福建省厦门市思明区华侨中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷 （含答案）

这是一份福建省厦门市思明区华侨中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷 （含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省厦门市思明区华侨中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，13
3．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，则DE的长为（　　）
​

A．3 B．4 C．5 D．6
4．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人射击10次．经统计，他们的平均成绩相同2甲＝0.56，s2乙＝0.60，s2丙＝0.50，s2丁＝0.43，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知：一次函数 y＝3x﹣1，下列结论中不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，2） B．若x＞1时，y＞2
C．y随x的增大而减小 D．图象过一，三，四象限
7．如图：在▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，AB＝3，则AC+BD等于（　　）
​

A．10 B．11 C．12 D．13
8．已知：直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（2，0），若x＝1是不等式kx+b＞0的一个解（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞2 D．k＜2
9．平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若∠AOB＝180°﹣2∠BAO，那么下列说法正确的是（　　）

A．AB＝OB B．AB＝OA C．AC＝BD D．AC⊥BD
10．在平面直角坐标系中，若点 E（﹣3，0），F（a，﹣2a+4），则线段EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（每题4分，共24分）
11．当x　 　时，式子有意义．
12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，则AB边上的中线CD＝　 　．
13．用一个实数a的值说明命题“＝a”是假命题，这个a的值可以是　 　．
14．某空调店为调动销售员的积极性，根据上个月销售目标完成情况发放奖金．该店统计了所有销售员该月的销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，12，13（单位：万元），则该月销售额定为 　 　万元较为合适．（填“20”，“12”，或者“13”）
15．如图，矩形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数1的点重合，AB＝1，以点A为圆心，则该点表示的数为 　 　．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形（2，0）．若直线l1：y＝﹣x+m和直线l2：y＝﹣x+n（m≠n）被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，则m与n的关系式是 　 　．
​

三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
18．（8分）已知：一次函数y＝kx+3，当x＝1时，y＝4；
（1）求这个一次函数的解析式，并画出此函数的图象；
（2）把此函数图象向上平移2个单位，直接写出所得的函数图象的解析式．
19．（8分）如图在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，求AC的长和四边形ABCD的面积．
​

20．（8分）如图，等边△ABC．
（1）求作一点D，连接AD，CD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接BD交AC于点O，若OA＝2，求菱形ABCD的面积．

21．（8分）为了解某学校八年级学生每天平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校八年级部分同学，对其每天平均课外阅读时间进行统计，解答下列问题：
（1）被抽查的学生每天平均课外阅读时间的众数为 　 　，中位数为 　 　；
（2）求被抽查的学生每天平均课外阅读时间的平均数；
（3）根据统计的样本数据，估计该校八年级600名学生中，每天平均课外阅读时间为2小时的学生有多少人？

22．（8分）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，AE＝CF＝3.5，动点G、H，分别沿AD，CB运动（0＜t＜15）
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若四边形EGFH为矩形，请直接写出t的值．

23．（10分）定义：一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（a，b为常数ab≠0）叫做一对交换函数．
（1）一次函数y＝2x+3的交换函数是 　 　
（2）若b＞3，一次函数y＝3x+b与它的交换函数的图象l交于点C．
①若这两个函数图象与y轴的交点分别为点A和点B，求点C的坐标和△ABC的面积（用含b的代数式表示）；
②若点E（k，y1）和点F（k+1，y2）都在图象l上，当时，求b的取值范围．
24．（11分）已知：点M是正方形ABCD外部的一个点，AM＝AD＝AB，∠MAD＝α，（0＜α＜90°），连接BM，CN．
（1）在图中补全图形；
（2）求∠BMD的度数；
（3）用等式表示线段BN，DN，CN的数量关系

25．（13分）5月11日，某市突发雷阵雨8个小时，该市里一个村庄水库记录了从晚上10：00开始到第二天早上6：00这8个小时的该水库的水位y（米）（小时）变化的情况如图和表格所示．
​
时刻
2：00
3：00
4：00
5：00
6：00
水位y（米）
37.3
37.5
37.7
37.9
38.1
（1）分别求出当0≤x≤4时与4＜x≤8时，y与x的函数关系式；
（2）据有关数据表明：村庄水库的水位在连续8小时内，若能保持7.5小时及以上时间的水位不高于37米，这8小时以内的水库称为安全水库．由于人力有限，泄洪能力为：不下雨时，泄洪期间水库水位每小时下降0.25米．
①当x＝4时，开始人工泄洪，求该水库在这8小时以内
②当x＝m时，开始人工泄洪，要确保该水库在这8小时以内是安全水库　 　．

参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可得出答案．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、不是最简二次根式；
C、不是最简二次根式；
D、不是最简二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，13
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+62≠18，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+62≠48，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+82≠35，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、52+127＝132，能构成直角三角形，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，则DE的长为（　　）
​

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得DE的值即可．
【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是边AB，
∴DE是△ABC的中位线，
故DE＝AD＝．
故选：A．
【点评】考查三角形中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
4．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
【分析】利用特殊四边形的性质进而得出符合题意的答案．
【解答】解：矩形、菱形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊四边形，正确掌握特殊四边形对角线的性质是解题关键．
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人射击10次．经统计，他们的平均成绩相同2甲＝0.56，s2乙＝0.60，s2丙＝0.50，s2丁＝0.43，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵S2甲＝0.56，S2乙＝0.60，S2丙＝4.50，S2丁＝0.43，
∴S2甲＞S2乙＞S2丙＞S2丁，
∴成绩最稳定的是丁；
故选：D．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．已知：一次函数 y＝3x﹣1，下列结论中不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，2） B．若x＞1时，y＞2
C．y随x的增大而减小 D．图象过一，三，四象限
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵y＝3x﹣1，
∴当x＝7时，y＝2．
∴图象过（1，6），不符合题意；
∵k＝3＞0，b＝﹣2＜0，
∴图象过一，三，四象限，不符合题意；
∴y随x的增大而增大，故C错误；
∵图象过（1，6），
∴若x＞1时，y＞2，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题的关键．
7．如图：在▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，AB＝3，则AC+BD等于（　　）
​

A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】由三角形的周长公式可求解AO+BO的值，再利用平行四边形的性质可求解．
【解答】解：∵△AOB 周长为9，
∴AB+AO+BO＝9，
∵AB＝3，
∴AO+BO＝6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BD＝2BO，AC＝7AO，
∴AC+BD＝2（AO+BO）＝12．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键．
8．已知：直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（2，0），若x＝1是不等式kx+b＞0的一个解（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞2 D．k＜2
【分析】根据题意画出图象，根据图象求解．
【解答】解：由题意得：直线y＝kx+b（k≠0）过（2，2），
∴k＜0．
故选：B．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
9．平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若∠AOB＝180°﹣2∠BAO，那么下列说法正确的是（　　）

A．AB＝OB B．AB＝OA C．AC＝BD D．AC⊥BD
【分析】由三角形的内角和定理可得∠BAO＝∠OBA，即可得OA＝OB，几何平行四边形的性质可证明AC＝BD，进而可求解．
【解答】解：∵∠AOB+∠BAO+∠OBA＝180°，∠AOB＝180°﹣2∠BAO，
∴∠BAO＝∠OBA，
∴OA＝OB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝8OB，
∴AC＝BD，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，若点 E（﹣3，0），F（a，﹣2a+4），则线段EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用两点间的距离可得EF＝，根据二次函数的最值可求解．
【解答】解：∵点 E（﹣3，0），﹣3a+4），
∴EF＝
＝
＝，
∴当a＝6时，EF有最小值，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．
二、填空题：（每题4分，共24分）
11．当x　≥1　时，式子有意义．
【分析】二次根式有意义：被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
x﹣1≥0，
解得，x≥4．
故答案为：≥1．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，则AB边上的中线CD＝　5　．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，
∴，
∴AB边上的中线，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．用一个实数a的值说明命题“＝a”是假命题，这个a的值可以是　﹣1（答案不唯一，a＜0即可）　．
【分析】选取的a的值不满足＝a即可．
【解答】解：a＝﹣1时，满足a是实数＝a，
所以a＝﹣7可作为说明命题“如果a是任意实数，那么“．
故答案为：﹣1（答案不唯一，a＜2即可）．
【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
14．某空调店为调动销售员的积极性，根据上个月销售目标完成情况发放奖金．该店统计了所有销售员该月的销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，12，13（单位：万元），则该月销售额定为 　13　万元较为合适．（填“20”，“12”，或者“13”）
【分析】根据中位数的意义进行解答，即可得出答案．
【解答】解：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为13万合适．
因为中位数为13，即大于13与小于13的人数一样多，
所以月销售额定为13万，有一半左右的营业员能达到销售目标；
故答案为：13．
【点评】本题考查了众数、中位数和平均数，反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
15．如图，矩形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数1的点重合，AB＝1，以点A为圆心，则该点表示的数为 　1﹣　．

【分析】根据勾股定理求出AC，即可表示出所求点表示的数．
【解答】解：∵AD＝3，CD＝AB＝1＝，∴弧与轴交点为：1﹣，
故答案为：1﹣．
【点评】本题考查了数轴表示数的应用，勾股定理的应用是解题关键．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形（2，0）．若直线l1：y＝﹣x+m和直线l2：y＝﹣x+n（m≠n）被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，则m与n的关系式是 　m＝4﹣n　．
​

【分析】设直线l1：y＝﹣x+m和直线l2：y＝﹣x+n（m≠n）被正方形OABC的边所截得的线段分别为EF、MN，根据题意，当OE＝BN，OF＝BM时，两直线被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，据此即可求得M或N的坐标，代入y＝﹣x+n即可求得m与n的关系式．
【解答】解：设直线l1：y＝﹣x+m和直线l2：y＝﹣x+n（m≠n）被正方形OABC的边所截得的线段分别为EF、MN，
根据题意，当OE＝BN，两直线被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，
∵y＝﹣x+m，
∴OE＝m，OF＝m，
∴BN＝m，BM＝m，
∴N（4﹣m，2），
代入y＝﹣x+n得，2＝﹣8+m+n，
∴m＝4﹣n，
故答案为：m＝4﹣n．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，能够明确题意是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
【分析】（1）根据二次根式的性质以及运算法则计算即可；
（2）方程利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）x2﹣5x﹣1＝0，
∵a＝7，b＝﹣2，
∴b2﹣7ac＝（﹣2）2﹣5×1×（﹣1）＝7＞0，
∴＝＝，
∴，．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程，掌握相关运算法则以及求根公式是解答本题的关键．
18．（8分）已知：一次函数y＝kx+3，当x＝1时，y＝4；
（1）求这个一次函数的解析式，并画出此函数的图象；
（2）把此函数图象向上平移2个单位，直接写出所得的函数图象的解析式．
【分析】（1）利用待定系数法求得一次函数的解析式，然后利用两点画出函数图象即可；
（2）根据一次函数图象平移时“上加、下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+3，当x＝1时，
∴7＝k+3，解得k＝1，
∴这个一次函数的解析式为y＝x+6；
∴一次函数图象与坐标轴的交点为（﹣3，0），8），
画出函数图象为：

（2）由“上加下减”的原则可知，将函数y＝x+3的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为y＝x+4+3．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）如图在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，求AC的长和四边形ABCD的面积．
​

【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠DAC＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AC，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵CD＝3，AD＝1，
∴AD3+AC2＝12+（2）3＝9，CD2＝42＝9，
∴AD4+AC2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝AB•BC+
＝×4×2+
＝2+，
∴AC的长为2，四边形ABCD的面积为5+．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．（8分）如图，等边△ABC．
（1）求作一点D，连接AD，CD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接BD交AC于点O，若OA＝2，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）根据菱形的判定画出图形即可；
（2）利用直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图所示，点D即为所求：

（2）在菱形ABCD中，∠BAC＝60°，

在Rt△OAB中，tan∠OAB＝tan60°＝，
∵OA＝2，
∴AB＝4，
∴BO＝7，BD＝4，
∵AC＝2OA＝4，
∴菱形ABCD的面积S＝BD•AC＝×4＝5．
答：菱形ABCD的面积为8．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图的应用及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21．（8分）为了解某学校八年级学生每天平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校八年级部分同学，对其每天平均课外阅读时间进行统计，解答下列问题：
（1）被抽查的学生每天平均课外阅读时间的众数为 　1.5　，中位数为 　1.5　；
（2）求被抽查的学生每天平均课外阅读时间的平均数；
（3）根据统计的样本数据，估计该校八年级600名学生中，每天平均课外阅读时间为2小时的学生有多少人？

【分析】（1）根据统计图中的数据可以得到众数和中位数；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出平均数；
（3）用总人数乘以每天平均课外阅读时间为2小时的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）该校抽查八年级学生的人数为：12+30+40+18＝100（人），
∵在这组数据中1.5小时出现次数最多，有40次，
∴被抽查的学生每天平均课外阅读时间的众数为7.5，
在这100个数据中，中位数为第50，即中位数为．
故答案为：1.5，5.5；

（2）平均数是：×（5.5×12+1×30+3.5×40+2×18）＝2.32（小时）；
答：被抽查的学生每天平均课外阅读时间的平均数为1.32小时；

（3）根据题意得：600×＝108（人），
答：每天平均课外阅读时间为2小时的学生有108人．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数及条形统计图的知识，解题的关键是能够结合统计图找到进一步解题的有关信息．
22．（8分）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，AE＝CF＝3.5，动点G、H，分别沿AD，CB运动（0＜t＜15）
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若四边形EGFH为矩形，请直接写出t的值．

【分析】（1）由题意得AE＝CF＝3.5，AG＝CH＝t，根据矩形 性质得到AD∥BC，根据全等三角形的性质得到EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，根据平行四边形的判定定理得到四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图，连接GH，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，根据勾股定理得到AC＝＝17，求得EF＝10，根据矩形的性质得到GH＝EF＝10，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：由题意得：AE＝CF＝3.5，AG＝CH＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GAE＝∠HCF，
在△AEG和△CFH中，
，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：如图，连接GH，

在矩形ABCD中，AB＝3，
∴AC＝＝17，
∵AE＝CF＝5.5，
∴EF＝10，
∵四边形EHFG是矩形，
∴GH＝EF＝10，
∴86+（15﹣2t）2＝103，
解得t＝或t＝，
若四边形EGFH为矩形，t的值为或．
【点评】本题考查矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．
23．（10分）定义：一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（a，b为常数ab≠0）叫做一对交换函数．
（1）一次函数y＝2x+3的交换函数是 　y＝3x+2　
（2）若b＞3，一次函数y＝3x+b与它的交换函数的图象l交于点C．
①若这两个函数图象与y轴的交点分别为点A和点B，求点C的坐标和△ABC的面积（用含b的代数式表示）；
②若点E（k，y1）和点F（k+1，y2）都在图象l上，当时，求b的取值范围．
【分析】（1）根据交换函数的定义把自变量x的系数与常数互换即可写出一次函数y＝2x+3的交换函数；
（2）①先求出一次函数y＝3x+b的交换函数，然后表示出点A、点B以及点C的坐标，求出线段AB的长，然后根据三角形面积公式即可表示出△ABC的面积；
②把点E（k，y1）和点F（k+1，y2）代入直线l的解析式，构建直角三角形后根据勾股定理求出当EF＝时的b值，然后求出b的取值范围．
【解答】解：（1）根据交换函数的定义可以知道：一次函数y＝2x+3的交换函数是y＝3x+2．
故答案为：y＝3x+6；
（2）①根据交换函数的定义可知一次函数y＝3x+b的交换函数是y＝bx+3，
则点A（6，b），3），
∴AB＝b﹣3，
由题意得：，
解得：，
∴点C（1，3+b），
∴△ABC的面积＝×（b﹣3）×7＝；
②∵点E的横坐标为k，点F的横坐标为k+8，
∴E、F两点横坐标的差为1，
∵y1＝bk+3，y2＝b（k+1）+4，
∴y2﹣y1＝b（k+2）+3﹣（bk+3）＝b，
∴E、F两点纵坐标的差为b，
根据题意得：，
解得：b＝±4，
∵b＞3，
∴b＝6，
∴当时，b的取值范围为3＜b≤4．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查新定义问题，一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，三角形的面积公式等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
24．（11分）已知：点M是正方形ABCD外部的一个点，AM＝AD＝AB，∠MAD＝α，（0＜α＜90°），连接BM，CN．
（1）在图中补全图形；
（2）求∠BMD的度数；
（3）用等式表示线段BN，DN，CN的数量关系

【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）延长MA到点L，由AM＝AD＝AB，得∠ADM＝∠AMD，∠ABM＝∠AMB，则∠LAD＝∠ADM+∠AMD＝2∠AMD，∠LAB＝∠ABM+∠AMB＝2∠AMB，所以∠AMD＝∠LAD，∠AMB＝∠LAB，所以∠BMD＝∠AMD﹣∠AMB＝（∠LAD﹣∠LAB）＝∠BAD＝45°；
（3）作CE⊥BN于点E，CH⊥MN交MN的延长线于点H，可证明四边形NECH是矩形，得∠ECH＝∠BCD＝90°，则∠BCE＝∠DCH＝90°﹣∠DCE，即可证明△BCE≌△DCH，得CE＝CH，则四边形NECH是正方形，所以CE＝NE，则∠CNE＝∠NCE＝45°，作CF⊥CN交BN于点F，则∠CFN＝∠CNF＝45°，∠BCF＝∠DCN＝90°﹣∠DCF，所以CF＝CN，则FN＝＝CN，再证明△BCF≌△DCN，得BF＝DN，则BN﹣DN＝BN﹣BF＝FN＝CN．
【解答】解：（1）如图1，补全图形．
（2）如图2，延长MA到点L，
∵AM＝AD＝AB，
∴∠ADM＝∠AMD，∠ABM＝∠AMB，
∴∠LAD＝∠ADM+∠AMD＝4∠AMD，∠LAB＝∠ABM+∠AMB＝2∠AMB，
∴∠AMD＝∠LAD∠LAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BMD＝∠AMD﹣∠AMB＝（∠LAD﹣∠LAB）＝，
∴∠BMD的度数是45°．
（3）BN﹣DN＝CN，
证明：如图2，作CE⊥BN于点E，则∠BEC＝∠CEN＝∠H＝90°，
∵BN⊥MD交MD延长线于点N，
∴∠ENH＝90°，
∴四边形NECH是矩形，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠DCH＝90°﹣∠DCE，
在△BCE和△DCH中，
，
∴△BCE≌△DCH（AAS），
∴CE＝CH，
∴四边形NECH是正方形，
∴CE＝NE，
∴∠CNE＝∠NCE＝45°，
作CF⊥CN交BN于点F，则∠FCN＝90°，
∴∠CFN＝∠CNF＝45°，∠BCF＝∠DCN＝90°﹣∠DCF，
∴CF＝CN，
∴FN＝＝＝CN，
在△BCF和△DCN中，
，
∴△BCF≌△DCN（SAS），
∴BF＝DN，
∴BN﹣DN＝BN﹣BF＝FN，
∴BN﹣DN＝CN．


【点评】此题重点考查正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25．（13分）5月11日，某市突发雷阵雨8个小时，该市里一个村庄水库记录了从晚上10：00开始到第二天早上6：00这8个小时的该水库的水位y（米）（小时）变化的情况如图和表格所示．
​
时刻
2：00
3：00
4：00
5：00
6：00
水位y（米）
37.3
37.5
37.7
37.9
38.1
（1）分别求出当0≤x≤4时与4＜x≤8时，y与x的函数关系式；
（2）据有关数据表明：村庄水库的水位在连续8小时内，若能保持7.5小时及以上时间的水位不高于37米，这8小时以内的水库称为安全水库．由于人力有限，泄洪能力为：不下雨时，泄洪期间水库水位每小时下降0.25米．
①当x＝4时，开始人工泄洪，求该水库在这8小时以内
②当x＝m时，开始人工泄洪，要确保该水库在这8小时以内是安全水库　m≤3　．
【分析】（1）当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为：y＝mx+36.1，当4＜x≤8时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，然后利用待定系数法求出解析式即可；
（2）①分别求出当0≤x≤4时，4＜x≤8时，水位不高于37米的降雨时间即可；
②降雨x小时，该水库在这8小时以内是安全水库，根据水位不高于37米的水库称为安全水库，列出不等式，进行解答．
【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为：y＝mx+36.5，
把点（4，37.3）代入y＝mx+36.2得：
4m+36.1＝37.4，
解得：m＝0.3，
∴y＝5.3x+36.1，
当6＜x≤8时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
把（5，37.3），37.5）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴y＝6.2x+36.3，
∴；
（2）①当0≤x≤4时，设水位不高于37米的时间为x小时，
∴3.3x+36.1＝37，
3.3x＝0.3，
x＝3，
∴当0≤x≤8时，数位不高于37米的时间为3小时，
当4＜x≤7时，由表格可知：水位每小时上升0.2米，
∴泄洪时水库水位实际上是每小时下降6.25﹣0.2＝4.05米，
设当4＜x≤8时，降雨时间为y小时，列方程得：
37.5﹣0.05y＝37，
0.05y＝3.3，
y＝6，
∴当8＜x≤8时，水位若等于37米得泄洪6小时，
∴该水库在这6小时以内，水位不高于37米的时间有3小时；
②设降雨x小时，该水库在这8小时以内是安全水库
，
由①得：x≤5，
由②得：x≤3.5，
∴x≤4，
∵x＝m，
∴m≤3，
故答案为：m≤3．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题关键是观察函数图象和表格，获得正确的信息．