安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三下学期5月模拟数学（文）试题 Word版含解析

这是一份安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三下学期5月模拟数学（文）试题 Word版含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）
一、选择题（共12小题）
1.集合，，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合M、N,再求，再根据得到a的不等式，即得解.
【详解】由题得，
因为，所以.故答案为B
【点睛】(1)本题主要考查集合的化简运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时要注意取等的问题，最好把等号带进原题检验.
2.已知命题直线与相交但不垂直；命题 ，，则下列命题是真命题的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
命题,即直线和直线互相垂直,故命题错误; 命题当时不等式成立,故命题正确;综上可知, 正确,故选A.
3.已知复数，其中i为虚数单位，则　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数的除法运算求得复数z，再根据模的定义即可求得复数的模．
【详解】解：
∴
即
故选C．
【点睛】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．
4.某四棱锥的三视图如图所示，其中，且.若四个侧面的面积中最小的为，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意还原几何体，表示最小面积即可得到a值.
【详解】解：该几何体如下图所示，因为，
所以，三角形APD的面积最小，即，
所以，，解得：
故选B

【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断相关几何量的数据是解答问题的关键．
5.已知光线从点射出，经过线段(含线段端点)反射，恰好与圆相切，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，求得点关于线段的对称点，要使反射光线与圆相切，只需射线与圆相切即可，结合图象，即可求得的取值范围.
【详解】
如图，直线，关于对称点，
直线的方程为：，直线为：.
当圆在直线的上方且圆与直线相切时，
有，故；
当圆在直线的下方且圆与直线相切时，
有，故；
结合图象可知：要使反射光线与圆相切，
只需.
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，解答本题的关键是通过数形结合，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，通过图象判断参数的取值范围.
6.若向量与向量共线，则（ ）
A. 0 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
因为与向量共线，所以，解得，，故选D.
7.为比较甲，乙两地某月时的气温，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；③甲地该月时的气温的中位数小于乙地该月时的气温的中位数；④甲地该月时的气温的中位数大于乙地该月时的气温的中位数．其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、中位数可得答案.
【详解】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：
甲：26，28，29，31，31，
乙：28，29，30，31，32，
可得：甲地该月14时的平均气温：（26+28+29+31+31）＝29，
乙地该月14时的平均气温：（28+29+30+31+32）＝30，
故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
甲地该月时的气温的中位数29，
乙地该月14时的气温的中位数30，
所以甲地该月时的气温的中位数小于乙地该月时的气温的中位数．
故选A．
【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．
8.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统综》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(（注）四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量．)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为
A. 2.2升 B. 2.3升
C. 2.4升 D. 2.5升
【答案】D
【解析】
分析】
设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{an}是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积．
【详解】设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，
则{an}是等差数列，设公差为d，
由题意得，
解得a1＝1.6，d＝﹣0.1，
∴中间两节的容积为：a4+a5＝（1.6﹣0.1×3）+（1.6﹣0.1×4）＝2.5（升）．
故选D．
【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
9.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义求出直线的倾斜角，可得直线方程，直线方程与抛物线方程联立求得点坐标，再利用抛物线的定义求解即可.
【详解】抛物线的焦点坐标，
由抛物线的定义可得等于到准线的距离，
因在准线上，所以与准线垂直与轴平行，
因为三角形为正三角形，
所以
可得直线，
可得，
可得，则，，
等于到准线的距离，故选B.
【点睛】本题考查抛物线的定义与简单性质的应用，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
10.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
取特殊值排除选项得到答案.
【详解】取，排除C
取，排除BD
故答案选A
【点睛】本题考查了函数的图像，通过特殊值排除可以简化计算.
11.若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为　　
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，
由关于轴对称，则，
可得，，又，所以，
即，
当时，所以，，故选A．
【点睛】本题考查了三角函数图象的对称性、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
12.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是　　
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，则是的图象沿着上下平移得到，分析函数与的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．
【详解】
设，
则是的图象沿着上下平移得到，
当x=1时，（1）（1），
所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m）,
当x=1时，g(1)=0,
当x=2时，（2），所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2），
当x=2时，（2），所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m）,
要使方程恰有三个不相等的实数解，
则等价为与的图象有三个不同的交点，
则满足，
即得，
即，
即实数的取值范围是，，
故选．
【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．
【答案】6
【解析】
【分析】
抽到的最大学号为48，由系统抽样等基础知识即可得最小学号.
【详解】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，
抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号.
故答案为6．
【点睛】本题考查了系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
14.在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理可得，，代入三角形的面积公式可求，，然后由余弦定理可求．
【详解】解：，
由正弦定理可得，，
，
，，
由余弦定理可得，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的简单应用，属于基础题．
15.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．
【答案】18
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】解：由约束条件作出可行域如图，

，
化目标函数为，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为18．
故答案为18．
【点睛】本题考查简单的线性规划，数形结合的解题思想方法，是中档题．
16.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．
【答案】
【解析】
【分析】
对分类，找到的解集，再求的解集
【详解】时，，
①当时，，
解，即得或，
或
②当时，
解即得

当时，解集为或
是上的偶函数，
由对称性可知当时，解集为或
解集为或或
时，或或
解得或或
【点睛】本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合，属于难题.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知等差数列是递增数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若（），求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设数列首项为，公差为，由，，得，求出和，即可求出数列的通项公式；
（2）由求得，再利用裂项相消法求和即可得到答案.
【详解】（1）由题意，设递增的等差数列首项为，公差为，
由，，得，
解得：，，或，（舍去），
所以；
（2）由（1）知，，
则，
所以

.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和裂项相消法求和，考查学生的计算能力，属于中档题.
18.今年年初，习近平在告台湾同胞书发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化.”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量单位：吨，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．

（1）求直方图中的值和年平均销售量的众数和中位数；
（2）在年平均销售量为，，，的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取多少家？
（3）在（2）的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在组的概率．
【答案】（1）0.0075，230，224；（2）3家，2家，1家；（3）
【解析】
【分析】
由直方图的性质能求出直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；根据直方图的性质分别求出年平均销售量为、的频数，利用分层抽样能求出年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取多少家；年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家，基本事件总数，恰有1家在组包含的基本事件的个数，利用古典概型概率公式可得结果．
【详解】由直方图的性质得：，
解方程得，直方图中．年平均销售量的众数是，
，年平均销售量的中位数在内，
设中位数为a，则：，
解得，年平均销售量的中位数为224．
年平均销售量为的农贸市场有：，
年平均销售量为的农贸市场有：，
年平均销售量为的农贸市场有：，
抽取比例为：，
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，
故年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．
由知年平均销售量在，，农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．
设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，
基本事件总数，
恰有1家在组包含的基本事件的个数，
恰有1家在组的概率．
【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图求众数、中位数，以及分层抽样、古典概型等基础知识，是中档题．直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
19.如图，四棱锥中，菱形所在的平面，，是中点，是的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若是上的中点，且，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证得，，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）由是上的中点，是的中点，得，计算出三棱锥的体积即可得到三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：连接AC，
∵底面为菱形，，∴是正三角形，
∵是中点，∴，又，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
又平面，∴平面平面.

（2）∵是上的中点，且，
∴，，
又是的中点，∴三棱锥的体积：



.
【点睛】本题主要考查线面垂直和面面垂直的判定定理和性质，三棱锥的体积公式，考查学生数形结合能力和计算能力，属于基础题.
20.已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点，关于轴的对称点为.
（1）求抛物线的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.
（2）解法一：设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系，设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系,从而得到的关系，找出定点.
解法二：直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，设直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，从而可以解出，得到定点.
【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为，
所以，所以抛物线的方程为；
（2）【解法一】因点与点关于轴对称
所以设，，，
设直线的方程为，
代入得：，所以，
设直线的方程为，
代入得：，所以，
因为，，所以，即，
所以直线的方程为，必过定点.
【解法二】设，，，
因点与点关于轴对称，所以，
设直线的方程为，
代入得：，所以，
设直线的方程为，
代入得：，所以，
因为，所以，即，
所以直线的方程为，必过定点.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.
21.已知.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；
（2）由题意可知在上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.
【详解】（1）的定义域为
∵，，
∴当时，；时，
∴函数在上单调递减；在上单调递增.
（2）当时，
由题意，在上恒成立
①若，当时，显然有恒成立；不符题意.
②若，记，则,
显然在单调递增，
（i）当时，当时，
∴时，
（ii）当，，
∴存在，使.
当时，，时，
∴在上单调递减；在上单调递增
∴当时，，不符合题意
综上所述，所求的取值范围是
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：（m为常数）.
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，当|AB|=4时，求实数m的值.
【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2=16，x+y﹣4m=0；（2）±.
【解析】
【分析】
（1）由参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化求解即可；
（2）由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解:（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），
由,消参数θ可得:
曲线C的普通方程为（x﹣1）2+（y+1）2=16，
直线l：，即ρsinθ+ρcosθ=4m，
结合可得:
直线l的直角坐标方程为x+y﹣4m=0；
（2）由题意，圆心到直线的距离d2，
∴2，
∴m=±.
【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，重点考查了直线与圆的位置关系，属基础题.
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)求出的具体解集，然后根据已知条件，则两个解集的区间端点相等，列方程即可求解；
(2)由题知在成立，故，然后根据绝对值三角不等式求出的最小值，进而可求解.
【详解】（1）不等式，即，即，求得.
再根据不等式的解集为，可得，且，求得.
（2）在（1）的条件下，若成立，即成立，
故，
而，
，解得：，
即的范围为.
【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．