故有，
所以.
令，当时，，
所以在上单增，
故有.
所以得证.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义、函数的极值与导数以及不等式证明问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.