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    专题21.4 根与系数的关系【十大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)
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    初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课后复习题

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    这是一份初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课后复习题,文件包含专题214根与系数的关系十大题型举一反三人教版解析版docx、专题214根与系数的关系十大题型举一反三人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共36页, 欢迎下载使用。


    TOC \ "1-3" \h \u
    \l "_Tc7244" 【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 PAGEREF _Tc7244 \h 1
    \l "_Tc1659" 【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 PAGEREF _Tc1659 \h 2
    \l "_Tc7564" 【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 PAGEREF _Tc7564 \h 2
    \l "_Tc29040" 【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 PAGEREF _Tc29040 \h 2
    \l "_Tc7343" 【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 PAGEREF _Tc7343 \h 3
    \l "_Tc3999" 【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 PAGEREF _Tc3999 \h 3
    \l "_Tc23671" 【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 PAGEREF _Tc23671 \h 4
    \l "_Tc14820" 【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 PAGEREF _Tc14820 \h 4
    \l "_Tc30442" 【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 PAGEREF _Tc30442 \h 5
    \l "_Tc7267" 【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 PAGEREF _Tc7267 \h 5
    【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
    若一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca.
    注意它的使用条件为,a≠0,Δ ≥0.
    【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】
    【例1】(2023春·广东广州·九年级统考期末)若x1,x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根,则x12+x22+x1x2的值是( )
    A.−7B.−1C.1D.7
    【变式1-1】(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知m,n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根,则2m−n−m+3nm2−n2的值是( )
    A.−3B.−2C.−13D.−12
    【变式1-2】(2023·上海·九年级假期作业)已知a,b是方程x2+6x+4=0的两个根,则bba+aab的值 .
    【变式1-3】(2023春·九年级单元测试)已知x1、x2是方程x2−7x+8=0的两根,且x1>x2,则2x1+3x2的值为 .
    【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】
    【例2】(2023春·浙江·九年级专题练习)设α、β是方程 x2+x+2012=0的两个实数根,则 α2+2α+β的值为( )
    A.-2014B.2014C.2013D.-2013
    【变式2-1】(2023春·湖北恩施·九年级统考期中)已知a,b是关于x的一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根,则a+22+b的值为( )
    A.32B.5C.2D.−2
    【变式2-2】(2023·江西萍乡·校考模拟预测)若α、β是一元二次方程x2−3x−9=0的两个根,则α2−4α−β的值是 .
    【变式2-3】(2023春·安徽池州·九年级统考期末)已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根,则α2+2024α+2β2+2024β+2的值为( )
    A.−2021B.2021C.−2023D.2023
    【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】
    【例3】(2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习)若p、q是方程x2−3x−1=0的两个不相等的实数根,则代数式p3−4p2−2q+5的值为 .
    【变式3-1】(2023春·山东日照·九年级统考期末)已知a,b是方程x2−x−3=0的两个根,则代数a2+2b2+a+ab的值为 .
    【变式3-2】(2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习)已知α、β是方程x2+x−1=0的两根,则α4β−β3+5的值是( )
    A.7B.8C.9D.10
    【变式3-3】(2023春·九年级课时练习)已知a,b是方程x2−x−1=0的两根,则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是( )
    A.19B.20C.14D.15
    【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】
    【例4】(2023·四川乐山·统考中考真题)若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2,且x1=3x2,则m的值为( )
    A.4B.8C.12D.16
    【变式4-1】(2023·上海·九年级校考期中)已知关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0的两根为x1,x2满足:x12+x22=16+x1x2,求实数k的值
    【变式4-2】(2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习)方程x2−k2−4x+k+1=0的两个实数根互为相反数,则k的值是 .
    【变式4-3】(2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末)若m、n是关于x的方程x2+2k+3x+k2=0的两个不相等的实数根,且1m+1n=−1,则k的值为 .
    【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
    【例5】(2023春·江苏南京·九年级专题练习)关于x的方程x−2x+1=p2(p为常数)根的情况,下列结论中正确的是( )
    A.有两个相异正根 B.有两个相异负根C.有一个正根和一个负根D.无实数根
    【变式5-1】(2023春·安徽合肥·九年级统考期末)方程2x2−3x+1=0根的符号是( )
    A.两根一正一负B.两根都是负数C.两根都是正数D.无法确定
    【变式5-2】(2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习)已知a、b、c是△ABC的三条边的长,那么方程cx2+a+bx+c4=0的根的情况是( )
    A.没有实数根B.有两个不相等的实数根
    C.有两个相等的负实根D.只有一个实数根
    【变式5-3】(2023·九年级统考课时练习)已知a<0,b>0,c<0,则方程ax2−bx−c=0的根的情况是( ).
    A.有两个负根B.两根异号且正根绝对值较大
    C.有两个正根D.两根异号且负根绝对值较大
    【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】
    【例6】(2023·四川成都·三模)若方程x2+(m﹣4)x+134﹣m=0有两个不相等的实数根x1和x2,且x1+x2>﹣3,x1x2<214,则m的取值范围为多少?
    【变式6-1】(2023·山东日照·日照港中学统考二模)已知关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0的实数根x1,x2,满足3x1x2−x1−x2>5,则m的取值范围是 .
    【变式6-2】(2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习)已知关于x的方程4x2−k+5x−k−9=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1=−1,0A.−18C.−9【变式6-3】(2023春·九年级单元测试)设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1<−1【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】
    【例7】(2023·陕西西安·校考二模)已知mn≠1,且5m2+2010m+9=0,9n2+2010n+5=0,则mn 的值为( )
    A.﹣402B.59 C.95 D.6703
    【变式7-1】(2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习)已知a≥2,m2−2am+2=0,n2−2an+2=0,则(m−1)2+(n−1)2的最小值是( ).
    A.6B.3C.-3D.0
    【变式7-2】(2023·山东德州·统考一模)已知互不相等的三个实数a、b、c满足ca=−a−3,cb=−b−3,求a2c+b2c−9c的值 .
    【变式7-3】(2023春·江苏·九年级专题练习)设x,y,s,t为互不相等的实数,且(x2−s2)(x2−t2)=1,(y2−s2)(y2−t2)=1,则x2y2−s2t2的值为( )
    A.-1B.1C.0D.0.5
    【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】
    【例8】(2023春·浙江·九年级期中)若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一个根为m,则方程a(x−1)2+2a(x−1)+c=0的两根分别是( ).
    A.m+1,−m−1 B.m+1,−m+1
    C.m+1,m+2 D.m−1 ,−m+1
    【变式8-1】(2023春·江西萍乡·九年级统考期中)有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a−c≠0,以下四个结论中,错误的是( )
    A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根
    B.如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
    C.如果5是方程M的一个根,那么15是方程N的一个根
    D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1
    【变式8-2】(2023春·安徽合肥·九年级校考期末)关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数根,关于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根,则下列说法正确的是( )
    A.p是正数,q是负数B.(p−2)2+(q−2)2<8
    C.q是正数,p是负数D.(p−2)2+(q−2)2>8
    【变式8-3】(2023春·九年级单元测试)一元二次方程M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中ac≠0,a≠c,给出以下四个结论:①若方程M有两个不相等的实数根,则方程N也有两个不相等的实数根;②若方程M的两根符号相同,则方程N的两根符号也相同;③若m是方程M的一个根,则1m是方程N的一个根;④若方程M和方程N有一个相同的根,则这个根必是x=1,其中正确的结论是( )
    A.①③B.①②③C.①②④D.①③④
    【题型9 根与系数关系中的新定义问题】
    【例9】(2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习)定义:如果实数a、b、c满足 a²+b²=c², 那么我们称一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程;二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数.
    (1)理解:下列方程是“勾股”方程的有 .
    ①x²-1=0;②x2−x+2=0;③13x2+14x+15=0;④4x²+3x=5
    (2)探究:若m、n是“勾股”方程 ax²+bx+c=0 的两个实数根,试探究m、n之间的数量关系.
    【变式9-1】(2023春·河南安阳·九年级校联考期中)定义运算:a∗b=a1−b.若a,b是方程x2−x+m=0m<0的两根,则b∗b−a∗a的值为( )
    A.0B.1C.2D.与m有关
    【变式9-2】(2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习)定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,求m2+n2的值.
    【变式9-3】(2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习)已知:α、β(α>β)是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根,设S1=α+β,S2=α2+β2,……Sn=αn+βn.
    根据根的定义,有α2−α−1=0、β2−β−1=0,将两式相加,得(α2+β2)−(α+β)−2=0,于是S2−S1−2=0
    根据以上信息,解答下列问题.
    (1)求α、β的值,并利用一元二次方程根与系数关系,求出S2的值.
    (2)猜想:当n⩾3时,Sn、Sn−1、Sn−2之间满足的数量关系,并证明你的猜想.
    【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
    【例10】(2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习)已知关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0有两实数根x1,x2,
    (1)若x1x2=5,求k的值.
    (2)是否存在实数k满足x1=x2,若存在请求出k的值,若不存在请说明理由.
    【变式10-1】(2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习)已知关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根.
    (1)求m的取值范围.
    (2)若两个实数根分别是x1,x2,且(x1x2−1)2+2(x1+x2)=0,求m的值.
    【变式10-2】(2023·安徽·模拟预测)关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3,则k= .
    【变式10-3】(2023·浙江·九年级假期作业)已知,关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0有两个实数根.
    (1)求k的取值范围.
    (2)若方程的两实根为x1,x2且满足x1+x2=4x1x2−5,求k的值.
    (3)当k为何值时,式子x1+1x2+1+2有最小值,并求出该最小值.
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