2021届天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题

这是一份2021届天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题．解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
天津市南开中学2021届高三年级第一次月考
数学学科试题
一、选择题（本大题共9小题，共45分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．对于实数a，b，c，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，，点E为的中点，点F在边上，若，则的值是（ ）．

A． B．1 C． D．2
7．定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若在区间上有m个零点，则（ ）．
A．4042 B．4041 C．4040 D．4039
9．若曲线与曲线存在公切线，则实数a的取值范围（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）．
10．已知复数（i为虚数单位），则________．
11．的展开式的常数项是________．（用数字作答）
12．已知函数，若，则实数x的取值范围是_________．
13．已知函数，当时，则函数的最大值与最小值之和是________．
14．已知函数的最小值为，则实数m的值为_________．
15．已知，函数，，若有4个零点，则实数m的取值范围是________．
三、解答题（本大题共5小题，共75分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题14分）
已知函数的周期为．
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）若，且，求的值．
17．（本小题15分）
已知函数为奇函数．
（1）求a的值；
（2）解不等式；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
18．（本小题15分）
如图，平面，，，，，点E，F，M分别为，，的中点．

（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的大小；
（3）若N为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
19．（本小题15分）
已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；
（2）若对于任意都有成立，试求a的取值范围；
（3）记．当时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．
20．（本小题16分）
已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）当时，斜率为k的直线l与函数的图象交于两点，，其中，证明：；
（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．
天津市南开中学2021届高三数学第一次月考参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
9
7
8
9
D
B
C
B
D
C
A
B
D
二、填空题
10． 11．240 12． 13．6 14． 15．
三、解答题
16．解：（1）
，
∵，∴．
∴，解得
∴的递增区间为
（2）∵∴∴
∵∴∴
∴
17．解：（1）∵为奇函数∴
∴

∴
（2）
∵∴，解得
所以不等式的解集为
（3）因为不等式对任意恒成立，所以对任意恒成立，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以．
18．（1）连接，因为，所以，
又因为，所以为平行四边形．
由点E和M分别为和的中点，可得且，
因为，F为的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．
依题意可得，

设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得．
设锐二面角的平面角为
∴，所以．
所以，二面角的大小为．

（3）设，即，则．
从而．
由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以，．
19．（1）直线的斜率为，函数的定义域为．
因为，所以，所以，
（2）由解得；由解得．
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最小值．
因为对于任意都有成立，所以即可．
∴，即，解得，
所以a得取值范围是．
（3）依题意得，则，
由解得，由解得．
函数在区间上有两个零点，所以，解得．
所以b的取值范围是．
20．（1）因为，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减,
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，所以，所以，
要证，即证，
因为，即证，
令，即证，令，
由（1）知，在上单调递减，所以，即，所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即；
综上可得，即；
（3）由已知得，即为，即，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，，即，矛盾，故舍去；
当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，单调递增，
所以，即当恒成立，求k的最大值．
令，则，
当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，
所以，所以不存在整数k使成立，
综上所述，不存在满足条件的整数k．