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    2021届四川省泸县第二中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

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    2021届四川省泸县第二中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

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    这是一份2021届四川省泸县第二中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版),共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2021届四川省泸县第二中学高三上学期第一次月考数学(理)试题


    一、单选题
    1.设全集,集合,集合,则M∩()=( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】先求出和,再求M∩()得解.
    【详解】
    由题得,
    所以或,
    所以M∩()=.
    故选:C
    【点睛】
    本题主要考查集合的补集和交集运算,考查一元二次不等式的解法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
    2.若,则的虚部为( )
    A.-1 B.1 C. D.
    【答案】A
    【解析】利用复数除法运算化简,则虚部可求
    【详解】
    ,故虚部为-1
    故选:A
    【点睛】
    本题考查复数的运算,意在考查计算能力,是基础题
    3.已知命题,则p命题的否定为
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】首先从题的条件中可以断定命题P是全称命题,应用全称命题的否定是特称命题,利用其形式得到结果.
    【详解】
    因为命题P:为全称命题,
    所以P的否定形式为:,
    故选C.
    【点睛】
    该题考查的是有关全称命题的否定的问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有全称命题的否定,注意其形式即可得到正确的结果,属于简单题目.
    4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】根据三视图还原出原几何体,然后根据圆柱和圆锥的体积公式,计算出结果.
    【详解】
    由已知中的三视图,可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥,
    圆柱和圆锥的底面直径为4,故底面半径为2,故底面面积,
    圆柱和圆锥的高,故组合体的体积,
    故选B.

    【点睛】
    本题考查三视图还原几何体,圆柱体的体积和圆锥体积的求法,属于简单题.
    5.已知角的终边经过点,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】利用诱导公式可得,再利用三角函数的定义求解即可.
    【详解】
    因为角的终边经过点,所以.
    所以.
    故选D.
    【点睛】
    本题考查三角函数的定义和诱导公式,是一道基础题,解题时要注意符号.
    6.函数的图象可能是 ( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】根据函数,利用导数得到函数的单调性,再根据时 ,求解.
    【详解】
    因为,
    所以,
    当或时,,递增;
    当时,,递减;
    又当时 ,,
    故选:B
    【点睛】
    本题主要考查函数的单调性与导数以及函数图象识别问题,还考查了数形结合的思想,属于中档题.
    7.已知,,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】结合指数式与对数式的性质,可将三个式子化为指数为的形式,然后利用幂函数的单调性可得出答案.
    【详解】
    由题意,,,,
    因为函数在上单调递增,所以,即.
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查几个数的大小比较,考查指数式与对数式的运算性质,考查幂函数单调性的应用,考查学生的推理能力,属于基础题.
    8.设曲线在处的切线与直线平行,则实数等于( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率,再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率,列出方程即得.
    【详解】
    解:切线与直线平行,斜率为,
    又,
    所以切线斜率,所以的斜率为,
    即.
    故选:.
    【点睛】
    此题主要考查导数的计算,以及利用导数研究曲线上某点切线方程,属于基础题.
    9.已知曲线且过定点,若且,则的最小值为( ).
    A. B.9 C.5 D.
    【答案】A
    【解析】根据指数型函数所过的定点,确定,再根据条件,利用基本不等式求的最小值.
    【详解】
    定点为,



    当且仅当时等号成立,
    即时取得最小值.
    故选A
    【点睛】
    本题考查指数型函数的性质,以及基本不等式求最值,意在考查转化与变形,基本计算能力,属于基础题型.
    10.已知函数,若,,则的取值范围是 ( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】画出图象,根据图象确定,的取值范围,得出的取值范围.
    【详解】
    根据图象有两个交点,,,

    ,,
    时,,令,,故,所以;
    时,,令,,故,根据题意,所以
    所以,.
    故选:B
    【点睛】
    本题主要考查分段函数的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
    11.已知,函数在区间内没有最值,则的取值范围( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】根据正弦函数的最值可得,当,时,取得最值,所以问题转化为对任意,都有,而当时,存在使得不成立,所以,排除选项,当时,存在使得,排除选项,可得选项正确.
    【详解】
    由,,得,,
    因为函数在区间内没有最值,
    所以对任意,都有,
    当,时,,故选项不正确;
    当时,存在使得,故选不正确.
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查了正弦函数的最值,属于基础题.
    12.已知函数,e是自然对数的底数,存在()
    A.当时,零点个数可能有3个
    B.当时,零点个数可能有4个
    C.当时,零点个数可能有3个
    D.当时,零点个数可能有4个
    【答案】C
    【解析】首先将的零点转化为两个图象的交点,利用以直代曲的思想可以将等价为,根据穿针引线画出草图,即可判断.
    【详解】
    将看成两个函数的交点,利用以直代曲,可以将等价看成,利用“穿针引线”易知时图象如图,所以当时最多有两个交点,当时最多有三个交点.故选C.

    【点睛】
    本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法
    (1)直接求零点:令,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
    (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线,且,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
    (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.


    二、填空题
    13.已知,若,则______.
    【答案】
    【解析】由指数式与对数式的互化公式,得到,即可求得的值,得到答案.
    【详解】
    由对数式与指数式的互化,因为,可得,
    所以.
    故答案为.
    【点睛】
    本题主要考查了指数式与对数式的互化,其中解答中熟记指数式与对数式的互化公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
    14.若满足约束条件则的最小值是___________.
    【答案】
    【解析】由约束条件画出可行域,利用目标函数的几何意义求最小值.
    【详解】
    作出可行域如图,

    目标函数的几何意义是区域内的点到原点距离的平方,
    图中直线AB的方程为,原点到此直线的距离为,
    所以的最小值为.
    故答案为:
    【点睛】
    本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,属于中档题.
    15.若函数在区间单调递增,则的取值范围是__________.
    【答案】
    【解析】等价于在区间上恒成立,分离参数后化为求函数的最值即可,利用函数的单调性易求最值.
    【详解】
    解:函数在区间单调递增,
    在区间上恒成立,
    即在区间上恒成立,
    令其在上单调递增,
    ,当时,
    时,函数递减,
    时,;函数递增


    故答案为:.
    【点睛】
    该题考查利用导数研究函数的单调性,考查函数恒成立问题,考查转化思想,恒成立问题往往转化为函数最值解决.
    16.已知三棱锥满足平面平面,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为________________.
    【答案】
    【解析】先确定球心就是的外心,再利用正弦定理得到,计算表面积得到答案.
    【详解】
    因为,所以的外心为斜边的中点,
    因为平面平面,所以三棱锥的外接球球心在平面上,
    即球心就是的外心,根据正弦定理,解得,
    所以外接球的表面积为.
    【点睛】
    本题考查了三棱锥的外接球问题,确定球心为的外心是解题的关键.

    三、解答题
    17.已知函数.
    (1)求的单调递增区间;
    (2)求在区间上的最小值.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式化简解析式,再根据正弦函数的递增区间列式可解得结果;
    (2)由的范围得到的范围,再根据正弦函数的图象可得结果.
    【详解】
    (1),
    ∴,
    由得,
    则的单调递增区间为.
    (2)∵,∴,
    当,即时,.
    【点睛】
    本题考查了二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式,考查了利用正弦函数的图象求最值,属于中档题.
    18.已知函数.
    (1)若,当时,的图象上任意一点的切线的斜率都为非负数,求证:;
    (2)若在时取得极值0,求.
    【答案】(1)证明见解析;(2)11.
    【解析】(1)根据导数的几何意义转化为当时,恒成立,根据基本不等式求出的最小值即可解得结果;
    (2)由和解得或,再检验可知符合题意,所以.
    【详解】

    (1)因为,所以 ,
    因为当时,的图象上任意一点的切线的斜率都为非负数,
    所以当时,,即,即恒成立,
    ∵,∴,∴.
    (2)因为在时取得极值0,
    所以且
    解得或,
    当时,,函数无极值;
    ∴.
    【点睛】
    本题考查了导数的几何意义,考查了基本不等式,考查了根据函数的极值求参数,属于中档题.
    19.的内角,,的对边分别为,,,已知

    (1)求角;
    (2)若是边的中点,.求的长;
    【答案】(1);
    (2)或7;
    【解析】(1)首先根据正弦定理边角互化,得到,由,代入化简,最后得到求角;(2)首先在中,根据余弦定理求,然后在中再利用余弦定理求边.
    【详解】
    (1),
    由正弦定理得,





    (2)在中,由余弦定理得



    或,
    当时,
    中,由余弦定理得



    当时,



    或.
    【点睛】
    本题考查正余弦定理解三角形,属于基础题型,一般在含有边和角的等式中,可根据正弦定理的边角互化公式转化为三角函数恒等变形问题.
    20.如图,矩形ABCD中,,,点F、E分别是BC、CD的中点,现沿AE将折起,使点D至点M的位置,且.

    (1)证明:平面MEF;
    (2)求二面角的大小.
    【答案】(1)详见解析;(2).
    【解析】(1)证明,得到平面MEF.
    (2)以F为原点,FE为x轴,FA为y轴建立如图的空间坐标系,面AFE的一个法向量为,面AME的一个法向量为,计算向量夹角到答案.
    【详解】
    (1)证明:由题设知:,又,,AM,面AMF,
    ∴面AMF,面AMF,∴,
    在矩形ABCD中,,,E、F为中点,
    ∴,,,
    ∴,∴,
    又∵面MEF,∴面MEF.
    (2)以F为原点,FE为x轴,FA为y轴建立如图的空间坐标系,
    在中,过M作于N,,,,
    ∴,,
    ∴、、、,
    面AFE的一个法向量为,设面AME的一个法向量为,、,
    由,即,令,则,,
    ∴,∴,,
    二面角为.

    【点睛】
    本题考查了线面垂直,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
    21.设函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若函数恰有两个零点,求的取值范围.
    【答案】(1)见解析;(2)
    【解析】(1),讨论a,求得单调性即可(2)利用(1)的分类讨论,研究函数最值,确定零点个数即可求解
    【详解】
    (1)因为,其定义域为,
    所以.
    ①当时,令,得;令,得,
    此时在上单调递减,在上单调递增.
    ②当时,令,得或;令,得,
    此时在,上单调递减,在上单调递增.
    ③当时,,此时在上单调递减.
    ④当时,令,得或;令,得,
    此时在,上单调递减,在上单调递增.
    (2)由(1)可知:①当时,.
    易证,所以.
    因为,,
    .
    所以恰有两个不同的零点,只需,解得.
    ②当时,,不符合题意.
    ③当时,在上单调递减,不符合题意.
    ④当时,由于在,上单调递减,在上单调递增,且,又,由于,,
    所以,函数最多只有1个零点,与题意不符.
    综上可知,,即的取值范围为.
    【点睛】
    本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,函数零点问题,考查推理求解能力及分类讨论思想,是难题
    22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线经过点,曲线的极坐标方程为.
    (1)求曲线的极坐标方程;
    (2)若,是曲线上两点,求的值.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)先化参数方程为普通方程,再化为极坐标方程,利用曲线经过点求出的值即可.
    (2)把,代入曲线的方程,对变形化简即可.
    【详解】
    (1)将曲线的参数方程化为普通方程为,
    即.
    由,,得曲线的极坐标方程为.
    由曲线经过点,则(舍去),
    故曲线的极坐标方程为.
    (2)由题意可知,,
    所以.
    【点睛】
    本题考查参数方程与极坐标方程的转化,考查对极坐标方程含义的理解,是一道基础题.牢记转化公式和极坐标系中的含义即可顺利解题.
    23.已知函数.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若对于任意实数x,不等式恒成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)利用分类讨论法解绝对值不等式得解;
    (2)等式恒成立等价于,再分类讨论解绝对值不等式.
    【详解】
    (1)当时,
    有或或
    解得或或
    所以的解集为.
    (2)对于任意实数,不等式成立,即恒成立.
    又因为.
    要使原不等式恒成立,则需要.
    当时,无解;
    当时,由,解得;
    当时,由,解得,
    所以实数的取值范围是.
    【点睛】
    本题主要考查绝对值不等式的解法,考查绝对值三角不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

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